DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Zusammen mit Satz 22.1(a) ergibt sich, dass jede Mannigfaltigkeit diffeomorph ist
zum Quotienten einer einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeit ˜M nach einer
frei und eigentlich diskontinuierlich operierenden Gruppe von Diffeomorphismen.
Beweis. Um zu zeigen, dass die Operation von Γ frei und eigentlich diskontinuierlich
ist, sind die Eigenschaften (a) und (b) aus 22.2 zu verifizieren. Sei dazu ˜p ∈ ˜M,
und sei U ⊆ M eine zulässige Umgebung von π(˜p) wie in (22.1.1). Dann ist ˜p ∈ U α
für einen Index α. Wir zeigen, dass die Umgebung U α von ˜p die Bedingung aus (a)
erfüllt, dass also für alle γ ∈ Γ mit γ ≠ id gilt γ(U α ) ∩ U α = ∅. Ist γ(U α ) ∩ U α ≠ ∅,
dann existieren ˜q, ˜r ∈ U α mit γ(˜q) = ˜r. Daraus folgt π(˜q) = π ◦ γ(˜q) = π(˜r), und
da π| Uα injektiv ist, folgt ˜q = ˜r. Also ist γ eine Decktransformation mit γ(˜q) = ˜q,
ebenso wie die Identitätsabbildung id von ˜M, und es folgt γ = id. Damit ist
Eigenschaft (a) bewiesen, und ein ähnliches Argument ergibt (b).
Es bleibt zu zeigen, dass der Quotient Γ\ ˜M diffeomorph zu M ist. Die Projektion
π : ˜M → M induziert eine offenbar bijektive Abbildung ¯π : Γ\ ˜M → M. Da die
Abbildungen ˜M → Γ\ ˜M und π : ˜M → M lokale Diffeomorphismen sind, ist das
auch für ¯π der Fall. Also ist ¯π ein bijektiver lokaler Diffeomorphismus, und folglich
ein Diffeomorphismus. QED
22.4. Deckgruppe und Fundamentalgruppe. Wir erinnern zunächst an den
Begriff der Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes M in einem Punkt
p ∈ M. Eine stetige Schleife an p ist eine stetige Abbildung c : [0, 1] → M mit c(0) =
c(1) = p. Homotopie mit festen Endpunkten definiert eine Äquivalenzrelation ∼ auf
der Menge S(M, p) aller stetigen Schleifen an p. Die Quotientenmenge
π 1 (M, p) = S(M, p)/∼,
also die Menge aller Äquivalenzklassen [c], heißt die Fundamentalgruppe von M in p.
Man erhält eine Gruppenstruktur auf π 1 (M, p), indem man setzt [c 1 ] [c 2 ] = [c 1 ∗ c 2 ]
mit der Schleife
(c 1 ∗ c 2 )(t) =
{
c1 (2t) für 0 ≤ t ≤ 1/2;
c 2 (2t − 1) für 1/2 ≤ t ≤ 1.
Sind p und q ∈ M Punkte, die durch einen stetigen Weg verbunden werden können,
dann sind die Gruppen π 1 (M, p) und π 1 (M, q) isomorph. Man erhält einen Isomorphismus,
indem man Schleifen an p durch “Anhängen” des Verbindungsweges
zu Schleifen an q verlängert. Insbesondere ist in einem wegzusammenhängenden
Raum die Fundamentalgruppe π 1 (M, p) bis auf Isomorphie von p unabhängig. Man
spricht dann etwas ungenau von “der” Fundamentalgruppe von M und schreibt
π 1 (M) anstelle von π 1 (M, p). Der Raum M ist einfach zusammenhängend, wenn
diese Gruppe nur aus dem neutralen Element besteht.
Fundamentalgruppen können verwendet werden, um topologische Räume zu unterscheiden,
da zueinander homöomorphe Räume isomorphe Fundamentalgruppen
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