Aufgabensammlung zur Kombinatorik

6 Aufgabensammlung zum Thema 6 (Kombinatorik)
Aufgabe 6.1 Anja möchte zu ihrem Geburtstag ihre Freunde bewirten und kauft dafür 10 Flaschen
Limonade. Zur Auswahl stehen drei Sorten: rote, gelbe und weiße Limonade.
Wie viele Einkaufsmöglichkeiten der Auswahl hat Anja
(a) insgesamt,
(b) wenn sie von jeder Sorte mindestens zwei Flaschen,
(c) wenn sie von der roten Limonade mehr Flaschen als von jeder der anderen beiden Sorten
kaufen will? Beispiele: Nur rote Flaschen, 5 rote und 3 gelbe Flaschen (und demzufolge zwei weiße).
Hinweis: Sie könnten die möglichen Zusammenstellungen einfach aufzählen, etwa nach dem Muster dieser noch zu vervollständigenden
Tabelle (die Anzahl der weißen Flaschen brauchen Sie dazu gar nicht). Begründen Sie Ihre Antwort.
Anzahl Rot 5
Mögl. Anzahl Gelb 4, 3, 2, 1
Anzahl
∑ :
(d) Jetzt kauft Anja 4 rote, 4 gelbe und zwei weiße Limonaden und beginnt diese, so in einer
Reihe anzuordnen:
R G W 4 5 6 7 8 9 10
(Auf Platz 1 rote Limonade, auf Platz 2 gelbe und auf Platz 3 weiße Limonade)
Auf wie viele Arten kann Anja die verbleibenden Sorten anordnen?
Aufgabe 6.2 Anja will an ihrem Geburtstag das Glücksspiel ”
Sieben gewinnt“ spielen. Dafür verwendet
sie zwei unterschiedliche Würfel, einen blauen und einen roten. Bei einem Wurf werden beide
Würfel zusammen geworfen und die Summe der Augenzahlen gebildet. Jeder Spieler würfelt viermal
mit beiden Würfeln, gewonnen hat der Spieler, der am häufigsten eine Sieben gewürfelt hat. Zu diesem
Würfelspiel hier ein paar Fragen:
(a) Wie viele unterschiedliche Würfelergebnisse sind bei einem einmaligen Wurf überhaupt möglich?
Beispiele: Blauer Würfel eine Drei und roter Würfel eine Eins, blauer Würfel eine Eins und roter Würfel eine Drei.
(b) In wie viel Fällen tritt bei einmaligem Würfeln eine Sieben auf und wie groß ist die Chance 7
für dieses Ereignis?
Beispiele: Blauer Würfel eine Vier und roter Würfel eine Drei, blauer Würfel eine Drei und roter Würfel eine Vier.
(c) Anja erklärt das Spiel ihren Freunden und würfelt viermal nacheinander. Dabei hat sie Glück,
denn sie erzielt genau dreimal eine Sieben.
Wie viele Möglichkeiten gibt es für dieses schöne Ereignis (bei viermaligem Würfeln genau
dreimal eine Sieben). Wie groß ist die Chance dafür?
(d) Anjas Freunde haben weniger Glück und würfeln bei vier Würfen höchstens einmal eine Sieben.
Wie viele Möglichkeiten gibt es für dieses Ereignis (bei viermaligem Würfeln höchstens einmal
eine Sieben). Wie groß ist die Chance dafür?
Aufgabe 6.3 Bei einem Eignungstest für eine Tutorentätigkeit müssen die Bewerber vier Fragen
beantworten.
7 Die Chance dafür, dass ein bestimmtes Würfelereignis eintritt, ist die Anzahl aller Fälle, in denen das
Ereignis eintritt, dividiert durch die Anzahl aller Würfelergebnisse.
