F. Krause - Universität Potsdam

UNIVERSITÄT POTSDAM
Die Poissonverteilung
Hausarbeit zum Seminar „Stochastische Prozesse“
Franziska Krause 759778
08.11.2013
Diese Arbeit gibt einen Einblick in die Herleitung und Anwendung der Poissonverteilung. Außerdem
werden einige Beispiele und Eigenschaften diskutiert.

Inhaltsverzeichnis
1. Herleitung der Poissonverteilung als Grenzwert der Binomialverteilung ................... 2-6
Einleitendes Beispiel .............................................................................................................. 2
Satz der Binomialapproximation der Poissonverteilung ..................................................... 2-3
Definition der Poissonverteilung ............................................................................................ 3
Beispiele zur Binomialapproximation der Poissonverteilung ............................................. 4-6
2. Einige Eigenschaften der Poissonverteilung ................................................................ 6-11
Histogramme........................................................................................................................ 6-8
Erzeugende Funktion .............................................................................................................. 8
Erwartungswert und Varianz ............................................................................................. 8-10
Addition von zwei poissonverteilten Zufallsgrößen ........................................................ 10-11
3. Historische Beispiele .................................................................................................... 11-16
Das Rutherford-Geiger-Experiment ................................................................................ 11-13
Unfälle im Preußischen Heer ........................................................................................... 13-16
4. Weitere Anwendungsbereiche der Poissonverteilung ............................................... 16-18
5. Das Reiskörner-Experiment ........................................................................................ 18-21
Quellenverzeichnis ......................................................................................................... 22
1

1.) Herleitung der Poissonverteilung als Grenzwert der Binomialverteilung
Um eine erste Idee der Poissonverteilung zu erhalten, möchte ich zunächst ein Beispiel
betrachten, dass Georgii [GEO] entnommen ist.
(1.1) Beispiel
Man stelle sich die Frage, wie viele Schadensmeldungen eine KFZ-Versicherung in einem bestimmten
Intervall ]0,t] , t>0 erhält. Klar ist zunächst, dass die Ergebnismenge Ω = N ist. Zu bestimmen bleibt
die Verteilung P. Dazu unterteile ich zunächst das Zeitintervall in n Teilintervalle, sodass jedes
Intervall die Länge
besitzt. Für ein hinreichend großes n kann man nun davon ausgehen, dass in
jedem Teilintervall höchstens ein Schaden gemeldet wird. Die Wahrscheinlichkeit p für das Auftreten
eines Schadens sollte möglichst proportional zur Länge des Intervalls sein, also
, mit der
Proportionalitätskonstante ε >0. Außerdem gehe ich davon aus, dass die einzelnen Schäden
unabhängig voneinander auftreten. Nun kann man dieses Beispiel auf das Modell „Ziehen mit
Zurücklegen“ übertragen. Hierbei wird n-mal gezogen und die Wahrscheinlichkeit, eine
„Schadenskugel“ zu ziehen, ist
. Die Verteilung ist also gegeben durch eine Binomialverteilung
B n , . Da n sehr groß werden kann, liefert diese Überlegung folgenden Ansatz für die gesuchte
Verteilung P:
Über diesen Grenzwert gibt Satz (1.2) Auskunft.
P({ }) B ({ }) N
(1.2) Satz (Binomialapproximation der Poissonverteilung)
Sei >0 und (p n ) n≥1 eine Folge in [0, 1] mit
Dann konvergiert die Binomialverteilung B , das heißt, es existiert für alle k N:
({ })
Beweis.
Für die Binomialverteilung B
gilt:
B ({ }) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2

Nun betrachte ich die Grenzwerte der einzelnen Faktoren. Da der erste Faktor kein n enthält,
bleibt er für wachsendes n konstant. Für den zweiten Faktor gilt:
( )
( ) ( ) ( )
( ( ) ( ) ( )
Für den dritten Faktor gilt nach Voraussetzung:
Weiterhin gilt:
( )
und
( ) ( )
( ) ( )
Insgesamt folgt also:
B ({ })
Dieser Grenzwert kennzeichnet die Verteilung, die diese Arbeit behandelt. Darüber gibt
nachfolgende Definition Auskunft.
(1.3) Definition
Für λ > 0 heißt das Wahrscheinlichkeitsmaß
λ auf (N, (N)) mit
({ })
die Poissonverteilung zum Parameter λ.
Diese Verteilung ist benannt nach Siméon-Denis Poisson (1781–1840), einem bedeutenden
Mathematiker und Physiker, der 1837 seine Arbeit über die Poissonverteilung veröffentlichte.
Nach Henze [HE] ist diese Benennung ungerechtfertigt, da bereits de Moivre (1667-1754)
3

