Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe. Band 2 - Bifie

Praxishandbuch
für „Mathematik“
8. Schulstufe
Band 2
Information für Lehrer/innen

Praxishandbuch
für „Mathematik“ 8. Schulstufe
Band 2

Impressum
Herausgeber:
Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung
des österreichischen Schulwesens
Stella-Klein-Löw-Weg 15 / Rund Vier B
1020 Wien
Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe. Band 2
BIFIE (Hrsg.), Graz: Leykam, 2012
ISBN 978-3-7011-7843-8
Einbandgestaltung: Die Fliegenden Fische, Salzburg
& Andreas Kamenik, BIFIE I Zentrales Management & Services
Layout & Satz: Ulrike Gamsjäger, Nadine Landsrath & Andreas Kamenik, BIFIE I Zentrales
Management & Services
Redaktion & Lektorat: Hans Christian Neureiter, Waltraud Weber, BIFIE Wien I Zentrum für
Innovation & Qualitätsentwicklung; Stefan Terler & Martina Wegerer, BIFIE I Zentrales Management
& Services
Druck: Medienfabrik Graz GmbH, 8020 Graz
Vertrieb an den Buchhandel: Leykam Buchverlagsgesellschaft m.b.H. Nfg. & Co.KG
Die angebotenen Texte und Beispiele zur Umsetzung im Unterricht können an österreichischen
Schulen und an Pädagogischen Hochschulen in den Bereichen der Aus-, Fort- und
Weiterbildung von Lehrerinnen und Lehrern in dem für die jeweilige Lehrveranstaltung erforderlichen
Umfang von der Website des BIFIE (https://www.bifie.at) heruntergeladen, kopiert
und verbreitet werden.
Autorinnen und Autoren:
Isabella Benischek
Elisabeth Fuchs
Sieglinde Fürst
Elisabeth Mürwald-Scheifinger
Hans Christian Neureiter
Herbert Neureiter
Christa Preis
Koordination:
Waltraud Weber

Inhalt
3 Vorwort
5 1 Rückmeldung an die Lehrer/innen – Mathematik 8. Schulstufe
Herbert Neureiter
21 2 Mathematikunterricht in heterogenen Lerngruppen
Elisabeth Mürwald-Scheifinger
35 3 Aufgaben im Mathematikunterricht
Christa Preis
47 4 Selbstdifferenzierende Aufgaben
Hans Christian Neureiter
63 5 Nachhaltigkeit sichern
Isabella Benischek & Elisabeth Mürwald-Scheifinger
83 6 Intelligentes Üben
Elisabeth Fuchs
101 7 Technologieeinsatz im Mathematikunterricht
Sieglinde Fürst
123 8 Überblick zu den gängigen Antwortformaten bei
Überprüfungen
Sieglinde Fürst

2 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Hinweise
Hinweise für die Benutzung des Praxishandbuchs
Die Bedeutung der Icons:
Verweis auf Kapitel des Praxishandbuchs
Kommentar
Tipps für die Praxis

3
Vorwort
Das Wiener Zentrum des Bundesinstituts für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung
des österreichischen Schulwesens (BIFIE) hat den gesetzlichen Auftrag, die Qualitätsentwicklung
des österreichischen Schulwesens zu unterstützen und zur dauerhaften Verankerung
der Bildungsstandards im Unterricht beizutragen. Dies geschieht unter anderem durch
Publikation und fortlaufende Aktualisierung unterrichtsnaher Lehr-, Lern- und Begleitmaterialien
in gedruckter bzw. elektronischer Form.
Das vorliegende Praxishandbuch Band 2 zu den Bildungsstandards Mathematik in der
Sekundarstufe I setzt sich zum Ziel, die österreichischen Mathematiklehrer/innen nach der
Rückmeldung der Ergebnisse der ersten nationalen Standardüberprüfung bei der Qualitätsentwicklung
ihres Unterrichts zu unterstützen. Dabei werden wesentliche Brennpunkte der
aktuellen Unterrichtssituation in den Blick genommen: die leistungsmäßige Heterogenität von
Klassen- und Lerngruppen, der Wunsch, die Nachhaltigkeit des Unterrichts zu steigern und
die Chancen, die vermehrter Technologieeinsatz bieten kann. Auch die Ansprüche, die sich
aus der standardisierten Reifeprüfung in Mathematik bzw. Reife- und Diplomprüfung in Angewandter
Mathematik ergeben, werden dabei im Auge behalten, z. B. durch eine umfassende
Darstellung der neuen Antwortformate bei zentralen Prüfungen. Ein weiterer Fokus wird auf
die Verschiedenartigkeit von Aufgaben gelegt: Wozu können Aufgaben dienen? Was können
selbstdifferenzierende Aufgaben leisten? Wie können Aufgabenstellungen zu intelligentem
Üben führen? Bei der Behandlung all dieser Fragen und Aspekte wird nach der Erläuterung
des theoretischen Hintergrunds jeweils eine Reihe von praktischen Anwendungsvorschlägen
angeboten.
Wir hoffen, mit dieser Publikation Praktiker/innen bei ihrer anspruchsvollen Aufgabe zu unterstützen,
in geeigneter Weise auf die Ergebnisse der ersten Standardüberprüfung zu reagieren
und die Kompetenzorientierung im Mathematikunterricht weiter voranzubringen.
Mag. Peter Simon, MSc
Leiter des BIFIE Wien I Zentrum für Innovation & Qualitätsentwicklung

Rückmeldung an die Lehrer/innen – Mathematik 8. Schulstufe 5
1 Rückmeldung an die Lehrer/innen –
Mathematik 8. Schulstufe
1.1 Einleitung
Herbert Neureiter
Die Rückmeldung von Ergebnissen aus Evaluierungen soll den Anstoß zu Schulentwicklungsprozessen
und zur konkreten Verbesserung des Unterrichts geben (vgl. Änderung des
Bundes-Schulaufsichtsgesetzes, 2011, § 18). Diesem Ansatz liegt die Erwartung zugrunde,
dass durch die Rückmeldung an die Schulen sowohl Impulse zur Veränderung schulischer
Abläufe und Strukturen gegeben als auch Veränderungen im Unterricht initiiert werden. Gespeist
wird diese Erwartung aus der allgemeinen Feedbackforschung (Visscher & Coe, 2003;
Kluger & DeNisi, 1996; Hattie & Timperley, 2007). Es hat sich gezeigt, dass die Wirksamkeit
des Feedbacks, die bewusste Aufnahme der Informationen (Rezeption) und der Grad der
Auseinandersetzung mit der Rückmeldung vor allem davon abhängen, ob es in der Rückmeldung
Hinweise auf relevante Informationen gibt. Diese relevanten Informationen werden auch
als cues bezeichnet und haben das Ziel, die Aufmerksamkeit der Zielgruppen vor allem auf
den weiteren Entwicklungsprozess und auf Verbesserungsmöglichkeiten zu lenken.
Je nach Zielgruppe können Ergebnisrückmeldungen folgende Funktionen zugeschrieben
werden (vgl. Tresch, 2007, S. 52–54): Honorierung des entstandenen Aufwands, Mittel zur
Akzeptanzsicherung, Verantwortung und Rechenschaftslegung, Objektivierung der Beurteilerpraxis,
Professionalisierung, Qualitätssicherung und -entwicklung. Es zeigt sich also, dass
eine zielgruppenadäquate Rückmeldung zum einen motivierend sein kann und zum anderen
als Informationsquelle direkt Anregungen zur Verhaltensänderung und Optimierung der
Lernprozesse liefern kann. Feedback ist dann besonders wirksam, wenn es aufgrund der
relevanten Informationen gelingt, die Diskrepanz zwischen Soll und Ist zu minimieren. Effektives
Feedback sollte vor allem folgende drei Fragen bzw. Aspekte berücksichtigen (Hattie &
Timperley, 2007, S. 86–87):
1. Welche Ziele gibt es? (Feed-up-Aspekt)
2. Mit welchen Mitteln erreiche ich diese Ziele? (Feedback-Aspekt)
3. Welcher nächste Schritt muss folgen, um den Lernprozess erfolgreich zu gestalten?
(Feedforward-Aspekt)
Die erste Frage ist besonders wichtig, denn ohne entsprechende Zielvorstellungen ist es
unmöglich zu wissen, wie ein Ziel erreicht werden kann und wann es erreicht wurde. Auf der
Grundlage folgender Ausgangsfragen könnte ein Prozess initiiert werden, in dem die Ziele
hinsichtlich Stärken und Schwächen der Schule formuliert werden (Kiper, 2009, S. 20–21):
Was sagen die Daten über die Lerngruppe/Schule aus?
Welche Stärken und Schwächen können identifiziert werden?
Wo bestätigen die Interpretationen der Daten die bisherigen Erfahrungen bzw. Einschätzungen
und wo gibt es Widersprüche?
Gibt es Überraschungen?
Wo stehen die Daten im Widerspruch zum Schulprogramm, zu Vorgaben, wie die Schule
sein soll etc.?
Welche Interessen (Schulleitung, Lehrpersonen, Eltern, Schüler/innen) gehen in die Interpretationen
ein?
Als besondere Herausforderung gilt dabei, die Fragen nicht zu vage, sondern möglichst klar
zu formulieren. Weitere Fragen können Bezug auf die Wertvorstellungen, die implizit oder
explizit an der Schule vorhanden sind, nehmen (ebd.):
Welche Wertvorstellungen sind uns wichtig?
Welche Ziele haben wir?
Was ist uns wichtig?
Können Problembereiche identifiziert werden, die uns daran hindern, die Ziele zu erreichen?

6 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Nach Analyse des Ist- und Festlegung des Soll-Zustands folgt der nächste Schritt, um Antworten
auf die Frage „Mit welchen Mitteln erreiche ich diese Ziele?“ zu erhalten. Dazu müssen
geeignete Problemlösungsprozesse durchdacht und Handlungspläne erarbeitet werden.
Sind alle dafür benötigten Informationen vorhanden oder werden weitere benötigt, um fortzufahren?
Dabei handelt es sich vermutlich um keinen leichten Schritt, zumal „die eigenständige,
hypothesengeleitete Auseinandersetzung mit den Ergebnissen“ Lehrerinnen und Lehrern
mitunter nach wie vor Schwierigkeiten bereitet (Groß Ophoff, Hosenfeld & Koch, 2007,
S. 423). Dessen ungeachtet kann ein solcher Problemlösungsprozess durch die Beantwortung
folgender Fragen angeregt werden (Kiper, 2009, S. 22):
Wo gibt es Probleme, die schnell und wirksam gelöst werden können?
Womit kann sofort und zielführend begonnen werden?
Welche Probleme sind schwieriger zu bewältigen und benötigen mehr (Vorbereitungs-)
Zeit?
Abgeschlossen sollte dieser Planungsschritt erst werden, nachdem auch erörtert wurde,
welche konkreten Handlungsschritte gesetzt werden,
welche Personen bzw. Personengruppen wofür verantwortlich sind und
wann welches Problem gelöst werden soll (ebd.).
Rückgreifend auf die eingangs erwähnte Erwartung, dass durch die Rückmeldung von Ergebnissen
Schulentwicklungsprozesse angestoßen und diese auch längerfristig verfolgt werden,
stellt sich die Frage, welche Voraussetzungen an den Schulen vorhanden sein müssen,
damit dies auch wirklich passiert. Im deutschsprachigen Raum setzten sich einige Studien
mit dieser Frage auseinander. Groß Ophoff, Hosenfeld und Koch (2007) wiesen in diesem
Zusammenhang darauf hin, dass es sich bei den aus Vergleichsarbeiten (VERA) „abgeleiteten
Aktionen eher um routinierte und weniger innovative Maßnahmen handelt, die i. d. R. nicht
über die Klasse hinausgehen [...]“ (S. 423). Sie erstellten Rezeptionsprofile von Lehrerinnen
und Lehrern und ordneten diese drei verschiedenen Typen zu:
Typ 1 ist besonders aktiv, setzt sich zeitnah und intensiv mit den Ergebnissen auseinander
und zeichnet sich durch die Entwicklung von Lern- und Testmaterialien aus.
Typ 2 beschäftigt sich weniger intensiv mit den Ergebnissen und, falls doch, vor allem mit
Individual- und Klassenergebnissen, die er als nützlich und zugleich als nicht sehr verständlich
einstuft. Ebenso leitet Typ 2 aus den Ergebnissen eher bewährte Unterrichtsaktivitäten
ab.
Besonders kritisch – trotz intensiver Auseinandersetzung mit der Rückmeldung – ist Rezeptions-Typ
3, der sich im Vergleich zu Typ 1 und Typ 2 eher selten zu unterrichtsentwickelnden
Maßnahmen veranlasst sieht (ebd.).
Van Ackeren (2007, S. 34–36) konnte zeigen, dass die rückgemeldeten Ergebnisse unterschiedlich
genutzt werden. Dabei wird nach instrumenteller, konzeptueller, symbolischer und
prozesshafter Nutzungsform unterschieden:
Der instrumentelle Nutzungstyp nimmt die Evaluationsergebnisse als direkten Ausgangspunkt
für weitere Handlungen.
Im Vergleich dazu nimmt der konzeptuelle Nutzungstyp die Datenrückmeldung als einen
zusätzlichen Baustein neben anderen einflussnehmenden Faktoren auf und leitet aus diesen
weitere Konsequenzen ab. Kennzeichnend für diese Nutzungsform ist, dass es sich
um eine längerfristige und nicht direkt auf die Rückmeldung zurückführbare Qualitätsentwicklung
handelt.

