Convex3-Mapping® - Dr. Sievi

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Convex3-Mapping ®
Risikoneutralität
Mit den folgenden Berechnungen soll geprüft werden, welches
Mapping-Verfahren das Risiko eines Zahlungsstromes
möglichst unverändert lässt. Hierzu wird die Differenz aus
dem Ursprungszahlungsstrom und dem gemappten Zahlungsstrom
(als Gegengeschäft) gebildet. Da bei jedem
Mapping-Verfahren der Barwert unverändert bleibt, ist -
bei unveränderten Zinsen - der Barwert des Differenzzahlungsstroms
gleich Null (Zeilen 1 bis 3 in Tabelle 2). Nun
werden die Zinsen systematisch variiert und erneut der
Barwert des Differenzzahlungsstroms gebildet. Je geringer
hierbei die Abweichung vom Wert Null ist, um so besser ist
das Mapping-Verfahren, da damit der Barwert bei Zinsänderungen
erhalten bleibt.
Zur Art der Veränderung der Zinsen bei der systematischen
Analyse ist eine Vorbemerkung notwendig: Wird der Zins
jeweils nur für eine einzige Laufzeit verändert, kann kein
Mapping-Verfahren risikoneutral sein. Im genannten Fall
wird nur eine einzige Zahlung des Differenzzahlungsstroms
- je nach Fall eine des Ursprungszahlungsstroms oder eine
des gemappten Zahlungsstromes - von der Zinsänderung
betroffen. Die entsprechende Barwertveränderung kann
durch Barwertveränderungen an anderen Stellen nicht aufgefangen
werden.
Die Analyse ist also nur dann sinnvoll, wenn von einem inneren
Zusammenhang der Zinsänderungen an verschiedenen
Fristen ausgegangen wird. Die hohen Korrelationen
der Zinsänderungen für benachbarte Fristen zeigen, dass
diese Prämisse zulässig ist. Die nachstehende Tabelle
berücksichtigt aus diesem Grund nur Fälle, bei denen die
Zinsänderung an den Fristen für die Mapping-Zeitpunkte
(3 J, 5 J, 7 J) autonom ist. Die Zinsänderungen für die
Zwischenfristen (4 J, 6 J) wird hieraus interpoliert. Die
Interpolation ist hierbei nicht unbedingt linear, sondern so,
dass sich "glatte" Kurven ergeben.
Die folgende Tabelle 2 benutzt als Ausgangssituation die
Zinsstruktur der Zeile 1 aus Tabelle 1 und die in Tabelle 1,
Zeile 1 bis 9 gezeigten Lösungen. Berechnet ist der Barwert
des jeweiligen Ursprungszahlungsstroms abzüglich
des gemappten Zahlungsstroms bei den angegebenen
neuen Zinsstrukturen.
Tabelle 2 zeigt zunächst, dass alle Mapping-Verfahren bei
einer Parallelverschiebung der Zinsstrukturkurve praktisch
risikoneutral sind (Zeilen 10 - 18). Dies liegt beim Duration-
Mapping und beim Convex3-Mapping ® an der Erhaltung
der Duration, beim Mapping nach J.P. Morgan daran, dass
die Duration in etwa erhalten bleibt. Bekanntlich sorgt
gleiche Duration bei Parallelverschiebung im Zins für minimales
Zinsänderungsrisiko.
Kommt es zu einer Verdrillung der Zinsstruktur in der
Weise, dass die Veränderung der Zinsen auf einer Geraden
liegen (Fälle 19 - 27), dann ist das Convex3-Mapping ®
deutlich überlegen. Es weist für eine einzelne zu mappende
Zahlung ein etwa drei bis vier mal so kleines Risiko aus.
Die Risikopositionen heben sich hierbei gegenseitig auf, so
dass bei gemeinsamem Mapping der beiden Zahlungen
wieder Risikoneutralität besteht (Zeile 24). Diese Eigenschaft
gilt auch dann, wenn der mittlere Mappingpunkt
nicht wie im Beispiel im Zins unverändert bleibt. 17
Aber auch bei anderen Verschiebungen der Zinsstrukturkurve
weist das Convex3-Mapping ® deutlich bessere
Risikoneutralität auf (Faktor 10 und mehr), wenn die veränderte
Zinsstrukturkurve bzw. die Veränderung "glatt" ist
(Fälle 28 bis 36, mit Einschränkung 37 - 45). Nur bei
"eckigen" bzw. "geknickten" neuen Zinsstrukturkurven bzw.
Veränderungen (Fälle 46 - 54) liegen schlechtere Ergebnisse
vor. Diese Fälle sind aber in der Praxis nicht relevant.
Das Mapping nach J.P. Morgan kann sich in den Beispielsfällen
nicht gegenüber dem Duration-Mapping abheben;
es weist sogar tendentiell schlechtere Ergebnisse aus.
Dies liegt daran, dass die Veränderung der Zinsstruktur in
Tabelle 2 nicht nach statistischen, sondern nach systematischen
Gesichtspunkten vorgenommen wird. Würde eine
statistische Veränderung nach den vorliegenden Varianzen
und Korrelationen vorgenommen, so würde das Verfahren
von J.P. Morgan gegenüber dem Duration-Mapping klar
besser abschneiden. Es bliebe jedoch gegenüber dem
Convex3-Mapping ® deutlich unterlegen, da das Convex3-
Mapping ® in jedem statistischen Einzelfall und somit auch
im statistischen Erwartungswert das bessere Ergebnis
liefert.
aus: DIE BANK 5/98
17 Liegen die Veränderungswerte für die Zinsen auf einer
Geraden, so ist die zweite Ableitung nach dem Zins konstant.
Das Gleichsetzen der zweiten Ableitung beim Convex3-
Mapping ® liefert also die volle Tailorentwicklung. Dies ist
die tiefere Ursache für das vorliegende Ergebnis.
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