Lösung Aufgabe 2 - Hochschule Trier

Finanzierung
Teil 2: Aufgaben
Prof. Dr. Juliane Proelß
Hochschule Trier | Trier University of Applied Sciences
Fachbereich Wirtschaft
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Aufgabe 1
• Ein Investor verfügt zum Zeitpunkt 0über ein Anfangsvermögen von 300 GE.
• Ihm stehen folgende teilbare, sich nicht ausschließende Investitionsobjekte zur Verfügung:
Projekt Anfangsauszahlung (A) Einzahlungen in (E) Rendite
IO1 60 80
IO2 100 200
IO3 100 105
IO4 40 60
Summe
a) Berechnen Sie die Renditen und ordnen Sie die Investitionsobjekte nach ihren Renditen.
b) Gehen Sie zunächst von einer Welt ohne Kapitalmarkt aus.
i. Zeichnen Sie die Transformationskurve für Sachinvestitionen in ein , -Diagramm
für den Investor.
ii. Zeigen Sie graphisch, dass die Bestimmung des optimalen Investitionsprogramms
nicht unabhängig von den Konsumpräferenzen des Investors erfolgen kann.
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Aufgabe 1
c) Nehmen Sie nun an, dass ein vollkommener (und vollständiger) Kapitalmarkt besteht, an
dem zu einem Zinssatz von 20% Geld aufgenommen oder angelegt werden kann.
i. Zeigen Sie, wie sich durch die Möglichkeit der Inanspruchnahme des Kapitalmarktes
das Schaubild verändert.
ii. Leiten sie die Gleichung der Kapitalmarktgeraden her.
iii. Erläutern Sie, warum eine Separation von Konsum- und Investitionsentscheidungen
möglich ist.
iv. Ist durch die Einführung des Kapitalmarktes eine Verbesserung für jeden Investor
erreicht worden?
v. Was bedeutet dies für die Möglichkeit, Investitionsentscheidungen anhand des
Kapitalwertkriteriums zu treffen?
vi. Berechnen Sie die Kapitalwerte der Investitionsprojekte.
vii. Interpretieren Sie den Schnittpunkt der Kapitalmarktgeraden (Isobarwertlinie) mit der
Abszisse.
viii. Zeigen Sie, wie der Investor den maximalen Konsum in erreichen kann.
ix. Interpretieren Sie die Strecke zwischen dem Anfangsvermögen des Investors und dem
maximal möglichen heutigen Konsum.
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Aufgabe 1
d) Investor besitzt folgende Nutzenfunktion: ∙
i. Ermitteln Sie allgemein die Steigung einer Indifferenzkurve für die angegebene
Nutzenfunktion.
ii. Zeichnen Sie die dazugehörigen Indifferenzkurven in ein , -Diagramm ein.
iii. Ermitteln Sie graphisch und formal-analytisch den optimalen Konsumplan (Hinweis:
Der Konsumplan ist optimal, wenn der Nutzen am höchsten ist) für den Investor,
wenn zum Zinssatz von 20% Geld beliebig aufgenommen oder angelegt werden kann.
iv. Wie erreicht der Investor dieses optimale Investitionsprogramm?
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Lösung Aufgabe 1
a)
Projekt Anfangsauszahlung (A) Einzahlungen in (E) Rendite*
IO2 100 200 100%
IO4 40 60 50%
IO1 60 80 33%
IO3 100 105 5%
Summe 300 445 48%
b) i.
500
E
400
IO3
,
∗
1
300
IO1
200
IO4
,
100
0
IO2
0 50 100 150 200 250 300 350
A
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Lösung Aufgabe 1
b) ii. Ein Gedankenexperiment ist zur Lösung dieser Teilaufgabe hilfreich:
• Man stelle sich zwei Freunde vor, die zusammen eine Firma gründen wollen. Freund 1 ist
eher der Bausparertyp, der sehr viel investiert, damit er im Zeitpunkt 1 möglichst viel zur
Verfügung hat, während Freund 2 gerne heute Konsumiert, dem also zukünftiger Konsum
nicht so wichtig ist.
• In unserem Beispiel wird der Bausparer vorschlagen alle 300 GE zu investieren, damit im
Zeitpunkt 1 445 GE zur Verfügung stehen. Sein Konsum- und Investitionspunkt fällt
zusammen, denn wenn er sich entschieden hat 300 GE zu investieren, dann bleiben nur
noch 0GE für den heutigen Konsum zur Verfügung.
• Freund 2 möchte lieber heute 200GE konsumieren und im Zeitpunkt 1 reichen ihm
ebenfalls 200GE. Mit seiner heutigen Konsumentscheidung hat er ebenfalls sein
Investitionsprogramm festgelegt. Von seinem Anfangsvermögen von 300 GE möchte er
200GE konsumieren, also bleiben für die Investition lediglich 100 GE zur Verfügung.
• An diesem Punkt werden die zwei Freunde sich nicht einig werden, denn mit ihren
heutigen Konsumentscheidungen legen sie die Investitionsbeträge fest. Ihre
Indifferenzkurven tangieren dir Transformationskurve an unterschiedlichen Punkten, die
jeweils unterschiedliche Investitionsvolumina implizieren. Eine Separation von Konsumund
Investitionsentscheidungen ist hier nicht möglich.
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Lösung Aufgabe 1
c) i. Steigung der Kapitalmarktgerade: 1 1,2
500
460
E
400
∗
300
IO3
∗
,
IO1
,
,
,
Die Kapitalmarktgerade tangiert also an der
Ecke IO1/ IO3 die Transformationskurve.
200
IO4
,
100
IO2
0
0 50 100 150 200 250 300 350 383 400
∗
Durch die Einführung des Kapitalmarktes ist eine neue Anlage- oder Geldaufnahmemöglichkeit
hinzugekommen. Prüfung welche Investitionen durchgeführt werden:
20% > 5% → IO3 wird nicht durchgeführt.
20% < 33% → IO1 wird noch durchgeführt.
A
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Lösung Aufgabe 1
c) ii. Um die Gleichung der Kapitalmarktgeraden zu herleiten können müssen
1. die Steigung
2. und der y-Achsenabschnitt bekannt sein.
Die Steigung von –1,2 ist aus der Aufgabenstellung bereits gegeben
Der y-Achsenabschnitt wurde in (i) bereits errechnet.
Die Interpretation des y-Achsenabschnitts lautet: Maximaler Konsum im Zeitpunkt 1,
wenn heute nichts konsumiert wird. Das ist der Fall, wenn Investitionsobjekte 1, 2, 4
durchgeführt und 100 GE auf dem Kapitalmarkt angelegt werden. Dem Investor
stehen dann 460 GE zur Verfügung.
→ 4601,2∙
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Lösung Aufgabe 1
c) iii. Jeder Investor wird das identische und gleichzeitig optimale Investitionsprogramm
angeben. Es wird bis zu dem Tangentialpunkt zwischen der Kapitalmarktgeraden und der
Transformationskurve in Sachmittel investiert.
Es werden 200 GE in Investitionsobjekt 1, 2 und 4 investiert, da der Kapitalwert dieser
Investitionsobjekte positiv ist, gleichbedeutend mit einer heutigen Vermögensmehrung.