Rückmeldung an die Lehrer/innen – Mathematik 8. Schulstufe 7
Werden die Daten direkt aus politischem oder taktischem Interesse genutzt oder die Ergebnisse
zu Legitimationszwecken verwendet, wird von einer symbolischen Nutzung
gesprochen.
Die vierte – die prozesshafte – Nutzungsform ist eng mit dem Qualitätszyklus 1 verbunden,
da durch die Rückmeldung bzw. das Feedback an die einzelnen Zielgruppen ein
andauernder Reflexionsprozess initiiert und langfristig eine Verhaltensänderung bewirkt
werden sollte. Dies könnte etwa durch die Entwicklung von Netzwerken geschehen, die
dann professionell begleitet werden.
Ähnliche Erkenntnisse lassen sich auch aus den Erfahrungen der Bildungsstandards-Testung
2009 (der sogenannten „Baseline-Testung“) gewinnen. Amtmann, Grillitsch und Petrovic
(2011) konnten im Evaluationsbericht zeigen, dass die Ergebnisrückmeldung für Schulleitungen
und Lehrpersonen „brauchbar“ war. Beide Zielgruppen hätten sich intensiv mit den Ergebnissen
auseinandergesetzt; die Ernsthaftigkeit der Auseinandersetzung lässt sich daraus
ablesen, dass die Rückmeldung häufig mit der Schulleitung oder mit Fachkolleginnen und
-kollegen besprochen wurde, Thema einer pädagogischen Konferenz war oder in Fachgruppen
bzw. Arbeitsgemeinschaften diskutiert wurde. Auch im Hinblick auf Informationsgehalt,
Verständlichkeit, Übersichtlichkeit und praktische Verwertbarkeit wurde die Rückmeldung
positiv bewertet (ebd., S. 5–6). Hinsichtlich der praktischen Verwertbarkeit traten für die
Schul- und Unterrichtsentwicklung Schwierigkeiten auf, da der Transfer in die Praxis und die
Formulierung konkreter Handlungsfelder für viele Befragten – vor allem aus dem Kreis der
Lehrer/innen – noch zu unklar sei. Vor diesem Hintergrund äußerte ein beträchtlicher Teil der
Befragten den Wunsch, vor allem bei der Umsetzung von Qualitätsentwicklungsmaßnahmen
Unterstützung zu erhalten.
Insgesamt lässt sich feststellen, dass Schul- und Unterrichtsentwicklung auf Basis von rückgemeldeten
Daten nur dann gelingen kann, wenn Lehrkräfte sowohl von der Brauchbarkeit
der Rückmeldung überzeugt sind als auch über bestimmte Wissensformen verfügen. Das
bedeutet, dass Lehrer/innen für eine erfolgreiche Rückmeldung auch darüber Bescheid wissen
sollten, wie die Daten erhoben wurden (= methodisches Wissen), welche Daten vorliegen
(= Diagnosewissen) und wie diese Daten zu interpretieren sind (= theoretisches Wissen)
(Kiper, 2009, S. 22–23).
Im folgenden Abschnitt soll zunächst ein Rahmenmodell als Ausgangspunkt für die Schulrückmeldung
vorgestellt werden. In der Folge wird der Aufbau der Rückmeldung auf Lehrerebene
skizziert, um anschließend anhand von vier Grafiken beispielhaft die Schritte Rezeption,
Reflexion, Aktion und Evaluation zu erläutern. Dabei stehen neben dem konkreten Eingehen
auf die Grafiken und die Behandlung möglicher Fragen auch denkbare Handlungsfelder im
Fokus. Abschließend werden Unterstützungsmöglichkeiten vorgestellt und kurze Ausblicke
auf das Jahr 2015 gegeben.
1.2 Das Rahmenmodell von Helmke und Hosenfeld
als Ausgangspunkt für die Schulrückmeldung
Als Grundlage zur Konzeption vieler Rückmeldungen im schulischen Kontext dient das Rahmenmodell
von Helmke und Hosenfeld (2005, S. 129–131) zur Nutzung von Rückmeldungen
aus Schulvergleichsstudien. Für den Schulbericht wurden wesentliche Elemente daraus
übernommen. In diesem Abschnitt wird zunächst versucht, den Schulbericht weitestgehend
in dieses Rahmenmodell einzubetten, um den Fokus danach auf die Rückmeldung an Lehrer/
innen zu richten. Am Ende des Abschnitts werden beispielhaft mögliche Handlungsfelder
1 Der Qualitätszyklus an der Schule beginnt mit der Überprüfung, es folgen die Rückmeldung und die
Aufarbeitung der Ergebnisse. Nachdem Maßnahmen geplant und umgesetzt wurden, wird abschließend
überprüft, ob und inwieweit diese erfolgreich waren (vgl. BIFIE, 2012, S. 38).

8 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
aufgezeigt, die sich für Mathematiklehrer/innen in der Auseinandersetzung mit dem Bericht
ergeben können.
Information
über
Vergleiche mit
Leistungsniveau
Leistungsbandbreite
Fehlermuster
Diagnosehäufigkeit
Parallelklassen
äquivalenten
Klassen
Bundesland
Standards
Vorjahresergebnis
Akzeptanz von Evaluation
Vorwissen/Expertise
Motivation, Emotion, Volition
Rezeption
Technische
Übermittlung
Aktualität
Verständnis
Reflexion
Suche nach
Erklärungen
ggf. Erhebung
zusätzlicher
Informationen
Individuelle Bedingungen
Selbstwirksamkeit
Professionelles Selbstverständnis
Stabiltät von Gewohnheiten
Aktion
Sicherung eines Mindestniveaus
Verbesserung von Unterrichtsqualität
und Klassenführung
Evaluations-, Aufgaben- und
Fehlerkultur
Diagnostische Kompetenz
Koppelung mit Projekten zur
Unterrichtsqualität
Evaluation
Haben die ergriffenen
Maßnahmen
gewirkt?
Wem haben Sie
genutzt?
Ist die Wirkung
nachhaltig?
Schulische Bedingungen
Ausstattung der Schule
Akzeptanz seitens der Eltern und Schüler/innen
Evaluations- und Kooperationsklima Verbindlichkeit und Verankerung im Schulprogramm
Innovative und explorative Orientierung
Moderatoren und Qualitätsberater
Hilfeleistung durch Wissenschaft
Institutionalisierte Hilfen zur Dateninterpretation
Externe Bedingungen
Lehreraus- und -weiterbildung
Unterstützung durch die Schulaufsicht, Landesinstitute
Abb. 1: Zyklenmodell (nach Helmke & Hosenfeld, 2005)
Wie das Zyklenmodell (Abb. 1) zeigt, führt der Weg nach Erhalt der Rückmeldung von der
Information über Rezeption, Reflexion und Aktion hin zur Evaluation, womit sich der Qualitätszyklus
wieder schließt. Ausgehend von der Rückmeldung kommt es zunächst zur bewussten
Auseinandersetzung (Rezeption) mit den Ergebnissen. Danach werden diese idealerweise
besprochen und detaillierte Erklärungen für ihr Zustandekommen gesucht. Der
nächste Schritt – die Aktion – ist wohl der schwierigste. In mehreren Studien konnte nachgewiesen
werden, dass der Zyklus ohne entsprechendes Handlungswissen und die nötige
Unterstützung häufig genau an dieser Stelle unterbrochen bzw. gestoppt wird. Ob der Verarbeitungsprozess
an diesem Punkt fortgeführt werden kann, hängt nicht nur von individuellen
Bedingungen der Lehrer/innen ab, sondern auch von schulischen und externen Rahmenbedingungen
sowie der Reflexionsbereitschaft der am Prozess beteiligten Personen. Inwieweit
die in Schritt 3 (vgl. Abb. 1) beschlossenen Aktionen Veränderungen bewirkt haben oder die
beschlossenen Ziele erreicht wurden, kann mit einer anschließenden Evaluation (beispielsweise
bei der nächsten Standardüberprüfung) festgestellt werden, deren Ergebnisse gleichzeitig
Startpunkt für den nächsten Zyklus sind. Das Zyklenmodell zeigt eindrucksvoll, dass
der Weg von der Rückmeldung über die Implementierung zur Innovation von vielen Faktoren
abhängt und im Allgemeinen sehr vielschichtig ist.
Basierend auf dem hier skizzierten Modell wird das Augenmerk im nächsten Abschnitt auf
die Rückmeldung an Lehrer/innen gerichtet, indem ein entsprechender Zyklus beispielhaft
nachempfunden wird.

Rückmeldung an die Lehrer/innen – Mathematik 8. Schulstufe 9
1.3 Rückmeldung an Lehrer/innen
Vorab muss angemerkt werden, dass es im Rahmen dieses Beitrags nicht möglich ist, auf
Einzelheiten der Rückmeldung an Lehrer/innen einzugehen und detaillierte Informationen zur
Standardüberprüfung und zu Aufbau und Inhalt der Ergebnisrückmeldung zu geben. Eine
ausführliche Darstellung der Rückmeldung ist über die Website des BIFIE unter https://www.
bifie.at/node/64 abrufbar.
1.3.1 Schritt 1: Die Information
Anzahl der Schüler/innen
Informationen
über die
Schüler/innen
demografische / sozioökonomische
Merkmale
Wohlbefinden
motivationale Merkmale
kriterialer Vergleich
Rückmeldung an
die Lehrer/innen
Mathematik
gesamt
fairer Vergleich
Streuung
Subgruppen
Geschlecht
Migrationshintergrund
Handlungsbereiche
österr. Vergleich
(mit Streuung)
fairer Vergleich
Kompetenzbereiche
Inhaltsbereiche
Kompetenzprofil
österr. Vergleich
(mit Streuung)
fairer Vergleich
Kompetenzprofil
Abb. 2: Aufbau der Lehrerrückmeldung (nach BIFIE, 2012, S. 13)
Im ersten Schritt des Zyklenmodells wird der Frage nachgegangen, welche Informationen
der Rückmeldung entnommen werden können. Die Rückmeldung an Lehrer/innen folgt dem
Prinzip „vom Allgemeinen zum Besonderen“ (Comenius). Zunächst werden demnach die Ergebnisse
des Fachs Mathematik gesamt und erst im Anschluss jene der einzelnen Kompetenzbereiche
behandelt.
Die Rückmeldung an Lehrer/innen erfolgt online. Um auf die Daten zugreifen zu können,
erhalten die Lehrer/innen über die Schulleitung Zugangscodes, mit deren Hilfe sie die Ergebnisse
ihrer eigenen Unterrichtsgruppe abrufen können. Berücksichtigt werden dabei die Resultate
der Gruppe in Mathematik gesamt sowie in den einzelnen Bereichen des Kompetenzmodells
Mathematik 8. Schulstufe (vgl. Abb. 2). Darüber hinaus werden Informationen zur
Schülergruppe (z. B. Wohlbefinden, Freude an Mathematik, Zusammensetzung der Gruppe)

10 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
bereitgestellt. Von der Größe und Zusammensetzung der Gruppe hängt ab, welche Werte
an Lehrer/innen rückgemeldet werden, da der Wahrung der Anonymität der Schüler/innen
höchste Priorität eingeräumt wird. Weiters wird bei der Erstellung sowohl auf die Aussagekraft
der statistischen Berechnungen als auch auf die Übersichtlichkeit der Darstellung geachtet.
Bei der Rückmeldung an Lehrer/innen lassen sich zwei Arten von Vergleichsmaßstäben
unterscheiden, die soziale und die kriteriale Bezugsnorm. Erstere setzt individuell erzielte
Ergebnisse mit Referenzwerten in Beziehung. So werden Erwartungswerte angegeben (z. B.
der Österreich-Schnitt) oder Vergleiche mit Unterrichtsgruppen ähnlicher Zusammensetzung
(= fairer Vergleich, vgl. Abb. 6) dargestellt. Die kriteriale Bezugsnorm wird auch als sachliche
Bezugsnorm bezeichnet und ermöglicht den Vergleich der Schülerergebnisse mit zuvor
festgelegten Standards oder Kompetenzstufen (vgl. Rheinberg, 2001) – beispielsweise die
Einordnung individueller Ergebnisse in vorher festgelegte Kompetenzniveaus für Mathematik.
Der Bericht gliedert sich also im Wesentlichen in drei Teile. Der erste Teil informiert über die
Zusammensetzung und die Charakteristika der Unterrichtsgruppe. Im zweiten Teil wird die Mathematikkompetenz
der Schülergruppe näher beleuchtet. Einzelne Grafiken geben Auskunft
über die Kompetenzstufenverteilung, das Ergebnis im fairen Vergleich, die Leistungsstreuung,
den Einfluss des Geschlechts und eines ggf. vorhandenen Migrationshintergrunds in der eigenen
Unterrichtsgruppe. Teil 3 setzt sich mit der Mathematikkompetenz, aufgefächert nach den
einzelnen Handlungs- und Inhaltsbereichen, auseinander, wobei zum einen die Streuungswerte,
zum anderen das Kompetenzprofil und die Bereiche im fairen Vergleich dargestellt werden.
1.3.2 Schritte 2 und 3: Rezeption der und Reflexion über die
Ergebnisse
Ausgehend von der Rückmeldung an Lehrer/innen werden im folgenden Abschnitt beispielhaft
die beiden darauffolgenden Schritte – Rezeption der und Reflexion über die Ergebnisse
– behandelt. Nach Erhalt und erster Durchsicht der Rückmeldung wird sich primär die
Frage stellen, wie aus der Vielfalt an Information die für den eigenen Unterricht relevanten
Ergebnisse extrahiert werden können. Die Wirksamkeit der Rückmeldung hängt von individuellen
Bedingungen (Eigenschaften) der einzelnen Lehrkraft ab (vgl. Abb. 1). Die persönlichen
Eigenschaften und Einstellungen der Lehrkraft sind ein zentrales Moment im Prozess der
Rückmeldung, das entscheidende Bedeutung dafür hat, was nun von der Rückmeldung in
den Unterricht wirksam und nachhaltig implementiert wird.
Um die Rezeption der Ergebnisse und die Reflexion darüber zu erleichtern, enthält jede
Rückmeldegrafik beispielhafte Fragen, die helfen sollen, die Fülle an Daten richtig zu interpretieren.
Der Fokus gilt zunächst dem Einordnen der Ergebnisse und dem Vergleich mit den Referenzwerten,
etwa mit den Schulergebnissen oder dem Österreich-Schnitt. Danach könnte
überlegt werden, welches Ergebnis man sich erwartet hätte, durch welche Besonderheiten
sich das tatsächliche Ergebnis auszeichnet und welche Erklärungsansätze für sein Zustandekommen
plausibel scheinen. Da Schülerkompetenzen das Produkt eines komplexen Zusammenspiels
auf Schüler-, Klassen- und Schulebene sind (vgl. etwa Helmke, 2009, S. 73),
ist es oft besonders schwierig, eindeutige Antworten auf diese Fragen zu finden. Dessen
ungeachtet sollte dieser äußerst wichtige Schritt für eine erfolgreiche Unterrichtsentwicklung
nicht ausgelassen, sondern besonders ausführlich durchdacht werden.
Verteilung auf Kompetenzstufen
Abbildung 3 stellt die prozentuelle Verteilung der Schüler/innen auf die verschiedenen Kompetenzstufen
in Form einer kriterialen Rückmeldung dar. Die kriteriale Rückmeldung bezieht
sich auf im Vorfeld festgelegte Kompetenzstufen und zeigt, wie viele Schüler/innen die Bil-

