DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Speziell für das Vektorfeld X = ċ mit den Komponenten X j = dc j /dt folgt
∇ċ
( d 2
dt (t) = Π c j
dt 2 (t)
∣
∂ ∣∣∣c(t) )
∂x j .
Die kovariante Beschleunigung von c ist also die orthogonale Projektion der euklidischen
Beschleunigung auf T M. Daher ist die Kurve c eine Geodätische in M
genau dann, wenn ihre euklidische Beschleunigung senkrecht auf M steht. Man
erhält als Folgerung: Bewegt sich ein Massenpunkt “kräftefrei”—also frei von kovarianter
Beschleunigung—auf einer Fläche M ⊆ R 3 , dann ist seine Bahnkurve eine
Geodätische der Fläche.
Entsprechend ergibt sich in der allgemeineren Situation von Untermannigfaltigkeiten
M ⊆ N beliebiger Riemannscher Mannigfaltigkeiten
∇ M ċ
dt
= Π ◦ ∇N ċ
dt . (15.6.1)
Die kovariante Beschleunigung einer Kurve in M ergibt sich also durch orthogonale
Projektion ihrer kovarianten Beschleunigung als Kurve in N.
15.7. Parallelverschiebung auf Flächen. Sei M ⊆ R 3 eine Fläche im R 3 ,
versehen mit der ersten Fundamentalform und ihrem Levi–Civita–Zusammenhang.
Die Parallelverschiebung längs einer Geodätischen c : I → M lässt sich wie folgt
beschreiben. Das Tangentialvektorfeld ċ ist parallel längs c. Ist weiter X ein
paralleles Vektorfeld längs c, dann ist nach Proposition 15.5 das Skalarprodukt
g(X(t), ċ(t)) konstant. Folglich bleibt die zu ċ senkrechte Richtung unter Parallelverschiebung
erhalten. Da auch die Länge von Vektoren erhalten bleibt und die
Tangentialräume Tċ(t) M zweidimensional sind, ist dadurch die Parallelverschiebung
längs c eindeutig festgelegt. Die Parallelverschiebung längs beliebiger, nicht notwendig
geodätischer Kurven, lässt sich daraus geometrisch konstruieren, indem man
sie durch geodätische Polygonzüge approximiert und zu einem Grenzwert übergeht.
Wir betrachten als Beispiel die Parallelverschiebung auf der Einheitssphäre S 2 im
R 3 . Sei ∇ der Levi–Civita–Zusammenhang der ersten Fundamentalform von S 2 .
Die nach der Bogenlänge parametrisierten Großkreise sind offenbar Geodätische.
Verschiebt man einen Vektor vom Nordpol (0, 0, 1) längs eines Meridians zum Äquator
x 3 = 0, dann ein Stück weit entlang des Äquators, und schließlich längs eines
zweiten Meridians zurück zum Nordpol, so bildet der parallelverschobene Vektor
mit dem ursprünglichen einen Winkel, der der auf dem Äquator zurückgelegten Distanz
proportional ist. Man sieht daran insbesondere, dass die Parallelverschiebung
längs zweier verschiedener Kurven mit demselben Anfangs- und Endpunkt im allgemeinen
verschiedene Resultate liefert. Wir werden im nächsten Kapitel sehen,
dass diese Wegabhängigkeit der Parallelverschiebung mit der Gaußkrümmung der
Sphäre zusammenhängt.
15.8. Parallelverschiebung in Vektorbündeln. Die Parallelverschiebung von
Vektoren und die von Tensoren längs Kurven in Mannigfaltigkeiten sind Spezialfälle
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