DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

konjugierten Punkte hat, folgt ˜J = 0, und insbesondere ˜J(b) = 0. Da die Y i linear
unabhängig sind, ist dann a 1 = · · · = a n = 0, und (a) ist bewiesen.
(b) Es gilt 〈∇ t J i , J k 〉 − 〈J i , ∇ t J k 〉 = 0.
Wir bezeichnen mit f(t) die linke Seite dieser Gleichung. Mit Hilfe der Jacobigleichung
ergibt sich f ′ (t) = 0. Da ausserdem f(0) = 0 ist, folgt f = 0, also die
Behauptung.
Sei nun V ∈ V ⊥ c . Dann gilt V (t) = V i (t)J i (t) mit gewissen stückweise differenzierbaren
Komponentenfunktionen V i auf (a, b]. Diese sind im Punkt a zunächst nicht
definiert.
(c) Sei J das Jacobifeld längs c mit Randwerten J(a) = 0 und J(b) = V (b). Dann
gilt J(t) = V i (b)J i (t) für alle t ∈ [a, b].
In der Tat ist die Differenz beider Seiten ein Jacobifeld, das für t = a und t = b
verschwindet. Da c keine konjugierten Punkte hat, verschwindet es auf [a, b].
(d) Ist V ∈ Vc
⊥ ein Vektorfeld mit V (a) = 0, dann können die Komponentenfunktionen
V i : (a, b] → R zu stückweise differenzierbaren Funktionen auf [a, b] fortgesetzt
werden.
Beweis. Für Werte t ∈ (a, b] ist V (t) = V i (t)J i (t), also
P c a,tV (t) = V i (t)P c a,tJ i (t).
Mit der Taylorformel (15.3.1) folgt daraus
V (a) + (t − a)∇ t V (a) + O((t − a) 2 )
und wegen V (a) = J i (a) = 0 ergibt sich
= V i (t) ( J i (a) + (t − a)∇ t J i (a) + O((t − a) 2 ) ) ,
∇ t V (a) + O(t − a) = V i (t) ( ∇ t J i (a) + O(t − a) ) . (∗ t )
Nun sind ∇ t J 1 (a), . . . , ∇ t J n (a) linear unabhängig, da andernfalls eine nichttriviale
Linearkombination ˜J(t) = a i J i (t) die Bedingungen ˜J(a) = 0 und ∇ t ˜J(a) = 0
erfüllen würde, im Gegensatz zu Aussage (a). Gleichung (∗ t ) ist daher ein lineares
Gleichungssystem der Form V i (t)a k i (t) = bk (t) mit Funktionen a k i und b k i , die in
einer Umgebung von a differenzierbar sind, wobei die Matrix ( a k i (a)) invertierbar
ist. Behauptung (d) folgt, indem man dieses System nach den V i (t) auflöst und
V i (0) als die Lösung von (∗ 0 ) definiert. QED
Wir kommen nun zum eigentlichen Beweis des Indexlemmas. Mit
∇ t V = (V i ) ′ J i + V i ∇ t J i =: A + B
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