diese Verteilung kannte. In der Literatur findet sich aber ausschließlich der Name
„Poissonverteilung“ und daher werde auch ich bei diesem bleiben.
Um davon überzeugt zu sein, dass die Poissonverteilung wirklich ein Wahrscheinlichkeitsmaß
ist, überprüfe ich, ob die Summe aller Wahrscheinlichkeiten tatsächlich eins ergibt. Dies
erkennt man mit Hilfe der Potenzreihe von relativ schnell:
∑ ({ }) ∑ ∑
Als nächstes wollen wir uns den eben bewiesenen Satz 1.2 an zwei Beispielen verdeutlichen.
(1.4) Beispiel
Ich betrachte eine Binomialverteilung mit B mit und nϵ{4,8,16,32}. Diese nähere
ich mit einer Poissonverteilung zum Parameter λ =2 an. Henze [HE] verdeutlicht diese an
folgendem Histogramm:
Für kϵN zeigen die Balken von links (hellgrau) nach rechts (dunkelgrau) der Reihe nach
B ({k}) für n=4,8,16,32. Schwarz dargestellt ist der Limes ({ }).
Man kann erkennen, dass sich die grauen Balken für wachsendes n immer mehr dem Wert der
Poissonverteilung anzunähern. Für n=32 ist die Näherung schon sehr gut, es gibt aber kleinere
Abweichungen z.B. bei k=0,2,3. Man muss also entscheiden, ob diese schon sehr gute
Näherung genügend ist.
(1.5) Beispiel
Um genaue Wahrscheinlichkeitswerte zu vergleichen, betrachten wir ein weiteres Beispiel.
Nun soll es um eine Binomialverteilung mit gehen und dementsprechend eine
Poissonverteilung zum Parameter λ=5. Nachfolgende Tabelle zeigt B ({k}) und ({ }) für
4

k {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} und n {20,50,100,500). Grau hinterlegt sind dabei jeweils die
kumulierten Wahrscheinlichkeiten.
Binomialverteilung mit n*p=5
Poissonverteilung
k n=20 n=50 n=100 n=500 λ=5
0 0,0032 0,0052 0,0059 0,0066 0,0067
0,0032 0,0052 0,0059 0,066 0,0067
1 0,0211 0,0286 0,0312 0,0332 0,0337
0,0243 0,0338 0,0371 0,0398 0,0404
2 0,0669 0,0779 0,0812 0,0836 0,0842
0,0913 0,1117 0,1183 0,1234 0,1247
3 0,1339 0,1386 0,1396 0,1402 0,1404
0,2252 0,2503 0,2578 0,2636 0,2650
4 0,1897 0,1809 0,1781 0,1760 0,1755
0,4148 0,4312 0,4360 0,4396 0,4405
5 0,2023 0,1849 0,1800 0,1764 0,1755
0,6172 0,6161 0,6160 0,6160 0,6160
6 0,1686 0,1541 0,1500 0,1470 0,1462
0,7858 0,7702 0,7660 0,7629 0,7622
7 0,1124 0,1076 0,1060 0,1048 0,1044
0,8982 0,8779 0,8720 0,8677 0,8666
8 0,0609 0,0643 0,0649 0,0652 0,0653
0,9591 0,9421 0,9369 0,9329 0,9319
9 0,0271 0,0333 0,0349 0,0360 0,0363
0,9861 0,9755 0,9718 0,9689 0,9682
10 0,0099 0,0152 0,0167 0,0179 0,0181
0,9961 0,9906 0,9885 0,9868 0,9863
Beispielsweise für k=3 kann man erkennen, dass sich die Werte der Binomialverteilung für
wachsendes n immer mehr dem Grenzwert, also dem Wert der Poissonverteilung, annähern.
Bei n=500 beträgt die Abweichung lediglich 0,2%. Eine noch bessere Näherung zeigt die
kumulierte Wahrscheinlichkeit für k=5. Hier stimmen die Werte ab n=100 mit dem Wert der
Poissonverteilung im Rahmen der angegebenen Genauigkeit exakt überein.
Man kann sich nach dieser Betrachtung fragen, wann es Sinn macht, die Binomialverteilung
mit der Poissonverteilung anzunähern. Nach Ineichen [IN] ist dies „in der Regel“ für n>10
und p< 0,05 der Fall. Diese Werte sind vermutlich empirisch entstanden. Man muss also
immer im Einzelfall überprüfen, ob eine Näherung sinnvoll ist und mit welcher Genauigkeit
man sein Ergebnis angeben möchte. In Kapitel zwei werden wir allerdings an den
Histogrammen erkennen, dass eine Poissonverteilung mit λ>50 wenig sinnvoll erscheint, da
die Verteilung dann einer Normalverteilung gleicht.
Eine weitere interessante Frage ist, warum man die Binomialverteilung überhaut annähern
sollte, bzw. welche Vorteile eine solche Näherung birgt. Der entscheidende Punkt ist, dass es
in der Praxis häufig Beispiele für Binomialverteilungen gibt, bei denen weder n noch p als
Einzelparameter bekannt und auch nicht berechenbar sind. Man weiß häufig nur, dass n groß
ist und empirisch kennt man das Produkt . Genau dieses Produkt reicht aber für die
5