Die Einigung der beiden Freunde ist jetzt möglich, da beide das identische
Investitionsprogramm benennen werden. Die Punkte, wo sie sich dann allerdings auf der
Kapitalmarktgeraden befinden, werden sich unterscheiden.
Freund 1 wird heute immer noch nichts konsumieren, dafür ist sein maximaler Konsum
im Zeitpunkt 1 auf 460 GE gestiegen. Freund 2 möchte immer noch 200 GE
konsumieren, aber auch sein Konsum im Zeitpunkt 1 ist gestiegen und zwar auf 220 GE.
→ Eine Separation von Konsum- und Investitionsentscheidungen ist möglich! Beide
Freunde können sich einigen, denn das optimale Investitionsprogramm wird unabhängig
von den Nutzenfunktionen der Investoren bestimmt.
→ Die Konsumallokation ist von der jeweiligen Nutzenfunktionen abhängig. Das bedeutet,
dass sie trotz identischer Investitionsprogramme unterschiedliche -Kombinationen wählen
werden → Fisher Separationstheorem gilt!
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Lösung Aufgabe 1
c) iv. Durch die Einführung des Kapitalmarkts ist nicht für alle Investoren eine
Verbesserung erreicht worden.
Aber: Kein Investor wurde schlechter gestellt und alle, bis auf den Investor am
Tangentialpunkt, sind durch den Kapitalmarkt besser gestellt.
Damit sind die Bedingungen für eine Pareto-Verbesserung erfüllt.
v. Wenn der Kapitalmarkt vollkommen und vollständig ist, dann treffen die Investoren
ihre Investitionsentscheidungen nach der Kapitalwertmethode.
Alle Investitionsobjekte mit Kapitalwerte größer Null werden durchgeführt. Dadurch
wird die Konsummöglichkeitskurve am weitesten nach außen geschoben.
Und dies bringt den Konsumenten ein höheres Nutzenniveau.
Eine Investition mit positiven Kapitalwert steigert den möglichen heutigen Konsum,
diese wird kein rationaler Investor ausschlagen. Kapitalwertberechnung (per 0):
vi. KW1=-60 + 80/1,2 = 6,67 KW2= -100 + 200/1,2 = 66,67
KW3= -100 + 105/1,2 = -12,5 KW4= -40 + 60/1,2 = 10
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Lösung Aufgabe 1
c) vii. Der Schnittpunkt der Kapitalmarktgeraden mit der Abszisse beschreibt den maximal
möglichen heutigen Konsum, den Kapitalwert
Kapitalwert: heutige Vermögensmehrung oder Minderung
Bestimmung: Um den maximal möglichen heutigen Konsum angeben zu können, muss
zu dem bereits vorhandenen Vermögen von 300 GE nur noch die positiven
Kapitalwerte addiert werden.
, 124300+6,67+66,67+10=383,34
Alternativ: Wenn der heutige Konsum maximal sein soll, dann darf im Zeitpunkt 1
nichts konsumiert werden 0mit 4601,2∙ →
,
=383,33
viii. Kapitalwert kann nur erreicht werden, wenn im Zeitpunkt 1 nichts konsumiert wird.
Alle Investitionsobjekte mit positivem Kapitalwert werden durchgeführt.
Vom Anfangsvermögen werden 200 GE ausgegeben, es bleiben noch 100 GE.
Im Zeitpunkt 1: Einzahlungen aus den Investitionen i.H.v. 340 GE, kein Konsum.
Heute: Kreditaufnahme, dass im Zeitpunkt 1 genau 340 GE zurückgezahlt werden
können.
Höhe des nötigen Kredits? /1,2 340 → 283,3
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Lösung Aufgabe 1
c) viii.
0
1
Anfangsvermögen 300
Investition oder Einzahlung -200 340
Summe 100
Kredit +283,33 -340
Konsum 383,33 0
ix. Die Strecke zwischen dem Anfangsvermögen und maximal möglichen heutigen
Konsum entspricht genau dem Kapitalwert aller lohnenden Investitionsobjekte, da hier
der heutige Mehrkonsum abgetragen wird .
Also 1246,6766,671083,34
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Lösung Aufgabe 1
d) i. Das totale Differential gibt an, wie Funktionswerte (hier der Nutzen) sich ändert,
wenn die Argumente der Funktion (hier ) sich ändern
∙
∙
0
Die Steigung einer Indifferenzkurve wird durch die Grenzrate der Substitution, also
dem Austauschverhältnis von heutigen und zukünftigem Konsum:
Umstellen des totalen Differentials liefert:
Jetzt müssen die beiden partiellen Ableitungen des Nutzens nach und gebildet
und eingesetzt werden: Mit , ∙ ergibt sich
und
Einsetzen liefert die allgemeine Steigung der Indifferenzkurve zur gegebenen
Nutzenfunktion ∙ ∙ 0→
.
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Lösung Aufgabe 1
d) ii.
500
400
300
200
100
0
0 100 200 300 400 500
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Lösung Aufgabe 1
d) iii. Möglichkeit 1: Der maximale Nutzen ist erreicht, wenn die Indifferenzkurve soweit
wie möglich nach außen verschoben ist. Die Verschiebung ist solange möglich, bis die
Indifferenzkurve die Transformationskurve tangiert.
In diesem Punkt ist die Grenzrate der Substitution gleich der Grenzrate der
Transformation sein oder die Steigungen der Indifferenzkurve und der
Kapitalmarktgeraden gleich
Interpretation: Auf wie viele marginale Einheiten Konsum in t=1 ist der Investor bereit
zu verzichten, wenn sein Konsum in t=0 um eine Einheit steigt.
Im Optimum sind die Steigungen der Indifferenzkurve und der Kapitalmarktgeraden
gleich, d.h.
1,2→
∙1,2
Damit kann man nun den optimalen Konsumplan bestimmen:
Einsetzen von
1,2in die Kapitalmarktgeraden
460 1,2 ∙ ergibt
1,2 460/ 1,2→ 460/2,4
Die Konsumallokation ist somit 191,67 und ∙1,2230
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Lösung Aufgabe 1
d) iii. Möglichkeit 2:
In die Zielfunktion , ∙ soll die Nebenbedingung 4601,2∙
integriert und dann optimiert werden: , ∙4601,2∙
460 1,2 ∙
∙1,24602,4∙ 0
→ 191,67 und ∙ 1,2 230
iv. Diese Konsumallokation kann folgendermaßen erreicht werden:
‣ Die optimale Investition in Höhe von 200 GE bringt 340 GE in 1.
‣ Der Investor hat dann von seiner Anfangsausstattung noch 100 zur Verfügung.
‣ Um 191,66 GE konsumieren zu können, muss er 91,66 als Kredit aufnehmen.
‣ Die Rückzahlung für diesen Kredit beträgt 91,66 ∙ 1,2 110 .
‣ Dies verringert seine Konsummöglichkeiten in 1auf 340 – 110 230 .
Dies entspricht der optimalen Allokation.
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Lösung Aufgabe 1
d) (Fortsetzung)
460
390
∗
∗
∗
,
230
260
,
130
0
0 150
300
383
191,67
450
, ,
Nutzensteigung durch Kapitalmarkt
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Seite 17

