DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

mit den Komponentenfunktionen c i = ϕ i ◦ c. Etwas umgeschrieben werden diese
Gleichungen zu
dc i
dt (t) = (Xi ◦ ϕ −1 )(c 1 (t), . . . , c n (t)) ,
und das ist bei gegebenem Vektorfeld X ein (autonomes) System gewöhnlicher
Differentialgleichungen für die Funktionen c 1 , . . . , c n . Der folgende Satz fasst die
wesentlichen Aussagen über Existenz, Eindeutigkeit und differenzierbare Abhängigkeit
von Anfangswerten für Lösungen solcher Systeme in geometrischer Einkleidung
zusammen. Ein Beweis findet sich etwa in Serge Lang’s Fundamentals of Differential
Geometry.
Satz 1. Sei X ein differenzierbares Vektorfeld auf M.
(a) Zu jedem Punkt p ∈ M existieren ein offenes Intervall I ⊂ R mit 0 ∈ I und
eine Integralkurve c p : I → M mit c p (0) = p.
(b) Sind c p und c ′ p Integralkurven wie in (a), dann stimmen c p und c ′ p auf dem
Durchschnitt ihrer Definitionsbereiche überein. Daher gibt es ein maximales offenes
Intervall I p ⊆ R mit der Eigenschaft, dass auf I p eine Integralkurve c p mit c p (0) = p
existiert.
(c) Die Menge U = ⋃ p∈M I p × {p} ist eine offene Teilmenge von R × M. Die
durch
φ(t, p) = c p (t)
definierte Abbildung φ : U → M ist differenzierbar.
(d) Es gilt (s + t, p) ∈ U genau dann, wenn (t, p) ∈ U und (s, φ(t, p)) ∈ U ist. Ist
das der Fall, dann gilt
φ(s, φ(t, p)) = φ(s + t, p) . (7.5.2)
Das Bild c p (I p ) heißt der Orbit oder die Bahn des Punktes p. Die Abbildung φ
heißt der Fluss des Vektorfeldes X. Die definierenden Eigenschaften des Flusses
sind also φ(0, p) = p und 1
d
dt∣ φ(t, p) = X(φ(t 0 , p)) (7.5.3)
t0
für alle (t, p) ∈ U, wobei die linke Seite dieser Gleichung den Tangentialvektor
der Kurve c p = φ(·, p) : t ↦→ φ(t, p) an der Stelle t 0 bezeichnet. Für Funktionen
f ∈ C ∞ (M) bedeutet das nach Abschnitt 4.4
d
f(φ(t, p)) = (Xf)(φ(t, p)) . (7.5.4)
dt
1 Die symbolische Schreibweise (d/dt)c oder dc/dt für den Tangentialvektor einer
Kurve c, die wir in (7.5.3) verwenden, ist verbreitet, verträgt sich aber schlecht
mit unserer Notation: Es handelt sich nicht um die Anwendung einer Derivation
(d/dt) t0 auf eine reellwertige Funktion.
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