DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Da mit A auch ∇A ein Tensorfeld ist, kann man höhere kovariante Ableitungen
bilden. So ist etwa die zweite kovariante Ableitung ∇ 2 A = ∇(∇A) eines (r, s)–
Tensorfeldes A ein (r + 2, s)–Tensorfeld.
14.7. Lokale Koordinaten. Seien ∂ i = ∂/∂x i die Basisfelder einer Karte und dx i
die dazu dualen Eins–Formen. Nach Definition der Christoffelsymbole in (14.4.1)
haben wir zunächst
∇ ∂i ∂ j = Γ ij k ∂ k . (14.7.1)
Durch kovariante Differentiation der Gleichung dx j (∂ k ) = δ j k
(∇ ∂i dx j )(∂ k ) = −dx j (∇ ∂i ∂ k ) = −Γ j ik , und folglich
ergibt sich daraus
∇ ∂i dx j = −Γ ik j dx k . (14.7.2)
Die Beziehungen (14.7.1) und (14.7.2) ermöglichen es, mit Hilfe der Produktregel
für das Tensorprodukt die kovariante Ableitung ∇ ∂i A für ein beliebiges Tensorfeld
j
A = A 1...j s
i1...i r
dx i1 ⊗ . . . ⊗ dx ir ⊗ ∂ j1 ⊗ . . . ⊗ ∂ js
zu berechnen. Für die Komponenten von ∇A bezüglich lokaler Koordinaten verwenden
wir die Schreibweise A i1...i r
j 1...j s ,k , so dass
A i1...i r
j 1...j s ,k = (∇A) i1...i rk j1...js
= (∇A)(∂ i1 , . . . , ∂ ir , ∂ k , dx j1 , . . . , dx js )
= (∇ ∂k A)(∂ i1 , . . . , ∂ ir , dx j1 , . . . , dx js )
= ∂ k (A(∂ i1 , . . . , ∂ ir , dx j1 , . . . , dx js ))
r∑
− A(∂ i1 , . . . , ∇ ∂k ∂ iϱ , . . . , ∂ ir , dx j1 , . . . , dx js )
−
ϱ=1
s∑
A(∂ i1 , . . . , ∂ ir , dx j1 , . . . , ∇ ∂k dx jσ , . . . , dx js ).
σ=1
Mit (14.7.1) und (14.7.2) ergibt sich als Resultat
für die Komponenten von
j
A 1...j s j
i1...i r ,k = ∂ k (A 1...j s i1...i r
)
r∑
− Γ l j kiϱ A 1...j s
i1...i ϱ−1 l i ϱ+1...i r
ϱ=1
(14.7.3)
s∑
j
+ Γ σ j kl A 1...j σ−1 l j σ+1...j s i1...i r
σ=1
∇A = A i1...i r
j 1...j s ,k dx i1 ⊗ . . . ⊗ dx ir ⊗ dx k ⊗ ∂ j1 ⊗ . . . ⊗ ∂ js .
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