Aufgabe 2
• Ein Investor in einer Zwei-Zeitpunkt-Welt hat im Zeitpunkt t=0 ein Anfangsvermögen
von 144 GE. Wird das Anfangsvermögen zur Finanzierung von Sachinvestitionen
verwendet, so lässt sich bei einem Investitionsvolumen von ein Zahlungsmittelrückfluss
von 22∙ erzielen, der in t=1 konsumiert werden kann.
• Der Investor orientiert sich an der folgenden Nutzenfunktion: ∙
a) Bilden Sie die Ableitung
an der Stelle =4, =16, =64 und =100.
Interpretieren Sie die ermittelten Werte.
b) Gehen Sie zunächst von einer Welt ohne Kapitalmarkt aus.
i. Skizzieren Sie den Verlauf der Transformationskurve
ii. Berechnen Sie den optimalen Konsumplan. Verdeutlichen Sie Ihr Ergebnis anhand
des Diagramms.
iii. Wie hoch ist das optimale Investitionsvolumen?
iv. Können Sie die Konsumentscheidung von der Investitionsentscheidung trennen?
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Aufgabe 2
c) Nehmen Sie nun an, dass ein vollkommener und vollständiger Kapitalmarkt besteht, an
dem zu einem Zinssatz von 37,5% Geld aufgenommen oder angelegt werden kann.
i. Bestimmen Sie den Tangentialpunkt der Transformationskurve für Sachinvestitionen
mit der Kapitalmarktgerade.
ii. Ermitteln Sie die Gleichung der Kapitalmarktgeraden
iii. Berechnen Sie den optimalen Konsumplan. Verdeutlichen Sie Ihr Ergebnis anhand
des Diagramms.
iv. Wie hoch ist das optimale Investitionsvolumen?
v. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie die Rendite einer zusätzlichen Geldeinheit
gleich dem Kapitalmarktzins setzen.
vi. Verdeutlichen Sie den Zusammenhang anhand des Fisher-Separationstheorems.
vii. Berechnen Sie den mit dem optimalen Investitionsvolumen erzielten Kapitalwert.
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Seite 19

