DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

(b) Gilt K ≥ δ für eine Zahl δ ∈ R, und hat die Geodätische γ : [0, 1] → M,
γ(t) = exp p (tX) keine zu p = γ(0) konjugierten Punkte, dann gilt
∥
∥(T X exp p )w ∥ ∥ ≤ s δ(‖X‖)
‖X‖
‖w‖ . (24.2.3)
Nach Abschnitt 18.3 gilt für radiale Vektoren w ∈ T X T p M, dass ∥ (TX exp p )w ∥ =
‖w‖, und nach dem Gauß–Lemma werden die radiale und die dazu orthogonale Richtung
in T X T p M durch T X exp p in zueinander orthogonale Richtungen in T exp(X) M
abgebildet. Daher ist in Satz 1 die Einschränkung auf Vektoren orthogonal zur
radialen Richtung nicht gravierend.—Wir haben in (a) der Einfachheit halber vorausgesetzt,
dass die Krümmungsschranke K ≤ ∆ überall gilt. Der Beweis zeigt aber,
dass die Forderung K( ˙γ(t), Y ) ≤ ∆ für t ∈ [0, 1] und alle Y ∈ T ˙γ(t) M ausreichend
ist. Entsprechendes gilt in (b).
Beweis von Satz 1. Nach dem Korollar in 23.1 ist (T X exp p )w = J(1), wobei J das
Jacobifeld längs γ(t) = exp(tX) bezeichnet mit J(0) = 0 und ∇ t J(0) = ι −1 X
w. Zum
Beweis von (a) seien (M ∗ , g ∗ ) eine vollständige n–dimensionale Mannigfaltigkeit
konstanter Schnittkrümmung ∆, p ∗ ∈ M und A : T p M → T p ∗M ∗ eine lineare
Isometrie. Sei X ∗ = AX und sei γ∗ : [0, 1] → M ∗ die Geodätische γ ∗ (t) = exp(tX ∗ ).
Schließlich sei J ∗ das Jacobifeld längs c ∗ mit J ∗ (0) = 0 und ∇ t J ∗ (0) = A(∇ t J(0)).
Dann gilt nach dem Rauchschen Satz und den Formeln für Jacobifelder in Räumen
konstanter Krümmung aus Abschnitt 23.2
‖J(1)‖ ≥ ‖J ∗ (1)‖
= s ∆(‖ ˙γ ∗ ‖)
‖ ˙γ ∗ ‖(∇ t J ∗ )(0)‖
‖
= s ∆(‖X‖)
‖w‖ ,
‖X‖
wie behauptet. Der Beweis von (b) verläuft analog. QED
Korollar 1. (a) Ist K ≤ ∆ mit einer positiven Zahl ∆, dann haben Geodätische
der Länge < π/ √ ∆ keine konjugierten Punkte.
(b) Ist K ≥ δ mit einer positiven Zahl δ, dann haben alle Geodätischen der Länge
≥ π/ √ δ konjugierte Punkte.
(c) Ist K ≤ 0, dann hat keine Geodätische konjugierte Punkte.
Das Korollar folgt sofort aus Satz 1. Teil (c) ist identisch mit der Proposition in
Abschnitt 23.3, für die dort ein kurzer Beweis gegeben wurde. Da auf jeder kompakten
Teilmenge von M eine Schranke K ≤ ∆ existiert, folgt aus (a) insbesondere,
dass eine Geodätische c auf jedem kompakten Intervall [a, b] höchstens endlich viele
zu c(a) konjugierte Punkte enthält.
248