DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

wie behauptet. QED
Korollar 2. Seien (M, g) und (M ∗ , g ∗ ) Riemannsche Mannigfaltigkeiten derselben
Dimension und derselben konstanten Schnittkrümmung. Seien p ∈ M und p ∗ ∈ M ∗ .
Dann existiert eine Isometrie F : U → U ∗ einer Umgebung U von p auf eine Umgebung
U ∗ von p ∗ .
Dieses Korollar folgt aus Satz 2, indem man ρ < min{inj(p), inj(p ∗ )} wählt und
beachtet, dass Ungleichung (24.2.5) sowohl auf F als auch auf F −1 anwendbar ist.
Also ist F ein Diffeomorphismus mit ‖(T F )X‖ = ‖X‖, und damit eine Isometrie.
Im Spezialfall K = 0 ergibt sich erneut Satz 16.9.
Korollar 2 lässt sich zu einem Beweis des bereits in 22.5 erwähnten Satzes verwenden,
dass je zwei vollständige einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeiten
derselben Dimension und derselben konstanten Schnittkrümmung isometrisch
sind. Der Beweisgedanke besteht darin, die zunächst nur lokal definierten
Isometrien F : U → U ∗ unter Ausnutzung der Vollständigkeit entlang Kurven
fortzusetzen. Man verwendet dann die Voraussetzung des einfachen Zusammenhanges,
also den Umstand, dass je zwei Kurven homotop (mit festen Endpunkten)
sind, um zu zeigen, dass die Fortsetzung nicht von der Wahl der Kurve abhängt, so
dass sich eine global definierte Isometrie ergibt.
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