Stochastik - Beispielaufgaben und Lösungen - Naturwissenschaften ...

Stochastik Grundkurs
Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik
Aufgabe 2
Fahrtstrecke
Die Aufgabenteile a) und c) basieren auf einer Examensaufgabe von Wiskunde B (2003-II).
Ein Transportunternehmen bringt jeden Tag frisch die berühmten Limburger Fladenkuchen von Limburg
nach Twente und fährt dabei immer dieselbe Strecke. Die dafür nötige Zeit ist normalverteilt mit
einem Mittelwert von zweieinhalb Stunden und einer Standardabweichung von einer Viertelstunde.
Die Kuchen müssen spätestens um halb neun abgeliefert sein.
Einerseits möchte der Chef der Firma die Lohnkosten des Fahrers beschränken, indem er ihn nicht zu
früh abfahren lässt. Andererseits kann der Chef es sich nicht erlauben, an mehr als 5 % der Tage die
Kuchen verspätet anzuliefern.
a) Berechnen Sie die Uhrzeit, bei welcher der Fahrer losfahren muss.
b) In dieser Teilaufgabe betrachten Sie ein 2. Modell, um die Fahrzeit zu ermitteln:
Die Fahrzeit wird mit einem Random Walk (Zufallspfad) simuliert:
Dazu gebe es auf der Strecke von Limburg nach Twente 100 Stellen, an denen durch verschiedene
Umstände, die ausschließlich mit dieser Stelle zusammenhängen, der Fahrer entweder 30 s zusätzlich
braucht oder aber 30 s an Zeit einspart im Vergleich zur üblichen Zeit von zweieinhalb Stunden.
Diese beiden Möglichkeiten seien gleichwahrscheinlich.
Bestimmen Sie für ein von Ihnen erdachtes Beispiel die Fahrzeit mit diesem Modell.
Beschreiben Sie ein Beispiel für die ersten 10 Stellen und zeichnen Sie den zugehörigen Graphen
des Zufallspfades.
Vergleichen Sie die beiden Modelle aus den Aufgabenteilen a) und b).
c) Auf seinen täglichen Fahrten ist dem Fahrer aufgefallen, dass viele Autofahrer auf den Strecken
mit einer Geschwindigkeitsbegrenzung auf 120 km/h viel zu schnell fahren. Darum ist er auch
nicht verwundert über das Ergebnis einer Kontrolle, dass 13 % der Autofahrer schneller als
137 km/h fahren.
(Diese Kontrolle wurde mit vielen Fahrzeugen unter gleichen Verkehrsbedingungen durchgeführt.
Fahrzeuge, die schneller als 137 km/h gefahren sind, wurden auf den nächsten Parkplatz
geleitet und angehalten.)
Setzen Sie voraus, dass die gefahrene Geschwindigkeit normalverteilt ist mit einem Mittelwert
von 126 km/h, und bestimmen Sie unter dieser Annahme, wie viel Prozent der Autofahrer sich
dann an die vorgeschriebene Geschwindigkeit halten, also nicht schneller als 120 km/h fahren.
d) Beschreiben Sie, wie sich die Wahl der Parameter µ und σ auf die Normalverteilung auswirkt, und
interpretieren Sie die mathematischen Auswirkungen im Kontext der Aufgabenteile a) und c).
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