Weiterentwicklung der Grundschule, Bildungsstandards konkret

Schulleiterdienstbesprechungen
des MBWWK
2013

Weiterentwicklung der
Grundschule
Bildungsstandards konkret-
Aufbau von mathematischen
Grundvorstellungen

Überblick
1. Grundlagen
2. Grundvorstellungen aufbauen und
Rechenproblemen vorbeugen
3. Fazit und Konsequenzen
3

Überblick
1. Grundlagen
• Bildungsstandards Mathematik
• Teilrahmenplan Mathematik
• Orientierungsrahmen Schulqualität (ORS)
• Grundschulordnung
• IQB-Studie (Mathematik)/ Vera-Ergebnisse
der eigenen Schule
4

Bildungsstandards Mathematik
Aussagen:
• Das Mathematiklernen in der Grundschule darf nicht
auf Aneignung von Kenntnissen und Fertigkeiten
reduziert werden. Das Ziel ist die Entwicklung eines
gesicherten Verständnisses mathematischer Inhalte.
• Die Entwicklung mathematischer Grundbildung hängt
nicht nur davon ab, welche Inhalte unterrichtet
werden, sondern mindestens im gleichen Maße
davon, wie sie unterrichtet wurden.
(Kultusministeriumskonferenz (2004, S.6). Bildungsstandards im Fach
Mathematik für den Primarbereich. )
5

Bildungsstandards Mathematik
Allgemeine mathematische Kompetenzen:
• Problemlösen
• Kommunizieren
• Argumentieren
• Modellieren
• Darstellen
Kultusministeriumskonferenz (2004). Bildungsstandards im Fach Mathematik für den
Primarbereich
. 6

Bildungsstandards Mathematik
Standards für inhaltsbezogene mathematische
Kompetenzen (Zahlen und Operationen)
• den Aufbau des dezimalen Stellenwertsystems verstehen
• Zahlen bis …. darstellen und in Beziehung setzen
• sich im Zahlenraum orientieren
• die vier Grundrechenarten und ihre Zusammenhänge verstehen
• die Grundaufgaben des Kopfrechnens gedächtnismäßig
beherrschen
• Rechengesetze erkennen, erklären und benutzen
• …..
Kultusministeriumskonferenz (2004). Bildungsstandards im Fach Mathematik für den
Primarbereich.
7

Rahmenplan: Allgemeine Grundlegung
• Ziel des Grundschulunterrichts ist es, Neugier und
Lernfreude zu erhalten und das Weiterlernen
anzuregen, damit Wissens- und
Kompetenzerweiterung ermöglicht werden.
• Schwerpunkte des schulischen Lernens:
sprachliches Handeln, mathematisches Handeln ….
Rahmenplan Grundschule. Allgemeine Grundlegung (2002 , S.11f). Ministerium für Bildung,
Frauen und Jugend Rheinland-Pfalz.
8

Teilrahmenplan Mathematik
Die Beantwortung der Frage, ob eine Methode in einer
konkreten Situation angemessen ist, hängt einerseits
davon ab, ob die Methode dazu beiträgt, dem Ziel
mathematischer Grundbildung näher zu kommen
oder nicht, andererseits davon, ob die Methode dem
Fähigkeitsniveau des Kindes entspricht.
Teilrahmenplan Mathematik (2002). Ministerium für Bildung, Frauen und Jugend Rheinland-Pfalz.
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Teilrahmenplan Mathematik
Wissens- und Kompetenzentwicklung
anschlussfähiges Wissen
Zahl
• Mengen- und Zahlbegriff (natürliche Zahlen, Zahlenraum,
Zahlbeziehungen, Stellenwertdarstellung, Bündelung …)
• flexible Zähl- und Rechenstrategien
• Analogien
• Beziehungen
Algorithmus
• mathematische Operationen (z.B. halbieren, verdoppeln,
ergänzen, addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren)
Teilrahmenplan Mathematik (2002, S. 23). Ministerium für Bildung, Frauen und Jugend Rheinland-Pfalz.
10

Teilrahmenplan Mathematik
anwendungsfähiges Wissen
…verständiges Umgehen mit Zahlen,
Problemlösendes Einsetzen der Verfahren, sicheres
und flexibles Rechnen, Kennen und Nutzen von
Fachbegriffen …
Teilrahmenplan Mathematik (2002, S. 24). Ministerium für Bildung, Frauen und Jugend
Rheinland-Pfalz.
Orientierungsrahmen TRP Mathematik
Bereich Arithmetik
Teilrahmenplan Mathematik (2002, S. 35). Ministerium für Bildung, Frauen und Jugend
Rheinland-Pfalz.
11

