DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Satz. Sei ∇ ein Zusammenhang auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M.
Folgende Aussagen sind äquivalent.
(a) Der Zusammenhang ∇ ist flach.
(b) Für alle p, q ∈ M und alle homotopen differenzierbaren Kurven c 0 und c 1 :
[a, b] → M mit c 0 (a) = c 1 (a) = p und c 0 (b) = c 1 (b) = q gilt P c0
b,a = P c1
b,a .
(c) Zu jedem Punkt p ∈ M und jedem Vektor X p ∈ T p M existieren eine Umgebung
U von p und ein differenzierbares Vektorfeld X ∈ V(U) mit X(p) = X p und mit
∇X = 0 auf U.
(d) Zu jedem Punkt p ∈ M existieren eine Umgebung U von p und ein paralleles
Repèrefeld X 1 , . . . , X n ∈ V(U), also ein Repèrefeld mit ∇X i = 0 für i = 1, . . . , n.
Bedingung (b) bedeutet, ungenau gesprochen, die “Wegunabhängigkeit der Parallelverschiebung”
bei homotopen Kurven, (c) ist die “lokale Fortsetzbarkeit” von
Vektoren zu parallelen Vektorfeldern, und (d) die “lokale” Existenz paralleler Basisfelder.
Beweis. (a)⇒(b) Sei H eine Homotopie von c 0 nach c 1 , und sei X p ∈ T p M. Parallelverschiebung
von X längs der Kurven t ↦→ H(s, t) liefert ein Vektorfeld X(s, t)
längs H mit ∇X/∂t = 0. Wir zeigen, dass X(s, b) konstant ist, so dass insbesondere
folgt
P c0
b,a X p = X(0, b) = X(1, b) = P c1
b,a X p.
Nach Lemma 16.3 gilt wegen R = 0
∇ ∇X
∂t ∂s = ∇ ∇X
( ∂H
+ R
∂s ∂t ∂t , ∂H )
X = 0.
∂s
Also ist das Vektorfeld t ↦→ (∇X/∂s)(s, t) parallel längs der Abbildung t ↦→ H(s, t).
Wegen X(s, a) = X p für s ∈ [0, 1] ist
∇X
∂s
∂X
(s, a) = (s, a) = 0.
∂s
Die kovariante Ableitung reduziert sich dabei auf die gewöhnliche, weil X(s, a) ∈
T p M ist für alle s. Es folgt
∂X
∂s
∇X
(s, b) = (s, b) = 0.
∂s
(b)⇒(c) Sei X p ∈ T p M. Wir wählen eine Karte (ϕ, U) mit ϕ(p) = 0 und dergestalt,
dass ϕ(U) = B(0, 1) der Ball vom Radius 1 um den Ursprung ist. Auf U definieren
wir nun ein Vektorfeld X ∈ V(U) durch “radiale” Parallelverschiebung des Vektors
X p von p aus wie folgt. Für q ∈ U sei c q : [0, 1] → M die Kurve c q (t) = ϕ −1 (tϕ(q)).
Wir definieren
X(q) = P cq
1,0 X p.
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