DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

definierte Funktion ϱ ∈ C ∞ (M) eine Differentialgleichung, die wir nun herleiten. Sei
dazu ψ : W → ψ(W ) = U ⊆ M eine lokale Parametrisierung. Für die entsprechenden
Basisvektorfelder ∂ i = ∂/∂w i auf U gilt dann
∂ i f =
∂(f ◦ ψ)
∂w i ◦ ψ −1 .
Lemma. Seien g ij und h ij die Komponenten der ersten und zweiten Fundamentalform
von M, K die Gaußkrümmung und sei
ϱ ,ij := ∂ i ∂ j ϱ − Γ ij k ∂ k ϱ.
Dann gilt:
(1) ∂ i r = ∂ψ
∂w i ◦ ψ−1
(2) ∂ i ϱ = 〈r, ∂ i r〉
(3) ϱ ,ij − g ij = h ij 〈r, n〉
(4)
1
det(g ij ) det(ϱ ,ij − g ij ) = K〈r, n〉 2
(5) r = g ij ∂ i ϱ ∂ j r + 〈r, n〉n
(6) 2ϱ = g ij ∂ i ϱ ∂ j ϱ + 〈r, n〉 2
Dabei bezeichnet wie üblich g ij die Komponenten der zu (g ij ) inversen Matrix.
Der Ausdruck g ij ∂ i ϱ ∂ j ϱ kann parameterunabhängig als Norm ‖dϱ‖ der Eins–Form
dϱ gedeutet werden. Man vergleiche dazu Aufgabe 1. Die hier etwas unmotiviert
auftretenden ϱ ,ij sind die Komponenten eines Tensors, der kovarianten Ableitung
∇dϱ, die wir im nächsten Kapitel einführen werden.
Beweis. (1) und (2) sind offensichtlich nach Definition von ∂ i . (4) folgt aus (3) und
Abschnitt 12.4, und (6) ergibt sich sofort aus (5). Zum Beweis von (3) differenzieren
wir (2) und wenden die Ableitungsgleichung (11.8.1) von Gauß an:
∂ i ∂ j ϱ = ∂ i 〈r, ∂ j r〉
= 〈∂ i r, ∂ j r〉 + 〈r, ∂ i ∂ j r〉
= g ij + 〈r, Γ ij k ∂ k r + h ij n〉
= g ij + Γ ij k ∂ k ϱ + h ij 〈r, n〉.
Es bleibt (5) zu beweisen. Dazu verifiziert man, dass das Skalarprodukt beider
Seiten der behaupteten Identität mit ∂ 1 r, ∂ 2 r und n jeweils dasselbe Resultat liefert.
Da diese Vektoren eine Basis des R 3 bilden, folgt die Behauptung. QED
Korollar. (Darbouxsche Gleichung) Mit ϱ ,ij := ∂ i ∂ j ϱ − Γ ij k ∂ k ϱ gilt
1
det(g ij ) det(ϱ ,ij − g ij ) = K(2ϱ − g ij ∂ i ϱ ∂ j ϱ).
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