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• Für jede Frage sind die Antworten aus einem Menü von zwei richtigen und einer falschen
Antwort auszuwählen und auf dem Prüfungsbogen anzukreuzen. Es braucht auch gar nichts
angekreuzt zu werden. 8
• Für jede richtige Antwort gibt es einen Punkt, für die falsche einen Minuspunkt. 9
Bewerber, die bei einer Frage 3 Antworten anzukreuzen, werden disqualifiziert.
• Ein Bewerber besteht den Test, wenn er mindestens 6 Punkte erhält.
Klaus kann sich bei keiner der Fragen für irgend eine Antwort entschließen und füllt daher den Bogen
durch Raten aus.
Wie groß ist Klaus’ Chance, den Test zu bestehen?
(a) Überlegen Sie zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine einzelne Frage zu beantworten (also
null Kreuze, ein Kreuz oder zwei Kreuze zu verteilen) und berechnen Sie hieraus die Anzahl m
der Möglichkeiten, Kreuze auf dem gesamten Fragebogen zu verteilen.
(b) In wie viel Prozent dieser m Fälle kann man mindestens 6 Punkte erreichen?
Hier ist eine Fallunterscheidung erforderlich. Wieviele Möglichkeiten gibt es, bei einer Frage einen Punkt bzw. null Punkte zu erhalten?
Aufgabe 6.4 Aus den 6 Buchstaben A, E, L, N, R, T sind achtstellige Codewörter zu bilden.
(a) Wie viele solcher Codes gibt es insgesamt?
Beispiele: TRANNARR, RATATATA
(b) Wie viele solcher Codes gibt es, in denen jeder Konsonant genau einmal auftritt?
Beipiele: RATALANA, TEERLENA Welche Möglichkeiten gibt es dann für A und E?
(c) Jetzt sollen alle sechs Buchstaben in dem Code auftreten.
– Wie viele solcher Codes gibt es, wenn darin Buchstaben dreimal auftreten?
Beispiel: RENATELE
– Wie viele solcher Codes gibt es, wenn darin Buchstaben zweimal, aber nicht dreimal auftreten?
Beispiel: TARANTEL
Aufgabe 6.5 Die Babelsberger Sparkasse verteilt an ihre Kunden neue EC-Karten mit vierstelligen
PIN-Codes aus den Zifferen 0,1,2,. . . ,9.
(a) Wie viele solcher PIN-Codes gibt es überhaupt und in wie viel Prozent davon treten in den
Codes Ziffern nicht mehrfach auf?
(b) Die Sparkasse will die Sicherheit der PIN-Codes erhöhen und lässt keine Codes zu, in denen
Ziffern drei- oder vierfach auftreten. Unzulässig sind dann Codes wie 0000, 3133, 5585 oder
5855 usw. Wie viel Prozent aller denkbaren Codes sind dann zulässig?
Anleitung für (b): Überlegen Sie zuerst am Beispiel, wie viele Codes es mit genau drei Fünfen gibt.
8 Beispiel für eine solche Frage: Ist ”
Beethoven“ der Name eines Hundes (A), eine Bezeichnung für ein
Blumenbeet (B) oder der Name eines Komponisten (C)? Dann sind A und C die richtigen Antworten, A
wegen eines amerikanischen Films aus dem Jahr 1991.
9 Beispiel: Auf diesem ausgewerteten Fragebogen sind die richtigen Antworten durch Kreise gekennzeichnet.
Werden die Antworten wie angegeben angekreuzt, so erhält der Bewerber 2 + 0 + (1 − 1) + 2 = 4 Punkte.
A B C
Frage 1 ○× ○×
Frage 2 ○ ○
Frage 3 ○ ○× ×
Frage 4 ○× ○×
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Aufgabe 6.6 Alina wird an den drei aufeinander folgenden Sonntagsziehungen am 15., 22. und 29.
Januaer 2012 im Zahlenlotto ”
5 aus 25“ spielen (5 aus den 25 Zahlen 1,2,. . . ,25 ziehen).
