DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

= P 4 P 3 P 2( )
− s ∇ s Z 1 + s2
2 ∇ s∇ s Z 1 + O(3))
+ P 4 P 3( )
− t ∇ t Z 2 + t2 2 ∇ t∇ t Z 2 + O(3)
+ P 4( )
s ∇ s Z 3 + s2
2 ∇ s∇ s Z 3 + O(3)
+ t ∇ t Z 0 + t2 2 ∇ t∇ t Z 0 + O(3).
Die in s und t linearen Terme behandeln wir wie folgt:
−s P 4 (P 3 P 2 ∇ s Z 1 − ∇ s Z 3 ) − t (P 4 P 3 ∇ t Z 2 − ∇ t Z 0 )
= − s P 4( P 3 (P 2 ∇ s Z 1 − ∇ s Z 2 ) + P 3 ∇ s Z 2 − ∇ s Z 3
)
− t ( P 4 (P 3 ∇ t Z 2 − ∇ t Z 3 ) + P 4 ∇ t Z 3 − ∇ t Z 0
)
= − s P 4( P 3 (−t ∇ t ∇ s Z 2 + O(2)) + s ∇ s ∇ s Z 3 + O(2) )
− t ( P 4 (s∇ s ∇ t Z 3 + O(2)) + t ∇ t ∇ t Z 0 + O(2) )
= st P 4 P 3 ∇ t ∇ s Z 2 − st P 4 ∇ s ∇ t Z 3
− s 2 P 4 ∇ s ∇ s Z 3 − t 2 ∇ t ∇ t Z 0 + O(3) .
(∗)
Nun beachten wir, dass für jedes differenzierbare Vektorfeld W längs H die mit den
Parallelverschiebungen P j nach (0, 0) verschobenen Werte W 1 , W 2 und W 3 bis auf
Terme der Ordnung O(1) mit W 0 übereinstimmen. So ist zum Beispiel
und ebenso gilt
P 4 P 3 W 2 − W 0 = P 4 (P 3 W 2 − W 3 ) + P 4 W 3 − W 0
= P 4 (s ∇ s W 3 + O(2)) + t ∇ t W 0 + O(2)
= O(1),
P 4 P 3 P 2 W 1 − P 4 W 3 = P 4( P 3 (P 2 W 1 − W 2 ) + P 3 W 2 − W 3
)
= O(1).
Setzt man daher (∗) in den für P s,t Z 0 − Z 0 erhaltenen Ausdruck ein, so heben sich
die ∇ s ∇ s und ∇ t ∇ t enthaltenden Terme bis auf Ausdrücke der Ordnung O(3) weg,
und es bleibt
wie behauptet. QED
P s,t Z 0 − Z 0 = −st(∇ s ∇ t Z 0 − ∇ t ∇ s Z 0 ) + O(3)
= −st R(X 0 , Y 0 )Z 0 + O(3),
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