Rückmeldung an die Lehrer/innen – Mathematik 8. Schulstufe 11
dungsstandards „nicht erreicht“, „teilweise erreicht“, „erreicht“ oder „übertroffen“ haben. Die
Beschreibung der jeweiligen Kompetenzstufen befindet sich in der Ergebnisrückmeldung
unterhalb der Abbildung. Als Referenzwerte werden in dieser Grafik die Verteilung auf Schulebene
sowie die Gesamtverteilung aller Schüler/innen, die an der Standardüberprüfung teilgenommenen
haben, abgebildet. In der vorliegenden Grafik haben von 22 Schülerinnen und
Schülern vier (18 %) die Bildungsstandards teilweise erreicht, zwölf (55 %) haben diese erreicht.
Im Vergleich zur Schule zeigt sich, dass von jenen sechs Schülerinnen und Schülern,
die die Bildungsstandards sogar übertroffen haben, drei aus der Unterrichtsgruppe stammen.
Zugleich lässt sich feststellen, dass drei Schüler/innen (14 %) aus der Gruppe die Standards
nicht erreicht haben. Somit haben von 22 Schülerinnen und Schülern 19 die Bildungsstandards
teilweise erreicht bzw. erreicht.
Danach stehen folgende Fragen im Fokus: Welches Ergebnis habe ich mir erwartet? Welche
Besonderheiten gibt es im Ergebnis? Nachdem diese Fragen beantwortet wurden, gilt es,
Erklärungsansätze zu finden. Im Detail bedeutet das, dass – wenn das Ergebnis wie erwartet
oder besser als erwartet ausgefallen ist – man sich die Frage stellen könnte, was man als
Lehrperson zu diesem Ergebnis beitragen konnte? War es die eigene fachliche, didaktische
oder diagnostische Kompetenz? Hatte man besondere Erwartungen und Ziele, die man den
Schülerinnen und Schülern besonders gut vermitteln konnte? War es die Qualität des verwendeten
Lehr-Lern-Materials?
BIST-Ü M8 (2012)
L1
Mathematik
Verteilung auf die Kompetenzstufen
Entwurf
fiktive Werte
Kompetenzstufen Mathematik
3
Bildungsstandards übertroffen
Punktbereich: ab 674*
Ihre Gruppe
14%
Ihre Schule
8%
5%
* fiktive Schwellenwerte
2
1
Bildungsstandards erreicht
Punktbereich: 487* bis 673*
Bildungsstandards teilweise erreicht
Punktbereich: 415* bis 486*
55%
63%
50%
25%
unter 1 Bildungsstandards nicht erreicht
Punktbereich: bis 414*
18%
14%
17%
12%
20%
... entspricht folgenden absoluten Schülerzahlen
Kompetenzstufen Mathematik
Ihre Gruppe Ihre Schule
3 BIST übertroffen
3 86
2 BIST erreicht 12 48
1 BIST teilw. erreicht
4
13
unter 1 BIST nicht erreicht
3
9
(n = 22) (n = 76)
Abb. 3: Mathematik – Verteilung auf Kompetenzstufen (nach BIFIE, 2012, S. 18)

12 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Ist das Ergebnis schlechter als erwartet ausgefallen, wird man ebenfalls Ursachen für das
Testergebnis suchen. Man wird sich auch in diesem Fall die oben genannten Fragen stellen.
Zusätzlich lässt sich fragen: Gab es im Vorfeld oder während der Testung Vorkommnisse, die
die Testsituation und somit die Konzentration der Schüler/innen beeinflusst haben könnten?
Da in dieser Grafik die Kompetenzstufenverteilung der gesamten Unterrichtsgruppe ausgewiesen
wird, könnte – sofern unterschiedliche Leistungsgruppen erfasst wurden – von Interesse
sein, wie sich die Ergebnisse der einzelnen Schüler/innen – dargestellt auf Leistungsgruppenebene
– auf der Punkteskala (200 bis 800 Punkte) verteilen.
Streuung in gemischten Unterrichtsgruppen unter Berücksichtigung der
Leistungsgruppen
Abbildung 4 zeigt, dass von 22 Schülerinnen und Schülern neun die erste, fünf die zweite
und acht die dritte Leistungsgruppe besuchten. Die Gruppe liegt mit einem Mittelwert
von 545 Punkten deutlich über dem Österreich-Schnitt von 503 Punkten. Das Vertrauensintervall
reicht von 534 bis 556 Punkten, was bedeutet, dass in diesem Wertebereich mit
90%iger Sicherheit die wahre Leistung der Gruppe liegt 2 . Die Testergebnisse der ersten Leistungsgruppe
reichen von 470 bis 770 Punkten, die der zweiten Gruppe streuen von 450 bis
690 Punkten und die acht Schüler/innen der dritten Leistungsgruppe erreichen Werte von
BIST-Ü M8 (2012)
L3.1
fiktive Werte
Mathematik
Streuung in Ihren Leistungsgruppen
Österreich
503
Ihre Gruppe (n=22) 545 (± 11)
Ihre einzelnen Schüler/innen
... 1. Leistungsgruppe (n=9)
... 2. Leistungsgruppe (n=5)
... 3. Leistungsgruppe (n=8)
1. LG
2. LG
3. LG
800
750
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
200
niedriger Kompetenzen
höher
Abb. 4: Mathematik – Streuung in den Leistungsgruppen (nach BIFIE, 2012, S. 24)
2 Dieser Wertebereich wird in der Legende unterhalb der Grafik in Klammern angegeben, da das
Testergebnis aufgrund potenzieller Messfehler nicht exakt der tatsächlichen Leistung entsprechen
muss. Ein messfehlerfreies Testen wäre nur möglich, wenn unendlich viele verschiedene Testaufgaben
gestellt und unendlich viele Schüler/innen getestet würden. Vgl. dazu BIFIE, 2012, S. 70.

Rückmeldung an die Lehrer/innen – Mathematik 8. Schulstufe 13
340 bis 610 Punkten. Auf den ersten Blick scheint die Streuung der einzelnen Schüler/innen
hinsichtlich der Leistungsgruppenzugehörigkeit erwartungskonform zu sein. Auf den
zweiten Blick fällt jedoch auf, dass eine Schülerin/ein Schüler der dritten Leistungsgruppe
mit 610 Punkten eine besonders starke Mathematikleistung vorweist. Zwei weitere Schüler/innen
dieser Leistungsgruppe liegen über dem Österreich-Schnitt bzw. überlappen sich
deutlich mit den Leistungen der zweiten und ersten Leistungsgruppe. An dieser Stelle stellt
sich die Frage, wie die Schülerzusammensetzung in den Leistungsgruppen – besonders die
der dritten – ausgesehen hat. Nach welchen diagnostischen Gesichtspunkten bzw. schulinternen
Richtlinien wurden die Schüler/innen den einzelnen Gruppen zugeordnet? Wurden
die Schüler/innen hinsichtlich ihrer Mathematikkompetenz zutreffend eingeschätzt und davon
ausgehend der für sie „richtigen“ Leistungsgruppe zugewiesen? Besitzt man als Lehrperson
selbst ausreichende Kenntnis von Leistungsunterschieden zwischen den Schülerinnen und
Schülern, d. h., verfügt man über eine ausreichende diagnostische Kompetenz (vgl. Helmke,
2009, S. 130–135)? Welche Möglichkeiten bzw. Fortbildungsangebote gibt es, um die diagnostische
Kompetenz zu schärfen?
Handlungsbereiche mit Streuung
Im nächsten Schritt wenden wir uns der Frage zu, welche Leistungen in den einzelnen Kompetenzbereichen
erreicht wurden. Die Schüler/innen mussten im Rahmen der Überprüfung
verschiedene mathematische Aufgabenstellungen bearbeiten, wobei jede Aufgabe – dem
Kompetenzmodell Mathematik 8. Schulstufe entsprechend – einem bestimmten Handlungsund
Inhaltsbereich zugeordnet ist. Exemplarisch dazu wird im Folgenden Abbildung 5 beschrieben.
Diese Grafik stellt das durchschnittliche Ergebnis der Gruppe sowie die Streuung
der einzelnen Schüler/innen in den Handlungsbereichen Darstellen und Modellbilden, Rechnen
und Operieren, Interpretieren sowie Argumentieren und Begründen dar. Als Referenzwert
dient hier wieder der arithmetische Mittelwert aller in Österreich getesteten Schüler/innen
sowie jener der Schule. Im Mittelpunkt sollten zunächst das durchschnittliche Ergebnis und
die Verteilung der Schüler/innen in den jeweiligen Kompetenzbereichen stehen. Bei flüchtiger
Betrachtung könnte man meinen, dass in Bezug auf die Handlungsbereiche keine besonderen
Stärken und Schwächen herauszulesen sind, da sich alle Vertrauensintervalle scheinbar
überlappen. Bei genauerer Betrachtung (ggf. Nachrechnen) erkennt man aber, dass dies
nicht der Fall ist; Interpretieren unterscheidet sich beispielsweise signifikant von Rechnen
und Operieren, aber auch von Argumentieren und Begründen. Im Fokus stehen in der Folge
die einzelnen Bereiche: Im Bereich Darstellen und Modellbilden liegt das durchschnittliche
Ergebnis der Gruppe mit 530 Punkten inklusive einem Vertrauensintervall von 19 Punkten
signifikant über dem Österreich-Schnitt, aber genau im Schulschnitt. Die Leistungen streuen
von 370 bis 710 Punkten, wobei drei Schüler/innen genau 530 Punkte (= Modalwert) erreicht
haben. Im Bereich Rechnen und Operieren liegt die Gruppe mit 555 Punkten deutlich sowohl
über dem Österreich-Schnitt als auch über dem Schulschnitt. Die Leistungen streuen
von 400 bis 700 Punkten. Im Gegensatz dazu scheint im Bereich Interpretieren ein relativer
Schwachpunkt der Gruppe zu liegen, da die Leistungen zum einen sehr stark streuen, zum
anderen mit 505 Punkten genau im Österreich-Schnitt liegen und sich vom Schulschnitt
nicht signifikant unterscheiden. Analog zum Bereich Interpretieren streuen die Leistungen
im Bereich Argumentieren und Begründen ebenfalls sehr stark (von 350 bis 740 Punkten),
wobei die Modalwerte bei 580 und 600 Punkten liegen. In diesem Handlungsbereich wurde
mit 568 Punkten das höchste durchschnittliche Ergebnis erreicht, was bedeutet, dass das
wahre Testergebnis mit 90%iger Sicherheit zwischen 544 und 592 Punkten liegt. Unter Berücksichtigung
der statistischen Unsicherheit befindet sich das Gruppenergebnis knapp im
Wertebereich des Schulergebnisses.
Zusammenfassend kann festgestellt werden, dass die durchschnittlichen Ergebnisse der
Gruppe über dem Österreich-Schnitt liegen, sieht man vom Bereich Interpretieren ab. Als

14 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
besondere Stärken sind Rechnen und Operieren sowie Argumentieren und Begründen hervorzuheben.
Schwächen – relativ gesehen zum sehr guten Abschneiden der Gruppe – bestehen
im Bereich Interpretieren, wobei die Leistungen hier immer noch im Österreich-Schnitt
und unter Berücksichtigung der statistischen Unsicherheit auch im Schulschnitt liegen.
An dieser Stelle könnte der Frage nachgegangen werden, welche Maßnahmen im Unterricht
gesetzt werden könnten, um langfristig auch im Bereich Interpretieren bessere Leistungen
zu erzielen. Wurde dieser Handlungsbereich bei den didaktisch-methodischen Überlegungen
zur Unterrichtsgestaltung bisher vernachlässigt? Gibt es praktische Unterrichtsbeispiele
(etwa Praxishandbücher), anhand derer dieser Bereich stärker gefördert werden könnte?
BIST-Ü M8 (2012)
L6
Mathematik: Handlungsbereiche
in Ihrer Gruppe
Darstellen und
Modellbilden
Rechnen und
Operieren
Interpretieren
Argumentieren
und Begründen
Entwurf
fiktive Werte
800
750
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
niedriger Kompetenzen
höher
Darstellen und
Modellbilden
Rechnen und
Operieren
Interpretieren
Argumentieren
und Begründen
200
Österreich 503 505 504
501
Ihre Schule (n=76)
530 (± 12) 525 (± 10) 533 (± 15) 538 (± 8)
Ihre Gruppe (n=22) 530 (± 19) 555 (± 18) 505 (± 24) 568 (± 24)
Ihre einzelnen Schüler/innen
Abb. 5: Mathematik – Handlungsbereiche in der Gruppe (nach BIFIE, 2012, S. 30)
Abschließend wird der Frage nachgegangen, welches Ergebnis unter den gegebenen strukturellen
Rahmenbedingungen (Schülerpopulation, Standort der Schule usw.) zu erwarten gewesen
wäre, wobei hier exemplarisch die Inhaltsdimension betrachtet wird.
Inhaltsbereiche im fairen Vergleich
Als Beispiel für den sogenannten „fairen Vergleich“ hinsichtlich der Kompetenzbereiche dient
Abbildung 6, wobei hier die einzelnen Inhaltsbereiche in den Mittelpunkt gerückt werden.