Aufgabe 2
d) Nehmen Sie nun einem unvollkommen Kapitalmarkt an. Am Kapitalmarkt können
Mittel zu 10% angelegt werden und zu 37,5% aufgenommen werden.
i. Bestimmen Sie die Gleichung der Sollzinsgeraden
ii. Bestimmen Sie die Gleichung der Habenzinsgeraden
iii. Bestimmen Sie Gültigkeitsbereiche
iv. Bestimmen Sie den Tangentialpunkt der Transformationskurve mit der
Sollzinsgeraden und Habenzinsgeraden.
v. Erläutern Sie, warum die Investitionsentscheidung hier nicht losgelöst von der
Konsumentscheidung getroffen werden kann.
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Seite 20

Lösung Aufgabe 2
a E I 22∙ I Die Ableitung ist gegeben durch
E
22 ∙ 1 2
11 I I I
Die verschiedenen Werte eingesetzt sieht man, dass die Grenzerträge der Investition
mit steigenden Investitionsvolumen fallen, was soviel bedeutet, dass die Rentabilität des
Investitionsprojektes mit zunehmendem Investitionsvolumen fällt
I = 4 → Grenzertrag beträgt 5,5
I = 16 → Grenzertrag beträgt 2,75
I = 64 → Grenzertrag beträgt 1,375
I = 100 → Grenzertrag beträgt 1,1
Sind zum Beispiel bereits 4 GE in das Projekt investiert und entscheidet man dann
einen zusätzlichen Euro in das Projekt zu investieren, so sind die erwarteten
Einzahlungen im Zeitpunkt 1 approximativ 5,5 GE.
Leider können die Einzahlungen nur approximativ angegeben werden, da eine
nichtlineare Funktion mit einer Geraden approximiert wird, so können immer nur
Aussagen über marginale Veränderungen getroffen werden..
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Seite 21

