DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Setzt man speziell X = W und Y = Z, dann ergibt sich die Gaußgleichung für die
Schnittkrümmungen von M und ¯M
K(X, Y ) = ¯K(X, Y ) +
〈s(X, X), s(Y, Y )〉 − ‖s(X, Y )‖2
‖X‖ 2 ‖Y ‖ 2 − 〈X, Y 〉 2 . (20.8.3)
Im Spezialfall einer Fläche M im R 3 ist ¯K = 0, und (20.8.3) reduziert sich auf die
in Abschnitt 12.4 gegebene Gleichung für die Gaußkrümmung.
Riemanns Deutung der Schnittkrümmung. Sei E ⊆ T p M ein zweidimensionaler
Unterraum. Dann ist für Radien ϱ ≤ inj(p) das Bild M E := exp(E ∩ B p (0, ϱ))
eine Untermannigfaltigkeit von M, deren Tangentialraum im Punkt p mit der Ebene
E übereinstimmt. Wählt man Normalkoordinaten für M mit Zentrum p so, dass
E von den Basisvektoren ∂ 1 und ∂ 2 aufgespannt wird, so ist für i, j ∈ {1, 2} wegen
Γ ij k (p) = 0 die zweite Fundamentalform
s(∂ i | p , ∂ j | p ) = (∇ ∂i ∂ j ) ⊥ (p) = 0.
Die Untermannigfaltigkeit M E ist also im Punkt p total geodätisch. Nach (20.8.3)
stimmt daher die Schnittkrümmung K(E) mit der Schnittkrümmung der Fläche
M E im Punkt p überein.
“Um dem Krümmungsmass einer nfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit
in einem gegebenen Punkte und einer gegebenen durch ihn gelegten
Flächenrichtung eine greifbare Bedeutung zu geben, muss man davon
ausgehen, dass eine von einem Punkte ausgehende kürzeste Linie völlig
bestimmt ist, wenn ihre Anfangsrichtung gegeben ist. Hienach wird
man eine bestimmte Fläche erhalten, wenn man sämmtliche von dem
gegebenen Punkte ausgehenden und in dem gegebenen Flächenelement
liegenden Anfangsrichtungen zu kürzesten Linien verlängert, und diese
Fläche hat in dem gegebenen Punkte ein bestimmtes Krümmungsmass,
welches zugleich das Krümmungsmass der nfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit
in dem gegebenen Punkte und der gegebenen Flächenrichtung
ist.”
Bernhard Riemann, “Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde
liegen”, vorgetragen in Göttingen am 10. Juni 1854.
20.9. Hyperflächen. Sei nun speziell n = dim(M) = dim( ¯M) − 1. Wir nehmen
an, dass es auf M ein Einheitsnormalenfeld ν gibt—sollte das nicht der Fall sein,
dann gehen wir zu einer offenen Teilmenge von M über, auf der ein solches Feld
existiert. Wir definieren eine Abbildung II : V(M) × V(M) → C ∞ (M) durch
s(X, Y ) = II(X, Y ) ν. (20.9.1)
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