Rückmeldung an die Lehrer/innen – Mathematik 8. Schulstufe 15
Diese Grafik zeigt das durchschnittliche Ergebnis der Gruppe in den mathematischen Inhaltsbereichen
Zahlen und Maße, Variable, funktionale Abhängigkeiten, Geometrische Figuren und
Körper und Statistische Darstellungen und Kenngrößen. Zusätzlich zu den durchschnittlichen
Ergebnissen der Schüler/innen der Gruppe ist für jeden Inhaltsbereich der Erwartungsbereich
in Form eines grauen Felds dargestellt. Der Erwartungsbereich ist jener Bereich, der aufgrund
der gegebenen strukturellen Rahmenbedingungen zu erwarten gewesen wäre. Das bedeutet,
dass sich für alle anderen Schulen mit vergleichbaren Rahmenbedingungen der gleiche
Erwartungsbereich ergibt, weswegen man von einem „fairen Vergleich“ spricht. Mit in die Berechnung
aufgenommen werden ausschließlich Einflussgrößen, die die Schule nicht unmittelbar
beeinflussen kann. Solche Größen sind beispielsweise Merkmale des Schulstandorts
(Schulgröße, Gemeindegröße, Schulart, Entfernung zur nächstgelegenen allgemeinbildenden
höheren Schule etc.) sowie Merkmale der Zusammensetzung der Schülerpopulation (Geschlechterverhältnis,
Anteil der Schüler/innen mit Migrationshintergrund, Sozialstatus etc.).
Betrachtet man beispielsweise den Bereich Statistische Darstellungen und Kenngrößen, so
liegt das Ergebnis ohne Berücksichtigung des Vertrauensintervalls über dem Erwartungsbereich.
Dies bedeutet, dass das Ergebnis der Gruppe besser ist, als es infolge der Rahmenbedingungen
sowie der demografischen und sozioökonomischen Merkmale der Schüler/innen
zu erwarten gewesen wäre.
BIST-Ü M8 (2012)
L10
Mathematik: Inhaltsbereiche
in Ihrer Gruppe im fairen Vergleich
fiktive Werte
Zahlen und
Maße
Zahlen und
Maße
Variable,
funktionale
Abhängigkeiten
Variable,
funktionale
Abhängigkeiten
Geometrische
Figuren und
Körper
Geometrische
Figuren und
Körper
Statistische
Darstellungen
und Kenngrößen
Statistische
Darstellungen
und Kenngrößen
Österreich 504 503 504
501
Ihre Gruppe (n=22)
550 (± 19) 522 (± 26) 552 (± 17) 578 (± 26)
Erwartungsbereich Ihrer Gruppe 495 – 559 491 – 573 510 – 572 487 – 554
800
750
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
200
niedriger Kompetenzen
höher
Ergebnis liegt über / unter / im Erwartungsbereich
Abb. 6: Mathematik – Inhaltsbereiche in der Gruppe im fairen Vergleich (nach BIFIE, 2012, S. 44)

16 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
In diesem Fall sind die Ergebnisse ohne Berücksichtigung der Vertrauensintervalle zu interpretieren,
da die statistische Unsicherheit des Ergebnisses bereits in der Darstellung des Erwartungsbereichs
berücksichtigt wird. Bestätigung findet diese Berechnung durch die symbolische
Lesehilfe, die zeigt, ob die durchschnittlich erreichte Punktezahl über dem, unter
dem oder im Erwartungsbereich liegt. Mithilfe der Symbole lässt sich leicht erkennen, dass
nur das Ergebnis der Gruppe im Inhaltsbereich Statistische Darstellungen und Kenngrößen
über dem Erwartungsbereich liegt. Das Ergebnis der Gruppe entspricht also weitgehend
dem gemäß den strukturellen Rahmenbedingungen der Schülerzusammensetzung zu erwartenden
Ergebnis. Gleichwohl lässt sich aber auch feststellen, dass das Gruppenergebnis
im Bereich Zahlen und Maße in der oberen Hälfte des Erwarungsbereichs bzw. im Bereich
Statistische Darstellungen und Kenngrößen über dem Erwartungsbereich liegt.
Anschließend an diese Bestandsaufnahme sollte ein Abgleich mit den eigenen Erwartungen
erfolgen und es sollten Fragen nach den Besonderheiten der Ergebnisse und den Wirkmechanismen,
die diesen Ergebnissen zugrunde liegen, gestellt werden. Auch wenn hier augenscheinlich
alles im „grünen Bereich“ liegt und die Frage nach den Wirkmechanismen nicht
vordringlich scheint, ist es wichtig, sie zu stellen.
Die Rückmeldung verfolgt das Ziel, die Qualität des Unterrichts zu verbessern – unabhängig
davon, ob die Ergebnisse erwartungswidrig ausfallen oder nicht. Rückgreifend auf die oben
erwähnten Merkmale, die in die Berechnung des fairen Vergleichs einfließen, müssen Faktoren
benannt werden, die Lehrer/innen beeinflussen können. Dazu zählen auf der Ebene des
Unterrichts vor allem die Material- und Methodenauswahl bzw. das Ausmaß, in dem diese
Auswahl das Lernpotenzial der Schüler/innen (Vorwissen, Lern- und Gedächtnisstrategien,
Lernmotivation, Anstrengungsbereitschaft usw.) berücksichtigt (Helmke, 2009, S. 73).
In diesem Abschnitt wurde auf ausgewählte Grafiken der Musterrückmeldung an Lehrer/innen
eingegangen. Zu jeder Grafik folgten modellhaft Überlegungen in folgender Reihenfolge:
1. Ermitteln der Ergebnisse und Vergleichen mit verschiedenen Referenzwerten (Schulschnitt,
Österreich-Schnitt etc.)
2. Aufspüren von Besonderheiten der Ergebnisse und Vergleich mit den eigenen Erwartungen
3. Suchen von Faktoren, die das Zustandekommen der erhaltenen Ergebnisse erklären
Es stellt sich in diesem Prozess die zentrale Frage nach der Zuschreibung von Ursachen und
Wirkungen von Einflussfaktoren, aus denen die Ergebnisse letztendlich resultieren. Besonders
fruchtbar ist dieser Prozess, wenn es sich um erwartungswidrige Resultate handelt und
innerschulisch nach Antworten gesucht wird. Je intensiver sich das gesamte Kollegium mit
der Rückmeldung beschäftigt, desto eher wird der nächste Schritt des Zyklenmodells – die
Aktion – gesetzt.
1.3.3 Schritt 4: Die Aktion
Das Zyklenmodell richtet den Schwerpunkt vornehmlich auf konkrete Maßnahmen und Aktivitäten
auf Schul- und Klassenebene. Dabei geht es um Handlungsschritte, die in Summe die
Unterrichtsqualität verbessern sollen, wie beispielsweise Kurse zur Förderung der diagnostischen
Kompetenz oder Differenzierungsmöglichkeiten im Bereich der Lehr-Lern-Materialien.
Unterstützt werden diese Handlungsschritte durch eine Reihe von Angeboten, die das Bundesministerium
für Unterricht, Kunst und Kultur (BMUKK) in Kooperation mit dem BIFIE und
den Pädagogischen Hochschulen bereitstellt (vgl. BMUKK, 2012).

Rückmeldung an die Lehrer/innen – Mathematik 8. Schulstufe 17
Rückmeldemoderatorinnen und Rückmeldemoderatoren
Die Rückmeldemoderation wurde in Zusammenarbeit mit dem BIFIE entwickelt. Dabei erhalten
Schulen die Möglichkeit, über die Pädagogischen Hochschulen des jeweiligen Bundeslands
sogenannte Rückmeldemoderatorinnen/Rückmeldemoderatoren als externe
Unterstützung für das Lesen und Interpretieren des Ergebnisberichts anzufordern (vgl. die
Informationen auf der Website des BIFIE unter https://www.bifie.at/node/66). Die Rückmeldemoderatorinnen
und -moderatoren wurden in Zusammenarbeit mit dem BIFIE über die
Pädagogischen Hochschulen speziell dafür ausgebildet, Schulleiter/innen sowie Lehrer/innen
bei der sachlichen Analyse, der objektiven Interpretation der Ergebnisse und deren Aufbereitung
zu unterstützen.
Kernaufgabe der Rückmeldemoderatorinnen und -moderatoren ist es, die Schulen beim
Identifizieren von Stärken und Schwächen zu unterstützen. Im Dialog mit Schulleitung und
Lehrpersonen wird versucht, Handlungsfelder aufzuzeigen. Begonnen wird dieser Prozess
im Rahmen eines Erstgesprächs mit der Schulleitung, in dem neben dem Lesen und Interpretieren
der Grafiken und Tabellen etwa auch ein Stärken-Schwächen-Profil erstellt werden
kann. Mögliche Qualitätsentwicklungs- und Qualitätssicherungsmaßnahmen können reflektiert
und bundeslandspezifische Unterstützungsmöglichkeiten angesprochen werden. Das
Erstgespräch und die erste Ergebnisanalyse finden stets mit der Schulleitung statt. In der
Folge können Gespräche mit der Schulleitung und den betroffenen Lehrerinnen und Lehrern
geführt oder begleitende pädagogische (Fach-)Konferenzen besucht werden. Im Anschluss
daran gibt es für die Lehrpersonen der überprüften Klassen auch die Möglichkeit, mit der
Rückmeldemoderatorin/dem Rückmeldemoderator ein Vier-Augen-Gespräch über die Klassenergebnisse
zu führen.
Schul- und Unterrichtsberater/innen
Nach diesem zweiten Gesprächstermin ist die Arbeit für die Rückmeldemoderatorinnen und
-moderatoren beendet, da ein nachfolgender Schul- und Unterrichtsentwicklungsprozess
nicht mehr Gegenstand ihres Aufgabengebiets ist. Wünscht sich eine Schule diesbezüglich
fachliche Beratung oder eine Begleitung des Prozesses, so können über die Pädagogischen
Hochschulen Schul- und Unterrichtsberater/innen angefordert werden.
Diagnoseinstrumente
Weiters bietet das BIFIE Diagnoseinstrumente zur Informellen Kompetenzmessung (IKM) an
(vgl. dazu https://www.bifie.at/ikm). Sie unterstützen Lehrkräfte bei der Planung und Gestaltung
ihres Unterrichts, indem sie objektive Aussagen über den Leistungsstand der Schüler/
innen liefern. Für Mathematik stehen im Bereich der Sekundarstufe I Diagnoseinstrumente
für die 6. und 7. Schulstufe online zur Verfügung. Nach Durchführung der Kompetenzmessung
in der Unterrichtsgruppe und der anschließenden Bewertung der freien Antwortformate
durch die Lehrperson generiert das System sofort eine umfassende Ergebnisrückmeldung.
Neben der individuellen Feststellung der Schülerkompetenzen gibt die Auswertung der IKM
Lehrerinnen und Lehrern auch Auskunft über den Lernstand der gesamten Gruppe und informiert
so rechtzeitig vor der Standardüberprüfung über noch nicht hinreichend beachtete
Bereiche des Kompetenzmodells.

18 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Publikationen und Handreichungen
Lehrerinnen und Lehrern wird eine Vielzahl von Unterstützungsleistungen zur Vorbereitung
und Gestaltung des Unterrichts geboten (Lehrbücher, CDs, Spiele, Onlineangebote etc.). Auf
der Website des BIFIE sind umfangreiche Materialien – darunter Praxishandbücher, Themenhefte
und Aufgabensammlungen – frei zugänglich (siehe https://www.bifie.at/downloads).
Lerngemeinschaften und Netzwerke
Eine weitere direkte Nutzung der Ergebnisrückmeldung kann im Rahmen schulinterner, aber
auch in Form schulübergreifender Kooperationen stattfinden, d. h. in Form von standortund
regionsübergreifenden Lern- bzw. Arbeitsgemeinschaften und Netzwerken. Diese Form
der Kooperation zeichnet sich durch die längerfristige Einbindung der handelnden Personen,
selbstständige Entwicklungsarbeit, kollegialen Erfahrungsaustausch bzw. kollegiale Rückmeldung
(z. B. kollegiale Hospitation, Supervision etc.) aus. Lerngemeinschaften helfen, das
„Einzelkämpfertum“ in der Klasse zu überwinden.
1.3.4 Schritt 5: Die Evaluation
Abgeschlossen wird der erste Zyklus durch eine neuerliche Überprüfung der Bildungsstandards
Mathematik im Jahr 2015. Damit wird ersichtlich, ob bzw. inwieweit die getroffenen
Maßnahmen die gewünschte Wirkung entfalten konnten. Gleichzeitig beginnt an dieser Stelle
ein neuer Qualitätszyklus.
Literatur
Ackeren, I. van (2007). Nutzung großflächiger Tests für die Schulentwicklung. Erfahrungen
aus England, Frankreich und den Niederlanden. Berlin: Bundesministerium für Bildung und
Forschung. Verfügbar unter http://www.bmbf.de/pub/nutzung_grossflaechiger_tests_fd_
schulentwicklung.pdf [19.09.2012].
Amtmann, E., Grillitsch, M. & Petrovic, A. (2011). Bildungsstandards Ergebnisrückmeldung –
Erste Erfahrungen aus der Baseline-Testung 2009. Executive Summary zu BIFIE-Report
7/2011. Graz: Leykam.
Änderung des Bundes-Schulaufsichtsgesetzes (2011). In BGBl. I Nr. 28/2011. Verfügbar unter
http://www.ris.bka.gv.at/Dokumente/BgblAuth/BGBLA_2011_I_28/BGBLA_2011_I_28.
pdf [19.07.2012].
Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens
(BIFIE) (Hrsg.) (2012). Rückmeldung an die Lehrer/innen. Standardüberprüfung M8 –
2012. Rückmeldung der Ergebnisse Ihrer Unterrichtsgruppe. Arbeitsfassung vom 19. April
2012. Salzburg: BIFIE. Verfügbar unter https://www.bifie.at/node/1689 [19.09.2012].
Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur (BMUKK) (Hrsg.) (2012). Bildungsstandards.
Richtlinien des Bundesministeriums für Unterricht, Kunst und Kultur für Schulaufsicht,
SchulleiterInnen und LehrerInnen sowie Schulpartner für den Umgang mit den Rückmeldungen
der Bildungsstandardsüberprüfung. Verfügbar unter http://www.bmukk.gv.at/medienpool/22324/bildungsstandards_rl.pdf
[19.07.2012].

