DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Zusammenfassend kann man sagen, dass sich Längen, Winkel und Abstände auf M
allein aus der Riemannschen Metrik g bestimmen lassen. Ihre Definitionen verallgemeinern
sich deshalb unmittelbar auf beliebige Riemannsche Mannigfaltigkeiten.
10.5. Riemannsche Mannigfaltigkeiten als metrische Räume. Kurvenlängen
L(c) und die Abstandsfunktion d : M × M → R sind auf beliebigen Riemannschen
Mannigfaltigkeiten (M, g) ebenso definiert wie im Spezialfall der Flächen
im R 3 , also durch die Beziehungen (10.4.1) und (10.4.2). Der Ball B(p, r) um einen
Punkt p vom Radius r > 0 ist definiert als die Menge aller Punkte in M, deren
Abstand von p kleiner als r ist, also
B(p, r) = { q ∈ M | d(p, q) < r } .
Satz. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, und sei d die induzierte Abstandsfunktion.
Dann ist (M, d) ein metrischer Raum. Die durch d induzierte
Topologie stimmt mit der Mannigfaltigkeitstopologie von M überein.
Beweis. Die Symmetrie d(p, q) = d(q, p) und die Dreiecksungleichung sind offensichtlich.
Wir zeigen, dass d(p, q) = 0 nur für p = q gilt. Seien dazu p ≠ q ∈ M.
Sei (ϕ, U) Karte an p mit ϕ(p) = 0. Wir wählen r > 0 so klein, dass q nicht im
Urbild U r := ϕ −1 (B(0, r)) des euklidischen Balles B(0, r) ⊂ R n enthalten ist. Sei
˜g = ϕ ∗ g R n der Pullback (siehe 7.9) der Standardmetrik von R n auf U, also
( ∂
˜g ij = ˜g
∂x i , ∂
)
∂x j = δ ij
bezüglich der Karte ϕ. Die Teilmenge
A r = { X ∈ T M | π(X) ∈ Ūr und ˜g(X, X) = 1 }
des Tangentialbündels von M ist kompakt. Daher existiert eine Zahl λ > 0, so dass
für alle X ∈ A r gilt
g(X, X) ≥ λ = λ ˜g(X, X) .
Da g und ˜g bilinear sind, folgt daraus
g(X, X) ≥ λ ˜g(X, X)
für alle X ∈ T M| Ūr
. Sei nun c : [a, b] → M eine stückweise differenzierbare Kurve
mit c(a) = p und c(b) = q. Da q nicht in U r enthalten ist, existiert ein t 0 ∈ [a, b]
dergestalt, dass ϕ(c(t 0 )) Randpunkt des Balles B(0, r) ist. Damit folgt
∫ b √
L(c) = g(ċ, ċ)
a
≥ √ λ
= √ λ
= √ λ
∫ t0
a
∫ t0
a
∫ t0
a
≥ √ λ r .
√˜g(ċ, ċ)
√
gR n((T ϕ)ċ, (T ϕ)ċ)
√
gR n((ϕ ◦ c)˙, (ϕ ◦ c)˙)
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(∗)