(a) Wie hoch ist Alinas Chance, am 29. Januar alle 5 richtigen Zahlen zu ziehen?
(b) Wie hoch ist die Chance, dass Alina bei genau einer der drei Ziehungen (egal, bei welcher)
die Zahl 7 zieht und wie hoch ist die Chance, dass sie bei allen drei Ziehungen die 7 zieht?
Anleitung: Wie viele Möglichkeiten gibt es, bei 5 aus 25 gezogenen Zahlen die Zahl 7 zu ziehen?
Aufgabe 6.7 Anna Luise sichert ihr neues Notebook mit einem sechsstelligen Code. Dafür steht
der Zeichenvorrat des hexadezimalen Alphabets (bestehend aus den zehn Ziffern 0,1,2,. . . ,9 und den
sechs Buchstaben A,B,C,D,E,F) zur Verfügung.
Berechnen Sie die Anzahl aller solcher Sicherungscodes in den folgenden fünf Fällen.
(a) Insgesamt, also ohne irgend welche Einschränkungen.
(b) In dem Code sollen nicht Buchstaben und Ziffern gemeinsam auftreten (es sind also nur
reine Zahlencodes wie ”
0 8 1 5 0 8“ und reine Buchstabencodes wie ”
F A D B A D“ zugelassen).
(c) Ziffern und Buchstaben sollen einander abwechseln wie in ”
A 7 B 6 A 7“ oder ”
0 C 8 D 0
D“.
(d) Der Code soll mit einem Buchstaben beginnen, Ziffern und Buchstaben sollen einander abwechseln,
nicht mehrfach auftreten und jeweils in natürlicher Reihenfolge stehen wie in ”
B
4 D 7 E 8“ oder ”
A 0 C 3 D 6“.
(e) Der Code soll drei Ziffern und drei Buchstaben enthalten wie etwa in ”
A E 3 1 B 7“, aber kein
Symbol mehrfach.
Anleitung für (e): Überlegen Sie zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, drei von sechs Plätzen für Buchstaben zu reservieren, –
auf den anderen Plätzen stehen dann die Ziffern.
Aufgabe 6.8 Eugen soll während seines Praktikums in einem Zuchtbetrieb für Kartoffelpflanzen fünf
neue Kartoffelsorten nach den vier Eigenschaften G (Geschmack), F (Fest kochend), L (Lagerfähigkeit)
und M (Mehlig) beurteilen und für jede Eigenschaft eines der Prädikate 0 (mäßig) oder 1 (gut)
verwenden. Eugen trägt seine Testergebnisse in ein Formular ein, das etwa so aussehen könnte:
Sorte Geschmack Fest kochend Lagerfähig Mehlig
Grüne Knolle 0 1 0 1
Rote Tolle 1 1 0 0
Weißer Riese 1 0 0 1
Gelber Teufel 1 0 0 1
Rosa Linda 1 1 1 0
Wie viele Möglichkeiten hat Eugen theoretisch in den folgenden Fällen, solch ein Formular auszufüllen?
Anleitung: Wie viele Fälle gibt es denn, für eine einzelne Sorte alle Eigenschaften zu beurteilen?
(a) Insgesamt, also ohne irgend welche Einschränkungen.
(b) Jede Kartoffelsorte erhält mindestens dreimal das Prädikat ”
1“.
(c) Keine Sorte erhält mehr als zweimal das Prädikat ”
0“.
(d) Keine Sorte Sorte erhält ausschließlich das Prädikate ”
1“.
(e) Höchstens eine Sorte erhält ausschließlich das Prädikat ”
1“.
Hier können Sie das Ergebnis von (d) verwenden.
