Convex3-Mapping® - Dr. Sievi

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PUBLIKATIONEN Convex3-Mapping ® aus: DIE BANK 5/98 Mapping mit gleichem Barwert und gleicher erster Ableitung ("Duration-Mapping") Bei naiver Betrachtung wird erwartet, dass beim Mapping aus zwei oder mehr Zahlungen, die an unterschiedlichen Zeitpunkten fließen, ein Zahlungsstrom erzeugt wird, um auf diese Weise die Anzahl der Zahlungen zu reduzieren. Sinnvollerweise wird jedoch gerade anders herum vorgegangen: Eine Zahlung Ct, fällig am Zeitpunkt t, soll in zwei Zahlungen C1 und C2, fällig an vorgegebenen Zeitpunkten 1 und 2, aufgeteilt werden. Wird bei dieser Vorgehensweise eine Reihe von Rasterpunkten t1, t2, t3 und so weiter vorgegeben, so können alle Zahlungen, die an beliebigen Zeitpunkten fällig sind, auf die zeitlich nächstliegenden Rasterpunkte verteilt werden. Am Ende sind nur noch so viele Zahlungen verblieben, wie Rasterpunkte vorgegeben wurden. 11 Ein erstes Mapping-Verfahren arbeitet nach dieser Methode, wobei der Barwert und die erste Ableitung erhalten bleibt. Es wird nachfolgend als "Duration Mapping" bezeichnet. Es seien: also die Barwerte der Zahlungen C1, C2, und Ct, die an den Zeitpunkten t1, t2 und t3 fließen. Hierbei soll die Zahlung C1 auf die Rasterpunkte t1 und t2, t3 verteilt werden. Gesucht ist die Verteilung der Zahlung Ct auf C1 und C2. Hierzu wird folgendes Gleichungssystem aufgestellt: Gleicher Barwert: (1) , Mapping mit gleichem Barwert, gleicher erster und gleicher zweiter Ableitung (Convex3-Mapping ® 12 ) Beim vom Verfasser vorgeschlagenen Convex3-Mapping ® wird zusätzlich zur ersten Ableitung die zweite Ableitung einbezogen. Da hierdurch drei Gleichungen zur Verfügung stehen, wird eine Zahlung C1, fällig am Zeitpunkt t, auf drei Zahlungen C1, C2 und C3, fällig an vorgegebenen Zeitpunkten 1, 2 und 3, aufgeteilt. Auch bei diesem Mapping-Verfahren werden also Rasterpunkte vorgegeben. Ein beliebiger Zahlungsstrom wird auf die drei zeitlich am nächsten liegenden Rasterpunkte verteilt. Gesucht ist die Art der Aufteilung in Form von C1, C2 und C3. Erneut sei: also die Barwerte der Zahlungen. Es sollen folgende drei Gleichungen erfüllt werden: Gleicher Barwert: (1) Gleiche erste Ableitung: (2) , Gleiche erste Ableitung nach q: (2) Gleiche zweite Ableitung: (3) Durch Umformungen erhält man: Die Auflösung der Gleichungen nach B1, B2, und B3 ergibt: Durch Aufzinsen der berechneten Barwerte B1 und B2 mit den zugehörigen Zerobondzinsen erhält man C1 und C2, also das gewünschte Mapping. Durch Aufzinsen von B1, B2 und B3 erhält man C1, C2 und C3, also das gewünschte Mapping. 11 Damit kann allerdings nur auf mindestens zwei Rasterpunkte gemappt werden. Die eingangs erwähnte Möglichkeit, auf einen einzigen Rasterpunkt zu mappen, dürfte in der Praxis keine Rolle spielen und wird deshalb nicht weiter untersucht. 12 Convex3-Mapping ® ist ein eingetragenes Warenzeichen der GILLARDON financial software GmbH, Bretten 10
PUBLIKATIONEN Convex3-Mapping ® Mapping nach J.P. Morgan Wie beim Duration-Mapping wird beim Mapping nach J.P. Morgan eine Zahlung, fällig am Zeitpunkt t, auf zwei Zahlungen C1 und C2 an den Zeitpunkten 1 und 2 aufgeteilt. Bei den nachfolgenden Rechenschritten seien B1, B2 und B3 wieder die Barwerte der Zahlungen (Berechnung wie oben). Kursvolatilität einer Zahlung Ferner seien s1, s2 und st die Kursvolatilität (gleich der Standardabweichung) bezogen auf die Haltedauer von einem Tag der Zahlung am Zeitpunkt 1, 2 und t. Die Kursvolatilität wird empirisch für die Fristen 1 und 2 geschätzt 13 . Der Wert für die Frist t wird hieraus interpoliert, sofern t kein Rasterpunkt ist. Dann gilt für den Value-at-Risk (VAR) bei einem beidseitigen Konfidenzniveau von 68,27 %: (1) , und Die Berechnung des VAR mit anderen Konfidenzniveaus erfolgt durch die Multiplikation mit einem Faktor k. Die Berechnung des Faktors ergibt sich aus den Eigenschaften der Normalverteilung. Ebenso kann durch Multiplikation mit der Wurzel aus der Haltedauer in eine andere Haltedauer als einen Tag umgerechnet werden. Berechnung des VAR von zwei Zahlungen unter Berücksichtigung der Korrelation Gegeben sind zwei Zahlungen C1 und C2 zu den Zeitpunkten 1 und 2. Die zugehörigen Value-at-Risks bei einem gegeben Konfidenzniveau seien VAR1 und VAR2. Die Korrelation kor ist ein Maß für die Kopplung der Zinssätze für die Laufzeiten 1 und 2. Die Korrelation liegt zwischen 1 (vollständig positive Korrelation) und -1 (vollständig negative Korrelation). Die Korrelation der Zinsen entspricht der Korrelation der Kurse. Für das Gesamtrisiko gilt die Formel: Mapping eines Cash-Flows Folgende Forderungen werden beim Mapping nach J.P. Morgan aufgestellt: Gleicher Barwert: (2) Gleiches VAR: (3) Es existiert ein x so dass: (4) mit . und Die Eigenschaft, dass x zwischen Null und Eins liegt, bedeutet, dass die Vorzeichen der durch das Mapping entstehenden Zahlungen gleich dem Vorzeichen der zu mappenden Zahlung sind. Durch Einsetzen Gleichungen (1), (2) und (4) in (3) erhält man eine quadratische Gleichung in x: (5) Der Term B 2 t ist bereits aus der Gleichung heraus gekürzt. (5) läßt sich umformen zu: (6) mit Gleichung (6) lässt sich mit der üblichen Formel für quadratische Gleichungen auflösen. Es entstehen zwei Lösungen. Es gilt diejenige Lösung, für die erfüllt ist. 14 aus: DIE BANK 5/98 13 Eigentlich wird von J.P. Morgan nicht die Kursvolatilität, sondern die Zinsvolatilität empirisch geschätzt. Aus der Zinsvolatilität kann jedoch die Kursvolatilität berechnet werden. Dieser Zwischenschritt wird hier vereinfachend weggelassen. 14 Es lassen sich allerdings leicht Beispiele finden, in denen keine der beiden Lösungen zwischen Null und Eins liegt. Ebenso kann nicht ausgeschlossen werden, dass es gar keine Lösung gibt. Hierin liegt eine Schwäche des Mappings nach J.P. Morgan, da es keine eindeutige Lösung garantiert, die den geforderten Bedingungen entspricht. Zur Verteidigung kann nur angeführt werden, dass diese Situationen nicht realistisch sind. Letztlich fehlen hierzu aber Belege. 11
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