DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

(c) M = ⋃ β∈I ϕ−1 β
(B(0, 1)).
Hausdorffsche topologische Räume mit der Eigenschaft, dass es zu jeder offenen
Überdeckung eine lokal endliche Verfeinerung gibt, nennt man parakompakt. Das
Lemma besagt also insbesondere, dass jede differenzierbare Mannigfaltigkeit parakompakt
ist—und wenn man überall die Forderung der Differenzierbarkeit fortlässt,
sieht man, dass auch jede topologische Mannigfaltigkeit parakompakt ist.
Zum Beweis des Lemmas wählen wir eine Ausschöpfung C i ⊆ M wie in 8.2 und
setzen C 0 = ∅. Da die Menge C i \ Ci−1 ◦ kompakt ist, existieren für jedes i ∈ N
endlich viele Karten
(ϕ i1 , V i1 ), . . . , (ϕ iri , V iri )
mit den Eigenschaften
und so dass gilt
ϕ(V ij ) = B(0, 3)
V ij ⊆ C i+1 \ C i−2
V ij ⊆ U α für ein α,
C i \ C ◦ i−1 ⊆
⋃r i
j=1
ϕ −1
ij (B(0, 1)).
In der Tat gibt es an jedem Punkt p ∈ C i \ Ci−1 ◦ eine Karte mit diesen Eigenschaften,
und endlich viele dieser Karten genügen, um das Kompaktum C i \ Ci−1
◦
zu überdecken. Dann ist
{ (ϕ ij , V ij ) | i ∈ N, j = 1, . . . , r i }
der gewünschte Atlas. Dieser Atlas ist lokal endlich, da wegen V ij ∩ C i−2 = ∅ jede
der Teilmengen C k nur endlich viele V ij schneidet. QED
8.4. Satz. (Partition der Eins) Seien M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und
O = { U α | α ∈ Λ } eine offene Überdeckung von M. Dann existiert eine Menge
{ ϱ α | α ∈ Λ } ⊆ C ∞ (M)
differenzierbarer Funktionen mit folgenden Eigenschaften.
(a) ϱ α (M) ⊆ [0, 1] für alle α ∈ Λ.
(b) Der Träger supp(ϱ α ) ist in U α enthalten, und es gilt sogar
(c) supp(ϱ α ) ⊆ W α für eine lokal endliche Verfeinerung { W α | α ∈ Λ } von O mit
W α ⊆ U α für alle α ∈ Λ.
∑
(d) Für jeden Punkt p ∈ M gilt
α∈Λ ϱ α(p) = 1. Diese Summe ist nach (c)
endlich.
Die Menge { ϱ α | α ∈ Λ } heißt eine der Überdeckung O untergeordnete Zerlegung
(oder Partition) der Eins.
69