Aufgabe 6.9 Friedbert arbeitet als Warentester und soll 8 Sorten von Tomatenkonfitüre auf ihre
Qualität testen und danach die Prädikate A ( ”
Ausgezeichnet“), G ( ”
Gut“) , Z ( ”
Zufrieden stellend“)
oder M ( ”
Mangelhaft“) zuteilen. Friedbert hat aber zum Testen keine Zeit und verteilt die Prädikate
willkürlich. Eine Möglichkeit wäre zum Beispiel:
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Sorte 1 2 3 4 5 6 7 8
Prädikat A G A Z A M A A
Wie viele Möglichkeiten der Zuteilung der Prädikate hat Friedbert, wenn niemals alle Sorten das
gleiche Prädikat erhalten,
(a) insgesamt,
(b) wenn er jeweils jedes Prädikat zweimal zuteilt, (Beispiel: (G,A,M,Z,Z,A,M,G))
(c) wenn er jeweils das Prädikat ”
Ausgezeichnet“ mindestens fünfmal zuteilt, (Beispiel siehe Kasten)
(d) wenn er nur die Prädikate ”
Ausgezeichnet“ und ”
Mangelhaft“ zuteilt, aber dabei jedes der
beiden Prädikate mindestens dreimal?
(Beispiel: (A,M,M,A,M,M,A)) Anleitung: Welche Fälle sind hier nicht möglich?
Aufgabe 6.10 Friedbert will die Note seiner Mathematikklausur aus dem Internet abfragen und
muss dazu seine fünfstellige Matrikelnummer der Universität Klein-Potsdam eingeben. Leider hat
er die Nummer komplett vergessen und muss sein Klausurergebnis nun durch Probieren finden, – ein
aussichtsloses Unterfangen.
Wie viele Möglichkeiten muss Friedbert in den angeführten Fällen (a-d) schlimmstenfalls probieren,
wenn er weiß, dass die Matrikelnummer
(a) keine Ziffer mehr als einmal enthält,
(b) nicht mit einer Null beginnt,
(c) keine Ziffer mehr als einmal enthält und nicht mit einer Null beginnt,
Anleitung: Schließen Sie einfach den Fall mit der führenden Null aus.
(d) zweimal oder dreimal die Ziffer 7 enthält und nicht mit einer Null beginnt?
Anleitung: Rechnen Sie erst einmal ohne die Einschränkung mit der Null und schließen Sie dann jeweils die Fälle mit führender
Null aus.
Aufgabe 6.11 Ein Hotel richtet für seine Gäste Schließfächer ein, die mit einem fünfstelligen Code
aus den 10 Buchstaben {A,E,I,O,U} und {B,D,F,K,R} gesichert werden.
1. Fall: In dem Code dürfen die Buchstaben mehrfach vorkommen.
(1a) Geben Sie die Anzahl aller derartigen Codes an.
(1b) Geben Sie die Anzahl derjenigen Codes an, in denen der Buchstabe A höchstens zweimal
auftritt.
Beispiele: ”
BUFFO“,
” BARKE“, ” DAKAR“
(1c) Geben Sie die Anzahl derjenigen Codes an, die genau einen Vokal enthalten.
Beispiele: ”
FURKK“,
” BRARK“
2. Fall: In dem Code dürfen die Buchstaben nicht mehrfach vorkommen.
(2a) Geben Sie die Anzahl aller derartigen Codes an. Beispiel: ”
FREUD“
(2b) Geben Sie die Anzahl derjenigen Codes an, in denen sowohl Konsonanten als auch Vokale
nicht unmittelbar nebeneinander stehen. Beispiele: ”
KEFIR“,
” ERIKA“
Aufgabe 6.12 Friedbert ist Wirt in einem Restaurant und soll für ein Hochzeitsessen den Wein
aussuchen. Er hat dafür 5 Sorten zur Auswahl an:
Trockenen (TW) und halbtrockenen (HW) Weißwein, trockenen (TR) und halbtockenen (HR) Rotwein
und Rosé-Wein (R). Der Bräutigam beauftragt Friedbert, (erst einmal) 12 Flaschen Wein auf die
Hochzeitstafel zu stellen. Wieviele Auswahlmöglichkeiten hat Friedbert in den folgenden Fällen:
(a) Gar keine Einschränkungen. Beispiel 1: nur Rosé-Wein
(b) Alle Sorten, aber von jeder Sorte mindestens zwei Flaschen. Beispiel 2: Von den Rot- und Weißweinsorten
je 2 Flaschen und 4 Flaschen Rosé-Wein
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(c) Vom Rosé-Wein höchstens vier Flaschen.