Lösung Aufgabe 2
a)
Grenzertrag
12
10
8
6
4
2
0
137
129
121
113
105
97
89
81
73
65
57
49
41
33
25
17
9
I 0
1
b) i.
300
264
144
Transformationskurve
200
100
0
0 100
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Seite 22

Lösung Aufgabe 2
b) ii. Um diesen Aufgabenteil zu lösen, sollen an dieser Stelle einige allgemeine
Überlegungen angestellt werden.
1. Suche eine ökonomische Interpretation für :
Beschreibt Einzahlungen in 1in Abhängigkeit vom Investitionsvolumen in 0.
Es sollte überlegt werden was mit den Einzahlungen im Zeitpunkt 1 geschehen soll.
Da t=1 der letzte Zeitpunkt im Modell ist, sollten die gesamtem Einzahlungen
konsumiert werden: → 22∙
2. Eine Eigenschaft, die einem rationalen Investor unterstellt wird, ist dass er kein Geld
ungenutzt lässt, wenn er eine positive Rendite erzielen kann:
144 → 22∙ 144
Heißt, dass der Investor von seinem Anfangsvermögen erst in t=0 konsumiert und den
kompletten Rest investiert. Es bleibt kein Geld ungenutzt.
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Seite 23

Lösung Aufgabe 2
3. Das totale Differential gibt an, wie Funktionswerte (hier der Nutzen) sich ändern, wenn
die Argumente der Funktion (hier , ) sich ändern.
∙
∙ 0
Zuerst lohnt es sich zu verstehen, was die Bedingung 0 meint.
Die Veränderung des Nutzens soll Null betragen. Befindet sich ein Entscheider auf
und würde auf übergehen, dann wäre seine Veränderung des Nutzens positiv.
Analoges gilt für einen Sprung auf die , hier wäre die Veränderung des Nutzens
negativ. Nur wenn er auf der bleibt, ändert sich sein Nutzen nicht.
und sind Veränderungen, nicht des Nutzens, sonders des Konsums heute und
im Zeitpunkt 1.
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Seite 24

Lösung Aufgabe 2
3. (Fortsetzung)
und
geben den Grenznutzen von Konsum heute und morgen an.
Anschaulich gesprochen sind es Gewichtungsfaktoren, die angeben, wie stark der Einfluss
von Konsumänderungen für den Investor sind.
Ist
besonders groß, dann gewichtet der Investor Konsumänderungen heute stark
und ist damit ein ungeduldiger Investor. Ungeduldige Investoren zeichnen sich dadurch
aus, dass sie heute möglichst viel konsumieren möchten.
Die beiden partiellen Ableitungen müssen ein positives Vorzeichen besitzen, da der
Investor ungesättigt ist. Was so viel bedeutet, wie mehr ist immer besser. Eine zusätzliche
Geldeinheit hat für ihn immer einen positiven Nutzeneffekt, egal ob heute oder
morgen.
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Seite 25

Lösung Aufgabe 2
4. Die Grenzrate der Substitution (= Marginal Rate of Substitution MRS) gibt an, in
welchem Verhältnis heutiger Konsum mit Konsum von morgen getauscht wird.
Sie entspricht damit der Steigung der Indifferenzkurve und kann aus dem totalen
Differential hergeleitet werden.
Wobei
genau das Austauschverhältnis zwischen heutigen Konsum und
morgigen beschreibt, was genau der Definition der Grenzrate der Substitution
entspricht.
Dieser Ausdruck kann ebenfalls aus dem totalen Differential, durch Umstellung der
Gleichung, gewonnen werden:
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Seite 26

Lösung Aufgabe 2
b) ii. Lösungsweg 1: Das Nutzenmaximum ist erreicht, wenn die Indifferenzkurve so weit
wie möglich nach außen verschoben ist.
Indifferenzkurven innerhalb der Transformationsfunktion können nicht optimal sein.
Indifferenzkurven „außerhalb“ sind zwar wünschenswert, aber nicht erreichbar, da der
Investor von der Transformationsfunktion begrenzt wird.
Das höchst erreichbare Nutzenniveau ist das, in dem sich Transformationsfunktion
und Indifferenzkurve tangieren bzw. wo deren Steigungen gleich ist.
Steigung der Indifferenzkurve:
Die Steigung Transformationsfunktion ( 22∙
144 ):
Bilden der beiden partiellen Ableitungen
und
Einsetzen und gleichsetzen liefert
→ ∙
→22∙14422∙ 11∙ → 96→ 22∙ 144 96 152,42
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Seite 27