Orientierungsrahmen
Schulqualität (ORS)
• ORS VIII. Ziele und Strategien der
schulischen Qualitätsentwicklung
• ORS IX. Unterrichtsqualität
12

ORS VIII. Ziele und Strategien der
schulischen Qualitätsentwicklung
Qualitätsentwicklung:
• schulische Konzepte zum
Kompetenzerwerb
13

ORS IX. Unterrichtsqualität
• Lernförderliches Unterrichtsklima
• Klarheit, Strukturierung
• Wirkungs- und Kompetenzorientierung
• Umgang mit Heterogenität, Differenzierung
• Schüleraktivierung, Unterstützung
• Aktivierung
• Angemessene Methodenvariation
• Konsolidierung, Lernerfolgssicherung
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Zielsetzung und Gestaltung von
Unterricht und Schulleben
§1 (2) Grundschulordnung
Die Grundschule geht in ihrer Bildungs-und
Erziehungsarbeit vom jeweiligen Entwicklungsstand
der Schülerinnen und Schüler aus. Sie
beteiligt die Schülerinnen und Schüler an der
Planung und Gestaltung des Unterrichts und des
Schullebens.
15

Zusammenwirken von Eltern und
Schule
§7(2) Grundschulordnung
Die Schule berät die Eltern in fachlichen,
pädagogischen und schulischen Fragen, bei
Erziehungs- und Lernschwierigkeiten (…).
16

Lernprozessdokumentation
§ 33 (2)
Der Lernprozess wird dokumentiert.

Gesamtstrategie der KMK zum
Bildungsmonitoring
Die Gesamtstrategie der Kultusministerkonferenz zum
Bildungsmonitoring umfasst vier konzeptionell miteinander
verbundene Bereiche:
• Internationale Schulleistungsuntersuchungen (IGLU, TIMSS)
• Zentrale Überprüfung des Erreichens der Bildungsstandards im Ländervergleich
(IQB) als Planungsinstrument zur Zielklärung der landesweiten
Schwerpunktsetzung
• Vergleichsarbeiten zur landesweiten Überprüfung der Leistungsfähigkeit einzelner
Schulen (VERA) als Planungsinstrument zur Zielklärung der eigenen schulischen
Schwerpunktsetzungen
• Gemeinsame Bildungsberichterstattung an KMK von Bund und Ländern
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Ergebnisse des IQB-Berichts GS
im Fach Mathematik
Das Ergebnis des IQB-Ländervergleichs 2011 zum Ende der
vierten Jahrgangsstufe fasst in einer globalen Mathematikskala
die Aufgaben aus allen Bereichen zusammen, stellt aber auch die
einzelnen inhaltlichen Kompetenzbereiche der Bildungsstandards
dar.
Rheinland-Pfalz liegt in der Globalskala auf Platz 8 zusammen
mit Mecklenburg-Vorpommern.
Zusammen mit 5 weiteren Ländern stellt RLP eine Gruppe dar,
die nicht signifikant vom deutschen Mittelwert abweicht, liegt aber
am unteren Ende dieser Gruppe.
Der Unterschied zwischen diesen 6 Ländern beträgt insgesamt
10 Punkte.
19

Ergebnisse des IQB-Berichts GS
im Fach Mathematik
Im Bereich Zahlen und Operationen liegt Rheinland-Pfalz mit
489 Punkten auf Platz 9 zusammen mit Mecklenburg-
Vorpommern.
Auch hier stellt RLP zusammen mit 5 weiteren Ländern eine
Gruppe dar, die nicht signifikant vom deutschen Mittelwert
abweicht, liegt aber auch hier am unteren Ende dieser Gruppe.
Der Unterschied zwischen diesen 6 Ländern beträgt immerhin
insgesamt 16 Punkte. Der Unterschied zwischen RLP und Bayern
auf Platz 1 beträgt 26 Punkte (was in etwa einem Lernrückstand
von 4 Monaten entspricht).
20

Um nach vier Jahren Grundschule
die Bildungsstandards zu erreichen,
muss ich schon im ersten Schuljahr
damit beginnen,
Grundvorstellungen aufzubauen.
21