(d) Keinen Rosé-Wein und vom Rotwein und Weißwein j 6 Flaschen.
Der Bräutigam hat sich für das Beispiel 2 entschieden und beauftragt Friedbert, die 12 Flaschen auf
der Tafel in einer Reihe anzuordnen.
(e) Wie viele Möglichkeiten der Anordung hat Friedbert?
Beispiel: { TR, HW, R, HR, R, TW, TW, R, R, TR, HR, HW}
Aufgabe 6.13 Der Zugang zu den Internetseiten von Frau Prof. Vorsichtig ist durch die Eingabe
eines aus fünf Buchstaben bestehenden Passwortes geschützt. Für die Buchstaben stehen die fünf
Vokale A, E, I, O, U und die fünf Konsonanten F, M, R, S, T zur Verfügung.
Beispiele: FRUST, FEIST, MASSE, SESAM, AAIAA
(a) Wieviele Passwörter gibt es insgesamt?
(b) Wieviele Passwörter gibt es, wenn darin höchstens zweimal der Konsonant S auftreten darf?
(c1) Wieviele Passwörter gibt es, in denen die Buchstaben A und O beide gemeinsam und sonst
keine weiteren auftreten? Achtung: Nur A allein oder nur O allein sind verboten!
(c2) Wieviele Passwörter gibt es, die aus je zwei Buchstaben (nicht nur aus
einem!) bestehen? Beispiele: MAMAM, SASSA. Verwenden Sie die Lösung von (c1)
(d) Wieviele Passwörter gibt es, wenn keine Buchstaben mehrfach und nur entweder Vokale
oder Konsonanten verwendet werden dürfen?
Aufgabe 6.14 Robert soll für seine Mutter 10 Paprikaschoten einkaufen. Im Angebot sind rote,
gelbe, grüne und – eine Neuzüchtung – weiße.
Wieviele Auswahlmöglichkeiten hat Robert in den folgenden Fällen:
(a) Gar keine Einschränkungen. Beispiel 1: 10 gelbe
(b) Alle Farben, aber drei Farben je dreifach. Beispiel 2: rot nur einmal
(c) Von jeder Sorte mindestens zwei. Beispiel 3: Drei rote, zwei gelbe, zwei grüne, drei weiße
(d) Von zwei Sorten mindestens vier.
Beispiel 4: 5 rote, 4 gelbe, eine weiße.
Beispiel 5: 1 rote, 4 gelbe, 4 grüne, 1 weiße
(e) Robert hat sich für das Beispiel 3 entschieden und legt jetzt seiner Mutter das Gemüse zur
Besichtigung in einer Reihe vor: Erst zwei rote, dann eine gelbe, dann die beiden grünen, die
drei weißen, dann noch eine rote und am Schluss wieder eine gelbe. Aber Robert hätte dafür
noch viele andere Möglichkeiten! Wieviele insgesamt?
Aufgabe 6.15 Tobias überprüft die Gesetze der Kombinatorik experimentell. Dazu probiert er bei
einem Skatspiel mit französischen Karten 10 , wie groß die Chance ist, dass unter 10 zufällig zugeteilten
Karten nur Damen, Könige oder Asse vorkommen.
