Convex3-Mapping® - Dr. Sievi

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PUBLIKATIONEN Convex3-Mapping ® aus: DIE BANK 5/98 (2) Praktische Refinanzierung "großer" Geschäfte bzw. des Neugeschäfts Die taggenaue oder mit monatlichem Mapping berechnete strukturkongruente Refinanzierung von Finanzgeschäften dient primär der Ergebnisspaltung in Markterfolg und Dispositionserfolg. In der Praxis kann die strukturkongruente Refinanzierung weder pro Einzelgeschäft noch in der Summe eines Neugeschäfts (z.B. des täglichen Neugeschäfts) exakt nachvollzogen werden. Bei einem Geschäft mit zehn Jahren Zinsbindungsdauer und monatlicher Ratenzahlung wären hierzu - auch bei monatlichem Mapping - 120 Refinanzierungen bzw. Anlagen nötig. In der Praxis ist es notwendig, bei der Refinanzierung gängige Laufzeiten zu verwenden und die Anzahl der Refinanzierungen drastisch zu verringern. Im "kurzen" Bereich können hierbei z.B. die Zeitpunkte 1 Monat, 3 Monate, 6 Monate, 9 Monate und 1 Jahr berücksichtigt werden. Danach werden in der Regel nur Jahresabschnitte verwendet. Oft wird mit einem noch gröberen Raster gearbeitet. Ausgehend von dem definierten Raster wird das Kundengeschäft (bzw. der Summenzahlungsstrom des Neugeschäfts) zunächst auf das gewünschte Raster gemappt. Hierbei bleibt der Barwert erhalten, das Zinsänderungsrisiko wird so gut wie möglich unverändert gelassen. Anschließend wird für den gemappten Zahlungsstrom die strukturkongruente Refinanzierung durchgeführt. Sie besteht nur noch aus so vielen Maßnahmen, wie Rasterpunkte definiert wurden 4 . Bei entsprechender Rundung der berechneten Refinanzierungsvolumina ist damit eine praktisch durchführbare Refinanzierung gegeben. Da das Zinsänderungsrisiko des Kundengeschäfts und des gemappten Geschäfts so gut wie möglich übereinstimmt und die strukturkongruente Refinanzierung eines Cash- Flows das Zinsänderungsrisiko eliminiert, ist die mit Mapping ermittelte - praktisch durchführbare Refinanzierung - im Rahmen der Qualität des Mappingverfahrens zinsänderungsrisikofrei. Auf diese Weise gelingt es, Großgeschäfte (z.B. Kommunalkredite) oder die Summe des täglichen Neugeschäfts mit "wenigen" Abschnitten zu refinanzieren, ohne hierbei ein zu großes Risiko einzugehen. (3) Dispositive Maßnahmen mit wenigen Operationen Im Rahmen dispositiver Maßnahmen zur Steuerung des Zinsänderungsrisikos bzw. zur bewussten Wahrnehmung von Zinsänderungschancen muss ein vorliegender Ist-Zahlungsstrom in einen Soll-Zahlungsstrom transformiert werden, der das gewünschte Chancen-/Risikoprofil hinsichtlich des Zinsänderungsrisikos aufweist. Der "Umbau" des Ist-Zahlungsstromes in den Soll- Zahlungsstrom soll mit möglichst wenigen Maßnahmen erfolgen, um hierbei hohe Volumina je Einzelmaßnahme zu erhalten. Hierdurch können marktgerechte Preise erzielt werden; das Maßnahmenbündel bleibt übersichtlich und kann schnell durchgeführt werden. Schließlich herrscht bei den zu tätigenden Geschäften eine Präferenz für bestimmte "gängige" Laufzeiten - also glatte Laufzeitjahre und Fristen mit hohem Handelsvolumen. Zum genannten Zweck wird zunächst der Differenzzahlungsstrom zwischen Ist-Zahlungsstrom und Soll- Zahlungsstrom gebildet. Der Differenzzahlungsstrom wird auf die Rasterzeitpunkte gemappt, in denen Maßnahmen ergriffen werden sollen. Die Anzahl der Rasterpunkte entspricht hierbei der Anzahl der zu tätigenden Maßnahmen. Schließlich wird der gemappte Differenzzahlungsstrom strukturkongruent refinanziert. Hierdurch werden die zu tätigenden Maßnahmen gewonnen. 5 (4) Risikomodelle auf Basis von Varianz und Kovarianz Eine Reihe von Risikomodellen - z.B. RiskMetrics 6 von J.P. Morgan - arbeitet bei der Berechnung des Zinsänderungsrisikos mit Varianzen der Zinsschwankungen und deren Korrelationen untereinander. Zur Risikoberechnung ist die empirische Bestimmung der Zinsvolatilitäten und der Korrelation notwendig. Dies muss eigentlich für jeden Zeitpunkt, an dem eine Zahlung vorliegt, geschehen. Aus Gründen der Praktikabilität muss man sich bei der empirischen Schätzung der Varianzen und Korrelationen auf ausgewählte Laufzeiten bzw. Rasterpunkte beschränken 7 . Dies bedeutet wiederum, dass die Zahlungsströme des zu beurteilenden Cash-Flows auf diese Rasterpunkte gemappt werden müssen. J.P. Morgan hat hierzu ein Mapping- Verfahren vorgeschlagen, das im Rahmen der vorliegenden Untersuchung in den vorzunehmenden Vergleich einbezogen wird. (5) Modelle zur Berechnung des Zinsänderungsrisikos - bzw. zur Eigenkapitalunterlegung - im Rahmen des neuen Grundsatzes 1 Das vom Bundesaufsichtsamt vorgeschlagene Standardmodell zur Berechnung der Eigenkapitalunterlegung für die 6. KWG-Novelle arbeitet mit bestimmten Laufzeitbändern. Es werden Regeln aufgestellt, wie Positionen innerhalb der Laufzeitbänder und zwischen den Laufzeitbändern jeweils zu verrechnen sind (sog. "vertikales" bzw. "horizontales" 4 Liegen die Rasterpunkte gröber als ganze Jahre (z.B. alle zwei oder drei Jahre), müssen bei der Berechnung der strukturkongruenten Refinanzierung auch die Refinanzierungsmittel - die in der Regel jährliche Zinszahlungen aufweisen - auf die Rasterpunkte gemappt werden. 