Wahrscheinlichkeit
Berechnung der Poissonverteilung aus. In manchen Fällen ist die Poissonverteilung also die
einzige Möglichkeit, um überhaupt Wahrscheinlichkeiten berechnen zu können.
Um nun die Poissonverteilung näher charakterisieren zu können, möchte ich im folgenden
Kapitel einige Eigenschaften dieser Verteilung diskutieren.
2. Einige Eigenschaften der Poissonverteilung
2.1 Histogramme verschiedener Poissonverteilungen
Um zunächst eine Idee der Poissonverteilung zu erhalten, stelle ich nun einige Histogramme
der Verteilung dar.
0,4
Poissonverteilungen mit λ= 1, λ=5, λ=10
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
λ=10
λ=1
λ=5
0,1
0,05
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
k
Am Diagramm kann man erkennen, dass für wachsendes λ die Kurven immer symmetrischer
werden. Außerdem werden die Kurven für wachsendes n immer breiter. Später im diesem
Kapitel werden wir den Grund dafür herausfinden. Außerdem ist auffällig, dass k= λ und
k= λ-1 die größte Wahrscheinlichkeit besitzen. Insbesondere haben also beide immer gleiche
Wahrscheinlichkeit. Dies ist kein Zufall, denn es gilt nach Definition der Poissonverteilung:
({ })
( ) ( )
({ })
6

Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit
Allerdings gilt diese Gleichheit nur, wenn λ N ist, da k nur Werte in N annehmen kann. Als
nächstes betrachten wir daher Kurven für λ∉N.
0,4
0,35
0,3
Poissonverteilungen mit λ=1,5 ; λ=3,7 ; λ=7,8
0,25
0,2
0,15
0,1
λ=7,8
λ=1,5
λ=3,7
0,05
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
k
Auch hier erkennt man, dass die Kurven für wachsendes n breiter und symmetrischer werden.
Das wahrscheinlichste k ist hier immer die nächstkleinere natürliche Zahl von λ. Wenn man
also λ abrundet, erhält man das wahrscheinlichste k.
Im Kapitel eins wurde diskutiert, wann es Sinn macht, eine Poissonverteilung zu benutzen.
Wir möchten uns daher noch ein Histogramm für λ=50 ansehen.
0,06
Poissonverteilung mit λ=50
0,05
0,04
0,03
0,02
λ=50
0,01
0
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78
k
7

Hier kann man erkennen, dass die Verteilung einer Normalverteilung gleicht. Man kann
schlussfolgern, dass eine Poissonverteilung für λ>50 wenig sinnvoll ist.
2.2 Die erzeugende Funktion
Als nächstes berechne ich die erzeugende Funktion einer poissonverteilten Zufallsgröße.
(2.1) Proposition
Sei X poissonverteilte Zufallsvariable zum Parameter λ (λ>0). Dann gilt für die erzeugende
Funktion ( ) mit tϵ[-1,1]:
( )
( )
Beweis.
Es gilt
( ) [ ] ∑( ( )) ∑ ∑ ( )
( )
Besonders praktisch ist, dass diese Funktion nicht nur in [-1,1] definiert ist, sondern auf ganz
R. Mit Hilfe der erzeugenden Funktion kann ich nun leicht den Erwartungswert und die
Varianz bestimmen.
2.3 Erwartungswert und Varianz
(2.2) Proposition
Sei X poissonverteilte Zufallsvariable zum Parameter λ (λ>0). Dann gilt für den
Erwartungswert:
[ ] .
Beweis.
Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist die Ableitung der erzeugenden Funktion an der
Stelle eins:
8

[ ] ( )
In Proposition 2.1 wurde bereits bewiesen, dass für die erzeugende Funktion
(
( )
) gilt. Also berechne ich zunächst ( )
( )
( )
Somit gilt:
[ ] ( )
( )
Mit der erzeugenden Funktion lassen sich auch weitere Erwartungswerte berechnen. Darüber
gibt nachfolgendes Lemma Auskunft.
(2.3) Lemma
Sei X eine poissonverteilte Zufallsgröße zum Parameter λ (λ>0). Dann gilt:
[ ] und [ ] .
Beweis.
Auch hier hilft Proposition 2.1, denn es gilt:
[ ( )] ( ) bzw. [ ( )( )] ( ).
Ich berechne also zunächst ( ) und ( ):
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Aus der Linearität des Erwartungswertes folgt:
( ) [ ( )] [ ] [ ]
und ( ) [ ( )( )] [ ] [ ] [ ].
Mit [ ]
(Proposition 2.2) folgt daraus:
[ ] und [ ] ( ) .
9