Tobias überlegt so: Er könnte drei Damen (etwa nicht die Herz-Dame), drei Könige (etwa nicht den
Kreuz-König) und alle Asse bekommen, oder auch zwei Damen und alle Könige und Asse oder alle
Damen und Könige und zwei Asse, und so weiter. Tobias findet auf diese Weise tatsächlich die Lösung.
Finden Sie diese auch und vielleicht noch eine sehr viel einfachere Lösung?
10 Ein solches Kartenspiel besteht aus den 8 Spielkarten 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König und As, jeweils in
den vier Farben ♣, ♥, ♠ und ♦.
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Aufgabe 6.16 Tobias würfelt neunmal nacheinander.
Wie groß ist die Chance, dass er dabei mindestens siebenmal eine 5 oder eine 6 würfelt?
Beispiele für solche Würfelserien: (3,5,6,5,6,1,6,6,5), (6,6,6,2,5,5,6,6,5), (6,5,6,5,5,5,5,6,6)
Aufgabe 6.17 Für eine Familienfeier möchte Anja einen runden Tisch für 5 Personen ( Mutter, Vater,
Bruder Stephan, Anjas Freund Tobias und sich selbst) festlich decken. Anja legt zunächst die Plätze
für die 5 Personen fest und greift dann zu den Servietten. Davon hat sie 8 Päckchen zur Verfügung
(Sorten A bis H). Anja stellt fest, dass es sehr viele Möglichkeiten der Verteilung der Servietten gibt.
(a) Wie viele farblich unterschiedliche Möglichkeiten gibt es insgesamt?
Für die feste Reihenfolge der Personen bedeutet (C,A,E,G,C), dass die Mutter die Sorte C bekommt, der Vater die Sorte A, usw.
(b) Jetzt entscheidet sich Anja dafür, genau drei Sorten zu verwenden.
• Berechnen Sie die Anzahl aller farblich unterschiedlichen
Möglichkeiten bei beliebiger Auswahl
der drei Serviettensorten und
• schließlich für den Sonderfall, dass nebeneinander
sitzende Personen Servietten unterschiedlicher
Sorte bekommen sollen.
Beim Sonderfall ist von den hier skizzierten Beispielen
(G,H,G,H,C) und (G,H,C,H,G) das rechte unzulässig, da der
Tisch rund ist! Überlegen Sie doch einfach systematisch, auf
wie viele Arten z.B. die Kombination (CGGHH) verteilt werden
kann, – das sind gar nicht viele.
St.
.
.
Va.
H
G
H
To.
.
G
C
.
Mu.
.
An.
St.
.
.
Va.
H
C
H
To.
.
G
G
.
Mu.
.
An.
Aufgabe 6.18 Bei einer mündlichen Prüfung sitzen die drei Prüflinge Ina Ängstlich, Susi Sorgenvoll
und Bertram Trotzig auf einer langen Bank, zusammen mit ihren vier Tutoren Anne Hilfreich, Ewald
Geduldig, Tanja Pingelig und Max Ungeduldig.
(a) Wie viele Möglichkeiten einer Sitzordnung gibt es insgesamt – und dann für den Fall, dass die
Prüflinge jeweils nebeneinander und die Tutoren jeweils nebeneinander sitzen?
(b) Damit die Prüflinge sich nicht untereinander austauschen, müssen zwischen je zwei Prüflingen
Tutoren sitzen.
Wie viele Sitzordnungen bleiben dann noch übrig?
Anleitung: Skizzieren Sie im Teil (b) zunächst schematisch alle Möglichkeiten, drei Symbole P (Prüfling) und vier Symbole T
(Tutor) wie angegeben auf der Bank zu verteilen. Ordnen Sie anschließend jedem derartigen Schema auf alle möglichen Arten die
konkreten Personen zu.
Aufgabe 6.19 Max sitzt mit seinen Freunden beim Skatspiel mit französischen Karten und erhält
aus dem gut gemischten Kartenspiel seine 10 Karten.
Wie groß ist Maxens Chance, unter seinen 10 Karten folgende Karten zu erhalten?
