Stochastik - Beispielaufgaben und Lösungen - Naturwissenschaften ...

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

Stochastik Grundkurs Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik Aufgabe 8 Urnentest Drei Urnen enthalten jeweils 6 Kugeln. • In der Urne 1 sind fünf rote Kugeln und eine schwarze Kugel • in der Urne 2 sind vier rote und zwei schwarze Kugeln • in der Urne 3 sind drei rote und drei schwarze Kugeln a) Betrachten Sie zunächst nur die Urne 1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim 10-maligen Ziehen mit Zurücklegen • genau viermal eine schwarze Kugel gezogen wird. • mehr als vier schwarze Kugeln gezogen werden. Es wird zufällig eine Urne ausgewählt. Nun soll mit Hilfe von Ziehungen einer Kugel aus dieser Urne und dem anschließenden Zurücklegen herausgefunden werden, um welche Urne es sich handelt. b) Zuerst wird die Methode des zweiseitigen Hypothesentests angewendet. Bestimmen Sie für jede Urne einzeln die Ablehnungsbereiche auf dem 5 % Signifikanzniveau, wenn man von 10 Ziehungen ausgeht. c) Beim Ziehen von 10 Kugeln hat man 3 schwarze und 7 rote Kugeln gezogen. Begründen Sie mithilfe des im Aufgabenteil b) benutzten Tests, welche Urne vorgelegen haben könnte. d) Beim Ziehen von 10 Kugeln (wieder mit Zurücklegen) sind insgesamt wieder 3 schwarze und 7 rote Kugeln gezogen worden. Die erste Kugel war rot, die zweite schwarz. Erläutern Sie an diesem Beispiel das Zusammenspiel von a-priori- und a-posterio- Wahrscheinlichkeiten. Bestimmen Sie die a priori und a-posteriori Wahrscheinlichkeiten für die ersten beiden Ziehungen. e) Nach 10-maligem Ziehen mit Zurücklegen erhält man die folgenden a posteriori-Wahrscheinlichkeiten: Zug Kugelart Urne 1 Urne 2 Urne 2 1 rot 41,7 % 33,3 % 25,0 % 2 schwarz 22,7 % 36,3 % 40,9 % 3 schwarz 10,4 % 33,3 % 56,3 % 4 rot 14,7 % 37,6 % 47,6 % 5 rot 20,0 % 41,0 % 38,9 % 6 rot 26,3 % 43,1 % 30,7 % 7 rot 33,2 % 43,5 % 23,2 % 8 schwarz 17,5 % 45,8 % 36,7 % 9 rot 23,0 % 48,1 % 28,9 % 10 rot 29,1 % 48,9 % 22,0 % Untersuchen Sie nun die Entscheidungsmöglichkeiten, die man aufgrund dieser Tabelle hat. Interpretieren sie den Unterschied zum Aufgabenteil c). 18
Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik Stochastik Grundkurs Aufgabe 9 Doping Bei internationalen Sportwettkämpfen winkt den Siegern bekanntlich nicht nur die Ehre, sondern z. T. auch das große Geld in Form von Werbeverträgen. Es ist daher nicht verwunderlich, dass ehrgeizige Sportler und ihre Trainer mitunter zu unerlaubten Mitteln greifen, um sich Vorteile gegenüber den Konkurrenten zu verschaffen. Um möglichst faire Bedingungen zu gewährleisten, werden deshalb unmittelbar nach wichtigen Wettkämpfen, aber auch während der Trainingszeit, Kontrollen nach genau festgelegten Regeln durchgeführt. Die Sportler geben einen Becher Urin ab, der in zwei Teilen, einer so genannten A-Probe und einer B-Probe, versiegelt und gekennzeichnet wird. Während die internationalen Sportverbände an möglichst aussagekräftigen Dopingtests interessiert sind, arbeiten gewisse Labore an der Entwicklung neuer Dopingwirkstoffe, deren Verabreichung bei den Kontrollen möglichst nicht im Urin festgestellt werden kann. Gehen Sie in den Aufgabenteilen a) und d) davon aus, dass bei einem Sportwettkampf von 2200 Teilnehmern, die eine Urinprobe abgeben müssen, 55 mit einem speziellen Wirkstoff gedopt sind. Es werden alle 2200 A-Proben kontrolliert. Für den Test gelte: • Ist ein Sportler mit diesem Wirkstoff gedopt, so zeigt der Test dies mit einer Wahrscheinlichkeit von p e = 80 % an. Man spricht dann von einem positiven Befund und bezeichnet p e auch als Sensitivität des Tests. • Hat ein Sportler sich korrekt verhalten, so bestätigt dies der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von p a = 95 %. p a heißt auch Spezifität des Tests. Liegt ein positiver Befund der A-Probe vor, wird die B-Probe analysiert. Nehmen Sie an, dass für nicht gedopte Personen die Ergebnisse von mehrfachen Dopingtests stochastisch unabhängig sind und dass dies ebenso für gedopte Personen gilt, dass also Fehler nur beim Testen und nicht durch irgendwelche besonderen Eigenschaften der Personen auftreten. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass über eine zufällig ausgewählte Person nach der A-Probe ein falsches Urteil abgegeben wird. b) Begründen Sie, weshalb die Wahrscheinlichkeit, dass ein nach der A-Probe des Dopings bezichtigter Sportler zu Unrecht verdächtigt wird, so erschreckend groß ist. c) Weisen Sie nach, dass ein Sportler, bei dem beide Tests positiv waren (also auf Doping hinwiesen) mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 13 % dennoch nicht gedopt war. d) Da die Ergebnisse des Tests für Sportler, die sich an die Regeln halten, unzumutbar sind, muss der Test verbessert werden. Dazu soll zunächst untersucht werden, wie sich die Wahrscheinlichkeiten aus b) und c) dann verändern, wenn sich p a bzw. p e verändern: Ermitteln Sie zunächst eine Wertetabelle für die Wahrscheinlichkeiten, dass ein nichtgedopter Sportler nach der A-Probe bzw. nach der B-Probe positiv getestet wird, wenn sich • p e von 80 % bis 100 % in 5 %-Schritten ändert und p a = 0,95 unverändert bleibt. • p a in 1 %-Schritten von 95 % auf 100 % erhöht und p e = 0,8 unverändert bleibt. Interpretieren Sie diese Tabellen. Ermitteln Sie weiterhin für die beiden Wertetabellen nach der B-Probe entsprechende Funktionsterme f ( p e) bzw. g( p a ), mit denen sich beliebige Werte ausrechnen lassen. 19
Seite 1 und 2: Schriftliche Abiturprüfung 2007 Ma
Seite 3 und 4: Zentrale schriftliche Abiturprüfun
Seite 17: Zentrale schriftliche Abiturprüfun
Seite 69 und 70:
Zentrale schriftliche Abiturprüfun
Seite 71 und 72:
Seite 73 und 74:
Seite 75 und 76:
Seite 77 und 78:
Seite 79 und 80:
Seite 81 und 82:
Seite 83 und 84:
Seite 85 und 86:
Seite 87 und 88:
Seite 89 und 90:
Seite 91 und 92:
Seite 93 und 94:
Seite 95 und 96:
Seite 97 und 98:
Seite 99 und 100:
Seite 101 und 102:
Seite 103:
Alle anzeigen

Stochastik - Beispielaufgaben und Lösungen - Naturwissenschaften ...

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?