Überblick
1. Grundlagen
2. Grundvorstellungen aufbauen
und Rechenproblemen
vorbeugen
3. Fazit und Konsequenzen
22

VERSUCH von Wartha und Schulz
Stellen Sie sich vor, die Buchstaben des Alphabets sind
Zahlworte (a=1, b=2,…z=26)
• Zählen Sie vorwärts ab q.
• Zählen Sie rückwärts ab k.
• Stellen Sie g ein.
• Welche Zahl ist eingestellt?
• Berechnen Sie f + h.
23

Grundvorstellungen (GV)
Sebastian Wartha
24

Grundvorstellungen (GV)
Sebastian Wartha
25

Grundvorstellungen (GV)
Sebastian Wartha
26

Grundvorstellungen (GV)
Grundvorstellungen beschreiben
die Übersetzungsprozesse zwischen
nicht symbolischen Darstellungen
(Bilder, Handlungen, reale Situationen)
und mathematisch-symbolischen
Darstellungen
(gesprochen oder geschrieben).
vgl. Sebastian Wartha
27

Grundvorstellungen (GV)
Grundvorstellungen zu
• Zahlen (als Menge und Position)
• Rechenoperationen (verschiedene Aspekte)
• Strategien („Verständnis“, kein „Rezept“!)
28

Impuls
Wie entwickeln Sie konkret in Ihrem Unterricht
die Grundvorstellungen zu den Bereichen
• Zahlen (als Menge und Position)?
• Rechenoperationen (verschiedene Aspekte)?
• Strategien („Verständnis“, kein „Rezept“!)?
29

Grundvorstellungen (GV)
Aufbau von Grundvorstellungen durch
• Materialhandlungen
• Rechengeschichten
• Übersetzungen zwischen Symbolen
gesprochen, geschrieben,
Bildern, Handlungen, „Realsituationen“
30

Darstellungen
Bilder
Handlungen
„reale“
Situationen
Math.
Symbole
geschrieben
Math.
Symbole
gesprochen
Fromme, M, Wartha, S. & Benz Ch. (2011). Grundvorstellungen zur Subtraktion. Grundschulmagazin.
31

Grundvorstellungen (GV)
Grundvorstellungsdefizite:
Inhalte können nicht auf verschiedenen
Darstellungsebenen abgerufen werden.
32

Pädagogische Diagnostik
Ich muss wissen, was das Kind kann,
um darauf aufbauen zu können:
„Ich sehe nur, was ich weiß“ (Goethe)
Pädagogische Diagnostik:
• kompetenzorientiert, nicht defizitorientiert!
• prozessorientiert, nicht produktorientiert!
• „Didaktische Verträge“ (geheime Rückmeldungen)
beachten
33

Impuls
„Das Doppelte von fünfundzwanzig ist vierhundert“
Vermuten Sie den Rechenweg des Kindes.
Tauschen Sie sich aus.
34

Zentrale Hürden im Lernprozess
… verfestigtes zählendes Rechnen
… fehlendes Stellenwertverständnis
Quelle: Schipper 2005, Wartha 2011
35

Hürde 1:
Zählendes Rechnen (ZR)
Warum zählen?
• (Vermeintlich) sichere Strategie
• Fehlende Vorkenntnisse für Ablösung
(ist Ursache und Wirkung des ZR)
Warum ist ZR ein Problem?
• ZR verhindert den Aufbau von
Grundvorstellungen zu Zahlen, Operationen
und Strategien
36

Impuls
• Welche Aufgaben lassen sich lösen, wenn man die
Zusammenhänge zwischen 4, 5 und 9 kennt?
Sammeln Sie Beispiele.
• Aufgabe: 41 – 39 . Wie rechnen Sie?
• Warum funktioniert „ziffernweises Rechnen“ nicht immer?
Beispiel: 42+37 oder 36 + 47
37

Hürde 1:
Zählendes Rechnen (ZR)
Warum zählen?
• (Vermeintlich) sichere Strategie
• Fehlende Vorkenntnisse für Ablösung
(ist Ursache und Wirkung des ZR)
Warum ist ZR ein Problem?
• ZR verhindert den Aufbau von
Grundvorstellungen zu Zahlen, Operationen und
Strategien
Wann wird ZR ein Problem?
• im ersten Drittel der zweiten Jahrgangsstufe
(S. Wartha, 2012)
38

