DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

(b) Aufwickeln eines Papierstreifens um einen Zylinder ist eine lokale Isometrie: Sei
M = R 2 × {0} ⊆ R 3 , und sei M ′ der Kreiszylinder
Dann ist die Abbildung φ : M → M ′ mit
M ′ = { (x 1 , x 2 , x 3 ) | (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 = 1 } .
φ
⎛
⎝ w1
w 2
0
⎞ ⎛ ⎞
cos w1
⎠ = ⎝ sin w 1 ⎠
w 2
eine lokale Isometrie. Man rechnet dazu etwa nach, dass die Orthonormalbasis
∂/∂w 1 | p , ∂/∂w 2 | p des Tangentialraumes T p M durch die Ableitung T p φ in eine Orthonormalbasis
von T φ(p) M abgebildet wird. Isometrische Flächen im R 3 sind also
nicht notwendig kongruent.
(c) Katenoid und Helikoid. Als Katenoid oder Kettenfläche bezeichnet man die
durch Rotation der sogenannten Kettenlinie um die x 3 –Achse entstehende Drehfläche.
Wählt man als Definitionsbereich der lokalen Parametrisierung
⎛
ψ(w 1 , w 2 ) = ⎝ cos ⎞ ⎛
w1 − sin w 1 0
sin w 1 cos w 1 0 ⎠ ⎝
0 0 1
⎞ ⎛
cosh w2
0 ⎠ =
w 2
⎝ cos w1 cosh w 2
sin w 1 cosh w 2
w 2
den Parameterbereich W = (0, 2π) × R, dann ist das Bild M = ψ(W ) das Katenoid
ohne den “Meridian” w 1 = 0. Mit
g ik ◦ ψ =
〈 ∂ψ
∂w i , ∂ψ
∂w k 〉
berechnet man für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform g 12 = 0 und
g 11 (ψ(w 1 , w 2 )) = g 22 (ψ(w 1 , w 2 )) = (cosh w 2 ) 2 .
Das Helikoid (die Wendelfläche) entsteht aus der x 1 –Achse im R 3 durch “Verschrauben”
entlang der x 3 –Achse:
⎛
¯ψ(w 1 , w 2 ) = ⎝ cos ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
w1 − sin w 1 0
sin w 1 cos w 1 0 ⎠ ⎝ w2
0 ⎠ +
0 0 1 0
Für die erste Fundamentalform ergibt sich
⎝ 0 ⎞
0 ⎠ =
w 1
ḡ 11 ( ¯ψ(w 1 , w 2 )) = 1 + (w 2 ) 2 , ḡ 12 = 0 und ḡ 22 = 1 .
⎛
⎝ w2 cos w 1
w 2 sin w 1
w 1
Nimmt man als Parameterbereich die Menge ¯W = (0, 2π) × R, dann ist das Bild
¯M = ¯ψ( ¯W ) eine “volle Windung” der Wendelfläche.
92
⎞
⎠
⎞
⎠ .