Rückmeldung an die Lehrer/innen – Mathematik 8. Schulstufe 19
Groß Ophoff, J., Hosenfeld, I. & Koch, U. (2007). Formen der Ergebnisrezeption und damit
verbundene Schul- und Unterrichtsentwicklung. In Empirische Pädagogik 21 (4). S. 411–427.
Hattie, J. & Timperley, H. (2007). The Power of Feedback. In Review of Educational Research
77. S. 81–112.
Helmke, A. & Hosenfeld, I. (2005). Standardbezogene Unterrichtsevaluation. In Brägger, G.,
Bucher, B. & Landwehr, N. (Hrsg.). Schlüsselfragen zur externen Schulevaluation. Bern: hep.
S. 127–152.
Helmke, A. (2009). Unterrichtsqualität und Lehrerprofessionalität. Diagnose, Evaluation und
Verbesserung des Unterrichts. Seelze: Kallmeyer.
Kiper, H. (2009). Schulentwicklung im Rahmen von Kontextsteuerung. Welche Hinweise geben
(durch Evaluation und Vergleichsarbeiten gewonnene) Daten für ihre Ausrichtung? In
Bohl, T. & Kiper, H. (Hrsg.). Lernen aus Evaluationsergebnissen. Bad Heilbronn: Klinkhardt.
S. 13–28.
Kluger, A. & DeNisi, A. (1996). The effects of feedback interventions on performance: A historical
review, a metaanalysis, and a preliminary feedback intervention theory. In Psychological
Bulletin 119 (2). S. 254–284.
Rheinberg, F. (2001). Bezugsnormen und schulische Leistungsbeurteilung. In Weinert, F.
(Hrsg.). Leistungsmessung in Schulen. Weinheim: Beltz. S. 59–70.
Tresch, S. (2007). Potenzial Leistungstest: Wie Lehrerinnen und Lehrer Ergebnisrückmeldungen
zur Sicherung und Steigerung ihrer Unterrichtsqualität nutzen. Bern: hep.
Visscher, A. & Coe, R. (2003). School performance feedback systems: conceptualization,
analysis, and reflection. In School effectiveness and school improvement 14 (3). S. 321–349.

Mathematikunterricht in heterogenen Lerngruppen 21
2 Mathematikunterricht in heterogenen
Lerngruppen
Die einzige Chance sich auf die Zukunft vorzubereiten, besteht darin,
möglichst viele im System zu haben, die anders sind.
Markus Hengstschläger
Elisabeth Mürwald-
Scheifinger
2.1 Heterogenität
Der Begriff Heterogenität steht für Uneinheitlichkeit oder Verschiedenartigkeit. Im pädagogischen
Sprachgebrauch beschreibt dieser Begriff die Unterschiedlichkeit der Schüler/innen
hinsichtlich verschiedener Merkmale, die als lernrelevant eingeschätzt werden. Diskutiert
werden vor allem die Heterogenität hinsichtlich der schulischen Leistungen oder der Begabungen,
hinsichtlich des Alters, des Geschlechts sowie die kulturelle Heterogenität in einer
Lerngruppe. Das Thema heterogene Lerngruppe bezieht sich nicht ausschließlich auf NMS
oder Hauptschulen, auch AHS-Klassen sind heterogene Lerngruppen. Darum haben die
Gedanken und Ideen, die im Folgenden genannt werden, die gesamte Sekundarstufe I vor
Augen. Die beschriebenen Tipps und Methoden sollen ebenso an AHS Eingang finden.
Roßbach und Wellenreuther (2002) nennen vier Merkmale, in denen sich Heterogenität manifestieren
kann:
Wissensbasis: Schüler/innen einer Klasse verfügen in verschiedenen Wissensbereichen
über unterschiedliche Kenntnisse, sodass für die einzelne Lernende/den einzelnen Lernenden
die jeweils zu lernende Informationsmenge unterschiedlich ist.
Intelligenz: Schüler/innen unterscheiden sich darin, wie schnell sie Informationen aufnehmen,
wie viele Informationen sie im Arbeitsgedächtnis speichern und wie effizient sie
Informationen in ihr Langzeitgedächtnis integrieren können.
Motivation: Schüler/innen differieren in ihrer Lernlust, ihren Ängsten und in ihren Motivationen.
Dies wirkt sich sowohl auf den Umfang der Lerntätigkeiten in den verschiedenen
Bereichen als auch auf die Fähigkeit, effektiv Informationen zu verarbeiten, aus.
Meta-Kognition: Schüler/innen verfügen über unterschiedliche Strategien der Problembearbeitung
und Problemlösung. Sie unterscheiden sich in ihrer Fähigkeit, die Güte der
eigenen Problemlösung kritisch zu beurteilen.
Die folgenden, von Tillmann und Wischer (2006, S. 45–46) aus einer Untersuchung der deutschen
Schullandschaft abgeleiteten Erkenntnisse lassen sich auch auf das österreichische
Schulsystem übertragen:
Die Lerngruppen an Sekundarstufen sind im internationalen Vergleich sehr homogen hinsichtlich
ihrer kognitiven Merkmale. Dennoch ist die Streuung z. B. der Lesekompetenz
so groß, dass als „schwach“ bezeichnete AHS-Schüler/innen etwa den Stand des Durchschnitts
an Hauptschulen erreichen und als „stark“ bezeichnete Haupt- oder Mittelschüler/innen
etwa den Stand des Durchschnitts an AHS.
Lernschwache oder lernbehinderte Schüler/innen beeinflussen die Leistungsentwicklung
stärkerer Schüler/innen in derselben Lerngruppe nicht negativ.
Die Einschätzung der eigenen Fähigkeiten fällt bei lernschwachen Schülerinnen und
Schülern negativer aus, wenn sie in leistungsheterogenen Lerngruppen sind.
Homogene Lerngruppen von Schülerinnen und Schülern mit Lern- und Erziehungsproblemen
verschlechtern deren Lernchancen erheblich.
2.2 Heterogenität und Individualisierung
Die Heterogenität von Lerngruppen ist das Zusammenspiel unterschiedlicher Leistungsniveaus,
Lebenserfahrungen, sozialer Hintergründe und Werte, unterschiedlicher Kulturen und

22 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Bedürfnisse. Für eine Gesellschaft bzw. eine Schule, die Inklusion bejaht, auf Toleranz und
Verständigung setzt und Heterogenität als Chance sieht, muss der allgemeine Erziehungsauftrag
lauten, die Lernenden in das Umgehen mit Unterschieden einzuüben. Hartmut von
Hentig (1988, S. 28) umschreibt diese Art von Schule als Polis, mit dem Hinweis, dass „man
sich auf das spätere Leben am besten vorbereitet, indem man jetzt lebt – zunehmend bewusst,
zunehmend vernünftig, zunehmend verantwortlich“.
Wenn Schüler/innen in einer Schule, einer Klasse oder einer Lerngruppe gut leben und damit
auch gut lernen können, dann heißt das, dass sie
das eigene Leben in der Schule und der Gemeinschaft bewusst, verantwortlich und vernünftig
gestalten.
in einer Gemeinschaft aufwachsen, die Unterschiede respektiert und Toleranz lebt.
an ihrem individuellen Lernzuwachs gemessen werden und entsprechende Anregungen,
Forderungen bzw. Förderungen erhalten.
vielfältige und unterschiedliche Gelegenheiten erleben, um die eigenen Kompetenzen und
Ressourcen einzusetzen und zu erproben.
Vielfalt und Heterogenität einer Lerngruppe kann als unüberwindbares Hindernis oder als
weiterführende Chance für alle an diesem Lernvorhaben Beteiligten angesehen werden. In
der „Salamanca-Erklärung“ der UNESCO-Weltkonferenz (Österreichische UNESCO Kommission,
1994) wird betont, dass Schulen mit integrativer Orientierung diskriminierende Haltungen
und Intoleranz bekämpfen und darüber hinaus eine effektive Bildung für den Großteil
aller Kinder gewährleisten können. Auch ohne Mechanismen der Selektion ist eine inklusive
Betreuung unterschiedlicher Lernender durch geeignete Maßnahmen möglich. Wird der
Mensch als soziales Wesen erkannt, ist ein gemeinsames Curriculum von Bedeutung. Dieses
hat eine inklusive Pädagogik als Grundlage, in der alle Lernenden in gelebter Kooperation auf
ihrem jeweiligen Wissens- und Entwicklungsstand unter Berücksichtigung der jeweils vorhandenen
Kompetenzen miteinander auf ein gemeinsames Ziel hinarbeiten. Die Bertelsmann
Stiftung (o. J., S. 4) untermauert diesen Anspruch mit der Forderung, dass jedes Kind – unabhängig
von seiner sozialen und kulturellen Herkunft und in Betrachtung seiner besonderen
(oder auch nicht besonderen) Bedürfnisse – auf vielfältige Art und Weise angeregt und herausgefordert
wird. Jedes Kind soll Schule als einen Lern- und Lebensraum erleben, in dem
es sich mit seinen Fähigkeiten angenommen fühlt, in dem es Bestätigung erfährt und in dem
ihm die Entwicklung seiner Fähigkeiten zugetraut wird.
Unterricht, der diesen Forderungen Rechnung tragen will, verlangt von Lehrpersonen, dass
sie sich mit unterschiedlichen Bedürfnissen von Schülerinnen und Schülern auseinandersetzen.
Sie lenken ihren Blick in erster Linie auf die Ressourcen, Interessen und Lernniveaus der
Schüler/innen und schließen daraus auf die Form und die Inhalte ihres Unterrichts. „Wozu all
diese Arbeit?“, werden sich einige Lehrpersonen fragen. Die Antwort darauf kann mit dem
Genetiker Markus Hengstschläger (2012, S. 5–7) gegeben werden: weil
Individualisierung die einzige Möglichkeit ist, sich auf Fragen in der Zukunft, die wir heute
noch nicht kennen, vorzubereiten,
der Mensch individuell ins Leben geht und sich sein Leben lang gegen Gleichmacherei
wehren muss,
bildungsferne Schichten zur Bildung geführt werden müssen, nicht um den Durchschnitt
zu heben, sondern um mehr Talente zu entdecken,
wenn alle verschieden sind, keiner mehr auffällt.
Ein wesentliches Element der Zukunft ist, dass sie Neues bringt – ohne Rücksicht auf den
aktuellen Stand unseres Wissens. Anders sein und möglichst Verschiedenartige im System
zu haben, ist die mächtigste Eigenschaft der Gesellschaft auf dem Weg in die Zukunft.

Mathematikunterricht in heterogenen Lerngruppen 23
Wollen wir uns auf die Zukunft gut vorbereiten, muss unser Ziel sein, jeder/jedem Einzelnen
die Chance zu geben, ihre/seine individuellen Ressourcen zu entdecken und durch Arbeit,
Training und Übung in besondere Leistungen umzusetzen. Lehrpersonen können und sollen
bei ihren Schülerinnen und Schülern fördern und fordern, was jede/jeder Einzelne auch mit
Begeisterung bereit ist zu tun. Durchmischung steigert die Individualität in unserem System
und ist daher eine unverzichtbare Komponente der Evolution (ebd., S. 15–21).
2.3 Heterogenität und Unterricht
All diese Überlegungen und Gedanken in einem Unterricht umzusetzen, der für Schüler/innen
und Lehrer/innen gleichermaßen befriedigend ist, stellt eine Herausforderung dar. Manche
Umsetzungsideen werden an Grenzen stoßen: Die Schüler/innen wissen mit der Methode
nicht umzugehen; die Schulleitung hätte lieber „geordneten“ Unterricht im Klassenraum;
Kolleginnen und Kollegen wollen nicht mittun, weil sie meinen, dass „dies eh nichts bringt“
usw. Sie können die Liste selbst fortsetzen. Jetzt nicht aufzugeben, sondern Mut daraus zu
schöpfen und weiter – eventuell mit kleinen Variationen – in diesem Sinne zu arbeiten, wird
schlussendlich belohnt werden mit Jugendlichen, die in ihrem Selbstwert gewachsen sind,
die um ihre individuellen Fähigkeiten wissen und die bereit sind für die Zukunft und ihre Anforderungen.
Einige Ideen zum Umgang mit heterogenen Lerngruppen sollen Sie anregen,
Ihnen Unterstützung geben, Ihnen Mut machen.
Howard Gardner beschreibt die Schule in Der ungeschulte Kopf. Wie Kinder denken (1993,
S. 249–250) als einen „Ort der Entdeckungen und Erforschungen“, wo Jüngere bzw. Nochnicht-Wissende
von Älteren bzw. Bereits-Wissenden lernen, indem sie gemeinsam Tätigkeiten
mit einem gemeinsamen Ziel durchführen. Es ist dies der Versuch einer Antwort auf
die Frage, wie man der Unterschiedlichkeit von Kindern bzw. Jugendlichen gerecht werden
kann. Die Schüler/innen wählen nach ihren Fähigkeiten und Interessen einen Arbeitsbereich
aus, sind dort dann als „Lehrlinge“ tätig, während Lehrpersonen oder auch andere
Expertinnen/Experten als ihre „Lehrmeister“ fungieren: Computerprogrammierer/innen sind
im „Technologiezentrum“ tätig, Tierpfleger/innen kümmern sich um die Tiere. Arbeiter/innen
einer „Fahrradfabrik“ setzen Fahrräder zusammen usw. Jede „Lehrlingsgruppe“ besteht aus
Jugendlichen unterschiedlichen Alters, die in dem betreffenden Fach oder für den Bereich
unterschiedliche Fähigkeiten mitbringen. Der größte Teil des Lernens geht kooperativ vor
sich. Befriedigung ergibt sich daraus, dass eine Arbeit gut verrichtet wird. Da die Schüler/
innen von Anfang an mit einer bedeutsamen und anspruchsvollen Arbeit betraut sind, haben
sie ein echtes Interesse am Ergebnis ihrer Bemühungen und an der Arbeit von ihresgleichen.
Mancherorts wird diese Idee unter der Bezeichnung Freiarbeit in ähnlicher Form umgesetzt:
Schüler/innen wählen für eine bestimmte Arbeitszeit (z. B. über zwei Wochen die ersten
beiden Unterrichtseinheiten jedes Schultags oder ein Semester lang drei Unterrichtseinheiten
pro Woche, jede Woche an einem anderen Tag) die von ihnen zu bearbeitenden Themenbereiche
selbst, bearbeiten ihr ausgewähltes Thema, finden weitere oder neue Fragestellungen
und stellen ihre Leistungen (im Rahmen einer Präsentation beim nächsten Elternabend, vor
dem Klassenplenum, in der Schulzeitung, an der Wandtafel etc.) vor. Die Lehrpersonen sind
in dieser Zeit wichtige Helfer/innen und Trainer/innen; sie unterstützen (auch wenn es nicht
unbedingt ihr Fachbereich ist), helfen bei den Recherchen, geben Tipps. Durch die selbstständige
Arbeit der Schüler/innen gewinnen sie Zeit für individuelle Beratung und Unterstützung.
Die Durchmischung von Schulstufen findet sich selten in Projektbeschreibungen, obwohl
ein Lernen von Älteren hier für beide Seiten im Sinne nachhaltigen Lernens genutzt werden
könnte.

