DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

14.1. Definition. Ein (linearer) Zusammenhang auf M ist eine Abbildung ∇ :
V × V → V mit folgenden Eigenschaften: Für alle X, Y, Z ∈ V und alle f ∈ C ∞ (M)
gilt
(1) ∇ X (Y + Z) = ∇ X Y + ∇ X Z
(2) ∇ X+Y Z = ∇ X Z + ∇ Y Z
(3) ∇ fX Y = f∇ X Y
(4) ∇ X (fY ) = (Xf) Y + f∇ X Y
Das Vektorfeld ∇ X Y heißt die kovariante Ableitung von Y nach X. Dass es auf
jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit einen Zusammenhang gibt, werden wir in
Abschnitt 14.5 sehen.
14.2. Standardzusammenhang des R n . In Abschnitt 11.3 hatten wir die kovariante
Ableitung von Vektorfeldern X und Y = ∑ Y j ∂/∂x j auf dem R n definiert
als
∇ X Y = ∑ X(Y i ) ∂
∂x i = ∑ X i ∂Y j
∂x i
∂
∂x j . (14.2.1)
Dabei sind ∂/∂x j die Standardbasisfelder des R n . Den so definierten Zusammenhang
∇ auf dem R n bezeichnet man als den Standardzusammenhang des R n . Er ist
mit Hilfe der Basisfelder des speziellen Koordinatensystems ϕ = id auf R n definiert.
Bemerkung. Wählt man ein anderes Koordinatensystem, etwa ϕ ′ : R n → R n mit
zugehörigen Basisvektorfeldern ∂/∂x ′j und definiert einen Zusammenhang ∇ ′ entsprechend
durch
∇ X Y = ∑ X(Y ′j )
∂
∂x ′j
für Y = Y ′j ∂/∂x ′j , dann ist ∇ ′ = ∇ genau dann, wenn für alle i, j, k gilt
∂ 2 x ′i
∂x j = 0. (14.2.2)
∂xk Das ist nach der Taylorschen Formel äquivalent dazu, dass der Kartenwechsel ϕ ′ ◦
ϕ −1 eine affine Abbildung des R n ist, also von der Form ϕ ′ ◦ ϕ −1 (x) = Ax + b mit
einer Matrix A ∈ GL(n, R) und mit b ∈ R n . Zum Beweis berechnet man
∇ ′ X Y = ∇ XY + ∑ Y j X l ∂
( ∂x
′i ) ∂x
k
∂x l ∂x j ∂x ′i
∂
∂x k .
14.3. Abhängigkeit von X und Y . Wir untersuchen zunächst die Abhängigkeit
des Vektorfeldes ∇ X Y von X. Für ein festes Vektorfeld Y ∈ V ist die Abbildung
∇Y : V → V,
(∇Y )(X) := ∇ X Y
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