F. Krause - Universität Potsdam

Hier kann man erkennen, dass die Verteilung einer Normalverteilung gleicht. Man kann
schlussfolgern, dass eine Poissonverteilung für λ>50 wenig sinnvoll ist.
2.2 Die erzeugende Funktion
Als nächstes berechne ich die erzeugende Funktion einer poissonverteilten Zufallsgröße.
(2.1) Proposition
Sei X poissonverteilte Zufallsvariable zum Parameter λ (λ>0). Dann gilt für die erzeugende
Funktion ( ) mit tϵ[-1,1]:
( )
( )
Beweis.
Es gilt
( ) [ ] ∑( ( )) ∑ ∑ ( )
( )
Besonders praktisch ist, dass diese Funktion nicht nur in [-1,1] definiert ist, sondern auf ganz
R. Mit Hilfe der erzeugenden Funktion kann ich nun leicht den Erwartungswert und die
Varianz bestimmen.
2.3 Erwartungswert und Varianz
(2.2) Proposition
Sei X poissonverteilte Zufallsvariable zum Parameter λ (λ>0). Dann gilt für den
Erwartungswert:
[ ] .
Beweis.
Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist die Ableitung der erzeugenden Funktion an der
Stelle eins:
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