(a) mindestens zwei Asse,
(b) keine Kopfkarten 11 ,
(c) höchstens 3 Kopfkarten bzw.
(*) kein komplettes Paar (Dame, König) mit übereinstimmender Farbe.
Aufgabe 6.20 Ina will 10 Äpfel einkaufen. Im Angebot sind rote, gelbe, grüne und gesprenkelte, die
sich jeweils in Farbe und Form gleichen.
Wie viele Einkaufsmöglichkeiten hat Ina in den folgenden Fällen?
(a) Gar keine Einschränkungen,
(b) von jeder Sorte mindestens zwei.
11 Kopfkarten sind Buben, Damen und Könige.
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(c) von zwei Sorten mindestens jeweils vier,
(d) ein gesprenkelter Apfel sollte mindestens dabei sein.
Ina hat sich für drei rote, zwei gelbe, zwei grüne und drei gesprenkelte Äpfel entschieden und legt
diese auf dem Band an der Kasse in einer Reihe hin, erst einen gelben Apfel, dann zwei gesprenkelte,
dann zwei rote, dann den zweiten gelben, dann die zwei grünen und zum Schluss den letzten roten
und schließlich den letzten gesprenkelten Apfel.
Ina könnte die Äpfel aber auch ganz anders sortieren, und zwar auf wie viele Arten?
Aufgabe 6.21 Max soll im Auftrag seines verreisten Professors große Mengen von Klausuren korrigieren.
Bei den letzten 10 Arbeiten geht ihm aber die Energie aus und so verteilt er die möglichen
Noten 1, 2, 3, 4, 5, oder 6 einfach durch Würfeln auf diese Arbeiten.
(a) Wieviele verschiedene Möglichkeiten der Verteilung der Noten auf die 10 Prüflinge gibt es überhaupt
und wie groß ist die Chance, dass Max mindestens dreimal die Note 1 verteilt?
(b) Geben Sie jetzt mit Ihrer Lösungsidee für eine beliebige Anzahl n von Arbeiten die Chance dafür,
dass Max mindestens k ≤ n dieser Arbeiten mit der Note 3 bewertet, als Formel an.
Zeigen Sie dann mit Ihrer Formel speziell für k = 5 experimentell mit dem Taschenrechner,
dass diese Chance erst ab n = 28 mindestens 50 Prozent beträgt.
Aufgabe 6.22 Tobias hat sich einen neuen PC gekauft und will diesen vor allem vor seiner kleinen
Schwester Steffi mit einem Passwort schützen.
(a) Tobias erzählt Steffi, dass er ein zwölfstelliges Passwort gewählt hat, welches alle sechs Buchstaben
seines Namens doppelt enthält. Das Passwort ”
ASSIBOTTIBOA“ verrät er ihr aber nicht.
Wie groß ist Steffis Chance, das Passwort durch Raten zu finden?
(b) Tobias sagt Steffi, dass er sein Passwort geändert hat, und zwar nimmt er jetzt ein achtstelliges
Passwort, in welchem alle Buchstaben seines Namens auftreten, zwei davon doppelt. Das neue
Passwort ”
OBATISTI“ verrät er aber wieder nicht und auch nicht, welche Buchstaben darin
zweimal auftreten.
Wie groß ist jetzt Steffis Chance, das Passwort durch Raten zu finden?
Aufgabe 6.23 Steffi soll einen Strauß aus 13 Blumen von einem Straßenhändler kaufen. Dieser hat
Rosen, Nelken und Gerbera im Angebot, jeweils gelbe und rote.
Wie viele Auswahlmöglichkeiten hat Steffi
(a) insgesamt,
(b) wenn alle Sorten und Farben in dem Strauß enthalten sein sollen,
(c) wenn mindestens drei Rosen in dem Strauß enthalten sein sollen, (Anleitung: Gegenteil betrachten)
(d) wenn der Strauß keine roten Blumen enthalten soll,
(e) wenn der Strauß insgesamt mehr Nelken oder Gerbera als Rosen enthalten soll?
