DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

positiv definit, und dasselbe gilt für
( )
˜h22 −˜h 12
.
−˜h 12
˜h11
Auf M gilt 〈˜r, ñ〉 ≤ 0, und auf M 1 ist 〈r ′ , n〉 < 0 nach Behauptung 1. Folglich ist die
Koeffizientenmatrix (a ij ) auf M 1 positiv definit. Damit sind die Voraussetzungen
des Hopfschen Maximumprinzips auf einer Umgebung U 1 ⊆ U von p erfüllt. Es folgt
v = const = 0 auf U 1 , also U 1 ⊆ M 1 . Behauptung 2 und damit der Starrheitssatz
sind bewiesen. QED
Aufgaben
1. Skalarprodukte. Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum, also
ein reeller Vektorraum mit Skalarprodukt 〈·, ·〉. Zeigen Sie:
(a) Auf dem Dualraum V ∗ existiert genau ein Skalarprodukt mit folgender Eigenschaft:
Für jede Orthonormalbasis v 1 , . . . , v n von V ist die duale Basis v ∗1 , . . . , v ∗n
eine Orthonormalbasis von V ∗ .
(b) Für das in (a) definierte Skalarprodukt gilt: Ist v 1 , . . . , v n eine beliebige Basis
von V und ist 〈v i , v j 〉 = g ij dann ist 〈v ∗i , v ∗j 〉 = g ij mit der zu (g ij ) inversen Matrix
(g ij ), also mit g ij g jk = δ k i .
2. Maximumprinzip. Sei U ⊆ R n beschränkt und offen. Der Differentialoperator
L erfülle die Voraussetzungen aus Abschnitt 13.1. Zeigen Sie: Sind u, v ∈ C 2 (U) ∩
0
C (Ū) Funktionen mit Lu ≥ Lv auf U und mit u ≤ v auf dem Rand ∂U, dann gilt
u ≤ v auf U.
3. Beispiele. Man zeige anhand geeigneter Beispiele, dass auf die Voraussetzung
〈 r(p), n(p) 〉 ≠ 0 in Satz 13.3 nicht ohne weiteres verzichtet werden kann.
4. Hadamard. Der (später zu behandelnde) Satz von Gauß–Bonnet besagt insbesondere,
dass für kompakte zusammenhängende Flächen im R 3 gilt
∫
K dV = 2π χ(M) ≤ 4π.
M
Zeigen Sie, dass aus dieser Ungleichung die Injektivität der Gaußabbildung für
Eiflächen im Satz von Hadamard (13.4) folgt. Hinweis: Abschnitt 12.5.
5. Minimalflächen. Die Fläche M ⊆ R 3 sei der Graph einer Funktion u ∈
C ∞ (W, R) mit W ⊆ R 2 offen. Sei ψ : W → R 3 die Parametrisierung ψ(w) =
(w, u(w)).
(a) Die mittlere Krümmung H ist gegeben durch
H = (1 + ∂ 2u) 2 ∂ 11 u − 2∂ 1 u ∂ 2 u ∂ 12 u + (1 + ∂ 1 u) 2 ∂ 22 u
2(1 + (∂ 1 u) 2 + (∂ 2 u) 2 ) 3/2 ,
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