DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

(b) Es gibt C ∞ –Mannigfaltigkeiten, die zwar homöomorph zur 7–Sphäre S 7 sind,
aber nicht C ∞ –diffeomorph zu S 7 mit der Standard–C ∞ –Struktur aus Beispiel
1.6(e). Diese exotische Sphären wurden von J. Milnor 1956 entdeckt (Ann. Math.
64(1956), 399–405). Sie können also nach (a) nicht einmal C 1 –diffeomorph zur
Standard–S 7 sein.
Wegen 1.5 und 1.14(a) ist es für viele Zwecke keine wesentliche Einschränkung, wenn
man sich bei den differenzierbaren Mannigfaltigkeiten auf C ∞ –Mannigfaltigkeiten
und C ∞ –Abbildungen beschränkt. Wir werden das im folgenden der Einfachheit
halber oft tun. Fast alle Definitionen und Resultate haben aber offensichtliche
Analoga, wenn man C ∞ durch C k mit jeweils hinreichend großem k ersetzt.
Aufgaben
1. Differenzierbarkeit. Erklären Sie, warum in Definition 1.9 vorausgesetzt
wurde, dass l ≤ min(k, k ′ ) gilt.
2. Sphäre. Wir definieren einen C ∞ –Atlas auf der Sphäre S n
A ′ = { (ϕ + i , U + i ), (ϕ− i , U − i ) | i = 1, . . . , n + 1 }
wie folgt. Es ist U i + = {x ∈ S n | x i > 0} und Ui − = {x ∈ S n | x i < 0}, und
ϕ +−
i : U +−
i → R n bezeichnet die Projektion
ϕ +−
i (x 1 , . . . , x n+1 ) = (x 1 , . . . , ̂x i , . . . , x n+1 ),
welche die i–te Komponente x i von x fortlässt. Zeigen Sie, dass A ′ ein C ∞ –Atlas
ist, der dieselbe C ∞ –Struktur auf S n definiert wie der Atlas aus Beispiel 1.6(e).
3. Atlanten. Sei D n der offene Einheitsball D n = {x ∈ R n | ‖x‖ < 1} mit der
euklidischen Norm ‖x‖ = ( ∑ n
j=1 (xj ) 2) 1/2 .
(a) Finden Sie einen einen C ∞ –Diffeomorphismus von D n auf R n .
(b) Sei M eine n–dimensionale C k –Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie, dass die C k –
Struktur von M einen C k –Atlas {(ϕ α , U α ) | α ∈ Λ} enthält mit der Eigenschaft
ϕ α (U α ) = R n für alle α ∈ Λ.
4. Beispiele. Welche der folgenden topologischen Räume sind topologische Mannigfaltigkeiten?
X 1 = {(x, y) ∈ R 2 | xy = 0}
X 2 = {(x, y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ∈ Q\{0}},
jeweils versehen mit der von R 2 induzierten Unterraumtopologie;
X 3 = {(x, y) ∈ R 2 | y = 0 oder (x, y) = (0, 1)}
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