DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

13.3. Kriterium für die Kongruenz isometrischer Flächen. Seien M und
¯M orientierte zusammenhängende Flächen im R 3 . Für Punkte p 0 und ¯p 0 ∈ R 3
betrachten wir wie in Abschnitt 13.2 die Funktion
ϱ(p) = 1 2 ‖r(p)‖2 = 1 2 ‖p − p 0‖ 2
auf M, und entsprechend auf ¯M
¯ϱ(¯p) = 1 2 ‖¯r(¯p)‖2 = 1 2 ‖¯p − ¯p 0‖ 2 .
Satz. Sei f : M → ¯M eine Isometrie mit der Eigenschaft ¯ϱ ◦ f = ϱ. Für die
Gaußabbildung n von M gelte 〈 r(p), n(p) 〉 ≠ 0 in jedem Punkt p ∈ M. Dann existiert
eine euklidische Bewegung φ des R 3 mit φ| M = f.
Beweis. Nach Satz 11.9 genügt es, zu zeigen, dass bei geeigneter Wahl der Orientierung
von ¯M gilt f ∗ (II ¯M) = II M . Sei dazu ψ : W → U ⊆ M eine lokale Parametrisierung.
Die entsprechenden Basisfelder auf U bezeichnen wir mit ∂ i , die Komponenten
der Fundamentalformen von M mit g ij und h ij , und die Christoffelsymbole
mit Γ ij k . Für ¯M verwenden wir die lokale Parametrisierung ¯ψ = f ◦ ψ : W → f(U)
⊆ ¯M, und bezeichnen die entsprechenden Größen mit ¯∂ i , ḡ ij , ¯h ij und ¯Γ ij k . Da f
eine Isometrie ist, gilt
ḡ ij ◦ f = g ij
¯Γ ij k ◦ f = Γ ij
k
¯K ◦ f = K.
Außerdem gilt für Funktionen ϕ ∈ C ∞ (f(U)) offenbar ( ¯∂ i ϕ) ◦ f = ∂ i (ϕ ◦ f). Mit
den Abkürzungen ˜ϱ = ¯ϱ ◦ f, ˜g ij = ḡ ij ◦ f etc. liefert Gleichung (6) aus 13.2
Mit ρ = ˜ρ folgt daraus
2ϱ = g ij ∂ i ϱ ∂ j ϱ + 〈r, n〉 2
2˜ϱ = g ij ∂ i ˜ϱ ∂ j ˜ϱ + 〈˜r, ñ〉 2 .
〈 r(p), n(p) 〉 = ± 〈 ˜r(p), ñ(p) 〉
an jeder Stelle p ∈ M. Nach Voraussetzung sind beide Seiten dieser Gleichung von
Null verschieden. Ihr Quotient 〈r, n〉/〈˜r, ñ〉 ist eine stetige Funktion auf M, die nur
die Werte 1 und −1 annimmt, also konstant sein muss, da M zusammenhängend
ist. Indem man nötigenfalls die Orientierung von ¯M ändert, kann man annehmen,
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