DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

ist. Mit dieser Deutung ergibt sich der Existenz– und Eindeutigkeitssatz 17.2 auch
als Folgerung von Satz 1 in Abschnitt 7.5 über Integralkurven.
17.3. Vorbetrachtung über T T M. Jede Karte (ϕ, U) für M induziert nach
Abschnitt 4.6 eine Karte ¯ϕ : T M| U → ϕ(U) × R n mit
(
¯ϕ X i
∣
∂ ∣∣∣p )
∂x i = (x 1 , . . . , x n , X 1 , . . . , X n ),
wobei x i = ϕ i (p) ist. Unter Verwendung der Projektion π : T M → M wird das zu
¯ϕ(X) = (ϕ 1 ◦π(X), . . . , ϕ n ◦π(X), dx 1 (X), . . . , dx n (X)).
Sind ∂/∂x i und ∂/∂X i die Basisfelder einer solchen Karte ( ¯ϕ, T M| U ), dann lassen
sich Elemente des zweiten Tangentialbündels T T M = T (T M) schreiben als Linearkombination
n∑
i=1
a i
∂
∂x i ∣ ∣∣∣X
+
n∑
i=1
A i
∂
∂X i ∣ ∣∣∣X
∈ T X (T M),
und man erhält eine Karte ( ¯ϕ, T T M| U ) für T T M, die diesen Vektor abbildet auf
(x 1 , . . . , x n , X 1 , . . . , X n , a 1 , . . . , a n , A 1 , . . . , A n ).
Zu beachten ist, dass das Symbol ∂/∂x i nun zwei verschiedene Vektorfelder bezeichnet,
eines auf U und eines auf T M| U . Ist c : I → M eine differenzierbare
Kurve mit c(I) ⊆ U, dann ist ċ : I → T M eine differenzierbare Kurve in T M. Deren
Tangentialvektorfeld ¨c : I → T T M beschreiben wir nun in lokalen Koordinaten.
Lemma. Sei C ∈ C ∞ (I, T M) eine differenzierbare Kurve in T M mit C(I) ⊆ T M| U ,
so dass
n∑
∣
C(t) = Y i ∂ ∣∣∣c(t)
(t)
∂x i
i=1
mit Komponenten Y i ∈ C ∞ (I) und der nach M projizierten Kurve c(t) = π(C(t)).
Dann gilt
n∑
C(t) ˙ =
i=1
d(ϕ i ◦c)
(t)
dt
∣
∂ ∣∣∣C(t)
∂x i + dY i
dt (t)
∂
∂X i ∣
∣∣∣C(t)
(17.3.1)
Ist speziell C = ċ das Tangentialvektorfeld einer Kurve c : I → U ⊆ M, dann gilt
mit c i := ϕ i ◦ c
¨c(t) =
n∑
i=1
dc i
dt (t)
∣
∂
∂x
∣∣∣ċ(t) i + d2 c i
dt 2 (t)
∂
∂X i ∣
∣∣∣ċ(t)
. (17.3.2)
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