DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Kurve bis auf eigentliche euklidische Bewegungen eindeutig bestimmt ist durch ihre
Krümmung und ihre Torsion als Funktionen des Bogenlängenparameters. Umgekehrt
lässt sich zu vorgegebener Krümmung und Torsion auch immer eine passende
Kurve konstruieren. Die genaue Formulierung dieser beiden Aussagen ist der Inhalt
des sogenannten “Fundamentalsatzes” der Kurventheorie, auf den wir nun eingehen.
9.5. Lineare Differentialgleichungen. Als Hilfsmittel benötigen wir den folgenden
Existenz- und Eindeutigkeitssatz für lineare Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen.
Satz. Seien A ∈ C 0 ([a, b], R n×n ) und b ∈ C 0 ([a, b], R n ), und sei x 0 ∈ R n . Dann
existiert genau eine Abbildung x ∈ C 1 ([a, b], R n ) mit den Eigenschaften
x ′ (t) = A(t)x(t) + b(t) für alle t ∈ [a, b]
x(a) = x 0 .
Ein Beweis dieses Aussage findet sich etwa in W. Walters “Gewöhnliche Differentialgleichungen”.
Die Lösung existiert auf dem ganzen Intervall [a, b] wegen der
Linearität der Gleichung.
9.6. Fundamentalsatz der Kurventheorie. (a) Seien κ ∈ C 1 ([a, b], R) und
τ ∈ C 0 ([a, b], R) Funktionen mit κ > 0 auf [a, b]. Sei p ∈ R 3 , und seien v, w ∈ R 3
Einheitsvektoren mit 〈v, w〉 = 0. Dann existiert genau eine bireguläre, nach der
Bogenlänge parametrisierte Kurve c ∈ C 3 ([a, b], R 3 ) mit Krümmung κ und Torsion
τ, und mit den Anfangswerten c(a) = p, c ′ (a) = v und c ′′ (a)/||c ′′ (a)|| = w.
(b) Sind c, ˜c ∈ C 3 ([a, b], R 3 ) zwei bireguläre, nach der Bogenlänge parametrisierte
Kurven, deren Krümmung und Torsion auf [a, b] übereinstimmen, dann existiert
eine eigentliche euklidische Bewegung F : R 3 → R 3 mit F ◦ c = ˜c.
Beweis. (a) Sei e = (e 1 , e 2 , e 3 ) ∈ C 1 ([a, b], R 9 ) die Lösung der Frenetschen Differentialgleichungssystems
(9.4.1), also
e ′ i =
⎛
3∑
a ki e k mit (a ik ) = ⎝ 0 −κ 0
⎞
κ 0 −τ ⎠
0 τ 0
k=1
mit Anfangswert e(a) = (v, w, v×w). Wir behaupten zunächst, dass für alle t ∈ [a, b]
gilt
〈e i (t), e j (t)〉 = δ ij .
Zum Beweis dieser Behauptung berechnen wir die Ableitung
〈e i , e j 〉 ′ = 〈e ′ i , e j〉 + 〈e i , e ′ j 〉
= ∑ k a ki〈e k , e j 〉 + a kj 〈e i , e k 〉 .
78