Mit Hilfe der erzeugenden Funktion kann man auf ähnliche Weise auch [ ] [ ] etc.
berechnen. Ich möchte nun aber das Lemma nutzen, um die Varianz einer poissonverteilten
Zufallsgröße zu bestimmen.
(2.4) Proposition
Sei X eine poissonverteilte Zufallsvariable zum Parameter λ (λ>0). Dann gilt für die Varianz:
( ) .
Beweis.
Nach Verschiebungssatz gilt allgemein:
( ) [ ] [ ]
Mit dem Lemma 2.3 und Proposition 2.2 folgt damit:
( ) [ ] [ ]
Insbesondere wurde nun bewiesen, dass bei einer Poissonverteilung ( ) [ ] gilt.
Wenn man sich nun an die Histogramme aus 2.1 erinnert, ist es nun klar, dass die Kurven mit
wachsendem λ breiter werden, da auch die Varianz wächst. Außerdem ist nicht mehr
überraschend, dass immer ein kϵN nahe λ die größte Wahrscheinlichkeit besitzt. Besonders
praktisch ist es, dass man den Erwartungswert und die Varianz aus einer bekannten
Verteilung direkt ablesen kann und nicht berechnen muss.
Als nächstes möchte ich nun eine weitere nützliche Eigenschaft der Poissonverteilung
betrachten.
2.3 Addition von zwei poissonverteilten Zufallsgrößen
(2.5) Proposition
Seien X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen. Sei X poissonverteilt zum Parameter λ>0
und sei Y poissonverteilt zum Parameter µ>0.
Dann ist X+Y poissonverteilt zum Parameter λ+µ.
10

Beweis.
Auch hier nutze ich die erzeugende Funktion.
Da X und Y unabhängig sind, gilt:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
Da die erzeugende Funktion die Verteilung charakterisiert, folgt damit, dass X+Y eine
poissonverteilte Zufallsgröße zum Parameter λ+µ ist.
Man kann die eben bewiesene Aussage für eine endliche Anzahl an Summanden
verallgemeinern, der Beweis erfolgt analog.
3. historische Beispiele
In diesem Kapitel möchte ich zwei Beispiele für Poissonverteilungen betrachten, um eine
bessere Vorstellung der Anwendbarkeit dieser Verteilung zu erhalten.
3.1 Das Rutherford-Geiger-Experiment
Dieses physikalische Experiment wurde 1910 von Ernest Rutherford (1871-1937) und Hans-
Wilhelm Geiger (1882-1945) durchgeführt. Beide waren bedeutende Physiker. Rutherford
entwickelte das berühmte „Rutherfordsche Atommodell“ und bekam für seine Forschung zur
Radioaktivität den Nobelpreis der Chemie. Geiger entwickelte das noch heute als
Teilchendetektor genutzte Geiger-Müller-Zählrohr.
Der Aufbau des Experimentes ist leicht erklärt. Rutherford und Geiger detektierten mit einem
Zähler radioaktive Zerfälle eines α-Strahlers. Dies hat große historische Bedeutung, da es zu
dieser Zeit keine mit den heutigen vergleichbaren Teilchendetektoren gab. Es war erstmalig,
dass solche Zerfälle überhaupt detektiert werden konnten. Geiger hatte zu diesem Zweck den
sogenannten „Spitzenzähler“ entwickelt. Unter diesem Aspekt lässt sich auch erklären, warum
beide ein Messintervall von 7,5s wählten, vermutlich konnte der Zähler keine kürzeren
Intervalle messen.
Geiger und Rutherford untersuchten 2608 Zeitintervalle. Dabei detektieren sie insgesamt
10097 Zerfälle. Wie oben erwähnt, waren die Zeitintervalle alle 7,5s lang. Im Durchschnitt
gab es also 3,87 Zerfälle pro Intervall.
Um dieses Beispiel mit der Poissonverteilung zu interpretieren, müssen einige idealisierende
Annahmen getroffen werden. Zum einen muss man davon ausgehen, dass sich die Intensität
(erwartete Anzahl von Zerfällen pro Zeiteinheit) des α-Strahlers während der gesamten
11