Hürde 1:
Zählendes Rechnen (ZR)
Pädagogische Diagnostik von ZR
• Rechenwege und Handlungen mit Material beobachten
Pädagogische Diagnostik der Voraussetzungen,
um das ZR abzulösen
• Sicheres Zählen (vorwärts und rückwärts!)?
• Quasisimultane Zahlauffassung & -darstellung?
• Auswendig gewusste Aufgaben?
• Analogien und Strategien?
• Material?
(S. Wartha, 2012)
39

Hürde 1:
Zählendes Rechnen (ZR)
Ablösung vom zählenden Rechnen durch
• strukturiertes Material
• Übungen zur schnellen Zahlauffassung (schnelles Sehen)
• Rechenkonferenzen (über Mathe sprechen)
Thematisierung verschiedener Strategien
• Verinnerlichen der Handlungen
ABER:
Verbieten des Zählens ist verboten
(das ist ein notwendiger Lernschritt).
Stattdessen: Alternativen anbieten!
(S. Wartha, 2012)
40

Übungen zur schnellen Zahlauffassung
Wie viele?
41

Wie viele?
42

Wie viele?
43

Wie viele?
44

Wie viele?
45

Wie viele?
46

Wie viele?
47

Wie viele?
48

Wie viele?
49

Wie viele?
50

Wie viele?
51

Wie viele?
52

Wie viele?
53

Wie viele?
54

Wie viele?
55

Wie viele?
16?
56

Wie viele?
52?
57

Hürde 2:
Fehlendes Stellenwertverständnis SWV
Sebastian Wartha, 2012
58

Hürde 2:
Fehlendes Stellenwertverständnis SWV
Sebastian Wartha, 2012
59

Hürde 2:
Fehlendes Stellenwertverständnis SWV
Pädagogische Diagnostik des SWV
• Zählen (auch rückwärts, auch Zehner): Übergänge
• Inverse Zahlschreibweise (Zahlendiktat)
• Zahlendreher (bei Zahlauffassung und bei
Zahldarstellung)
„Das Doppelte von fünfundzwanzig ist vierhundert“
60

Impuls
Wie heißt die erste
regulär gebildete
zweistellige Zahl?
61

Hürde 2:
Fehlendes Stellenwertverständnis SWV
Deutsche Zahlwortbildung ist sehr unregelmäßig:
• Eigennamen: elf, zwölf, -zwan-zig
• 13 -19 (13, nicht: drei-und-eins-zig)
• Sprachliche Glättungen (drei-ßig, nicht dreizig; sieb-zig, nicht siebenzig)
• Fehlendes „und“ (vier hundert = 4 x 100; vier zehn = 4+10)
Problem von Zahlendrehern durch unterschiedliche
Sprech- und Schreibweise:
• Vierundzwanzig (man hört erst die 4, dann die 2)
• vs. 24 (geschrieben von links nach rechts: erst 2, dann 4)
Brechen mit der Regel: „Schreibe wie du hörst“:
• Schreibe die Zahl von links nach rechts (in Schreibrichtung,
Reihenfolge der Stellenwerte beachten, Taschenrechner,…)
62

Unterrichtskonzepte/
Förderkonzepte
63

Was ist eine Rechenstörung?
„Rechenstörungen sind schulische
Herausforderungen, die in der Mehrzahl der
Fälle mit einem guten, präventiven
Mathematikunterricht sowie mit geeigneten
Fördermaßnahmen bewältigt werden können.“
Schipper, Wilhelm (2008):
Rechenstörungen als schulische Herausforderung.
Handreichung zur Förderung von Kindern mit besonderen Schwierigkeiten beim Rechnen.
64

Unterrichtskonzept / Förderkonzept
Wünschenswert aus Sicht der Kinder:
Alle Lehrpersonen vermitteln
die Inhalte zielgerichtet und stringent
nach einem didaktisch abgesicherten Konzept.
65

Aufbau von Grundvorstellungen
Grundprinzip
1. Phase Handlung am geeigneten Material mit
Versprachlichung
2. Phase
3. Phase
4. Phase
66

Aufbau von Grundvorstellungen
1. Phase Handlung am geeigneten Material mit
Versprachlichung
Rechne am Rechenrahmen:
46 + 7
Beschreibe, was du tust.
67

Aufbau von Grundvorstellungen
Grundprinzip
1. Phase Handlung am geeigneten Material
mit Versprachlichung
2. Phase Beschreibung der Materialhandlung
mit Sicht auf das Material
3. Phase
4. Phase
68

