Convex3-Mapping® - Dr. Sievi

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Convex3-Mapping ®
Ein neues Mapping-Verfahren im Vergleich zu herkömmlichen Mapping-Methoden
Für viele Anwendungen
(Margenberechnung, praktische
Refinanzierung des
Neugeschäfts, dispositive
Maßnahmen, Risikomodelle)
sind real vorliegende
Zahlungsströme wegen der
Vielzahl und Unregelmäßigkeit der Zahlungstermine
schwer zu handhaben. Sie müssen
durch "Mapping"-Verfahren vereinfacht werden,
ohne ihre Charakteristik (Barwert, Risiko)
zu verändern. Christian R. Sievi, freier Wirtschaftsmathematiker
und Gesellschafter der
GILLARDON financial software GmbH, stellt
ein von ihm entwickeltes Mapping-Verfahren
herkömmlichen Mapping-Verfahren gegenüber.
Problemstellung beim Mapping
"Mapping" dient dazu, einen bestehenden, ursprünglichen
Zahlungsstrom (1) auf einen anderen Zahlungsstrom (2)
abzubilden, der weniger Zahlungszeitpunkte aufweist als
der Ursprungszahlungsstrom (1). Hierbei soll der strukturkongruent
berechnete Barwert des Zahlungsstroms (1) mit
dem entsprechenden Barwert des Zahlungsstroms (2)
übereinstimmen. Ferner soll das Zinsänderungsrisiko der
Zahlungsströme (1) und (2) möglichst gleich sein, d.h. die
Barwerte der Zahlungsströme sollen auf Zinsänderungen
in möglichst gleicher Weise reagieren. 1
Durch das Mapping soll erreicht werden, dass ein zunächst
komplizierter Zahlungsstrom so weit vereinfacht wird (d.h.
weniger Zahlungszeitpunkte aufweist), dass er sowohl rechentechnischen
Operationen als auch praktischem Handeln
einfacher zugänglich ist. Hierbei soll die "Qualität" des
Zahlungsstromes - ausgedrückt durch Barwert und Zinsänderungsrisiko
- nicht bzw. möglichst wenig verändert werden.
Wie weit die Vereinfachung geht, ist von der jeweiligen
Anwendung des Mapping abhängig. Eine geringfügige
Vereinfachung liegt vor, wenn ein Zahlungsstrom, dessen
Zahlungen an beliebigen Zeitpunkten fällig sind, auf einen
Zahlungsstrom mit monatlichem Raster (z.B. Zahlungen
nur am Monatsende) abgebildet wird. Die stärkste Vereinfachung
liegt vor, wenn ein Zahlungsstrom auf einen einzigen
Zahlungszeitpunkt konzentriert wird. Je stärker die
Vereinfachung ist, um so weniger wird sich die Forderung
nach gleichem Zinsänderungsrisiko erfüllen lassen.
1 Das Zinsänderungsrisiko wird im Fortgang nur barwertig
betrachtet. Eine Erweiterung der Untersuchung auf das
Zinsänderungsrisiko an einem bestimmten Planungshorizont
ist möglich. Dort liegen ähnliche Ergebnisse vor.
Anwendungen des Mapping
Die folgenden Anwendungen des Mapping zeigen, dass
der Auswahl eines geeigneten Mapping-Verfahrens eine
hohe Bedeutung zukommt.
(1) Berechnung von Einstandssatz, Marge und
Margenbarwert auf Basis der strukturkongruenten
Refinanzierung
Einstandssatz, prozentuale Marge und Margenbarwert
eines Finanzgeschäfts werden auf Basis der sog. "Strukturkongruenten
Refinanzierung" berechnet. 2
Liegen die Zahlungsströme eines Finanzgeschäfts nicht in
einem periodischem Raster, so kann es - bedingt durch die
bei der strukturkongruenten Refinanzierung zu berücksichtigende
Geld-/Briefdifferenz - zu einer Refinanzierung
kommen, die - aus Sicht des Praktikers - unnötig hohe
Geld-/Briefdifferenzen aufbaut und damit unnötige Kosten
bzw. "zu hohe" Einstandssätze ausweist.
Ein Beispiel hierfür ist ein Darlehen mit monatlicher Zahlung
der Raten am Monatsende, dessen Zinsbindungsende
nicht ebenfalls am Monatsende fällt. Bei taggenauer
Refinanzierung wird die Restschuld am Ende der Zinsbindung
separat durch ein Gegengeschäft ausgeglichen. Die
Zinszahlungen dieses Gegengeschäfts liegen in den Jahren
vorher innerhalb des Monats und fallen nicht mit den
Monatsraten des Darlehens zusammen. Folglich müssen
diese Zinszahlungen durch Anlagen auf die entsprechenden
Termine neutralisiert werden. Die Anlagen sind aber
nur zum Geldsatz der entsprechenden Frist möglich.