Messzeit nicht ändert bzw., dass die Halbwertszeit des Präparates so groß ist, dass sie
während des Experimentes nicht erreicht wird. Andernfalls würde sich die mittlere Anzahl an
Zerfällen während des Experimentes ändern und man könnte nicht nur eine Poissonverteilung
als Näherung benutzen. Außerdem muss man davon ausgehen, dass die Kerne unabhängig
voneinander zerfallen. Allerdings weiß man, dass die Anzahl N der Atome in der Probe sehr
groß (N
) und die Wahrscheinlichkeit p für einen Zerfall sehr klein ist, da pro
Intervall jeweils nur sehr wenige Atome zerfallen sind. Die Poissonverteilung könnte also
tatsächlich geeignet sein, die Verteilung der Zerfälle zu beschreiben.
Da der Mittelwert der Zerfälle bei 3,87 lag, wähle ich eine Poissonverteilung mit λ
nun k die Anzahl von Zerfällen pro Intervall, k ϵN. Daraus ergibt sich
. Sei
({ })
Beispielsweise für k=0 folgt damit:
({ })
Daraus ergibt sich die theoretisch berechnete Anzahl N 0 * an Intervallen, in denen 0 Zerfälle
auftreten:
({ })
Ich runde auf eine natürliche Zahl, da es eine Anzahl an Intervallen beschreibt und reelle
Zahlen dafür wenig sinnvoll sind. Dadurch kann es aber passieren, dass die Summe aller
kleiner oder größer der tatsächlichen Intervallanzahl ist.
Ich berechne nun alle weiteren
auf die gleiche Weise. Es ergibt sich nachfolgende Tabelle:
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ≥13
54 210 407 525 508 394 254 140 68 29 11 4 1 0
Interessant ist es nun, diese theoretischen Werte mit denen zu vergleichen, die Rutherford und
Geiger beobachtet haben. Diese tatsächliche Anzahl N k an Intervallen entnehme ich Topsoe
[TOP]. Um die Werte zu vergleichen, stelle ich sie in einer Tabelle dar:
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ≥15
54 210 407 525 508 394 254 140 68 29 11 4 1 0 0 0
N k 57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 10 4 0 1 1 0
Man kann erkennen, dass N k und N k * für k= 3 exakt übereinstimmen. Bei k=8 gibt es
hingegen eine Abweichung von ca. 50%. Um einen Eindruck der gesamten Verteilung zu
erhalten, stelle ich beide Werte grafisch dar.
12

Anzahl der Intervalle mit k Zerfällen
600
Vergleich von N k und N k *
500
400
300
200
theoretisch
berechnete Anzahl
Nk*
tatsächlich
beobachtete
Anzahl Nk
100
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Anzahl der Zerfälle k
Insgesamt kann man erkennen, dass beide Verteilungen näherungsweise übereinstimmen.
Man kann also schlussfolgern, dass unter gewissen Voraussetzungen die Poissonverteilung
geeignet ist, radioaktive Zerfälle zu beschreiben.
3.2 Unfälle im preußischen Heer
Nachfolgende Tabelle zeigt die im preußischen Heer durch Schlag eines Pferdes Getöteten.
Sie wurde von Ladislaus von Bortkewitsch [BOR] im Jahr 1898 erstellt.
13

Es sind jeweils die Jahre dargestellt (19.Jahrhundert) und die jeweils in diesem Jahr durch
Schlag eines Pferdes Getöteten in den einzelnen Armeecorps. Die römischen Zahlen stehen
für verschiedene Corps, dass „G“ steht für Gardecorps. Bekannt ist, dass die Anzahl der
Männer N in den Corps sehr groß war und die Wahrscheinlichkeit p, von einem Pferd getötet
zu werden, sehr klein. Man kann sich nun also fragen, ob die Anzahl der Getöteten
poissonverteilt ist. Der Mittelwert dieser Anzahl beträgt nach Bortkewitsch [BOR] 0,70 pro
Jahr, also nutze ich eine Poissonverteilung zum Parameter .
Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr kein Soldat durch ein Pferd stirbt, beträgt
demnach:
({ })
Nun rechne ich noch aus, in wie vielen Fällen theoretisch kein Soldat durch ein Pferd
hätte getötet werden sollen. Es wurden insgesamt 280 Jahresergebnisse betrachtet. Also gilt:
({ })
Ich runde auch hier auf eine ganze Anzahl, da es sich um Jahresergebnisse handelt.
Die tatsächliche Anzahl , sowie die relative Häufigkeit dieses Ereignisses lässt sich aus
der Tabelle ermitteln. Es gilt: . Daraus folgt:
({ })
Analog gehe ich für k=1,2,3,4,5 vor. Die Ergebnisse sind in folgender Tabelle dargestellt:
Jahresergebnis
k
Tatsächliche
Anzahl
Theoretische
Anzahl
Relative
Häufigkeit
Theoretische
Wahrscheinlichkeit
0 144 139 0,5143 0,4966
1 91 97 0,3250 0,3476
2 32 34 0,1143 0,1217
3 11 8 0,0393 0,0284
4 2 1 0,0071 0,0050
5 0 0 0,0000 0,0007
Zur Veranschaulichung stelle ich die relative Häufigkeit und die mit der Poissonverteilung
berechnete Wahrscheinlichkeit grafisch dar:
14

