DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Ist nun π : E → M ein Vektorbündel mit Faser F und Vektorbündelatlas {(ψ α ,
E| Uα ) | α ∈ Λ}, dann erhält man ein neues Vektorbündel π : E ∗ → M mit Faser F ∗ ,
das zu E duale Bündel, wie folgt. Es ist (E ∗ ) p = (E p ) ∗ , der Dualraum von E p , F ∗
der Dualraum von F , und als Vektorbündelatlas wählt man {(ψα, ∗ E ∗ | Uα | α ∈ Λ},
wobei ψα ∗ : E| Uα → U α × F ∗ die faserweise invers transponierte Abbildung ist, also
für p ∈ M
ψα| ∗ E ∗ p
: Ep ∗ → {p} × F ∗
die zu ψ α | Ep invers transponierte Abbildung. Man erhält demnach E ∗ aus E, indem
man faserweise zum Dualraum Ep
∗ übergeht. Ebenso könnte man faserweise zum
Raum der Tensoren Tr s (E) übergehen und erhielte ein Vektorbündel Tr s (E) mit
Faser Tr s (F ). Wendet man diese Konstruktionen speziell auf E = T M an, so erhält
man das Kotangentialbündel E ∗ = T ∗ M und das Tensorbündel Tr s(E)
= T r sM.
Eine allgemeine Beschreibung solcher und ähnlicher Konstruktionen findet sich in
Serge Lang’s Fundamentals of Differential Geometry.
Da die Fasern eines Vektorbündels Vektorraumstrukturen tragen, kann man ihre
Schnitte σ : M → E addieren und mit Funktionen f ∈ C ∞ (M) multiplizieren, wie
wir das vom Spezialfall der Tensorfelder her gewohnt sind. Die Menge der Schnitte,
die oft mit Γ(M, E) oder auch nur Γ(E) bezeichnet wird, erhält so die Struktur
eines Moduls über dem Ring C ∞ (M), und die Struktur eines Vektorraumes über
dem Körper der reellen Zahlen.
Aufgaben
1. Unterschied. Erklären Sie den Unterschied zwischen T s
r (R n ) und T s r R n .
2. Äussere Ableitung. Sei α eine differenzierbare r–Form (siehe 6.4) auf M. Wir
definieren eine (r + 1)–Form dα wie folgt. Ist bezüglich lokaler Koordinaten (ϕ, U)
α| U = ∑ α i1...i r
dx i1 ∧ . . . ∧ dx ir ,
mit dem Dachprodukt ∧ aus Aufgabe 3 von Kapitel 5, dann setzen wir
dα| U := ∑ ∂α i1...i r
∂x j dx j ∧ dx i1 ∧ . . . dx ir , (∗)
wobei ∂α i1...i r
/∂x j wie in 4.14 definiert ist.
(a) Schreiben Sie diese Definition für die Fälle r = 0, 1, 2 explizit aus.
(b) Zeigen Sie, dass die Definition nicht von der Wahl der Karte (ϕ, U) abhängt:
Verwendet man (∗) mit zwei verschiedenen Karten an p, so ergibt sich dieselbe
Differentialform dα.
(c) Zeigen Sie, dass für jede Differentialform α gilt ddα = 0 (Poincaré–Lemma).
3. Faserbündel. Faserbündel wurden definiert als Abbildungen, für die ein Faserbündelatlas
existiert; Vektorbündel dagegen als Faserbündel (E, M, π) zusammen
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