Lösung Aufgabe 2
b) ii. Lösungsweg 2: Das Nutzenmaximum ist erreicht, wenn der Nutzen ∙ unter
Einhaltung der Budgetrestriktion (Tangentialfunktion 22∙ 144 ) maximal
wird:
∙ ∙22∙
22∙ 144
144
∙,
0
→ 144 ∙,
→144 0,5∙ → 96→ 152,42
Das Nutzenmaximum beträgt: ∙ 96 ∙ 152,42 14.632
b) iii. Das optimale Investitionsprogramm ist bereits implizit errechnet worden:
22∙ → ,
48 : 144 96 48
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Seite 28

Lösung Aufgabe 2
b) Ohne Kapitalmarkt ergibt sich folgende optimale Lösung:
300
264
200
∗ 152
100
0
0 60 ∗ 96 120 A=144 180
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Seite 29

Lösung Aufgabe 2
b) iv. Die Frage, ob eine Separation von Konsum und Investitionsentscheidungen möglich
ist (bzw. Gültigkeit des Fisher Separationstheorems), muss verneint werden.
Wenn ein Investor die Konsumentscheidung getroffen hat (im obigen Beispiel
∗ 96) hat er automatisch auch das Investitionsprogramm festgelegt ( 48).
Wie viel ein konkreter Investor nun im Optimum konsumiert hängt, von seiner
Nutzenfunktion ab, und die für jeden Investor unterschiedlich ist.
Das bedeutet, sobald mehrere Investoren zusammen über das Investitionsvolumen
diskutieren, wird jeder ein unterschiedliches vorschlagen, da jeder unterschiedliche
Konsumpräferenzen hat.
Eine Trennung von Konsum- und Investitionsentscheidungen ist somit nicht möglich
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Seite 30

Lösung Aufgabe 2
c) i. Steigung der Kapitalmarktgerade: 1 1,375
Die Kapitalmarktgerade gibt Auskunft darüber, wie viel ein Investor eine Periode später
zurückerhält in Abhängigkeit von seinem Investitionsbetrag.
Im Tangentialpunkt der Transformationskurve und der Kapitalmarktgeraden sind die
Steigungen gleich (vgl. auch b):
1,375
Nach auflösen ergibt dann 15,125² 144 → 80
→ 22∙ 144 80 176
Dies sind die Koordinaten des Tangentialpunktes.
Das Investitionsniveau erhöht sich auf
64
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Seite 31

Lösung Aufgabe 2
c) ii. Um die Gleichung der Kapitalmarktgeraden zu herleiten können müssen
1. die Steigung
2. und der y-Achsenabschnitt bekannt sein.
Die Steigung von –1,375 ist aus der Aufgabenstellung bereits gegeben
Der y-Achsenabschnitt entspricht , - Wie kann dies erreicht werden?
‣ Steigung der Kapitalmarktgeraden = Zins
‣ Steigung Transformationskurve = Projektrendite (fallend, siehe Grafik)
‣ Ein rationaler Investor investieren, abhängig davon welche Steigung größer ist.
‣ Die Steigung der Transformationskurve ist bis zu dem Tangentialpunkt größer, im
Tangentialpunkt sind die Steigungen identisch, ab diesem Punkt wird er jede weitere
Geldeinheit am Kapitalmarkt anlegen, da dort die Rendite höher ist.
Jeder rationale Investor ist sich über das optimale Investitionsvolumen einig
Bis zum Tangentialpunkt wird ein positiver Kapitalwert generiert wird, den kein
rationaler Investor ausschlagen würde.
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Seite 32

Lösung Aufgabe 2
• ii. Um , zu erreichen, muss bis zum Tangentialpunkt in die Transformationskurve
investiert werden und das restliche Geld am Kapitalmarkt angelegt werden.
Investition in die Transformationskurve: , 64→ 144 64 80, 176
Anlage auf dem Kapitalmarkt: , 144 64 80 → 80∙1,375110
Maximaler Konsum , 176 110 286
Die Gleichung der Kapitalmarktgeraden ergibt sich damit aus: 286 ∙ 1,375
300
, 286
200
∗ 176
∗
100
0
0 50 ∗ 80100 150 200
, 208
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Seite 33