Wahrscheinlichkeit
0,6
Vergleich von P und P λ
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
relative Häufigkeit der
Jahresergebnisse
Poissonverteilung zum Parameter
0,70
0
0 1 2 3 4 5
Jahresergebnis
Man erkennt, dass beide Verteilungen sehr ähnlich sind. Ladislaus von Bortkewitsch sah sich
nun die einzelnen Corps genauer an und ihm fiel auf, dass diese teilweise sehr unterschiedlich
zusammengesetzt waren. Aus diesem Grund strich er das Gardecorps und die Armeecorps I,
VI und XI aus seiner Betrachtung. Dadurch ändert sich der Mittelwert von 0,70 auf 0,61. Ich
nutze also zum Vergleich nun eine Poissonverteilung zum Parameter . Die
Gesamtanzahl der Jahresergebnisse beträgt nun 200. Analog zu oben berechne ich nun die
relative Häufigkeit der Jahresergebnisse und die mit der Poissonverteilung zu erwartenden
Werte. Dadurch ändert sich die eben erstellte Tabelle wie folgt:
Jahresergebnis
k
Tatsächliche
Anzahl
Theoretische
Anzahl
Relative
Häufigkeit
Theoretische
Wahrscheinlichkeit
0 109 109 0,5450 0,5434
1 65 66 0,3250 0,3314
2 22 20 0,1100 0,1011
3 3 4 0,0150 0,0206
4 1 1 0,0050 0,0031
5 0 0 0,0000 0,0004
Auch hier stelle ich wieder die Poissonverteilung und die relative Häufigkeit der
Jahresergebnisse grafisch dar:
15

Wahrscheinlichkeit
Vergleich von P und P λ
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
relative Häufigkeit der
Jahresergebnisse
Poissonverteilung zum Parameter
0,61
0,1
0
0 1 2 3 4 5
Jahresergebnis
Nun kann man erkennen, dass beide Verteilungen nahezu übereinstimmen. Die Anzahl der im
preußischen Heer vom Schlag eines Pferdes Getöteten ist also tatsächlich poissonverteilt.
4. Weitere Anwendungsbereiche der Poissonverteilung
Allgemein ist die Poissonverteilung geeignet, die zufällige Verteilung von Punkten auf einer
Geraden, in einer Ebenen oder im Raum zu beschreiben. Ähnlich wie beim Rutherford-
Geiger-Experiment teilt man dafür die Gerade in gleichgroße Abschnitte ein. Wenn man den
Mittelwert von Punkten in einem Intervall kennt, kann man voraussagen, wie viele Intervalle
theoretisch mit k Punkten (kϵN) existieren. Ähnlich passiert das auf der Ebene, diese wird
dann in gleichgroße Flächen (meist Quadrate) eingeteilt, der Raum z.B. in Quader.
Die nachfolgenden Beispiele sind alle direkte Anwendungen der eben genannten
Verteilungen. Sie illustrieren, in welchen Bereichen die Poissonverteilung genutzt werden
kann. Oben haben wir bereits zwei historische Beispiele gesehen, bzw. ein physikalisches. Es
gibt aber noch weitere Anwendungsbereiche.
Biologische Beispiele
In der Biologie kann man die Poissonverteilung nutzen, um die Verteilung von Hefezellen auf
einem Objektträger zu beschreiben. Dies ist eine direkte Anwendung der zufälligen
Verteilung von Punkten in einer Ebenen. Man nimmt dazu an, dass sich die Hefezellen
unabhängig voneinander verteilen. Vermutlich kennt man die Gesamtanzahl N der Hefezellen
nicht. Nun kann man den Objektträger in Quadrate einteilen und mit der Poissonverteilung die
erwartete Anzahl von Quadraten angeben, die k Zellen enthalten. Der Mittelwert der
Hefezellen in einem Quadrat muss dabei bekannt sein, bzw. dieser lässt sich durch Auszählen
von Zellen in wenigen Quadraten schätzen. Eine genaue Beschreibung dieses Beispiels gibt
Topsoe [TOP].
16