Endet die Restschuld des Darlehens hingegen am Monatsende,
so fallen die Zinszahlungen der entsprechenden
Refinanzierung auf ein Monatsende der früheren Jahre. Sie
können dann mit den dort fälligen Ratenzahlungen saldiert
werden. Die entsprechende Anlage wird ganz - oder
wenigstens in Höhe der Rate des Darlehens - gespart; die
entsprechende Geld-/Briefdifferenz ist dadurch ganz oder
teilweise vermieden.
Aus diesem Grund ist es angebracht, bei der Berechnung
von Einstandssätzen, prozentualen Margen und Margenbarwerten
zur Ermittlung des Markterfolges eines Produkts
ein Mapping auf ein Monatsraster - bei vierteljährlicher
Zahlung eventuell Vierteljahresraster - vorzunehmen 3 .
2 Zum Begriff der Strukturkongruenz und zur strukturkongruenten
Barwertberechnung vgl. Sievi, Ch., Kalkulation
und Disposition, GILLARDON Bretten 1995
3 Aus diesem Grund wird z.B. bei den Versionen 1 bis 3 von
MARZIPAN mit einem monatlichen Refinanzierungsraster gearbeitet.
Ab Version 4 besteht Wahlfreiheit, ob der Zahlungsstrom
vor der Refinanzierung gemappt wird oder nicht.
aus: DIE BANK 5/98
7

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Convex3-Mapping ®
aus: DIE BANK 5/98
(2) Praktische Refinanzierung "großer" Geschäfte
bzw. des Neugeschäfts
Die taggenaue oder mit monatlichem Mapping berechnete
strukturkongruente Refinanzierung von Finanzgeschäften
dient primär der Ergebnisspaltung in Markterfolg und Dispositionserfolg.
In der Praxis kann die strukturkongruente
Refinanzierung weder pro Einzelgeschäft noch in der Summe
eines Neugeschäfts (z.B. des täglichen Neugeschäfts)
exakt nachvollzogen werden. Bei einem Geschäft mit zehn
Jahren Zinsbindungsdauer und monatlicher Ratenzahlung
wären hierzu - auch bei monatlichem Mapping - 120
Refinanzierungen bzw. Anlagen nötig.
In der Praxis ist es notwendig, bei der Refinanzierung
gängige Laufzeiten zu verwenden und die Anzahl der Refinanzierungen
drastisch zu verringern. Im "kurzen" Bereich
können hierbei z.B. die Zeitpunkte 1 Monat, 3 Monate,
6 Monate, 9 Monate und 1 Jahr berücksichtigt werden.
Danach werden in der Regel nur Jahresabschnitte verwendet.
Oft wird mit einem noch gröberen Raster gearbeitet.
Ausgehend von dem definierten Raster wird das Kundengeschäft
(bzw. der Summenzahlungsstrom des Neugeschäfts)
zunächst auf das gewünschte Raster gemappt.
Hierbei bleibt der Barwert erhalten, das Zinsänderungsrisiko
wird so gut wie möglich unverändert gelassen.
Anschließend wird für den gemappten Zahlungsstrom die
strukturkongruente Refinanzierung durchgeführt. Sie besteht
nur noch aus so vielen Maßnahmen, wie Rasterpunkte
definiert wurden 4 . Bei entsprechender Rundung
der berechneten Refinanzierungsvolumina ist damit eine
praktisch durchführbare Refinanzierung gegeben.
Da das Zinsänderungsrisiko des Kundengeschäfts und des
gemappten Geschäfts so gut wie möglich übereinstimmt
und die strukturkongruente Refinanzierung eines Cash-
Flows das Zinsänderungsrisiko eliminiert, ist die mit
Mapping ermittelte - praktisch durchführbare Refinanzierung
- im Rahmen der Qualität des Mappingverfahrens
zinsänderungsrisikofrei.
Auf diese Weise gelingt es, Großgeschäfte (z.B. Kommunalkredite)
oder die Summe des täglichen Neugeschäfts
mit "wenigen" Abschnitten zu refinanzieren, ohne hierbei
ein zu großes Risiko einzugehen.
(3) Dispositive Maßnahmen mit wenigen Operationen
Im Rahmen dispositiver Maßnahmen zur Steuerung des
Zinsänderungsrisikos bzw. zur bewussten Wahrnehmung
von Zinsänderungschancen muss ein vorliegender Ist-Zahlungsstrom
in einen Soll-Zahlungsstrom transformiert
werden, der das gewünschte Chancen-/Risikoprofil hinsichtlich
des Zinsänderungsrisikos aufweist.
Der "Umbau" des Ist-Zahlungsstromes in den Soll-
Zahlungsstrom soll mit möglichst wenigen Maßnahmen
erfolgen, um hierbei hohe Volumina je Einzelmaßnahme
zu erhalten. Hierdurch können marktgerechte Preise erzielt
werden; das Maßnahmenbündel bleibt übersichtlich und
kann schnell durchgeführt werden. Schließlich herrscht bei
den zu tätigenden Geschäften eine Präferenz für bestimmte
"gängige" Laufzeiten - also glatte Laufzeitjahre und
Fristen mit hohem Handelsvolumen.
