DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

und im Grenzwert für ε → 0 folgt L(c) ≥ ‖X‖ = L(γ), wie behauptet.
L(c) = ‖X‖, dann muss in (∗) die Gleichheit gelten, und daher insbesondere
Gilt
(T exp p )˜c(s)
(
u(s)ι˜c(s) X ′ (s) ) = 0.
Aus der Bedingung an die Ableitung (T exp p )˜c(s) und wegen u(s) > 0 ergibt sich,
dass X ′ (s) = 0 ist für alle s. Also ist X(s) = const = X, und damit
˜c(s) = u(s)X.
Die Gleichheit in (∗) ergibt weiter, dass u ′ (s) = |u ′ (s)| ist. Daher ist u ′ ≥ 0, wie
behauptet. QED
Satz 2. Sei γ : [a, b] → M eine Geodätische mit Anfangspunkt p = γ(a) und
Endpunkt q = γ(b). Gilt L(γ) < inj(p), dann ist
L(γ) = d(p, q).
Jede stückweise differenzierbare Kurve c : [α, β] → M mit c(α) = p und c(β) = q
und L(c) = d(p, q) entsteht aus γ durch monotone Umparametrisierung. Es ist also
c(s) = γ(u(s)) für eine stückweise differenzierbare Funktion u : [α, β] → [a, b] mit
u ′ ≥ 0.
Für Tangentialvektoren X ∈ T p M mit Norm ‖X‖ < inj(p) gilt also
d(exp p X, p) = ‖X‖ . (18.4.1)
Insbesondere folgt (Aufgabe 2), dass für Radien r < inj(p) die Abstandssphären
S(p, r) := {q ∈ M | d(p, q) = r} (18.4.2)
differenzierbare Untermannigfaltigkeiten von M sind, und zwar diffeomorphe Bilder
der Sphären
S p (0, r) := {X ∈ T p M | ‖X‖ = r} (18.4.3)
um den Ursprung im Tangentialraum T p M unter exp p .
Kurven γ : [a, b] → M, deren Länge mit dem Abstand ihrer Endpunkte übereinstimmt,
für die also L(γ) = d(γ(a), γ(b)) ist, nennt man Kürzeste. Der Satz besagt
also: Genügend kurze Abschnitte von Geodätischen sind Kürzeste, und zwar bis
auf monotone Umparametrisierungen die einzigen kürzesten Verbindungen ihrer
Endpunkte.
Beweis. Man kann annehmen, dass [a, b] = [0, 1] ist. Dann ist γ(t) = exp(tX) mit
dem Vektor X = ˙γ(0), dessen Norm ‖X‖ = L(γ) < inj(p) erfüllt. Sei c : [α, β] → M
stückweise differenzierbar mit c(α) = p und c(β) = q, und sei ϱ eine Zahl mit
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