Lösung Aufgabe 2
c) iii. Die Idee zur Lösung des Aufgabenteils verläuft analog zu b) (ii), wo die Indifferenzkurven
so weit wie möglich nach außen verschoben werden sollten, bis sie die
Transformationskurve tangieren.
Durch die Einführung des Kapitalmarktes konnte eine Effizienzsteigerung erreicht
werden, so dass die Indifferenzkurven nicht mehr von der Transformationskurve
begrenzt werden, sondern durch die Kapitalmarktgerade.
Der maximale Nutzen für den Investor ist jetzt genau dann erreicht, wenn die
Indifferenzkurve die Kapitalmarktgerade tangiert, die Steigungen sind hier gleich:
Steigung der Kapitalmarktgerade: 1 1,375
Steigung Indifferenzkurve:
MRS→
1,375 ∙
Einsetzen in die Kapitalmarktgeraden gibt: 1,375 ∙ 286 ∙ 1,375
→ , 104 → , 286104∙1,375143
Das Nutzenmaximum mit Kapitalmarkt beträgt: ∙ 104 ∙ 143 14.872
Durch die Einführung des Kapitalmarktes konnte der Nutzen des Investors um 236,63
gesteigert werden.
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Seite 34

Lösung Aufgabe 2
b) Mit Kapitalmarkt ergibt sich folgende Optimale Lösung:
300
264
iv. Das optimale Investitionsprogramm
ist bereits errechnet
worden , 64
200
, 142
100
∗ 176
∗
0
∗ 80
0 60 , 104120 A=144 180
, 208
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Seite 35