Zum genannten Zweck wird zunächst der Differenzzahlungsstrom
zwischen Ist-Zahlungsstrom und Soll-
Zahlungsstrom gebildet. Der Differenzzahlungsstrom wird
auf die Rasterzeitpunkte gemappt, in denen Maßnahmen
ergriffen werden sollen. Die Anzahl der Rasterpunkte entspricht
hierbei der Anzahl der zu tätigenden Maßnahmen.
Schließlich wird der gemappte Differenzzahlungsstrom
strukturkongruent refinanziert. Hierdurch werden die zu
tätigenden Maßnahmen gewonnen. 5
(4) Risikomodelle auf Basis von Varianz und Kovarianz
Eine Reihe von Risikomodellen - z.B. RiskMetrics 6 von
J.P. Morgan - arbeitet bei der Berechnung des Zinsänderungsrisikos
mit Varianzen der Zinsschwankungen und deren
Korrelationen untereinander. Zur Risikoberechnung ist
die empirische Bestimmung der Zinsvolatilitäten und der
Korrelation notwendig. Dies muss eigentlich für jeden Zeitpunkt,
an dem eine Zahlung vorliegt, geschehen.
Aus Gründen der Praktikabilität muss man sich bei der empirischen
Schätzung der Varianzen und Korrelationen auf
ausgewählte Laufzeiten bzw. Rasterpunkte beschränken 7 .
Dies bedeutet wiederum, dass die Zahlungsströme des zu
beurteilenden Cash-Flows auf diese Rasterpunkte gemappt
werden müssen. J.P. Morgan hat hierzu ein Mapping-
Verfahren vorgeschlagen, das im Rahmen der vorliegenden
Untersuchung in den vorzunehmenden Vergleich einbezogen
wird.
(5) Modelle zur Berechnung des Zinsänderungsrisikos -
bzw. zur Eigenkapitalunterlegung - im Rahmen des
neuen Grundsatzes 1
Das vom Bundesaufsichtsamt vorgeschlagene Standardmodell
zur Berechnung der Eigenkapitalunterlegung für die
6. KWG-Novelle arbeitet mit bestimmten Laufzeitbändern.
Es werden Regeln aufgestellt, wie Positionen innerhalb der
Laufzeitbänder und zwischen den Laufzeitbändern jeweils
zu verrechnen sind (sog. "vertikales" bzw. "horizontales"
4 Liegen die Rasterpunkte gröber als ganze Jahre (z.B. alle zwei
oder drei Jahre), müssen bei der Berechnung der strukturkongruenten
Refinanzierung auch die Refinanzierungsmittel - die
in der Regel jährliche Zinszahlungen aufweisen - auf die
Rasterpunkte gemappt werden.
5 Wie bereits erwähnt, ist hierzu gegebenenfalls auch ein
Mapping der Zahlungsströme der Refinanzierungsmittel nötig.
6 RiskMetrics ist ein eingetragenes Warenzeichen von J.P. Morgan
7 z.B. verwendet J.P. Morgan die Fristen 1Tg, 1 Wo, 1 Mon.,
3 Mon., 6 Mon., 1 J bis 5 J, 7 J, 9 J, 10 J, 15 J, 20 J, 30 J.
8

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Convex3-Mapping ®
Hedging). Positionen innerhalb eines Laufzeitbandes werden
hierbei stets gleich behandelt - gleichgültig ob sie am
Beginn oder Ende des Laufzeitbandes liegen oder ob sie
"dicht" beisammen anfallen. Ein vorheriges Mapping der
Ausgangspositionen - etwa auf die Mitte des Laufzeitbandes
- könnte hier für mehr Genauigkeit, Aussagekraft und
insgesamt stetigere Ergebnisse sorgen. Denkbar wäre, hierdurch
ein neues, verbessertes Standardmodell zu schaffen.
Gegebenenfalls kann ein entsprechendes Verfahren aber
auch als "internes" Modell etabliert werden.
Barwert, Modified Duration und
Convexity als Hilfsgrößen beim Mapping
Der Ansatz, das Zinsänderungsrisiko eines Zahlungsstromes
über die Duration - genauer modified Duration - zu
messen, hat eine lange Tradition. In diesem Sinn liegt es
nahe, die Größe “Modified Duration” auch beim Mapping
einzusetzen. Beim Convex3-Mapping ® wird hierbei zusätzlich
die Convexity benötigt.
Die zunächst zu diskutierenden Verfahren gehen von
folgenden Kerngedanken aus:
(1) Durch das Mapping soll der Barwert des Zahlungsstromes
unverändert bleiben
(2) Die erste - beim Convex3-Mapping ® zusätzlich die
zweite - Ableitung des Zahlungsstromes nach dem
Zins soll für den Zahlungsstrom und den gemappten
Zahlungsstrom übereinstimmen.
Die erste Ableitung steht in engem Zusammenhang mit der
"Modified Duration", die zweite mit der "Convexity" (siehe
unten).