Aufbau von Grundvorstellungen
2. Phase Beschreibung der Materialhandlung
mit Sicht auf das Material
72 – 6
Diktiere mir, was ich einstellen muss.
69

Aufbau von Grundvorstellungen
Grundprinzip
1. Phase Handlung am geeigneten Material
mit Versprachlichung
2. Phase Beschreibung der Materialhandlung
mit Sicht auf das Material
3. Phase Beschreibung der Materialhandlung
ohne Sicht auf das Material
4. Phase
70

Aufbau von Grundvorstellungen
3. Phase Beschreibung der Materialhandlung
ohne Sicht auf das Material
38 + 7
Diktiere mir, was ich einstellen muss.
71

Aufbau von Grundvorstellungen
Grundprinzip
1. Phase Handlung am geeigneten Material
mit Versprachlichung
2. Phase Beschreibung der Materialhandlung
mit Sicht auf das Material
3. Phase Beschreibung der Materialhandlung
ohne Sicht auf das Material
4. Phase Beschreiben / Nutzen
der vorgestellten Handlung
72

Aufbau von Grundvorstellungen
4. Phase Beschreiben / Nutzen
der vorgestellten Handlung
63 – 8
(Was müsstest du am Rechenrahmen einstellen?)
73

Aufbau von Grundvorstellungen
Grundprinzip
1. Phase Handlung am geeigneten Material
mit Versprachlichung
2. Phase Beschreibung der Materialhandlung
mit Sicht auf das Material
3. Phase Beschreibung der Materialhandlung
ohne Sicht auf das Material
4. Phase Beschreiben / Nutzen
der vorgestellten Handlung
74

Aufbau von Grundvorstellungen
Vorschläge von Prof. Sebastian Wartha zu:
• Zahlzerlegung der 10
• Zahlzerlegung von 7,8,9
• Zahlen darstellen
• ZE ± E
• Analogien im Z
• ZE ± Z
75

Aufbau von Grundvorstellungen
1. Phase Handlung am geeigneten Material mit
Versprachlichung
Zahlzerlegung der 10:
Abb. aus: Förderkartei von Schipper
76

Aufbau von Grundvorstellungen
2. Phase Beschreibung der Materialhandlung
mit Sicht auf das Material
Zahlen darstellen:
Darstellung der Zahl 64 mit Mehrsystemblöcken
(Zehnerstangen, Einerwürfel)
„Diktiere mir, was ich legen muss.“
77

Aufbau von Grundvorstellungen
3. Phase Beschreibung der Materialhandlung
ohne Sicht auf das Material
Analogien im Z (Zehner):
86 – 40,
Rechne mit Zehnerstangen und Einerwürfeln.
„Diktiere mir, was ich legen muss.“
78

Aufbau von Grundvorstellungen
4. Phase Beschreiben / Nutzen der vorgestellten Handlung
Zahlzerlegungen:
Minutenspiel
Auf einem Papier werden die Zahlen von 1 bis 12 notiert.
Abwechselnd wird mit 2 Würfeln geworfen. Es dürfen die Zahlen
ausgestrichen werden, die zusammen die Würfelsumme ergeben.
Ein Beispiel:
Die Zahlen 3 und 6 wurden im letzten Spielzug schon gestrichen:
Das Kind würfelt nun eine 3 und eine 4, insgesamt also 7.
Es könnte nun die 2 und 5 oder 1, 2 und 4 streichen.
Wer als erstes alle Zahlen durchgestrichen hat, ist der Gewinner.
Beide Spieler müssen Acht geben, dass dem anderen keine Fehler
unterlaufen.
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Förderkonzept / Unterrichtskonzept
von Wilhelm Schipper
• Förderkartei
• Handreichung
Schipper, Wilhelm (2005): Übungen zur Prävention von Rechenstörungen.
In: Die Grundschulzeitschrift, Heft 182 (http://www.uni-bielefeld.de/idm/serv/foerderkartei.pdf)
Schipper, Wilhelm (2008): Rechenstörungen als schulische Herausforderung.
Handreichung zur Förderung von Kindern mit besonderen Schwierigkeiten beim Rechnen.
(www.uni-bielefeld.de/idm/serv/handreichung-schipper.pdf)
80

Förderkonzept / Unterrichtskonzept
von Wilhelm Schipper
Didaktische Leitideen des Konzepts:
• an die vorhandenen Kompetenzen
anknüpfen.
• Entwicklung von Operationen aus
Handlungen an Materialien.
• den Prozess des Aufbaus mentaler
Vorstellungen unterstützen.
81