Anleitung: Zählen Sie die Möglichkeiten für die Rosen auf.
Aufgabe 6.24 (a) Steffi wirft sechsmal nacheinander eine Münze.
Wie groß ist die Chance, dass dabei höchstens zweimal nacheinander die Münze auf die Seite
mit der Zahl fällt?
Anleitung: Stellen Sie tabellarisch die Fälle mit der gegenteiligen Aussage auf. Vermeiden Sie dabei Doppelzählungen.
(b) Steffi würfelt zehnmal nacheinander. Wie groß ist die Chance, dass sie mindestens sechsmal
Zahlen würfelt, die größer als 2 sind ? Anleitung: Zerlegung in einander ausschließende Fälle.
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(c) Steffi spielt in sechs aufeinander folgenden Ziehungen des Zahlenlottos 6 aus 49 und wählt
dabei nur gerade Zahlen. Ariane erklärt ihr, dass Sie bei diesem Verfahren nur äußerst geringe
Gewinnaussichten hat. Wie groß ist die Chance, dass (mindestens) bei zwei der sechs Ziehungen
nur gerade Zahlen gezogen werden. Argumentieren Sie am besten mit dem gegenteiligen Ereignis.
Aufgabe 6.25 Katharina arbeitet als Warentesterin und soll 8 Sorten von roter Grütze auf ihre
Qualität testen und danach die Prädikate A ( ”
Ausgezeichnet“), G ( ”
Gut“) , Z ( ”
Zufrieden stellend“)
oder M ( ”
Mangelhaft“) zuteilen. Katharina hat aber gar keinen Appetit auf Grütze und verteilt die
Prädikate willkürlich. Sie achtet aber darauf, dass nicht alle Sorten das gleiche Prädikat erhalten, –
das würde schließlich auffallen. Eine Möglichkeit wäre zum Beispiel:
Sorte 1 2 3 4 5 6 7 8
Prädikat A G A Z A M A A
Wie viele Möglichkeiten der Zuteilung der Prädikate hat Katharina
(a) insgesamt,
(b) wenn sie jeweils jedes Prädikat zweimal zuteilt,
(c) wenn sie jeweils das Prädikat ”
Ausgezeichnet“ mindestens fünfmal zuteilt,
(d) wenn sie nur die Prädikate ”
Ausgezeichnet“ und ”
Mangelhaft“ zuteilt, aber dabei jedes der
beiden Prädikate mindestens dreimal?
Aufgabe 6.26 Zur sicheren Aufbewahrung der Lösungen ihrer Mathematikaufgaben hat sich Ariane
einen Aktenkoffer mit einem zehnziffrigen Zahlenschloss gekauft. Ariane wurde am 21. September 1993
geboren. Ihr Freund Tobias weiß, dass sie alle zehn möglichen Ziffern 0,1,2,. . . ,9 für den Code des
Schlosses verwendet.
(a) Tobias weiß, dass Ariane für ihren Code ganz bestimmt ihr Geburtsjahr 1993 und die 21 verwendet.
Wie viele solcher Codes muss Tobias höchstens probieren, um den Code zu knacken?
(b) Wie viele Codes muss Tobias höchstens probieren, wenn er weiß, dass Ariane ihr Geburtsjahr
nicht in dem Code verwendet? Anleitung: Argumentation mit dem Gegenteil
(c) Wie viele Codes muss Tobias höchstens probieren, wenn er weiß, dass Ariane die ungeraden
und die geraden Ziffern jeweils in einem Ziffernblock verwendet?
(d) Wie viele Codes muss Tobias höchstens probieren, wenn er weiß, dass Ariane die ungeraden
Ziffern in der natürlichen Reihenfolge verwendet?
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