DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

können durch eine Geodätische verbunden werden, die Schnittkrümmung ist konstant
K = 1, und der Durchmesser ist unendlich. Warum widersprechen diese
Eigenschaften nicht der Bemerkung (ii) zum Satz von Bonnet und Myers? Hinweis:
Umwickeln Sie eine Umgebung des Äquators einer Sphäre mit einem unendlich langen
Streifen.
3. Killingfelder. Sei X ein differenzierbares Vektorfeld auf einer Riemannschen
Mannigfaltigkeit (M, g). Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
(a) X ist ein Killingfeld, also L X g = 0.
(b) Das Feld von Endomorphismen ∇X : T p M → T p M, Y ↦→ ∇ Y X ist in jedem
Punkt p ∈ M antiselbstadjungiert bezüglich g(p), also
g(∇ Y X, Z) = −g(Y, ∇ Z X).
(c) In lokalen Koordinaten gilt X i,j = −X j,i .
4. Satz von Clairaut. (a) Sei X ein Killingfeld auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
(M, g), und sei c eine Geodätische in M. Zeigen Sie, dass das Skalarprodukt
t ↦→ g(X(c(t)), ċ(t)) konstant ist.
(b) Sei nun speziell (M, g) eine Drehfläche im R 3 , versehen mit ihrer ersten Fundamentalform.
Für p ∈ M sei r(p) der Radius des Breitenkreises durch den Punkt
p. Sei c eine Geodätische in M, und sei θ(t) der Winkel zwischen ċ(t) und dem
Breitenkreis durch c(t). Zeigen Sie, dass die Funktion t ↦→ r(c(t)) θ(t) konstant ist
(Satz von Clairaut). Hinweis: Breitenkreise sind tangentiell an ein Killingfeld.
5. Linksinvariante Metriken. Zeigen Sie, dass jede linksinvariante Riemannsche
Metrik auf einer Liegruppe vollständig ist.
6. Adjungierte Darstellung. Sei G eine Liegruppe. Zeigen Sie, dass die Ableitung
der Abbildung Ad : G → GL(T e G) im neutralen Element gegeben ist durch
T e Ad : T e G → T e GL(T e G) ∼ = End(T e G)
(T e Ad)X = ad (X) ∈ End(T e G).
Dabei ist der Vektorraumendomorphismus ad (X) definiert durch
ad (X)Y = [X, Y ]
für X, Y ∈ T e G mit der in 17.8 eingeführten Lieklammer auf T e G ∼ = G.
7. Liegruppen. Sei G eine Liegruppe mit einer linksinvarianten Riemannschen
Metrik g. Zeigen Sie: Ein differenzierbarer Gruppenautomorphismus von G ist
genau dann eine Isometrie von g, wenn seine Ableitung im neutralen Element eine
lineare Isometrie (d.h. orthogonale Abbildung) von T e G bezüglich des Skalarproduktes
g(e) ist.
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