Des Weiteren ist die Poissonverteilung auch geeignet, die Anzahl N von Mutationen auf
einer DNA-Sequenz zu beschreiben. Auch hier ist N nicht bekannt, genauso wenig wie die
Wahrscheinlichkeit p für eine Mutation. Den Mittelwert von Mutationen kennt man allerdings
empirisch. Dieses Beispiel ist eine direkte Anwendung der zufälligen Verteilung von Punkten
auf einer Geraden.
Kaufhauskunden
Es gibt auch im Alltag Beispiele für Poissonverteilungen. Kunden, die ein Kaufhaus betreten
sind poissonverteilt. Auch hier ist die Anzahl N möglicher Kunden unbekannt, ebenso wie die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde das Kaufhaus betritt. Die mittlere Anzahl von
Kunden in einem Intervall lässt sich durch Beobachtung näherungsweise ermitteln. Man kann
sich das Beispiel auch als Zeitachse vorstellen, auf der jedes Mal ein Punkt gesetzt wird,
wenn ein Kunde das Kaufhaus betritt. Damit wäre ich also wieder an dem oberen Beispiel der
zufälligen Verteilung von Punkten auf einer Geraden angelangt. Dieses Beispiel ist besonders
interessant für den Kaufhausmanager, da er so gezielte Werbeaktionen veranstalten kann oder
sein Personal der erwarteten Kundenanzahl anpassen kann.
Anzahl der Selbstmorde
Betrachtet man eine Stadt, so kann man zwar ungefähr die Einwohneranzahl N angeben,
allerdings kennt man vermutlich nicht die Wahrscheinlichkeit p für einen Selbstmord.
Sicherlich ist aber die mittlere Anzahl der Selbstmorde bekannt. Daher ist die
Poissonverteilung geeignet, die Wahrscheinlichkeit für k Selbstmorde in einem festen
Zeitintervall zu berechnen.
Anzahl von Blitzeinschlägen
Auch dies ist eine direkte Anwendung der zufälligen Punktverteilung auf einer Ebenen. Man
kann z.B. eine Kleingartenkolonie betrachten, bei der jede Parzelle gleichgroß ist. N ist nun
die Anzahl der Parzellen. Die Wahrscheinlichkeit für einen Blitzeinschlag ist vermutlich
unbekannt. Mit der Poissonverteilung kann man aber berechnen, wie wahrscheinlich es ist,
dass in einer Parzelle in einem festen Zeitintervall mindestens ein Blitz einschlägt. Unser λ ist
hierbei die mittlere Anzahl an Blitzeinschlägen in einer Parzelle in diesem festen Intervall, die
empirisch bekannt sein kann.
Anzahl von Verkehrsunfällen
Ein weiteres interessantes Anwendungsbeispiel ist die Anzahl von Verkehrsunfällen.
Betrachtet man eine Kreuzung, so kennt man nicht die Anzahl N an Autos die in einem festen
Zeitintervall diese Kreuzung passieren. Außerdem ist N zu verschiedenen Zeitpunkten im
Allgemeinen nicht konstant. Auch die Wahrscheinlichkeit p für einen Unfall ist im
Allgemeinen unbekannt. Empirisch kennt man aber die durchschnittliche Anzahl an Unfällen
in diesem festen Zeitintervall und kann nun mit der Poissonverteilung Aussagen treffen, wie
wahrscheinlich es ist, dass k Unfälle in diesem Zeitintervall passieren. Stellt man nun fest,
dass die Wahrscheinlichkeit für Unfälle sehr hoch ist, kann man nun Maßnahmen treffen, wie
z.B. ein Tempolimit setzen oder die Ampelphasen ändern.
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Anzahl fehlerhafter Teile in einer Produktserie
Die Anzahl von fehlerhaften Teilen ist das klassische Beispiel einer Binomialverteilung, dass
auch in der Schule häufig verwendet wird. N ist hierbei die Gesamtanzahl der produzierten
Teile und p die Wahrscheinlichkeit für einen Produktionsfehler. Da N im Allgemeinen sehr
groß ist und p hoffentlich sehr klein, kann man, wie oben bewiesen, die Poissonverteilung als
Näherung der Binomialverteilung nutzen.
Insgesamt kann man erkennen, dass die Poissonverteilung vielfältige
Anwendungsmöglichkeiten besitzt. Es gibt sicherlich noch zahlreiche weitere Beispiele.
5. Das Reiskörner –Experiment
Um selbst eine zufällige Verteilung zu erzeugen haben wir uns das Reiskörner- Experiment
überlegt und mit Kommilitonen durchgeführt. Wir nahmen dazu ein Papier, dass in 16
gleichgroße Kästchen eingeteilt war ( ). Zwei Gruppen von Kommilitonen ließen
darauf eine kleine Menge Reis fallen, so dass sich die Körner möglichst zufällig verteilten.
Eine weitere Gruppe legte die Körner nach ihrem Empfinden zufällig auf das Papier.
Anschließen zählten sie, in wie vielen Kästchen sich k Reiskörner befanden. Außerdem
errechneten sie den Mittelwert der Körner pro Kästchen, in dem sie die Anzahl der Körner
durch die Anzahl der Kästchen teilten. Es ergaben sich folgende Messwerte:
Gruppe 1 (zufällige Verteilung durch Werfen)
N=39 (Gesamtanzahl der Reiskörner)
µ= (Mittelwert der Körner pro Kästchen)
k
Anzahl der Kästchen
mit k Reiskörnern N k
Relative Häufigkeit
0 2 0,125
1 1 0,0625
2 6 0,375
3 3 0,1875
4 3 0,1875
5 1 0,0625
Nun kann man mit der Poissonverteilung eine theoretische Anzahl an Kästchen mit k Körnern
angeben. Der Parameter ist dabei ungefähr die mittlere Anzahl an Körnern pro Kästchen, also
. Ich führe dazu eine Beispielrechnung für k=0 durch. Dafür berechne ich
zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass sich 0 Körner in einem Kästchen befinden:
18