Die Forderung (1) ist bei allen Mapping-Verfahren unverzichtbar,
da ein Tausch in andere Fristen niemals zu einer
Vermögensänderung führen kann. 8 Die Forderung (2) soll
sicherstellen, dass der Ursprungszahlungsstrom und der
gemappte Zahlungsstrom auf "kleine" Zinsänderungen
gleich reagieren, d.h. das gleiche Zinsänderungsrisiko aufweisen.
Wie gut hierbei die Approximation ist, hängt von
der Anzahl der einbezogenen Ableitungen ab. Dies ist eine
Folge der sog. "Tailorapproximation" beliebiger Funktionen.
9
Formeln für Barwert, Modified Duration
und Convexity
Die Formeln werden zunächst nur für einen einzigen Cash-
Flow des Wertes C t, fällig am Zeitpunkt t, entwickelt.
Der Zins für die Frist t wird zur Vereinfachung nicht als
Zins, sondern als Zinsfaktor dargestellt bzw. variiert.
Für die Zinsen bzw. Zinsfaktoren sind hierbei die Zerobondzinsen
zu wählen. Auf die generellen Probleme, die
mit der Verwendung von Zerobondrenditen im Zusammenhang
mit der Geld-/Briefproblematik verbunden sind, kann
hier nicht eingegangen werden. 10
Diese Probleme müssen im Rahmen der Genauigkeit beim
Mapping akzeptiert werden. Generell wird beim Mapping
die Geld-/Briefdifferenz ignoriert.
Es gilt (der Index t wird vereinfachend bei C und q weggelassen):
Barwert B:
Erste Ableitung, Definition der Modified Duration D:
Zweite Ableitung, Definition der Convexity Co:
Die Ableitungen nach dem Zins z selbst erhält man, in dem
man "nachdifferenziert". Dies bedeutet für die erste Ableitung
eine Division durch 100 und für die zweite Ableitung
eine Division durch 10.000 (eine Änderung im Zins z bedeutet
eine um ein hundertstel kleinere Änderung in q).
aus: DIE BANK 5/98
8 Bei genauer Betrachtung bedeutet jeder Tausch stets eine
Vermögensverminderung, die aus den Geld-/Briefdiffernzen
resultiert. Hiervon wird im Fortgang der Untersuchung
abstrahiert.
9 Prinzipiell ist es auch denkbar, weitere Ableitungen
(dritte, vierte Ableitung usw.) in die Betrachtung einzubeziehen.
Entsprechende Untersuchungen werden vom
Verfasser zur Zeit durchgeführt.
10 Vgl. Sievi, Ch., Kalkulation und Disposition, Bretten 1995
9

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Convex3-Mapping ®
aus: DIE BANK 5/98
Mapping mit gleichem Barwert und gleicher
erster Ableitung ("Duration-Mapping")
Bei naiver Betrachtung wird erwartet, dass beim Mapping
aus zwei oder mehr Zahlungen, die an unterschiedlichen
Zeitpunkten fließen, ein Zahlungsstrom erzeugt wird, um
auf diese Weise die Anzahl der Zahlungen zu reduzieren.
Sinnvollerweise wird jedoch gerade anders herum vorgegangen:
Eine Zahlung Ct, fällig am Zeitpunkt t, soll in zwei
Zahlungen C1 und C2, fällig an vorgegebenen Zeitpunkten
1 und 2, aufgeteilt werden. Wird bei dieser Vorgehensweise
eine Reihe von Rasterpunkten t1, t2, t3 und so weiter
vorgegeben, so können alle Zahlungen, die an beliebigen
Zeitpunkten fällig sind, auf die zeitlich nächstliegenden
Rasterpunkte verteilt werden. Am Ende sind nur noch so
viele Zahlungen verblieben, wie Rasterpunkte vorgegeben
wurden. 11
Ein erstes Mapping-Verfahren arbeitet nach dieser Methode,
wobei der Barwert und die erste Ableitung erhalten bleibt.
Es wird nachfolgend als "Duration Mapping" bezeichnet.
Es seien:
also die Barwerte der Zahlungen C1, C2, und Ct, die an den
Zeitpunkten t1, t2 und t3 fließen. Hierbei soll die Zahlung
C1 auf die Rasterpunkte t1 und t2, t3 verteilt werden. Gesucht
ist die Verteilung der Zahlung Ct auf C1 und C2.
Hierzu wird folgendes Gleichungssystem aufgestellt:
Gleicher Barwert: (1)
,
Mapping mit gleichem Barwert, gleicher
erster und gleicher zweiter Ableitung
(Convex3-Mapping ® 12 )
Beim vom Verfasser vorgeschlagenen Convex3-Mapping ®
wird zusätzlich zur ersten Ableitung die zweite Ableitung
einbezogen. Da hierdurch drei Gleichungen zur Verfügung
stehen, wird eine Zahlung C1, fällig am Zeitpunkt t, auf
drei Zahlungen C1, C2 und C3, fällig an vorgegebenen Zeitpunkten
1, 2 und 3, aufgeteilt.
