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Inhaltsverzeichnis 1. Herleitung der Poissonverteilung als Grenzwert der Binomialverteilung ................... 2-6 Einleitendes Beispiel .............................................................................................................. 2 Satz der Binomialapproximation der Poissonverteilung ..................................................... 2-3 Definition der Poissonverteilung ............................................................................................ 3 Beispiele zur Binomialapproximation der Poissonverteilung ............................................. 4-6 2. Einige Eigenschaften der Poissonverteilung ................................................................ 6-11 Histogramme........................................................................................................................ 6-8 Erzeugende Funktion .............................................................................................................. 8 Erwartungswert und Varianz ............................................................................................. 8-10 Addition von zwei poissonverteilten Zufallsgrößen ........................................................ 10-11 3. Historische Beispiele .................................................................................................... 11-16 Das Rutherford-Geiger-Experiment ................................................................................ 11-13 Unfälle im Preußischen Heer ........................................................................................... 13-16 4. Weitere Anwendungsbereiche der Poissonverteilung ............................................... 16-18 5. Das Reiskörner-Experiment ........................................................................................ 18-21 Quellenverzeichnis ......................................................................................................... 22 1
1.) Herleitung der Poissonverteilung als Grenzwert der Binomialverteilung Um eine erste Idee der Poissonverteilung zu erhalten, möchte ich zunächst ein Beispiel betrachten, dass Georgii [GEO] entnommen ist. (1.1) Beispiel Man stelle sich die Frage, wie viele Schadensmeldungen eine KFZ-Versicherung in einem bestimmten Intervall ]0,t] , t>0 erhält. Klar ist zunächst, dass die Ergebnismenge Ω = N ist. Zu bestimmen bleibt die Verteilung P. Dazu unterteile ich zunächst das Zeitintervall in n Teilintervalle, sodass jedes Intervall die Länge besitzt. Für ein hinreichend großes n kann man nun davon ausgehen, dass in jedem Teilintervall höchstens ein Schaden gemeldet wird. Die Wahrscheinlichkeit p für das Auftreten eines Schadens sollte möglichst proportional zur Länge des Intervalls sein, also , mit der Proportionalitätskonstante ε >0. Außerdem gehe ich davon aus, dass die einzelnen Schäden unabhängig voneinander auftreten. Nun kann man dieses Beispiel auf das Modell „Ziehen mit Zurücklegen“ übertragen. Hierbei wird n-mal gezogen und die Wahrscheinlichkeit, eine „Schadenskugel“ zu ziehen, ist . Die Verteilung ist also gegeben durch eine Binomialverteilung B n , . Da n sehr groß werden kann, liefert diese Überlegung folgenden Ansatz für die gesuchte Verteilung P: Über diesen Grenzwert gibt Satz (1.2) Auskunft. P({ }) B ({ }) N (1.2) Satz (Binomialapproximation der Poissonverteilung) Sei >0 und (p n ) n≥1 eine Folge in [0, 1] mit Dann konvergiert die Binomialverteilung B , das heißt, es existiert für alle k N: ({ }) Beweis. Für die Binomialverteilung B gilt: B ({ }) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
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