1. Grundlagen
2. Grundvorstellungen aufbauen und
Rechenproblemen vorbeugen
3. Fazit und Konsequenzen
82

Fazit und Konsequenzen
• Zählen ist für die Entwicklung von Zahlverständnis und
erstes Rechnen unverzichtbar.
• Unterschiedliche Strategien erwarten, beobachten und
zunächst akzeptieren.
• Nicht-zählende Verfahren (simultane und
quasisimultane Zahlauffassung und –darstellung)
herausfordern, wo immer es geht.
• Auswendigwissen größere Beachtung schenken
- Verdoppeln und Halbieren
- Kleines 1+1 & 1-1
- Zahlzerlegungen
83

Fazit und Konsequenzen
• Material muss strukturiert sein!
• Material muss eingeführt werden!
• Nicht jedes Material ist für jede Rechenart
sinnvoll!
• Das für die Rechenart eingeführte Material soll auch
konsequent verwendet werden!
• Die Arbeit an aktuellen Unterrichtsinhalten (in den
Klassen 3 bis 13) wird keinen langfristigen Erfolg
haben, wenn die Grundvorstellung fehlt!
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Fazit und Konsequenzen
Um nach vier Jahren Grundschule
die Bildungsstandards zu erreichen,
muss ich schon im ersten Schuljahr
damit beginnen,
Grundvorstellungen aufzubauen.
85

Ausblick/ Impuls
• Ist-Stands-Analyse: Wie arbeiten wir in
unserer Schule? Wie begegnen wir Kindern,
die zählend rechnen? Gibt es passendes
Material?
• Wie sehen unsere nächsten Schritte aus?
86

Unterstützende Materialien
• Förderkartei
• Kurzfassung für Eltern / Kollegen
• „Fördervorschläge“ von Wartha
• Handreichungen
87

Unterstützungsangebote
Aktive Unterstützung durch:
• Netzwerkbildungen in der Region
durch Referentinnen und Referenten der ADD
• das pädagogische und schulpsychologische
Beratungssystem des PL
• Fortbildungsangebote der Institute
88

Literatur
• Fromme, M.; Wartha, S.; Benz Ch. (2011). Grundvorstellungen zur Subtraktion. Grundschulmagazin.
• Kultusministeriumskonferenz (2004). Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich.
• Orientierungsrahmen Schulqualität für Rheinland-Pfalz (2008, 2). Ministerium für Bildung, Frauen und
Jugend Rheinland-Pfalz.
• Rahmenplan Grundschule. Allgemeine Grundlegung (2002). Ministerium für Bildung, Frauen und
Jugend Rheinland-Pfalz.
• Schipper, Wilhelm (2005). Übungen zur Prävention von Rechenstörungen. In: Die
Grundschulzeitschrift, Heft 182. (http://www.uni-bielefeld.de/idm/serv/foerderkartei.pdf)
• Schipper, Wilhelm (2008). Rechenstörungen als schulische Herausforderung. Handreichung
zur Förderung von Kindern mit besonderen Schwierigkeiten beim Rechnen.
(www.uni-bielefeld.de/idm/serv/handreichung-schipper.pdf)
• Schipper, Wilhelm; Wartha, Sebastian; von Schroeders, Nicolai (2011). BIRTE 2 - Bielefelder
Rechentest für das 2. Schuljahr. Braunschweig: Schroedel.
• Teilrahmenplan Mathematik (2002). Ministerium für Bildung, Frauen und Jugend Rheinland-Pfalz.
• Wartha, Sebastian; Schulz, Axel (2012). Rechenproblemen vorbeugen. Berlin: Cornelsen Scriptor.
• Wartha, Sebastian; Schulz, Axel (2011). Aufbau von Grundvorstellungen (nicht nur) bei besonderen
Schwierigkeiten im Rechnen. Leibnitz-Institut für Pädagogik. der Naturwissenschaften: Kiel.
(www.sinus-an-grundschulen.de/fileadmin/uploads/Material_aus_SGS/Handreichung_WarthaSchulz.pdf)
• Wartha, Sebastian (2011 und 2012). Workshopunterlagen: Rechenstörungen als schulische
Herausforderung. Bad Münster, Rodgau, Kaiserslautern.
89

Vielen Dank
für Ihre Aufmerksamkeit!
90