DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Schnittwinkel zwischen Kurven sind in naheliegender Weise definiert als Winkel
zwischen ihren Tangentialvektoren im Schnittpunkt. Ist bezüglich lokaler Parameter
ψ : W → M
dann ergibt sich
X =
2∑
i=1
( 2∑
〈X, Y 〉 = g
i=1
X i
X i
∂
∂w i ∣ ∣∣∣p
und Y =
∂
∂w i ∣ ∣∣∣p
,
2∑
j=1
Y j
2∑
i=1
Y i
∣
∂ ∣∣∣p )
∂w j = ∑ i,j
∂
∂w i ∣ ∣∣∣p
,
g ij (p)X i Y j .
Differenzierbare Kurven c : [a, b] → M in M können auch als differenzierbare Kurven
im R 3 aufgefasst werden, und ihre Länge ist
L(c) =
∫ b
a
‖ċ‖ dt =
∫ b
a
√
g(ċ(t), ċ(t))dt . (10.4.1)
Die Länge L(c) kann also ohne Kenntnis der umgebenden Raumes berechnet werden,
sobald man die Riemannsche Metrik g kennt. Ist (ϕ, U) eine Karte für M, und ist
c([a, b]) ⊆ U, dann gilt nach Abschnitt 4.4 mit c i := ϕ i ◦ c
und damit
L(c) =
∫ b
a
ċ(t) =
2∑
i=1
dc i
dt (t)
∂
∂w i ∣
∣∣∣c(t)
√
∑2 g ij(c(t)) dci
i,j=1 dt (t)dcj (t) dt
dt
Der (über die Fläche M gemessene) Abstand zweier Punkte auf M ist definiert als
d(p, q) = inf
c
L(c). (10.4.2)
Dabei ist das Infimum zu nehmen über alle stückweise differenzierbaren Kurven
c : [a, b] → M, die p mit q verbinden, für die also c(a) = p und c(b) = q gilt. Man
verifiziert leicht, dass (M, d) mit der so definierten Abstandsfunktion d : M × M →
R ein metrischer Raum ist. In der Tat ist d(p, q) ≥ ‖p − q‖, dem im R 3 gemessenen
Abstand von p und q, also gilt d(p, q) = 0 nur für p = q.
Zur Definition von d sei angemerkt, dass man denselben Abstand d(p, q) erhält,
wenn man das Infimum nur über alle differenzierbaren Kurven nimmt statt über
alle stückweise differenzierbaren. Das liegt daran, dass man eine stückweise differenzierbare
Verbindungskurve c von p nach q immer dergestalt durch einen differenzierbare
Verbindungskurve c 1 approximieren kann, dass die Länge L(c 1 ) beliebig
wenig von L(c) abweicht. Mit der Definition durch differenzierbare Kurven wird
aber der Nachweis der Dreiecksungleichung für d etwas schwieriger.
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