Auch bei diesem Mapping-Verfahren werden also Rasterpunkte
vorgegeben. Ein beliebiger Zahlungsstrom wird auf
die drei zeitlich am nächsten liegenden Rasterpunkte verteilt.
Gesucht ist die Art der Aufteilung in Form von C1, C2
und C3.
Erneut sei:
also die Barwerte der Zahlungen.
Es sollen folgende drei Gleichungen erfüllt werden:
Gleicher Barwert: (1)
Gleiche erste Ableitung: (2)
,
Gleiche erste Ableitung nach q: (2)
Gleiche zweite Ableitung: (3)
Durch Umformungen erhält man:
Die Auflösung der Gleichungen nach B1, B2, und B3 ergibt:
Durch Aufzinsen der berechneten Barwerte B1 und B2 mit
den zugehörigen Zerobondzinsen erhält man C1 und C2,
also das gewünschte Mapping.
Durch Aufzinsen von B1, B2 und B3 erhält man C1, C2 und
C3, also das gewünschte Mapping.
11 Damit kann allerdings nur auf mindestens zwei Rasterpunkte
gemappt werden. Die eingangs erwähnte Möglichkeit, auf
einen einzigen Rasterpunkt zu mappen, dürfte in der Praxis
keine Rolle spielen und wird deshalb nicht weiter untersucht.
12 Convex3-Mapping ® ist ein eingetragenes Warenzeichen
der GILLARDON financial software GmbH, Bretten
10

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Mapping nach J.P. Morgan
Wie beim Duration-Mapping wird beim Mapping nach J.P.
Morgan eine Zahlung, fällig am Zeitpunkt t, auf zwei Zahlungen
C1 und C2 an den Zeitpunkten 1 und 2 aufgeteilt.
Bei den nachfolgenden Rechenschritten seien B1, B2 und
B3 wieder die Barwerte der Zahlungen (Berechnung wie
oben).
Kursvolatilität einer Zahlung
Ferner seien s1, s2 und st die Kursvolatilität (gleich der
Standardabweichung) bezogen auf die Haltedauer von
einem Tag der Zahlung am Zeitpunkt 1, 2 und t. Die
Kursvolatilität wird empirisch für die Fristen 1 und 2 geschätzt
13 . Der Wert für die Frist t wird hieraus interpoliert,
sofern t kein Rasterpunkt ist.
Dann gilt für den Value-at-Risk (VAR) bei einem beidseitigen
Konfidenzniveau von 68,27 %:
(1)
, und
Die Berechnung des VAR mit anderen Konfidenzniveaus
erfolgt durch die Multiplikation mit einem Faktor k. Die Berechnung
des Faktors ergibt sich aus den Eigenschaften
der Normalverteilung. Ebenso kann durch Multiplikation
mit der Wurzel aus der Haltedauer in eine andere Haltedauer
als einen Tag umgerechnet werden.
Berechnung des VAR von zwei Zahlungen unter Berücksichtigung
der Korrelation
Gegeben sind zwei Zahlungen C1 und C2 zu den Zeitpunkten
1 und 2. Die zugehörigen Value-at-Risks bei
einem gegeben Konfidenzniveau seien VAR1 und VAR2.
Die Korrelation kor ist ein Maß für die Kopplung der Zinssätze
für die Laufzeiten 1 und 2. Die Korrelation liegt
zwischen 1 (vollständig positive Korrelation) und -1 (vollständig
negative Korrelation). Die Korrelation der Zinsen
entspricht der Korrelation der Kurse. Für das Gesamtrisiko
gilt die Formel:
Mapping eines Cash-Flows
Folgende Forderungen werden beim Mapping nach J.P.
Morgan aufgestellt:
Gleicher Barwert: (2)
Gleiches VAR: (3)
Es existiert ein x so dass: (4)
mit .
und
Die Eigenschaft, dass x zwischen Null und Eins liegt,
bedeutet, dass die Vorzeichen der durch das Mapping
entstehenden Zahlungen gleich dem Vorzeichen der zu
mappenden Zahlung sind.
Durch Einsetzen Gleichungen (1), (2) und (4) in (3) erhält
man eine quadratische Gleichung in x:
(5)
Der Term B 2 t ist bereits aus der Gleichung heraus gekürzt.
(5) läßt sich umformen zu:
(6)
mit
Gleichung (6) lässt sich mit der üblichen Formel für
quadratische Gleichungen auflösen. Es entstehen zwei
Lösungen. Es gilt diejenige Lösung, für die
erfüllt ist. 14
aus: DIE BANK 5/98
13 Eigentlich wird von J.P. Morgan nicht die Kursvolatilität,
sondern die Zinsvolatilität empirisch geschätzt. Aus der Zinsvolatilität
kann jedoch die Kursvolatilität berechnet werden.
Dieser Zwischenschritt wird hier vereinfachend weggelassen.
