DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

12. Die Krümmungen einer Fläche
Die Weingartenabbildung L p einer orientierten Fläche M ⊆ R 3 ist, wie wir aus
Abschnitt 11.5 wissen, eine selbstadjungierte lineare Abbildung des Tangentialraumes
T p M in sich. Sie ist daher reell diagonalisierbar. Ihre Eigenwerte nennt
man die Hauptkrümmungen von M im Punkt p. Sie lassen sich als Krümmungen
von Schnittkurven gewisser Ebenen mit der Fläche deuten. Aus den beiden Hauptkrümmungen
bildet man zwei weitere Krümmungsgrößen, die Gaußkrümmung und
die mittlere Krümmung von M, auf deren geometrische Bedeutung wir eingehen.
Es stellt sich heraus, dass die Gaußkrümmung, obwohl zunächst mit Hilfe der Weingartenabbildung,
also des Normalenvektors von M, definiert, durch die erste Fundamentalform
allein bestimmt ist. Sie gehört also zur inneren Geometrie von M.
Diese Entdeckung, das “Theorema egregium” von Gauß, war der Ausgangspunkt
der Krümmungstheorie Riemannscher Räume.
Im Folgenden ist M ⊆ R 3 eine orientierte Fläche und n ihre Gaußabbildung.
12.1. Krümmung von Flächenkurven. Sei I ⊆ R n ein Intervall, und sei
c ∈ C 2 (I, M) eine nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve in M. Wir fassen c als
Kurve im R 3 auf und betrachten ihre Ableitungen, den Tangentenvektor c ′ = dc/ds
und den “Beschleunigungsvektor” c ′′ = d 2 c/ds 2 . Diesen Vektor c ′′ spalten wir auf
in die zu M normale und die an M tangentielle Komponente. Sei dazu u := n × c ′ .
Da c nach der Bogenlänge parametrisiert, also 〈c ′ , c ′ 〉 = 1 ist, gilt 〈c ′′ , c ′ 〉 = 0. Daher
ist die an M tangentielle Komponente von c ′′ von ein Vielfaches von u, also
c ′′ (s) = κ n (s) n(c(s)) + κ g (s) u(s) (12.1.1)
mit gewissen Funktionen κ n und κ g . Die Funktion κ n heißt die Normalkrümmung,
κ g die geodätische Krümmung der Kurve c.
Multiplikation von Gleichung (12.1.1) mit der Flächennormalen n ergibt 〈c ′′ , n〉 =
κ n . Mit der Krümmung κ := ‖c ′′ ‖ ergibt sich daraus
κ n = κ cos ̸ (c ′′ , n). (12.1.2)
Beispiel. Sei E eine Ebene durch den Punkt p ∈ M, welchen die zu M senkrechte
Richtung enthält. Die Schnitte E ∩ M solcher Ebenen mit der Fläche bezeichnet
man als deren Normalschnitte im Punkt p. Wie wählen eine Parametrisierung des
Normalschnittes nach der Bogenlänge, also eine Kurve c ∈ C 2 (I, M) mit c(0) = p,
‖c ′ ‖ = 1 und mit c(I) ⊆ E ∩ M. Da c in der Ebene E liegt, ist c ′′ = ± n ◦ c und
κ n = ± κ. Die Normalkrümmung eines Normalschnittes im Punkt p stimmt also
bis auf das Vorzeichen mit seiner Krümmung als Raumkurve überein. Dabei gilt
Version: 18. Februar 2000
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