DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

14. Kovariante Ableitungen
Jedes C ∞ –Vektorfeld X auf einer Mannigfaltigkeit M induziert eine Abbildung des
Raumes C ∞ (M) der differenzierbaren Funktionen in sich. Dabei wird einer Funktion
f ihre Ableitung Xf nach X zugeordnet, eine Funktion auf M, die durch
(Xf)(p) = X(p)f definiert ist. Ist c eine Integralkurve des Vektorfeldes X mit
c(0) = p, dann lässt sich (Xf)(p) berechnen als Grenzwert des Differenzenquotienten
f(c(t)) − f(p)
(Xf)(p) = lim
. (14.1)
t→0 t
Versucht man nun, statt der Funktion f ein Vektorfeld Y nach X abzuleiten, indem
man einen Differenzenquotienten wie in (14.1) verwendet, so ergeben sich im Zähler
Tangentialvektoren Y (c(t)) und Y (p) an verschiedenen Stellen von M, deren Differenz
nicht erklärt ist. Wir haben dieses Problem für die Zwecke der Lieableitung
L X Y in Gleichung (7.7.1) dadurch gelöst, dass wir den Vektor Y (c(t)) mit Hilfe des
Flusses von X zunächst an die Stelle p zurückverschoben haben. Diese Verwendung
des Flusses von X hat aber zur Folge, dass die Bedeutung des Vektors (L X Y )(p)
nicht einfach die Änderung von Y in Richtung von X(p) ist, sondern das auch das
Verhalten von X in einer Umgebung von p eingeht. Man kann das etwa an der
Formel (7.4.2) ablesen.
In diesem Abschnitt führen wir eine weitere Art der Ableitung ein, die kovariante
Ableitung ∇ X Y , bei welcher der Wert (∇ X Y )(p) nur von X(p) und Y abhängt.
Operationen ∇ mit den gewünschten Eigenschaften, die man aus später zu erörternden
Gründen als Zusammenhänge bezeichnet, gibt es auf jeder differenzierbaren
Mannigfaltigkeit. In der Tat gibt es sogar eine Vielzahl möglicher Zusammenhänge
∇ (siehe Aufgabe 2). Man wird dazu geführt, die gewünschte Ableitung ∇ als
zusätzliche, nicht kanonisch mit der Mannigfaltigkeit M verbundene Struktur anzusehen,
etwa so, wie man verschiedene Riemannsche Metriken auf M zu betrachten
gewohnt ist.
Zusammenhänge und ihre Krümmung werden uns in den nun folgenden Kapiteln
beschäftigen. In diesem Kapitel erklären wir zunächst, was ein Zusammenhang ∇
auf M ist, und erläutern dann, wie man bei gegebenem Zusammenhang Tensorfelder
kovariant ableitet. Danach zeigen wir, dass es auf jeder Riemannschen Mannigfaltigkeit
einen durch die Metrik eindeutig bestimmten Zusammenhang mit speziellen
Eigenschaften gibt, den Levi–Civita–Zusammenhang. Die Christoffelsymbole der
Flächentheorie, welche uns im Zusammenhang mit den Ableitungsgleichungen in
11.8 begegnet sind, finden hier ihren natürlichen Ort als Komponenten des Levi–
Civita–Zusammenhanges der ersten Fundamentalform einer Fläche.
Im Folgenden bezeichnet V = V(M) den Raum der C ∞ –Vektorfelder auf einer C ∞ –
Mannigfaltigkeit M. Für die Basisvektorfelder einer Karte schreiben wir oft vereinfacht
∂ i = ∂/∂x i .
Version: 18. Februar 2000
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