Lösung Aufgabe 2
c) v. Wenn das Grenzprodukt der Transformationskurve gleich dem Kapitalmarktverzinsung
ist, dann ist das optimale Investitionsvolumen bestimmt worden:
11
1,375 → 64
vi. Sobald ein vollständiger und vollkommener Kapitalmarkt existiert, können
Investitionsentscheidungen von den Konsumentscheidungen getrennt werden und das
Fisher-Separationstheorem ist gültig.
Jeder rationale Investor wird solange in die Transformationskurve investieren, solange
ihre Steigung größer ist, da sich ein positiver Kapitalwert generieren lässt.
Sobald die Steigung der Transformationskurve geringer wird, wird kein Investor mehr
Geld in Sachmittelinvestitionen stecken
Diese Entscheidung treffen die Investoren unabhängig von ihren Konsumpräferenzen.
Wo sie sich allerdings auf der Kapitalmarktgeraden positionieren ist sehr wohl abhängig
von ihren Konsumpräferenzen:
‣ Geduldige Investoren werden zusätzlich Geld auf dem Kapitalmarkt anlegen.
‣ Ungeduldige Investoren werden Kredite aufnehmen.
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Lösung Aufgabe 2
c) vii. Um den Kapitalwert des Investitionsvolumens errechnen zu können, muss die
heutige Vermögensmehrung bestimmt werden. Das maximal mögliche Konsumniveau
heute ist genau dann erreicht, wenn im Zeitpunkt 1 nicht konsumiert wird:
02861,375∙ , → , 208
Jetzt muss nur noch die Differenz aus dem Anfangsvermögen und dem maximal
möglichen Konsum heute gebildet werden.
, 208 144 64
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Lösung Aufgabe 2
d) i. Die Lösung erfolgt analog zu c) ii.: Um die Gleichung der Sollzinsgeraden herleiten zu
können müssen
1. die Steigung
2. und der y-Achsenabschnitt bekannt sein.
Die Steigung von –1,375 ist aus der Aufgabenstellung bereits gegeben
Der y-Achsenabschnitt entspricht , - Dieser setzt sich zusammen aus einer
Investition von 64 in die Transformationskurve und Anlage von 80 am Kapitalmarkt.
Dabei sollte nicht vergessen werden, dass eine Anlage zu 37,5% nicht möglich ist, da es
sich um die Sollzinsgerade handelt, aber diese gedankliche Rechnung muss
durchgeführt werden, um die Gleichung bestimmen zu können.
Investition in die Transformationskurve: , 64, 176
Anlage auf dem Kapitalmarkt: , 80→ 80 ∙ 1,375 110
Maximaler Konsum , 176 110 286
Da jetzt der y-Achsenabschnitt und Steigung die bekannt sind, kann die Gleichung der
Sollzinsgeraden angegeben werden: 286 ∙ 1,375
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Lösung Aufgabe 2
d) ii. Die Lösung erfolgt analog zu c) ii.: Um die Gleichung der Sollzinsgeraden herleiten zu
können müssen
1. die Steigung
2. und der y-Achsenabschnitt bekannt sein.
Die Steigung von –1,1 ist aus der Aufgabenstellung bereits gegeben
Der y-Achsenabschnitt entspricht , - Dieser setzt sich zusammen aus einer
Investition in die Transformationskurve (Sachmittel) und Anlage am Kapitalmarkt
(Habenzinsgerade). Zuerst muss der Tangentialpunkt zwischen Habenzinsgeraden und
Transformationskurve bestimmt werden. Die Steigungen müssen identisch sein!
11
1,1 → 10² 144 → 44
144
Investition in die Transformationskurve: 144 44 100
→ 22∙ 100 220
Anlage auf dem Kapitalmarkt: 144 100 44 → 44∙1,148,4
Maximaler Konsum , 220 48,4 268,40
Da jetzt der y-Achsenabschnitt und Steigung die bekannt sind, kann die Gleichung der
Sollzinsgeraden angegeben werden: 268,40 ∙1,1
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Lösung Aufgabe 2
d) ii. Die Lösung erfolgt analog zu c) ii.: Um die Gleichung der Sollzinsgeraden herleiten zu
können müssen
1. die Steigung
2. und der y-Achsenabschnitt bekannt sein.
Die Steigung von –1,1 ist aus der Aufgabenstellung bereits gegeben
Der y-Achsenabschnitt entspricht , - Dieser setzt sich zusammen aus einer
Investition in die Transformationskurve (Sachmittel) und Anlage am Kapitalmarkt
(Habenzinsgerade). Zuerst muss der Tangentialpunkt zwischen Habenzinsgeraden und
Transformationskurve bestimmt werden. Die Steigungen müssen identisch sein!
11
1,1 → 10² 144 → 44
144
Investition in die Transformationskurve: 144 44 100
→ 22∙ 100 220
Anlage auf dem Kapitalmarkt: 144 100 44 → 44∙1,148,4
Maximaler Konsum , 220 48,4 268,40
Da jetzt der y-Achsenabschnitt und Steigung die bekannt sind, kann die Gleichung der
Sollzinsgeraden angegeben werden: 268,40 ∙1,1
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Lösung Aufgabe 2
d) ii. Mit Kapitalmarkt und unterschiedlichen Soll-und Habenzinsen ergibt sich folgende
optimale Lösung:
300
264
240
180
, 142
120
60
∗
∗
III II I
Sollzinssatz
Habenzinssatz
0
208
,
0 60 , 104120 144 180 240
243
,
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Lösung Aufgabe 2
d) iii.
Gültigkeitsbereich I wird von der Sollzinsgeraden bestimmt: Sie Investoren sind
ungeduldig. Sie investieren bis ∗ in Sachmittel, verschulden sich zusätzlich, um ihren
heutigen Konsum zu erfüllen, zu 37,5%.
Im Gültigkeitsbereich II ist Steigung der Sollzinsgeraden zwar größer als die der
Transformationskurve, aber eine Anlage auf der Sollzinsgeraden ist nicht möglich, da zu
diesem Zins ausschließlich Geld aufgenommen werden kann. Weiterhin ist eine Anlage
auf der Habenzinsgeraden nicht sinnvoll, denn die Steigung der Transformationskurve
ist im Gültigkeitsbereich II größer. Dieser Gültigkeitsbereich wird demnach von der
Transformationskurve bestimmt.
∗
Geduldige Investoren befinden sich im Gültigkeitsbereich III und investieren bis zu
ihr Geld in Sachmittel und legen dann noch zusätzlich Geld auf der Habenzinsgeraden
an. Die Sollzinsgerade liegt zwar oberhalb der Habenzinsgerade, aber diese
Nutzenniveaus sind leider nicht erreichbar, da das Geld nicht zum Sollzins angelegt
werden kann.
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Lösung Aufgabe 2
d) iv. Da der Kapitalmarkt unvollkommen ist, besitzt das Separationstheorem von Fisher
keine generelle Gültigkeit mehr. Es können zwei Spezialfälle benannt werden, in denen
eine Separation möglich ist:
‣ Man stelle sich eine homogene Gruppe aus ungeduldigen Investoren vor. Alle
∗
werden sich darüber verständigen können, dass sie bis zu in Sachmittel
investieren. Welchen Punkt sie nun genau auf der Sollzinsgeraden einnehmen hängt
vom Grad ihrer Ungeduld ab.
‣ Die identische Überlegung kann für eine homogene Gruppe aus geduldigen
Investoren angestellt werden. In diesem Fall werden sich alle darauf verständigen,
dass sie bis ∗ in Sachmittel investieren und sich dann auf der Habenzinsgeraden
positionieren.
‣ Sobald eine Gruppe inhomogen ist, die aus ungeduldigen und geduldigen Investoren
besteht werden die geduldigen ∗ als optimales Investitionsprogramm vorschlagen,
∗
während die ungeduldigen vorschlagen werden. Eine Separation ist nun nicht
mehr möglich.
Zusammenfassend: Eine Trennung von Konsum- und Investitionsentscheidungen ist
nur möglich, wenn eine homogene Gruppe von Investoren vorliegt, die entweder stark
ungeduldig oder sehr geduldig sind.
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