DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

und insgesamt
P ′ − P = ∑ m 2
( 1
)
(P i − P i−1 ) = m 2 O
i=1 m 3 ,
und der Grenzübergang m → ∞ liefert P ′ − P = 0.
16.7. Affine Diffeomorphismen. Seien (M, ∇) und (M ′ , ∇ ′ ) Mannigfaltigkeiten
mit Zusammenhängen. Ein Diffeomorphismus ψ : M → M ′ heißt ein affiner Diffeomorphismus,
wenn für alle Vektorfelder X, Y ∈ V(M) gilt
ψ ∗ (∇ X Y ) = ∇ ′ ψ ∗X ψ ∗Y. (16.7.1)
Dabei ist ψ ∗ X das Vektorfeld ψ ∗ X = (T ψ) ◦ X ◦ ψ −1 auf M ′ . Affine Diffeomorphismen
von (M, ∇) auf sich selbst bezeichnet man auch als affine Transformationen.
Mit Zusammenhängen versehene Mannigfaltigkeiten heißen affin diffeomorph, wenn
es einen affinen Diffeomorphismus zwischen ihnen gibt.
Bemerkungen. (a) Affine Diffeomorphie ist offenbar eine Äquivalenzrelation. Sie
ist der natürliche Isomorphiebegriff für Mannigfaltigkeiten, die mit einem Zusammenhang
ausgestattet sind.
(b) Die affinen Transformationen des mit dem Standardzusammenhang ∇ versehenen
Raumes R n sind genau die Abbildungen der Gestalt x ↦→ Ax + b mit einer
Matrix A ∈ GL(n, R) und mit b ∈ R n . Setzt man nämlich in (16.7.1) für X und
Y die Standardbasisfelder ∂ i , ∂ j des R n ein und beachtet ∇ ∂i ∂ j = 0, dann ergibt
sich, dass die zweiten partiellen Ableitungen aller Komponentenfunktionen von ψ
verschwinden. Der Taylorsche Satz ergibt dann die Behauptung.
(c) Sei ψ : M → M ′ ein Diffeomorphismus. Ist (ϕ, U) eine Karte von M, dann ist
(ϕ◦ψ −1 , ψ(U)) eine Karte von M ′ . Seien Γ ij k ∈ C ∞ (U) die Christoffelsymbole von
∇, und seien Γ ′ ij k ∈ C ∞ (ψ(U)) diejenigen von ∇ ′ bezüglich dieser Karten. Dann
gilt: ψ ist ein affiner Diffeomorphismus genau dann, wenn für alle solchen Karten
gilt
Γ ij k = Γ ′ ij k ◦ ψ. (16.7.2)
Der Beweis ergibt sich aus der Definition der Christoffelsymbole, wenn man beachtet,
dass für die Basisfelder der Karten ψ ∗ ∂ i = ∂ ′ i ist.
(d) Ist ψ : M → M ′ ein affiner Diffeomorphismus, dann gilt für die Krümmungstensoren
R von ∇ und R ′ von ∇ ′
ψ ∗ (R(X, Y )Z) = R ′ (ψ ∗ X, ψ ∗ Y )ψ ∗ Z. (16.7.3)
Das ergibt sich sofort aus der Definition von R, Gleichung (16.7.1) und der Beziehung
ψ ∗ [X, Y ] = [ψ ∗ X, ψ ∗ Y ] für die Lieklammer (Aufgabe 5 in Kapitel 7).
16.8. Flache torsionsfreie Zusammenhänge. Der Standardzusammenhang ∇
des R n ist flach und torsionsfrei, erfüllt also R = 0 und T = 0. Wir zeigen nun,
163