F. Krause - Universität Potsdam

1.) Herleitung der Poissonverteilung als Grenzwert der Binomialverteilung
Um eine erste Idee der Poissonverteilung zu erhalten, möchte ich zunächst ein Beispiel
betrachten, dass Georgii [GEO] entnommen ist.
(1.1) Beispiel
Man stelle sich die Frage, wie viele Schadensmeldungen eine KFZ-Versicherung in einem bestimmten
Intervall ]0,t] , t>0 erhält. Klar ist zunächst, dass die Ergebnismenge Ω = N ist. Zu bestimmen bleibt
die Verteilung P. Dazu unterteile ich zunächst das Zeitintervall in n Teilintervalle, sodass jedes
Intervall die Länge
besitzt. Für ein hinreichend großes n kann man nun davon ausgehen, dass in
jedem Teilintervall höchstens ein Schaden gemeldet wird. Die Wahrscheinlichkeit p für das Auftreten
eines Schadens sollte möglichst proportional zur Länge des Intervalls sein, also
, mit der
Proportionalitätskonstante ε >0. Außerdem gehe ich davon aus, dass die einzelnen Schäden
unabhängig voneinander auftreten. Nun kann man dieses Beispiel auf das Modell „Ziehen mit
Zurücklegen“ übertragen. Hierbei wird n-mal gezogen und die Wahrscheinlichkeit, eine
„Schadenskugel“ zu ziehen, ist
. Die Verteilung ist also gegeben durch eine Binomialverteilung
B n , . Da n sehr groß werden kann, liefert diese Überlegung folgenden Ansatz für die gesuchte
Verteilung P:
Über diesen Grenzwert gibt Satz (1.2) Auskunft.
P({ }) B ({ }) N
(1.2) Satz (Binomialapproximation der Poissonverteilung)
Sei >0 und (p n ) n≥1 eine Folge in [0, 1] mit
Dann konvergiert die Binomialverteilung B , das heißt, es existiert für alle k N:
({ })
Beweis.
Für die Binomialverteilung B
gilt:
B ({ }) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2