5 Wie bereits erwähnt, ist hierzu gegebenenfalls auch ein Mapping der Zahlungsströme der Refinanzierungsmittel nötig. 6 RiskMetrics ist ein eingetragenes Warenzeichen von J.P. Morgan 7 z.B. verwendet J.P. Morgan die Fristen 1Tg, 1 Wo, 1 Mon., 3 Mon., 6 Mon., 1 J bis 5 J, 7 J, 9 J, 10 J, 15 J, 20 J, 30 J. 8
PUBLIKATIONEN Convex3-Mapping ® Hedging). Positionen innerhalb eines Laufzeitbandes werden hierbei stets gleich behandelt - gleichgültig ob sie am Beginn oder Ende des Laufzeitbandes liegen oder ob sie "dicht" beisammen anfallen. Ein vorheriges Mapping der Ausgangspositionen - etwa auf die Mitte des Laufzeitbandes - könnte hier für mehr Genauigkeit, Aussagekraft und insgesamt stetigere Ergebnisse sorgen. Denkbar wäre, hierdurch ein neues, verbessertes Standardmodell zu schaffen. Gegebenenfalls kann ein entsprechendes Verfahren aber auch als "internes" Modell etabliert werden. Barwert, Modified Duration und Convexity als Hilfsgrößen beim Mapping Der Ansatz, das Zinsänderungsrisiko eines Zahlungsstromes über die Duration - genauer modified Duration - zu messen, hat eine lange Tradition. In diesem Sinn liegt es nahe, die Größe “Modified Duration” auch beim Mapping einzusetzen. Beim Convex3-Mapping ® wird hierbei zusätzlich die Convexity benötigt. Die zunächst zu diskutierenden Verfahren gehen von folgenden Kerngedanken aus: (1) Durch das Mapping soll der Barwert des Zahlungsstromes unverändert bleiben (2) Die erste - beim Convex3-Mapping ® zusätzlich die zweite - Ableitung des Zahlungsstromes nach dem Zins soll für den Zahlungsstrom und den gemappten Zahlungsstrom übereinstimmen. Die erste Ableitung steht in engem Zusammenhang mit der "Modified Duration", die zweite mit der "Convexity" (siehe unten). Die Forderung (1) ist bei allen Mapping-Verfahren unverzichtbar, da ein Tausch in andere Fristen niemals zu einer Vermögensänderung führen kann. 8 Die Forderung (2) soll sicherstellen, dass der Ursprungszahlungsstrom und der gemappte Zahlungsstrom auf "kleine" Zinsänderungen gleich reagieren, d.h. das gleiche Zinsänderungsrisiko aufweisen. Wie gut hierbei die Approximation ist, hängt von der Anzahl der einbezogenen Ableitungen ab. Dies ist eine Folge der sog. "Tailorapproximation" beliebiger Funktionen. 9 Formeln für Barwert, Modified Duration und Convexity Die Formeln werden zunächst nur für einen einzigen Cash- Flow des Wertes C t, fällig am Zeitpunkt t, entwickelt. Der Zins für die Frist t wird zur Vereinfachung nicht als Zins, sondern als Zinsfaktor dargestellt bzw. variiert. Für die Zinsen bzw. Zinsfaktoren sind hierbei die Zerobondzinsen zu wählen. Auf die generellen Probleme, die mit der Verwendung von Zerobondrenditen im Zusammenhang mit der Geld-/Briefproblematik verbunden sind, kann hier nicht eingegangen werden. 10 Diese Probleme müssen im Rahmen der Genauigkeit beim Mapping akzeptiert werden. Generell wird beim Mapping die Geld-/Briefdifferenz ignoriert. Es gilt (der Index t wird vereinfachend bei C und q weggelassen): Barwert B: Erste Ableitung, Definition der Modified Duration D: Zweite Ableitung, Definition der Convexity Co: Die Ableitungen nach dem Zins z selbst erhält man, in dem man "nachdifferenziert". Dies bedeutet für die erste Ableitung eine Division durch 100 und für die zweite Ableitung eine Division durch 10.000 (eine Änderung im Zins z bedeutet eine um ein hundertstel kleinere Änderung in q). aus: DIE BANK 5/98 8 Bei genauer Betrachtung bedeutet jeder Tausch stets eine Vermögensverminderung, die aus den Geld-/Briefdiffernzen resultiert. Hiervon wird im Fortgang der Untersuchung abstrahiert. 9 Prinzipiell ist es auch denkbar, weitere Ableitungen (dritte, vierte Ableitung usw.) in die Betrachtung einzubeziehen. Entsprechende Untersuchungen werden vom Verfasser zur Zeit durchgeführt. 10 Vgl. Sievi, Ch., Kalkulation und Disposition, Bretten 1995 9
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