24 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Peer-Coaching kann in unterschiedlichster Weise durchgeführt werden:
In einer Klasse bilden sich Lernpartnerschaften: Zwei bis drei Schüler/innen arbeiten und
lernen miteinander (vgl. Mürwald-Scheifinger & Weber, 2011, S. 131).
Von und mit Älteren lernen: Schüler/innen der 6. Schulstufe wiederholen beispielsweise
das Zeichnen, Messen und Benennen von Winkeln als Vorarbeit zur Konstruktion von
Drei- und Vierecken. Sie erkennen dabei die Probleme, die beim Zeichnen und Messen
von Winkeln auftreten und suchen nach Lösungsmöglichkeiten. Diese Erfahrungen nutzen
sie nun, um die Schüler/innen der 5. Schulstufe in diesen Themenbereich einzuführen.
Zwei Schüler/innen der 6. Schulstufe betreuen vier bis fünf Schüler/innen der
5. Schulstufe, führen sie in den Themenbereich ein und erarbeiten mit ihnen das Zeichnen,
Messen und Benennen von Winkeln. 1
Leistungsstarke Schüler/innen der 8. Schulstufe melden sich freiwillig als Tutorinnen und
Tutoren für leistungsschwächere Schüler/innen und bieten „Nachhilfeunterricht“ an.
„Überall dort, wo Jugendliche echt gefordert sind, gebraucht werden und die Erfahrung machen,
dass es auf sie ankommt“ (Groeben, 2012, S. 183), sind nachhaltig wirksame Lehrund
Lerngelegenheiten zu finden. Es lohnt sich, ein wenig im Buch Bewährung. Von der
nützlichen Erfahrung, nützlich zu sein von Hartmut von Hentig (2006) zu lesen, der (besonders
für Pubertierende) den Schulunterricht für ein Jahr gegen Lerngelegenheiten, wie sie Gardner
in seiner Vision von Schule beschrieben hat, tauschen möchte – Schüler/innen müssen die
Erfahrung machen, nützlich zu sein. Durch Projekte, im Rahmen derer Schülerinnen und
Schülern von der Auswahl der Themen über die Planung, das Zeit- und Arbeitsmanagement
sowie die Umsetzung bis hin zum Abschluss (sei dies eine Präsentation, ein Fest, eine Ausstellung,
ein Kurzfilm o. Ä.) die gesamte Verantwortung gegeben wird, können Erfahrungen,
wie Hentig und Groeben sie fordern, stattfinden und erlebt werden. Schüler/innen erkennen,
dass ein etwaiges Scheitern in ihrer Verantwortung liegt und ein solches Scheitern auch
stattfinden darf, um daraus zu lernen.
Eine Idee für den Mathematikunterricht, die sich an das echte Gefordertsein anlehnt, stellt der
Wettbewerb dar. In BasisMathematik 1–2 (BMUKK, 2008) wird ein solcher Versuch im Kapitel
Motivation durch Wettbewerb unternommen. Die Schüler/innen werden von einer fiktiven
Firma aufgefordert, eine kreative Verpackung für drei Tennisbälle herzustellen und diese zu
präsentieren. Dabei gilt es, auch den benötigten Materialbedarf zu erheben, eine Kostenaufstellung
zu machen und die Problematik des Transports in größeren Mengen zu überlegen.
Jede Arbeitsgruppe hat die alleinige Verantwortung für ihre gesamte Arbeitstätigkeit – vom
Besorgen der Materialien über das Einhalten der vereinbarten Arbeitsaufteilungen bis hin zur
Präsentation vor einer Jury. 2 Als einen „Prozess der Abstimmung zwischen inneren und äußeren
Welten, Ansprüchen und Erwartungen“ beschreibt Arno Combe (2006, S. 33) dieses
Erfahrungslernen. Ein „inszenierter“ Wettbewerb (wie der oben vorgestellte) ist natürlich nicht
mit dem wirklichen Leben gleichzusetzen, nichtsdestotrotz unterstützen solche Lernerfahrungen
einen durchdringenden Aneignungsprozess und fördern damit die Nachhaltigkeit des
Lernens.
Wer dem Korn beim Wachsen helfen will, indem er
an den Halmen zieht, dezimiert seine Ernte.
(nach einem Gleichnis von Mong Tse)
Martin Wagenschein regt mit seiner „Didaktik des Verstehens“ zur Entschleunigung des Unterrichts
und des Lernens an. Er möchte Lehrpersonen ermutigen, nicht Wissen zu vermitteln,
1 Ein Praxisbericht der Praxishauptschule der PH Kärnten zum Thema Bruchrechnen findet sich unter
http://mb-gemeinsamlernen.bmukk.gv.at/AusDerPraxis [25.09.2012].
2 Ein Bericht einer gelungenen Umsetzung und die notwendigen Unterlagen finden sich unter
http://mb-gemeinsamlernen.bmukk.gv.at/Materialienpool [25.09.2012].

Mathematikunterricht in heterogenen Lerngruppen 25
sondern die Sache selbst reden, wirken und an ihr Denk- und Erkenntnisprozesse in Gang
setzen zu lassen. Dieses genetische Lernen braucht Zeit, die Lehrpersonen ihren Lernenden
geben müssen, und zwar „nicht weil wir leider keine Zeit mehr hätten, alles durchzunehmen,
was sich zunehmend an Wissen anhäuft, sondern weil wir viel Zeit haben und weil es in
jedem Fall sinnlos wäre, erfolglos, weder schulend noch bildend, diese mit Stoffanhäufung
zu vertun“ (Wagenschein, 1992, S. 43). Könnten Lehrende das Ziehen am Halm unterlassen
(nach dem Gleichnis von Mong Tse), würde die Qualität des Gelernten steigen. Oft werden
hervorragende, aber bedächtige Begabungen oder Ressourcen verscheucht, weil die Wegwerf-Konsum-Einstellung
auf Schule und Ausbildung ausgedehnt wird.
Der professionelle Umgang mit Heterogenität setzt bei Lehrpersonen eine intensive Auseinandersetzung
mit Sach-, Methoden-, Sozial- und Selbstkompetenz, eine gelungene Implementierung
der Intentionen der Bildungsstandards wie auch ein offen gestaltetes Konzept
der Individualisierung von Unterricht voraus. Individualisierung eröffnet den Zugang zur einzelnen
Lernenden/zum einzelnen Lernenden in der Gemeinschaft und steht damit gegen die
Tradition von Schule und der herkömmlichen Stundenplanung, die in ihrer klaren Definiertheit
der Verschiedenheit und den unterschiedlichen Bedürfnissen der Einzelnen entgegensteht.
Mit dieser Beschreibung weist Johannes Bastian (2007, S. 149–150) sehr deutlich auf die
Problematik von Unterricht in und mit heterogenen Lerngruppen hin.
Nicht alle müssen verstehen,
aber alle müssen mitdenken.
Martin Wagenschein
2.4 Warum fällt dieses Umdenken so schwer?
Dieses Umdenken fällt auch deshalb so schwer, weil Lehrpersonen meist gewissheitsorientiert
sind: Ich (als Lehrperson) möchte die Gewissheit haben, dass ich mit meinen Schülerinnen
und Schülern die von mir vorgegebenen Ziele erreiche (lehrseitiger Unterricht). Eine
Entschleunigung, wie Wagenschein sie einfordert, und das Loslassen dieser Gewissheitsorientierung
führen zu einem Paradigmenwechsel, der für einen Unterricht in heterogenen Lerngruppen
unabdingbar ist: Wir (die Schüler/innen und Lehrer/innen) haben ein gemeinsames
Ziel. Wir versuchen, das Ziel auf unterschiedlichen, gleichberechtigten Wegen zu erreichen,
wissend, dass nicht alle das Ziel erreichen werden bzw. erreichen können.
Jürgen Baumert, Johannes Fried, Hans Joas et al. (2002, S. 195) beschreiben in Die Zukunft
der Bildung ein Basiswissen, das die Grundlage moderner Allgemeinbildung darstellt: Mit unterschiedlichen
Zugangswegen eröffnen sich unterschiedliche Formen, die Welt zu verstehen,
sich mit diesem Wissen auseinanderzusetzen, es zu bewerten und aus Erfahrungen Werte
wachsen zu lassen. Nicht alle werden alles auf dem gleichen Niveau können, es müssen
auch nicht alle alles verstehen, aber alle müssen mitdenken. Viele Erfahrungen zeigen, dass
es durch didaktische und methodische Kniffe und mit dem Fokus auf Aktivierungspotenzial
und Motivation möglich ist, alle Schüler/innen „mitzunehmen“, ihre Lust und Neugierde auf
die Begegnung mit der Welt zu erhalten und zu fördern und ihnen nachhaltige, langfristig
verfügbare Kompetenzen zu vermitteln. Dass alle am Ende gleich viel können, ist allerdings
ein illusorisches Ziel – es sollte vielmehr darum gehen, das individuell Mögliche zu erreichen.
Bei der Angst im Umgang mit Heterogenität – eigentlich müsste man sagen: beim Wunsch
nach möglichst großer Homogenität – ist vor allem die Idealvorstellung von „richtigem“ (was
bedeutet das?) Unterricht bedeutsam. Ein solches „Idealbild“ setzt sich aus Erinnerungen
an die eigene Schulzeit zusammen und wird durch die unterrichtspraktische Ausbildung, vor
allem durch ihre Umsetzung, ausgestaltet und verfestigt.

26 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Dieses Idealbild unterliegt drei Bestimmungsstücken:
Der Unterricht basiert auf einem perfekten „Drehbuch“, der Vorbereitung, die minutiös
abzuarbeiten ist und bei der alles im (bis jetzt leider noch vorherrschenden) 45- bis 50-Minuten-Takt
umzusetzen ist. Gelingt dies, ist das „Stundenziel“ erreicht.
Die Lerngruppe bewegt sich im Gleichschritt mit möglichst geringfügigen Abweichungen.
Auch beim Unterricht in Teilgruppen sollten alle am gleichen „Endpunkt“ – nicht nur für
diese Unterrichtseinheit – ankommen.
Die Lehrperson zeichnet sich dadurch aus, dass sie wie ein großartiger Dompteur, Regisseur
oder Dirigent jede einzelne Lernende/jeden einzelnen Lernenden „unter Kontrolle“
hat – unter der Annahme, dass Lernende nur dann wirkungsvoll lernen, wenn sie den für
sie geplanten Lernweg auch einhalten.
Für einen sinnvollen Umgang mit der Herausforderung heterogener Lerngruppen sollen jedoch
einige hilfreiche Faktoren beachtet werden:
Zeit: Den Schülerinnen und Schülern soll genügend Zeit zum eigenständigen Entdecken
und für benötigte Umwege gegeben werden.
Methodenvielfalt: Der Einsatz vielfältiger Methoden soll helfen, selbstständige, selbstgesteuerte
und selbstverantwortete Lernformen konsequent zu üben, damit diese zu einer
selbstverständlichen Gewohnheit werden. Methoden-, Selbst- und Sozialkompetenz sollen
trainiert werden, damit ein Arbeitsklima entsteht, in dem die Lehrperson nicht mehr
alles „unter Kontrolle“ haben muss.
Teamteaching: Erfahrungen zeigen, dass offene Lernformen dann effektiv sind, wenn
das gesamte Lehrerteam, das diese Lerngruppe unterrichtet, sich über gemeinsame Ziele,
Maßstäbe und Rituale verständigt hat. Dazu ist ein über längere Zeit stabiles Team
notwendig, in dem sich alle für alles verantwortlich fühlen und sich dadurch gleichzeitig
gegenseitig entlasten. Ideen, methodische Anregungen, didaktische Überlegungen und
Materialien sollen gemeinsam diskutiert, ausgetauscht und hergestellt werden. Austausch
entlastet die einzelne Lehrperson, gemeinsames Tun erleichtert Erkennen.
Pädagogisch-didaktisches Material: Dieses soll das Erkennen und Verstehen der individuellen
und konkreten Schwierigkeiten und Bedürfnisse einzelner Lernender erleichtern.
Arbeit und Anstrengung: Diese Erfahrungen müssen für Lernende als sinnvoll erlebt
werden, etwa durch das Anerkennen individueller Lernfortschritte, durch Beiträge von
einzelnen oder durch Überprüfung des Lernstands zur persönlichen Information für die
Lernenden (vgl. Becker, 2004, S. 11–12).
Wenn Lernende wollen, was sie machen, dann schaffen sie Großartiges.
2.5 Heterogenität und Individualisierung umgesetzt
All diese Überlegungen müssen angestellt und umgesetzt werden, wenn kompetenzorientierter
lernseitiger Unterricht Wirklichkeit werden soll. John Holt (2009, S. 94) stellt Unterricht,
der in all seinen Facetten ausschließlich von Lehrpersonen gestaltet wird, als nicht zielführend
dar, denn „Lehren erzeugt kein Lernen. Lerner erzeugen Lernen. Lerner erschaffen Lernen“.
Lernseitiger Unterricht geht von den Bedürfnissen der Schüler/innen aus und schafft Möglichkeiten,
die es erlauben, kontinuierlich ihre Fähigkeiten zu entwickeln und ihre wahren Ziele
verwirklichen zu lernen. In einer lernenden Schule werden Unterrichtssituationen geboten,
die neue Denkformen fordern und in denen gemeinsame Hoffnungen freigesetzt werden, in
denen Menschen lernen, miteinander zu lernen (Senge, 1996, S. 11). Heterogene Lerngruppen
verlangen beim Bestreben, auch individuelle Zugänge zu ermöglichen, nach Methodenvielfalt.
Im ersten Band des Praxishandbuchs für „Mathematik“ 8. Schulstufe (BIFIE, 2011b),
im Band Kompetenzorientierter Unterricht in Theorie und Praxis (BIFIE, 2011a) sowie auf der

