Teil 4: Algorithmen-Entwurfstechniken Idee der Greedy-Algorithmen ...

Bin Packing - Problemstellung
Teil 4:
Algorithmen-Entwurfstechniken
• Greedy-Algorithmen
– Idee
– Job Scheduling
– Datenkompression mit dem Huffman-Verfahren
– Bin Packing
• Teile-und-Herrsche-Verfahren
• Dynamisches Programmieren
Problem:
Gegeben seien n Gegenstände mit den Größen
s 1 , s 2 , …, s n ,
wobei 0 < s i ≤ 1.
Gesucht ist eine möglichste geringe Zahl von Behältern (bins) mit Größe 1,
so dass alle Gegenstände untergebracht werden können.
Aproximative Algorithmen
Da Bin Packing NP-vollständig ist, kann nicht erwartet werden, dass es ein effizientes
Verfahren zum Finden einer optimalen Lösung gibt.
Wir werden effiziente Greedy-Algorithmen behandeln, die nur suboptimale Lösung liefern,
d.h. die die optimale Lösung wird approximiert.
Online- und Offline-Algorithmen
Bei Online-Algorithmen muss der Algorithmus einen Gegenstand sofort einem Behälter
zuordnen, ohne die nächsten Gegenstände zu kennen.
Bei den Offline-Algorithmen kennt der Algorithmus alle Gegenstände im voraus.
O. Bittel; Juli 2007 Algorithmen und Datenstrukturen - Algorithmen-Entwurfstechniken 4-17
O. Bittel; Juli 2007 Algorithmen und Datenstrukturen - Algorithmen-Entwurfstechniken 4-18
Online Bin Packing (1)
Next Fit:
Verwalte die Behälter in einer festen Reihenfolge.
Gehe vom zuletzt verwendeten Behälter (einschl.) aus und
ordne den Gegenstand i dem nächst besten Behälter zu, in dem i noch Platz hat.
Beispiel
Gegenstände: 0.2, 0.5, 0.4, 0.7, 0.1, 0.3, 0.8
leer
0.5
0.2
B 1
leer
0.1
0.7
B 3
leer
0.8
leer
leer
0.4
0.3
Eigenschaft
Sei m die optimale Anzahl Behälter, um n Gegenstände einzupacken.
Dann benötigt Next Fit maximal 2m Behälter.
Es gibt eine Folge von Gegenstände, so dass Next Fit 2m-2 Behälter benötigt.
(Beweis siehe [Weiss 1999])
O. Bittel; Juli 2007 Algorithmen und Datenstrukturen - Algorithmen-Entwurfstechniken 4-19
B 5
Online Bin Packing (2)
First Fit:
Verwalte die Behälter in einer festen Reihenfolge.
Gehe immer vom ersten Behälter aus und
ordne den Gegenstand i dem erst besten Behälter zu, in dem i noch Platz hat.
Beispiel
Gegenstände: 0.2, 0.5, 0.4, 0.7, 0.1, 0.3, 0.8
leer
0.1
0.5
leer
0.3
0.4
0.2
B 1
B 2
leer
0.7
B 3
leer
0.8
B 4
Eigenschaft
Sei m die optimale Anzahl Behälter, um n Gegenstände einzupacken.
Dann benötigt First Fit maximal ⎡(17/10)m⎤ Behälter.
Es gibt eine Folge von Gegenstände, so dass First Fit (17/10)(m-1) Behälter benötigt.
(Beweis siehe [Weiss 1999])
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