DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

überein. Insbesondere gibt es eine eindeutig bestimmte Geodätische c X mit maximalem
Definitionsintervall J X und ċ X (0) = X.
(c) Für jede reelle Zahl a ist die Geodätische c aX gegeben durch c aX (t) = c X (at)
mit dem maximalen Definitionsbereich
J aX = 1 a J X =
falls a ≠ 0 ist, und J aX = R sonst.
{ 1
a t ∣ ∣∣ t ∈ JX
}
,
Im Folgenden bezeichnet c X die Geodätische mit ċ X (0) = X und maximalem Definitionsintervall
J X . Nach Teil (c) haben die Geodätischen c X und c aX dasselbe
Bild, werden aber mit unterschiedlicher Geschwindigkeit durchlaufen.
Beweis. (a) Sei etwa X ∈ T p M. Wir wählen eine Karte (ϕ, U) an p. Ist bezüglich
dieser Karte
X = ∑ ∣
X j ∂ ∣∣∣ϕ(p)
0
∂x j ,
dann sind die X j 0 die Komponenten des Bildes (T ϕ)X ∈ T ϕ(p)R n . Nach dem
Existenz– und Eindeutigkeitsatz für gewöhnliche Differentialgleichungen gibt es
genau eine Lösung (x(t), X(t)) des Systems (17.1.3) mit dem Anfangswert
(x(0), X(0)) = (ϕ(p), X 0 ) ∈ R n × R n .
Für diese Lösung ist die Kurve c = ϕ ◦ x eine Geodätische in M mit ċ(0) = X.
(b) Zum Beweis der Eindeutigkeitsaussage (b) zeigen wir, dass die nichtleere Menge
{t ∈ J 1 ∩ J 2 | ċ 1 (t) = ċ 2 (t)}
zugleich offen und abgeschlossen im Durchschnitt J 1 ∩ J 2 ist. Da dieser Durchschnitt
zusammenhängend ist, muss sie dann mit J 1 ∩ J 2 übereinstimmen. Die
Abgeschlossenheit folgt unmittelbar aus der Stetigkeit von ċ 1 und ċ 2 . Um die Offenheit
zu beweisen, ist zu zeigen, dass aus ċ 1 (t 0 ) = ċ 2 (t 0 ) folgt, dass ċ 1 und ċ 2 auch
auf einer Umgebung von t 0 übereinstimmen. Das ergibt sich, indem man lokale
Koordinaten um den Punkt c 1 (t 0 ) = c 2 (t 0 ) einführt, aus der Eindeutigkeitsaussage
für Systeme (17.1.3). Die maximale Geodätische c X erhält man schließlich als
Vereinigung aller Geodätischen c mit ċ(0) = X.
(c) Mit c ist offensichtlich auch jede Kurve γ : t ↦→ c(at) eine Geodätische, und es
gilt ˙γ(0) = a ċ(0). Folglich ist γ = c aX . QED
Wir werden nun die “Reduktion” der Differentialgleichung der Geodätischen auf ein
System erster Ordnung wie folgt interpretieren: c ist eine Geodätische genau dann,
wenn die Kurve ċ : I → T M Integralkurve eines gewissen Vektorfeldes X auf T M
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