F. Krause - Universität Potsdam

Mit Hilfe der erzeugenden Funktion kann man auf ähnliche Weise auch [ ] [ ] etc.
berechnen. Ich möchte nun aber das Lemma nutzen, um die Varianz einer poissonverteilten
Zufallsgröße zu bestimmen.
(2.4) Proposition
Sei X eine poissonverteilte Zufallsvariable zum Parameter λ (λ>0). Dann gilt für die Varianz:
( ) .
Beweis.
Nach Verschiebungssatz gilt allgemein:
( ) [ ] [ ]
Mit dem Lemma 2.3 und Proposition 2.2 folgt damit:
( ) [ ] [ ]
Insbesondere wurde nun bewiesen, dass bei einer Poissonverteilung ( ) [ ] gilt.
Wenn man sich nun an die Histogramme aus 2.1 erinnert, ist es nun klar, dass die Kurven mit
wachsendem λ breiter werden, da auch die Varianz wächst. Außerdem ist nicht mehr
überraschend, dass immer ein kϵN nahe λ die größte Wahrscheinlichkeit besitzt. Besonders
praktisch ist es, dass man den Erwartungswert und die Varianz aus einer bekannten
Verteilung direkt ablesen kann und nicht berechnen muss.
Als nächstes möchte ich nun eine weitere nützliche Eigenschaft der Poissonverteilung
betrachten.
2.3 Addition von zwei poissonverteilten Zufallsgrößen
(2.5) Proposition
Seien X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen. Sei X poissonverteilt zum Parameter λ>0
und sei Y poissonverteilt zum Parameter µ>0.
Dann ist X+Y poissonverteilt zum Parameter λ+µ.
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