Mathematikunterricht in heterogenen Lerngruppen 27
Website des Projekts Mathematische Bildung 3 finden sich viele methodische Zugänge jeweils
an mathematischen Inhalten dargestellt. All diese Ideen wurden in den Pilotierungsphasen an
Schulen der Sekundarstufe I in ganz Österreich erprobt.
Stellvertretend für viele Ideen seien hier nun noch einige kreative Überlegungen angeführt, die
ihren Schwerpunkt im Bereich der inneren Differenzierung haben und daher für leistungsheterogene
Lerngruppen gut geeignet sind.
2.5.1 Karussell (z. B. Eigenschaften ebener Figuren)
Die Schüler/innen sitzen im Kreis, jede/jeder Lernende hat eine Unterlage und einen Stift.
Jede Schülerin/jeder Schüler erhält ein A4-Blatt, auf dem einige Fragestellungen notiert sind
(Querformat):
1. Wie lautet eine Formel für den Flächeninhalt?
2. Wie lautet eine Formel für den Umfang?
3. Wie viele Seiten hat die Figur?
4. Nenne besondere Eigenschaften dieser Figur.
5. Wie viele Winkel hat die Figur?
6. Welche Gegenstände im Alltag haben diese Form?
7. Gibt es (einen) Körper mit einer solchen Grundfläche? Wie heißt dieser (heißen diese)?
8. Wie lautet eine Formel zur Berechnung des Durchmessers/der Diagonalen?
Vorbereitet wurden jeweils auf einem Extrablatt Zeichnungen verschiedener Figuren:
Dreieck, Kreis, Halbkreis, Rechteck, Quadrat, Deltoid, Raute, Trapez, Parallelogramm
Ablauf:
Jede Lernende/jeder Lernende zieht eine Zeichnung und heftet sie mit einer Büroklammer an
seinen Fragebogen, ohne sie den anderen Lernenden zu zeigen.
Jede/jeder darf sich eine Fragestellung aussuchen, die sie/er schriftlich beantworten kann. Es
darf immer nur eine Antwort notiert werden. Die Fragen müssen nicht der Reihe nach beantwortet
werden. Auf ein Zeichen der Lehrperson hin wird die Unterlage mit dem gesamten
Blatt im Uhrzeigersinn weitergegeben. Kann bei dieser Figur keine Antwort gegeben werden,
darf sich das Karussell trotzdem weiterdrehen. Nun kann die/der nächste Lernende eine
weitere Frage beantworten.
Sollte jemand für eine bereits beantwortete Frage noch eine Antwort wissen, so darf diese
dazugeschrieben werden. Bereits vorhandene Antworten dürfen von anderen Lernenden
nicht geändert oder gestrichen werden. Wird ein Fehler entdeckt, darf auf diesen durch einen
erläuternden Kommentar hingewiesen und die vermeintlich richtige Antwort dazugeschrieben
werden. Jede Frage kann/soll auch mehrere Antworten bekommen. Das Karussell läuft,
solange die Schüler/innen mit Spannung dabei sind bzw. solange die Lehrperson es zulässt.
Vor dem letzten Wechsel wird das Blatt mit der Zeichnung weggenommen und verdeckt in
die Mitte des Sitzkreises gelegt, die Unterlage wird wieder weitergegeben.
3 http://mb-gemeinsamlernen.bmukk.gv.at/default.aspx [25.09.2012]

28 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Abb. 1: Karussell
Zur Weiterarbeit bieten sich mehrere Möglichkeiten an:
Variante 1 (bei kleinen Lerngruppen): Die Schüler/innen lesen die Antworten durch; wer
zu wissen glaubt, welche Figur auf seinem Blatt beschrieben wurde, sucht sich eine Antwort
aus, die für sie/ihn klar zur entsprechenden Figur gehört. Was sagen die anderen
dazu? Glaubt noch jemand, eine Figurenbeschreibung zu haben, auf die diese Eigenschaft
zutrifft? Nun kann eine Diskussion beginnen, ob manche Eigenschaften nur einer
Figur oder auch mehreren Figuren zuordenbar sind. Hat jemand die richtige Figur herausgefunden,
darf sie/er sich die Skizze aus der Mitte nehmen.
Variante 2 (bei größeren Lerngruppen): Das Karussell wird in zwei Sitzkreisen bearbeitet.
Die Schüler/innen geben am Ende ihr Skizzenblatt weg. Durch Nachfragen (ohne die
Figur zu nennen) wird die Partnerin/der Partner aus der anderen Gruppe gefunden.

Mathematikunterricht in heterogenen Lerngruppen 29
Um mehr Bewegung in einen sitzlastigen Unterricht zu bringen, können die Sessel des Kreises
möglichst weit voneinander entfernt aufgestellt werden. Auf ein Zeichen der Lehrperson
hin wechseln die Lernenden und gehen zum nächsten Sessel.
Kommentar:
Diese Methode bietet sich für eine heterogene Lerngruppe an, weil jede/jeder Lernende sich
bei irgendeiner Antwort einbringen kann. Es wird niemand bloßgestellt durch etwaiges Nichtwissen.
Manche Einsichten können gewonnen werden, wenn die/der Lernende (richtige) Antworten
dort findet, wo sie/er diese nicht vermutet hat (Aha-Erlebnisse!). Es besteht auch die
Möglichkeit, diese Übung paarweise – in einer Lernpartnerschaft – durchzuführen.
Bei dieser Methode kann jede/jeder mit ihren/seinen Fähigkeiten, ihrem/seinem Wissen zur
Lösung eines Gesamtprodukts beitragen. Sie hat darüber hinaus selbstdifferenzierenden
Charakter, da sich jede/jeder Lernende selbst für eine Frage bzw. eine Antwort entscheiden
kann. Erfahrungsgemäß versuchen sich leistungsfähige Schüler/innen gleich an den eher
schwierigen Fragestellungen, sodass die scheinbar leichteren von den Schülerinnen und
Schülern mit niedrigem Leistungsniveau beantwortet werden können. Diese können aber
(und tun dies) auch scheinbar schwierige Fragen ausprobieren.
Spannend ist es darüber hinaus, den Schülerinnen und Schülern mit höherem Leistungsniveau
oder/und auf einer höheren Schulstufe folgende Aufgabenstellungen zu geben:
Beispiele:
Gestaltet für die Schüler/innen der 5. Schulstufe ein Karussell zum Thema Körper. Entwerft
einen Fragebogen und zeichnet mithilfe von GeoGebra die notwendigen Skizzen.
Gestaltet für die Schüler/innen der 6. Schulstufe ein Karussell zum Thema Zahlenmengen.
Gestaltet für die Schüler/innen der 7. Schulstufe ein Karussell zum Thema Pythagoreischer
Lehrsatz.
2.5.2 Fliegenklatsche (z. B. Zahlenmengen)
Diese Methode bringt Bewegung in den Unterricht, macht den Schülerinnen und Schülern
großen Spaß und eignet sich für jedes Thema und jeden Fachbereich. Außerdem motiviert
sie alle Schüler/innen, über die Fragestellung nachzudenken und nach passenden Antworten
zu suchen.
Ablauf:
Abb. 2: Fliegenklatsche

30 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Die Lehrperson hat Fragen zu Antworten, die an der Tafel stehen, vorbereitet. Die Schüler/
innen bilden zwei oder drei Mannschaften. Die Mitglieder jeder Mannschaft sitzen hintereinander
auf Sesseln in den Positionen 1, 2, 3, 4 usw. Im Idealfall gelingt es der Lehrperson, auf
eine bestimmte Position etwa gleich leistungsstarke Schüler/innen zu setzen. Jede Mannschaft
hat vor der Tafel eine Fliegenklatsche liegen. Verschiedenfarbige Fliegenklatschen sind
vorteilhaft. Haben alle Schüler/innen ihre Positionen eingenommen, beginnt der Wettbewerb.
Die Lehrperson stellt eine Frage und macht eine Denkpause, in der alle Schüler/innen nachdenken.
Dann erst nennt die Lehrperson eine Position. Die Schüler/innen in der gleichen
Position laufen zur Tafel, nehmen die Fliegenklatsche ihrer Mannschaft und „klatschen“ auf
die von ihnen gewählte Antwort. Wer ist die/der Schnellste mit der richtigen Antwort?
Folgende Lösungsmöglichkeiten stehen an der Tafel: N, Q, Z, R, I, falsch (f), richtig (r).
Diese Fragen/Aussagen hat die Lehrperson vorbereitet:
Frage/Aussage
Antwort
Werden ganze Zahlen dividiert, ist das Ergebnis immer eine ganze Zahl.
f
Eine reelle Zahl kann auch eine irrationale Zahl sein.
r
Addition und Multiplikation sind in N unbeschränkt ausführbar.
r
Division und Subtraktion sind in N unbeschränkt ausführbar.
f
Periodische Zahlen sind irrationale Zahlen.
f
Das Ergebnis der Rechnung 17 – 56 liegt in der Zahlenmenge Z.
r
Welche ist die „kleinste” Zahlenmenge, in der alle Produkte zweier natürlicher
Zahlen liegen?
N
Das Ergebnis der Rechnung -5 + 3 liegt in der Zahlenmenge N?
f
Die Division ist in Z nur beschränkt ausführbar.
r
Welche Zahlenmenge enthält rationale und irrationale Zahlen?
R
Gutpunkte kann es für die schnellste richtige Antwort geben, aber auch für alle, die richtig
geklatscht haben. Eine interessante Variante ist es, Fragen zu stellen, zu deren Beantwortung
auch mehrere Antworten als richtig gelten können. Jede richtige Antwort wird dann mit einem
Gutpunkt bewertet, d. h., es können dann auch mehrere Gruppen einen Gutpunkt erhalten.
Frage
In welcher Zahlenmenge liegt das Ergebnis, wenn natürliche Zahlen
addiert werden?
In welcher Zahlenmenge liegt das Ergebnis der Rechnung 18 : 12?
In welcher Zahlenmenge liegt das Ergebnis der Rechnung 156 – 155?
In welcher Zahlenmenge liegt das Ergebnis der Rechnung 49 : 7?
In welcher Zahlenmenge kann das Ergebnis liegen, wenn eine natürliche
Zahl durch eine natürliche Zahl ungleich 0 dividiert wird?
In welcher Zahlenmenge liegt die Wurzel der Zahl 2?
In welcher Zahlenmenge liegt die Zahl π?
Antwort
N, Z, Q, R
Q, R
N, Z, Q, R
N, Z, Q, R
N, Z, Q, R
I, R
I, R
Diskussionen über Zahlenmengen werden dadurch hervorgerufen, das Argumentieren und
richtige Formulieren trainiert.

Mathematikunterricht in heterogenen Lerngruppen 31
2.5.3 Was ist eigentlich die Frage? (z. B. Prozentrechnen)
„Rückwärtsarbeiten“ ist im üblichen Mathematikunterricht kaum vorhanden, meist wird von
vorne gearbeitet: zuerst die Frage, dann die Antwort. So wird automatisierend geübt und gearbeitet.
Wurde ein neu erarbeiteter/gelernter Mechanismus oder ein bestimmtes Verfahren
einige Male durchgeführt, wird meist nicht mehr nach seinem Ursprung gefragt. Wird allerdings
die Reihenfolge umgekehrt, können Schüler/innen zeigen, ob sie das Verfahren wirklich
verstanden haben oder nur reproduktiv wiedergeben.
Die Lehrperson notiert Begriffe und Zahlen an der Tafel: z. B. Prozentwert, 80, Prozentsatz,
100, Grundwert, 4, Mehrwertsteuer, Skonto usw.
Die Schüler/innen wählen in Einzel- oder Partnerarbeit einen Begriff oder eine Zahl aus und
überlegen eine Fragestellung zum Thema Prozentrechnen, deren Antwort der ausgewählte
Begriff oder die ausgewählte Zahl ist.
Auf ihrem Arbeitsblatt notieren die Schüler/innen ihre Antwort, auf der anderen Seite die
Fragestellung. Schüler/innen mit niedrigem Leistungsniveau können ihre Arbeitsunterlagen
(Schulbücher, Hefte usw.) als Unterstützung verwenden, der Lerneffekt ist deswegen nicht
geringer. Diese Arbeitsweise stärkt das Verstehen von Algorithmen und beugt rein reproduktivem
Wiedergeben vor. So kann nachhaltig trainiert werden.
In der nächsten Unterrichtseinheit bearbeiten andere Schüler/innen die Fragestellungen, hier
können gegebenenfalls nochmals Unklarheiten geklärt werden.
Diese Idee lässt sich hervorragend mit der Methode Fliegenklatsche verbinden: Die Fragen
und Antworten werden der Lehrperson übergeben, nachdem sie auf ihre Richtigkeit überprüft
wurden. Nach einer gewissen Zeit werden diese Fragen und Antworten für die Methode
Fliegenklatsche eingesetzt. Führt eine Lehrperson dies des Öfteren durch und hebt die Schülerblätter
auf, so hat sich nach kurzer Zeit bereits eine umfangreiche Sammlung ergeben,
die nun laufend (ohne zusätzliche Vorbereitungsarbeit) verwendet und immer wieder ergänzt
werden kann.
2.5.4 Richtig-Falsch-Diktat (z. B. Vierecke)
Die Lehrperson hat eine beliebige Anzahl von Behauptungen zu einem Themenbereich notiert,
z. B.:
Ein Parallelogramm hat mindestens ein Paar parallele Seiten.
Jedes Rechteck hat einen Umkreis.
Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck beträgt 360°.
Die Diagonalen eines Parallelogramms stehen aufeinander normal.
Es finden sich darunter richtige und falsche Behauptungen. Es ist darauf zu achten, dass die
Sätze nicht zu lang sind, eventuell werden sie ein bis zwei Mal wiederholt.
Jede/jeder Lernende erhält ein Arbeitsblatt, auf dem notiert ist, ob die richtigen oder die
falschen Sätze notiert werden sollen. Gegebenenfalls könnten Schüler/innen mit Deutschproblemen
mit vorgegebenen Arbeitsblättern arbeiten; sie lesen mit, wenn die Lehrperson
vorliest, und markieren jeweils entsprechend ihrer Aufgabenstellung „richtig“ oder „falsch“.
Sind alle Sätze genannt, kontrollieren die Schüler/innen in Partnerarbeit (jeweils ein Mal „richtig“
und ein Mal „falsch“), ob sie nicht die gleichen Sätze notiert haben.