Wahrscheinlichkeit
({ })
Damit ergibt sich die die theoretische Anzahl der Kästchen mit 0 Reiskörnern :
Analog zum Rutherford-Geiger-Experiment runde ich auch hier auf eine ganze Anzahl an
Kästchen.
Diese Rechnung führe ich analog für alle weiteren k und für die anderen beiden Gruppen
durch. Die Ergebnisse stelle ich in den folgenden Tabellen dar.
Gruppe 1 (zufällige Verteilung durch Werfen)
N=39 (Gesamtanzahl der Reiskörner)
µ= (Mittelwert der Körner pro Kästchen)
k
Anzahl der
Kästchen mit k
Reiskörnern N k
Relative Häufigkeit
Mit der
Poissonverteilung
errechnete Häufigkeit
0 2 0,125 0,0874 1
1 1 0,0625 0,2130 3
2 6 0,375 0,2596 4
3 3 0,1875 0,2109 3
4 3 0,1875 0,1285 2
5 1 0,0625 0,0627 1
Theoretische
Kästchenanzahl
Grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeiten:
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0 1 2 3 4 5
k
zufällige Verteilung durch Werfen
Poissonverteilung zum Parameter
2,4375
19

Wahrscheinlichkeit
Gruppe 2 (zufällige Verteilung durch Werfen)
N=17 (Gesamtanzahl der Reiskörner)
µ= (Mittelwert der Körner pro Kästchen)
k
Anzahl der
Kästchen mit k
Reiskörnern N k
Relative Häufigkeit
Mit der
Poissonverteilung
errechnete Häufigkeit
0 4 0,25 0,3456 6
1 8 0,5 0,3672 6
2 3 0,1875 0,1950 3
3 1 0,0625 0,0691 1
4 0 0 0,0184 0
5 0 0 0,0039 0
Theoretische
Kästchenanzahl
Grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeiten:
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
zufällige Verteilung durch Werfen
Poissonverteilung zum Parameter
1,0625
0,1
0
0 1 2 3 4 5
k
Gruppe 3 (nach eigenem Empfinden zufällig verteilt)
N=98 (Gesamtanzahl der Reiskörner)
µ= (Mittelwert der Körner pro Kästchen)
k
Anzahl der
Kästchen mit k
Reiskörnern N k
Relative Häufigkeit
Mit der
Poissonverteilung
errechnete Häufigkeit
0 0 0 0,0022 0
1 0 0 0,0134 0
2 0 0 0,0410 1
3 2 0,125 0,0834 1
4 1 0,0625 0,1283 2
Theoretische
Kästchenanzahl
20

Wahrscheinlichkeit
k
Anzahl der
Kästchen mit k
Reiskörnern N k
Relative Häufigkeit
Mit der
Poissonverteilung
errechnete Häufigkeit
5 4 0,25 0,1571 3
6 3 0,1875 0,1604 3
7 2 0,125 0,1404 2
8 2 0,125 0,1075 2
9 1 0,0625 0,0731 1
10 0 0 0,0448 1
11 1 0,0625 0,0249 0
Theoretische
Kästchenanzahl
Grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeiten:
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
nach Empfinden zufällige
Verteilung
Poissonverteilung mit Parameter
6,125
0,05
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
k
Insgesamt ist keine der erzeugten Verteilungen annähernd poissonverteilt, es gibt überall
größere Abweichungen. Offensichtlich beeinflusst man durch die Art des Werfens die
Verteilung, so dass diese nicht zufällig ist. Trotzdem sieht man z.B. bei Gruppe 2 für k=2 und
k=3 gewisse Ähnlichkeiten der Verteilung.
Auch unser Empfinden von Zufall ist offensichtlich ein anderes als tatsächlicher Zufall, dass
sieht man an den größeren Abweichungen bei Gruppe 3.
Problematisch bei dem Experiment ist es allerdings, dass alle Gruppen sehr unterschiedliche
Parameter erzeugt haben, so dass diese Verteilungen auch untereinander schwer zu
vergleichen sind. Trotzdem sieht man insgesamt gut, dass idealer Zufall sehr schwer zu
erzeugen ist.
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Quellen
[BOR] VON BORTKEWITSCH, LADISLAUS: „Gesetz der kleinen Zahlen“. Leipzig: Teubner
Verlag, 1898.
[GEO] GEORGII, HANS-OTTO: „Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und
Statistik“. 4. überarbeitete und erweiterte Auflage. Berlin: de Gruyter Verlag, 2009.
[HE] HENZE, NORBERT: „Stochastik für Einsteiger“. 9. Auflage. Wiesbaden: Vieweg und
Teubner Verlag, 2012.
[IN] INEICHEN, ROBERT: „Einführung in die elementare Statistik und
Wahrscheinlichkeitsrechnung“ 6.Auflage. Luzern : Raeber Verlag, 1984.
KINGMAN, JOHN FRANK CHARLES: „Poisson Processes“. (Oxford studies in probability 3).
Oxford: Clarendon Press, 1993.
ROELLY, SYLVIE : Skript zur Vorlesung „Stochastik“ WS 2011/12.
[TOP] TOPSOE, FLEMMING: „Spontane Phänomene. Stochastische Modelle und ihre
Anwendung“. Übersetzte Auflage. Braunschweig: Vieweg Verlag, 1990.
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