DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Korollar. Ist G eine Liegruppe, deren Liealgebra triviales Zentrum C(G) = {0}
hat, dann hat jede biinvariante Riemannsche Metrik auf G positive Riccikrümmung
Ric > 0. Zusammenhängende Liegruppen mit C(G) = {0}, auf denen eine biinvariante
Riemannsche Metrik existiert, sind kompakt.
Beweis. Die erste Behauptung ergibt sich sofort aus Teil (e) des vorhergehenden
Satzes. Die zweite ergibt sich als Folgerung aus dem Satz von Bonnet–Myers. Sei
dazu G zusammenhängend mit C(G) = {0}, und sei g eine biinvariante Riemannsche
Metrik. Dann ist jedenfalls Ric > 0. Da die Einheitssphäre in T e G kompakt ist,
gibt es eine positive Zahl κ dergestalt, dass für alle Einheitsvektoren X ∈ T e G gilt
Ric(X, X) ≥ (n−1)κ. Da mit der Metrik g auch ihr Riccitensor invariant unter
allen Linkstranslationen L a ist, gilt die Beziehung Ric(X, X) ≥ (n−1)κ dann auch
für alle Einheitsvektoren X ∈ T a G:
Ric(X, X) = Ric ( (T L a −1)X, (T L a −1)X ) ≥ (n−1)κ.
Damit sind die Voraussetzungen des Satzes von Bonnet und Myers erfüllt, und G
ist kompakt. QED
Anmerkung. Die Tatsache, dass biinvariante Riemannsche Metriken auf Liegruppen
Schnittkrümmung K ≥ 0 gaben, ist deshalb von Interesse, weil nur relativ
wenige Beispiele von Mannigfaltigkeiten bekannt sind, die eine Metrik mit K ≥ 0
zulassen. Verschärft man die Bedingung K ≥ 0 weiter zu 1/4 < K ≤ 1, dann
bleiben kaum noch Beispiele übrig: Der Sphärensatz von Rauch, Berger und Klingenberg
besagt, dass einfach zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten
M mit
1/4 < K ≤ 1
zur Sphäre homömorph sind. Beispiele–etwa eine kanonische Metrik des komplex
projektiven Raumes–zeigen, dass diese Krümmungsschranken optimal sind. Es ist
aber nicht bekannt, ob M unter den genannten Voraussetzungen sogar diffeomorph
zur Sphäre mit ihrer üblichen differenzierbaren Struktur sein muss (vergleiche Bemerkung
1.14(b)). Der differenzierbare Sphärensatz von Gromoll, Calabi, Ruh und
anderen besagt, dass das der Fall ist, wenn man die “Pinchingbedingung” an die
Schnittkrümmung verschärft zur δ < K ≤ 1 mit δ = 0.7.
Aufgaben
1. Zweite Variation. Sei (M,g) eine Mannigfaltigkeit nichtpositiver Krümmung,
und seien c 1 , c 2 : [0, 1] → M zwei Geodätische mit c 1 (0) = c 2 (0) und c 1 (1) = c 2 (1).
Zeigen Sie mit Hilfe der zweiten Variationsformel: Sind c 0 und c 1 differenzierbar
homotop (mit festen Endpunkten, siehe Abschnitt 16.5), dann ist c 0 = c 1 .
2. Bonnet–Myers. Geben Sie ein Beispiel einer zusammenhängenden Riemannschen
Mannigfaltigkeit (M, g) mit folgenden Eigenschaften: Je zwei Punkte in M
220