14 Es lassen sich allerdings leicht Beispiele finden, in denen
keine der beiden Lösungen zwischen Null und Eins liegt.
Ebenso kann nicht ausgeschlossen werden, dass es gar keine
Lösung gibt. Hierin liegt eine Schwäche des Mappings nach
J.P. Morgan, da es keine eindeutige Lösung garantiert, die
den geforderten Bedingungen entspricht. Zur Verteidigung
kann nur angeführt werden, dass diese Situationen nicht
realistisch sind. Letztlich fehlen hierzu aber Belege.
11

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Convex3-Mapping ®
aus: DIE BANK 5/98
Es kann leicht gezeigt werden, dass das Ergebnis des Mapping
vom gewählten Signifikanzniveau und der Haltedauer
unabhängig ist.
Beispiele zu Ergebnissen beim Mapping
Ein Zahlungsstrom von jeweils 100 DM, fällig in den
Jahren 4 und 6, soll auf die Fristen 3 Jahre, 5 Jahre und
7 Jahre verteilt werden. Obwohl bei diesem Beispiel der
Komplexitätsgrad des Zahlungsstroms erhöht wird (zwei
Zahlungen werden auf drei Zahlungen abgebildet), ist das
Beispiel für die Ergebnisse beim Mapping repräsentativ,
da bei entsprechend mehr Basiszahlungen alle diese Zahlungen
auf die Zeitpunkte 3 Jahre, 5 Jahre und 7 Jahre zugeordnet
werden können.
Hinsichtlich der Volatilität der Zinsen und der Korrelation
sollen im Beispiel folgende Werte gelten:
Laufzeit Jahre 3 5 7
Zinsvolatilität %
des Zinses 15 2,25 1,75 1,35
Korrelation von
mit Laufzeit Jahre
Laufzeit Jahre 3 5 7
3 1,000 0,980 0,910
5 0,980 1,000 0,970
7 0,910 0,970 1,000
Für die Zwischenfristen 4 Jahre und 6 Jahre werden die
Zinsvolatilitäten linear interpoliert. Hinsichtlich der Zinsstruktur
gelten die in der Tabelle 1 angegebenen Werte.
Tabelle 1 zeigt in den Zeilen 1 bis 9 die Lösungen für die
in Zeile 1 angegebenen Zinsen.
Die Ergebnisse beim Duration-Mapping (Dur) und beim
Mapping nach J.P. Morgan (JP) stimmen in der Tendenz
überein, wobei J.P. Morgan im Beispiel systematisch zu
den längeren Fristen hin mappt. Beim Convex3-Mapping ®
liegen hiervon stark abweichende Ergebnisse vor. Wird nur
eine Zahlung (100 DM, je nach Fall zum Zeitpunkt 4
Jahre oder 6 Jahre) gemappt, erhalten die beiden benachbarten
Rasterpunkte das gleiche Vorzeichen, der dritte
Rasterpunkt das umgekehrte Vorzeichen. 16 Der mittlere
Rasterpunkt besitzt hierbei relativ viel Gewicht.
Besonders deutlich ist der Unterschied, wenn das Ergebnis
des gemeinsamen Mappings der beiden Zahlungen betrachtet
wird (fettgedruckte Zeilen): Das Duration Mapping
und das Mapping nach J.P. Morgan verteilen im Beispiel
rund 50 DM auf die Fristen 3 Jahre und 7 Jahre sowie
rund 100 DM auf 5 Jahre. Das Convex3-Mapping ® legt
nur rund 25 DM auf die Punkte 3 Jahre und 7 Jahre und
konzentriert rund 150 DM auf 5 Jahre. Intuitiv ist das
günstiger, da der Schwerpunkt der beiden Zahlungen bei
5 Jahren liegt. Die spätere Risikoanalyse wird zeigen, dass
diese Intuition richtig ist.
Tabelle 1: Ergebnisse bei verschiedenen Mapping-Verfahren
Nr. Zerobondzinsen Zahlung Art Gemappte Zahlung
3 J 4 J 5 J 6 J 7 J 4 J 6 J 3 J 5 J 7 J
1 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 100,00 Dur 45,83 55,57
2 100,00 Dur 44,17 57,63
3 100,00 100,00 Dur 45,83 99,74 57,63
4 100,00 C3 34,05 84,15 -18,65
5 100,00 C3 -8,85 65,63 43,63
6 100,00 100,00 C3 25,19 149,79 24,98
7 100,00 JP 44,24 57,47
8 100,00 JP 38,08 65,43
9 100,00 100,00 JP 44,24 95,55 65,43
15 Mit Hilfe der Modified Duration kann aus der Zinsvolatilität die
Kursvolatilität berechnet werden.
16 Diese Aussage gilt nur bei "realistischen" Zinsstrukturen und
nur, wenn der zu mappende Cash-Flow zwischen zwei
Rasterpunkten liegt.
12

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Convex3-Mapping ®
Risikoneutralität
Mit den folgenden Berechnungen soll geprüft werden, welches
Mapping-Verfahren das Risiko eines Zahlungsstromes
möglichst unverändert lässt. Hierzu wird die Differenz aus
dem Ursprungszahlungsstrom und dem gemappten Zahlungsstrom
(als Gegengeschäft) gebildet. Da bei jedem
Mapping-Verfahren der Barwert unverändert bleibt, ist -
bei unveränderten Zinsen - der Barwert des Differenzzahlungsstroms
gleich Null (Zeilen 1 bis 3 in Tabelle 2). Nun
werden die Zinsen systematisch variiert und erneut der
Barwert des Differenzzahlungsstroms gebildet. Je geringer
hierbei die Abweichung vom Wert Null ist, um so besser ist
das Mapping-Verfahren, da damit der Barwert bei Zinsänderungen
erhalten bleibt.
Zur Art der Veränderung der Zinsen bei der systematischen
Analyse ist eine Vorbemerkung notwendig: Wird der Zins
jeweils nur für eine einzige Laufzeit verändert, kann kein
Mapping-Verfahren risikoneutral sein. Im genannten Fall
wird nur eine einzige Zahlung des Differenzzahlungsstroms
- je nach Fall eine des Ursprungszahlungsstroms oder eine
des gemappten Zahlungsstromes - von der Zinsänderung
betroffen. Die entsprechende Barwertveränderung kann
durch Barwertveränderungen an anderen Stellen nicht aufgefangen
werden.
Die Analyse ist also nur dann sinnvoll, wenn von einem inneren
Zusammenhang der Zinsänderungen an verschiedenen
Fristen ausgegangen wird. Die hohen Korrelationen
der Zinsänderungen für benachbarte Fristen zeigen, dass
diese Prämisse zulässig ist. Die nachstehende Tabelle
berücksichtigt aus diesem Grund nur Fälle, bei denen die
Zinsänderung an den Fristen für die Mapping-Zeitpunkte
(3 J, 5 J, 7 J) autonom ist. Die Zinsänderungen für die
Zwischenfristen (4 J, 6 J) wird hieraus interpoliert. Die
Interpolation ist hierbei nicht unbedingt linear, sondern so,
dass sich "glatte" Kurven ergeben.
Die folgende Tabelle 2 benutzt als Ausgangssituation die
Zinsstruktur der Zeile 1 aus Tabelle 1 und die in Tabelle 1,
Zeile 1 bis 9 gezeigten Lösungen. Berechnet ist der Barwert
des jeweiligen Ursprungszahlungsstroms abzüglich
des gemappten Zahlungsstroms bei den angegebenen
neuen Zinsstrukturen.
Tabelle 2 zeigt zunächst, dass alle Mapping-Verfahren bei
einer Parallelverschiebung der Zinsstrukturkurve praktisch
risikoneutral sind (Zeilen 10 - 18). Dies liegt beim Duration-
Mapping und beim Convex3-Mapping ® an der Erhaltung
der Duration, beim Mapping nach J.P. Morgan daran, dass
die Duration in etwa erhalten bleibt. Bekanntlich sorgt
gleiche Duration bei Parallelverschiebung im Zins für minimales
Zinsänderungsrisiko.
Kommt es zu einer Verdrillung der Zinsstruktur in der
Weise, dass die Veränderung der Zinsen auf einer Geraden
liegen (Fälle 19 - 27), dann ist das Convex3-Mapping ®
deutlich überlegen. Es weist für eine einzelne zu mappende
Zahlung ein etwa drei bis vier mal so kleines Risiko aus.
Die Risikopositionen heben sich hierbei gegenseitig auf, so
dass bei gemeinsamem Mapping der beiden Zahlungen
wieder Risikoneutralität besteht (Zeile 24). Diese Eigenschaft
gilt auch dann, wenn der mittlere Mappingpunkt
nicht wie im Beispiel im Zins unverändert bleibt. 17
Aber auch bei anderen Verschiebungen der Zinsstrukturkurve
weist das Convex3-Mapping ® deutlich bessere
Risikoneutralität auf (Faktor 10 und mehr), wenn die veränderte
Zinsstrukturkurve bzw. die Veränderung "glatt" ist
(Fälle 28 bis 36, mit Einschränkung 37 - 45). Nur bei
"eckigen" bzw. "geknickten" neuen Zinsstrukturkurven bzw.
Veränderungen (Fälle 46 - 54) liegen schlechtere Ergebnisse
vor. Diese Fälle sind aber in der Praxis nicht relevant.
Das Mapping nach J.P. Morgan kann sich in den Beispielsfällen
nicht gegenüber dem Duration-Mapping abheben;
es weist sogar tendentiell schlechtere Ergebnisse aus.
Dies liegt daran, dass die Veränderung der Zinsstruktur in
Tabelle 2 nicht nach statistischen, sondern nach systematischen
Gesichtspunkten vorgenommen wird. Würde eine
statistische Veränderung nach den vorliegenden Varianzen
und Korrelationen vorgenommen, so würde das Verfahren
von J.P. Morgan gegenüber dem Duration-Mapping klar
besser abschneiden. Es bliebe jedoch gegenüber dem
Convex3-Mapping ® deutlich unterlegen, da das Convex3-
Mapping ® in jedem statistischen Einzelfall und somit auch
im statistischen Erwartungswert das bessere Ergebnis
liefert.
aus: DIE BANK 5/98
17 Liegen die Veränderungswerte für die Zinsen auf einer
Geraden, so ist die zweite Ableitung nach dem Zins konstant.
Das Gleichsetzen der zweiten Ableitung beim Convex3-
Mapping ® liefert also die volle Tailorentwicklung. Dies ist
die tiefere Ursache für das vorliegende Ergebnis.
13

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Convex3-Mapping ®
Tabelle 2: Risiko bei verschiedenen Mapping-Verfahren
Nr. Zerobondzinsen Zahlung Mapping Barwert
Art = Risiko
3 J 4 J 5 J 6 J 7 J 4 J 6 J
1 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 100,00 beliebig 0,00
2 100,00 beliebig 0,00
3 100,00 100,00 beliebig 0,00
aus: DIE BANK 5/98
10 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 100,00 Dur 0,00
11 100,00 Dur 0,00
12 100,00 100,00 Dur 0,00
13 100,00 C3 0,00
14 100,00 C3 0,00
15 100,00 100,00 C3 0,00
16 100,00 JP 0,02
17 100,00 JP 0,07
18 100,00 100,00 JP 0,09
19 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 100,00 Dur -1,62
20 100,00 Dur -2,18
21 100,00 100,00 Dur -3,80
22 100,00 C3 0,55
23 100,00 C3 -0,55
24 100,00 100,00 C3 -0,00
25 100,00 JP -1,77
26 100,00 JP -3,56
27 100,00 100,00 JP -5,33
28 4,70 5,00 5,25 5,45 5,60 100,00 Dur -0,69
29 100,00 Dur -0,82
30 100,00 100,00 Dur -1,51
31 100,00 C3 0,18
32 100,00 C3 -0,17
33 100,00 100,00 C3 0,02
34 100,00 JP -0,77
35 100,00 JP -1,43
36 100,00 100,00 JP -2,21
37 4,00 7,00 8,00 8,00 8,00 100,00 Dur -2,27
38 100,00 Dur -0,67
39 100,00 100,00 Dur -2,94
40 100,00 C3 -0,37
41 100,00 C3 0,76
42 100,00 100,00 C3 0,39
43 100,00 JP -2,15
44 100,00 JP -1,08
45 100,00 100,00 JP -3,23
46 4,00 6,00 8,00 8,00 8,00 100,00 Dur 0,65
47 100,00 Dur -0,67
48 100,00 100,00 Dur -0,02
49 100,00 C3 2,55
50 100,00 C3 0,76
51 100,00 100,00 C3 3,31
52 100,00 JP 0,77
53 100,00 JP -1,08
54 100,00 100,00 JP -0,31
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PUBLIKATIONEN
Convex3-Mapping ®
Zusammenfassung
Die Analysen zeigen, dass das Convex3-Mapping ®
herkömmlichen Mapping-Verfahren deutlich überlegen ist.
Durch Einbeziehung der zweiten Ableitung bzw. Convexity
gelingt es, nicht nur Parallelverschiebungen in der Zinsstrukturkurve,
sondern auch beliebige "glatte" Veränderungen
in hohem Maße risikoneutral abzubilden.
Ideale Ergebnisse werden erzielt, wenn die Veränderung der
Zinsen auf einer Geraden liegt. 18 Diese Prämisse ist zwar
über die gesamte Zinsstrukturkurve nicht stets gegeben,
doch gelingt es durch Auswahl von geeigneten
Rasterpunkten, die Linearität der Zinsänderung abschnittsweise
für jeweils drei nebeneinander liegende Rasterpunkte
näherungsweise sicherzustellen. Die Rasterpunkte 3 Mon,
1 Jahr, 3 Jahre, 5 Jahre, 7 Jahre und 10 Jahre dürften hierzu
voll ausreichen. Ausgehend hiervon kann jeder Cash-
Flow auf maximal 6 Rasterpunkte abgebildet werden und ist
somit einer einfachen weiteren Verarbeitung zugänglich. 19
Die eingangs geschilderten Anwendungen des Mapping
können auf diese Weise voll erfüllt werden. 20
aus: DIE BANK 5/98
18 Weitere Ergebnisse hierzu können von Verfasser zugesandt
werden.
19 Liegen im Ursprungscash erhebliche Zahlungen im Bereich
von unter einem Jahr, sind im "kurzen" Bereich eventuell
weitere Rasterpunkte notwendig.
20 Bei der Margenberechnung sollte abweichend vom Vorschlag
ein wesentlich feineres Raster angewandt werden, etwa ein
Monatsraster.
Dieser Aufsatz wurde bereits in DIE BANK 5/98, S. 308ff.
veröffentlicht.
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