32 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Diese Übung dient dem Bewusstmachen von eigenem Wissen und fördert die Verwendung
der mathematischen Fachsprache (siehe dazu auch Kapitel 5, S. 73–79).
Hier wurden nur einige Anregungen gegeben (vgl. auch Handke, 2012, S. 28–29, S. 94–96,
S. 148–150), in der Umsetzung werden sich noch viele Varianten dazugesellen. In diesen und
ähnlichen Methoden finden sich viele Möglichkeiten zur Differenzierung und zur selbstständigen
Bearbeitung, bei denen Schüler/innen Erfolge erleben können. Dies sind unter anderem
Indikatoren für gelingenden lernseitigen kompetenzorientierten Unterricht, bei dem alle Schüler/innen
mitmachen können.
Wirkliche Könner können mehr, als sie wissen.
(Hilbert Meyer)
Literatur
Bastian, J. (2007). Einführung in die Unterrichtsentwicklung. Weinheim: Beltz.
Baumert, J., Fried, J., Joas, H. et al. (2002). Manifest. In Kilius, N., Kluge, J. & Reisch, L.
(Hrsg.). Die Zukunft der Bildung. Frankfurt am Main: Suhrkamp. S. 171–225.
Becker, G. (2004). Regisseur, Meisterdirigent, Dompteur? Die Sehnsucht nach „gleichen
Lernvoraussetzungen“ hat Gründe. In Becker, G., Lenzen, K.-D., Stäudel, L. et al. (Hrsg.).
Heterogenität. Unterschiede nutzen – Gemeinsamkeiten stärken. Friedrich Jahresheft XXII.
S. 10–12.
Bertelsmann Stiftung (Hrsg.) (o. J.). Wir brauchen eine andere Schule! Das deutsche Bildungssystem
hält nicht, was es verspricht! Konsequenzen aus PISA. Positionen der Bertelsmann
Stiftung. Gütersloh.
Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens
(BIFIE) (Hrsg.) (2011a). Kompetenzorientierter Unterricht in Theorie und Praxis. Graz:
Leykam. Verfügbar unter https://www.bifie.at/node/351 [25.09.2012].
Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens
(BIFIE) (Hrsg.) (2011b). Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe. 2., überarbeitete
Auflage. Graz: Leykam. Verfügbar unter https://www.bifie.at/node/315 [25.09.2012].
Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur (BMUKK) (Hrsg.) (2008). BasisMathematik
1–2. Wien.
Combe, A. (2006). Hatten die schon Schuhe? Zur Theorie des Erfahrungslernens. In Pädagogik
58 (6). S. 32–36.
Gardner, H. (1993). Der ungeschulte Kopf. Wie Kinder denken. Stuttgart: Klett.
Groeben, A. von der (2012). Verschiedenheit nutzen. Besser lernen in heterogenen Gruppen.
Berlin: Cornelsen Scriptor.
Handke, U. (2012). Mehr Erfolg im Unterricht. Ausgewählte Methoden, die Schüler motivieren.
5. Auflage. Berlin: Cornelsen Scriptor.
Hengstschläger, M. (2012). Die Durchschnittsfalle. Gene – Talente – Chancen. Salzburg: Ecowin.

Mathematikunterricht in heterogenen Lerngruppen 33
Hentig, H. von (1988). Britta, Lümmel und ein Labyrinth. Die Laborschule als Erfahrungsraum.
Text zum gleichnamigen Film von Hartmut von Hentig, Siegfried Kätsch, Wolfgang Kosiek.
Bielefeld: Universität Bielefeld.
Hentig, H. von (2006). Bewährung. Von der nützlichen Erfahrung, nützlich zu sein. München:
Hanser.
Holt, J. (2009). In jeder wachen Stunde. In Hunt, J. (Hrsg.). Das Freilerner-Buch. Betrachtungen
zum Leben ohne Schule. Winsen: Anahita. S. 93–96.
Meyer, H. (2010). Was ist guter Unterricht? 7. Auflage. Berlin: Cornelsen Scriptor.
Mürwald-Scheifinger, E. & Weber, W. (2011). Kompetenzorientierter Unterricht – Sekundarstufe
I – Mathematik. In Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung
des österreichischen Schulwesens (BIFIE) (Hrsg.). Kompetenzorientierter Unterricht in Theorie
und Praxis. Graz: Leykam. S. 109–138. Verfügbar unter https://www.bifie.at/node/351
[21.09.2012].
Österreichische UNESCO Kommission (Hrsg.) (1994). „Pädagogik für besondere Bedürfnisse“.
Die Salamanca-Erklärung und der Aktionsrahmen zur Pädagogik für besondere Bedürfnisse.
Wien. Zitiert nach Grubich, R. (2005). Homo oder Hetero? Eine Frage des (pädagogischen)
Umgangs mit Diversität. In Erziehung & Unterricht 5–6 (155). Wien: öbv. S. 485–490.
Roßbach, H.-G. & Wellenreuther, M. (2002). Empirische Forschungen zur Wirksamkeit von
Methoden der Leistungsdifferenzierung in der Grundschule. In Heinzel, F. & Prengel, A.
(Hrsg.). Heterogenität, Integration und Differenzierung in der Primarstufe. Jahrbuch Grundschulforschung
6. Opladen: Leske + Budrich. S. 44–57.
Senge, P. (1996). Die fünfte Disziplin. Kunst und Praxis der lernenden Organisation. 2. Auflage.
Stuttgart: Klett.
Tillmann, K.-J. & Wischer, B. (2006). Heterogenität in der Schule. Forschungsstand und Konsequenzen.
In Pädagogik 3. S. 44–48.
Wagenschein, M. (1992). Verstehen lernen. Genetisch – Sokratisch – Exemplarisch. Weinheim:
Beltz.

Aufgaben im Mathematikunterricht 35
3 Aufgaben im Mathematikunterricht
3.1 Aufgaben im Mathematikunterricht – Funktion
und Merkmale
Christa Preis
Ein wichtiges Werkzeug für den Mathematikunterricht sind Aufgaben. Sie tragen die mathematischen
Inhalte und lösen Lernprozesse aus. Mithilfe entsprechender Aufgaben wird die
Kompetenzentwicklung bei den Schülerinnen und Schülern gefördert.
In der Regel wählen Lehrer/innen aus dem verwendeten Lehrbuch geeignete Aufgaben
aus. Wenn es sinnvoll und notwendig erscheint, werden zur Unterstützung weitere Lehrbücher,
Fachzeitschriften, Aufgabenpools usw. herangezogen. Vorhandene Aufgaben werden
gegebenenfalls modifiziert und es werden auch selbstständig neue Aufgaben entwickelt.
In diesem Zusammenhang hat sich wohl jede/r schon die Frage gestellt: „Was macht eine
gute Aufgabe aus?“ Es ist sicher nicht möglich, diese Frage generell zu beantworten, weil
Aufgaben unterschiedliche Funktionen haben. Somit muss die Frage modifiziert werden:
„Welche Aufgabe ist für welchen Zweck gut geeignet?“
Im Unterricht benötigt man
Aufgaben zum Lernen und Entdecken (zur Förderung von Lernprozessen)
Aufgaben zur Erarbeitung neuer Inhalte
Aufgaben für Übungsphasen (siehe Kapitel 6, Intelligentes Üben, S. 83)
Aufgaben zum Problemlösen-Lernen
Aufgaben zum Leisten (zum Überprüfen von Fähigkeiten)
Aufgaben zur Diagnose
Abhängig von der Funktion, die eine Aufgabe erfüllen soll, wird diese unterschiedliche Merkmale
aufweisen. Im Hinblick auf ihre Bedeutung für den Unterricht in heterogenen Lerngruppen
werden im vorliegenden Praxishandbuch vor allem die Merkmale Offenheit und Differenzierungsvermögen
behandelt.
3.2 Offenheit von Aufgaben
Das Aufgabenmerkmal Offenheit ist jenes, das in einer Vielzahl von Ansätzen zur Weiterentwicklung
der Aufgabenkultur immer wieder eingefordert wird (Büchter & Leuders, 2005,
S. 88). Um verstehendes Lernen zu fördern und zu ermöglichen, wird man insbesondere bei
der Auswahl der Aufgaben darauf achten, dass es sich nicht nur um das lineare Abarbeiten
von vorgezeichneten Tätigkeiten handelt (obwohl auch diese Form von Aufgaben ihre Berechtigung
hat). Schüler/innen, die verstehend lernen, sind im Lernen erfolgreicher und das
einmal erworbene Wissen ist nachhaltiger verfügbar (repetitive Strategie versus elaborative
Strategie, vgl. BIFIE, 2011, S. 33–41).
Im klassischen Mathematikunterricht wird das Lösungsverfahren nach dem Einstieg in ein
neues Thema an einem Musterbeispiel gezeigt. Im Anschluss daran bearbeiten die Schüler/innen
geschlossene Aufgaben mit steigendem Schwierigkeitsgrad, an denen sie das
vorgezeigte Verfahren rezeptartig nachvollziehen und trainieren. Die gestellten Aufgaben unterscheiden
sich vom Musterbeispiel nur dadurch, dass das vorgezeigte Lösungsverfahren
noch nicht ausgeführt wurde. Dieser Aufgabentyp fördert primär die Rechenfertigkeit bei der
Durchführung des vorgegebenen Verfahrens. Der Weg zum Ziel ist den Schülerinnen und
Schülern von vornherein bekannt. Sie brauchen nicht mehr zu überlegen, wie sie vorgehen
müssen, um zur Lösung zu kommen bzw. warum sie so vorgehen. Anspruchsvollere Aufgaben
unterscheiden sich von den zu Beginn gestellten nur dadurch, dass sie aufwändiger sind
und/oder mehrere Arbeitsschritte zur Ermittlung der Lösung benötigen.

36 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Verstehendes und reflektierendes Lernen wird möglich, wenn Aufgaben so gestellt sind, dass
die Schüler/innen eigene Wege gehen können. Diese eigenen Wege müssen von den Lehrpersonen
auch eingefordert werden. Es ist dabei durchaus möglich, unterschiedliche Ziele
zu erreichen. Zudem sollte immer wieder eine Reflexion der Lösungswege angeregt werden.
Fehler und Umwege beim Finden der Lösung(en) sind durchaus erwünscht und liefern wiederum
Reflexionsanlässe.
Um den Lernenden diese Möglichkeiten zu geben, ist es notwendig, im Unterricht auch
offene Aufgaben zu stellen. Eine Öffnung erreicht man durch Weglassen von Informationen
oder durch weniger konkrete Fragen. Explizitere Vorgaben zum Lösungsweg schließen eine
Aufgabe. Offene Aufgaben eignen sich auch sehr gut für kooperative Lernformen – die Schüler/innen
werden dazu angehalten, über Fragestellungen, mathematische Inhalte und Hintergründe
zu kommunizieren und zu reflektieren. Dabei erleben sie Mathematik als sinnvolles
Hilfsmittel für das Treffen von Entscheidungen.
Geschlossene Fragestellung
Jan, Tim und Lukas trainieren für einen Weitsprungbewerb. Die Tabelle zeigt ihre
Sprungweiten bei fünf Trainingssprüngen.
1. Sprung 2. Sprung 3. Sprung 4. Sprung 5. Sprung
Jan 4,47 m ungültig ungültig 4,20 m 4,14 m
Tim 4,40 m 4,26 m 4,34 m 4,30 m 4,35 m
Lukas 4,32 m 4,34 m 4,36 m 4,32 m 4,31 m
Berechne die durchschnittliche Sprungweite (das arithmetische Mittel) der gültigen
Sprünge für Jan, Tim und Lukas.
Lösung:
Jan: 4,27 m; Tim: 4,33 m; Lukas: 4,33 m
Variante mit offener Fragestellung
Jan, Tim und Lukas trainieren für einen Weitsprungbewerb. Die Tabelle zeigt ihre
Sprungweiten bei fünf Trainingssprüngen.
1. Sprung 2. Sprung 3. Sprung 4. Sprung 5. Sprung
Jan 4,47 m ungültig ungültig 4,20 m 4,14 m
Tim 4,40 m 4,26 m 4,34 m 4,30 m 4,35 m
Lukas 4,32 m 4,34 m 4,36 m 4,32 m 4,31 m
Nur einer von ihnen darf am Bewerb teilnehmen.
Finde für jeden von ihnen ein Argument, das für seine Teilnahme spricht.

Aufgaben im Mathematikunterricht 37
Mögliche „Lösungen“ der Schüler/innen:
„Jan ist von allen am weitesten gesprungen.“
„Jan sollte nicht teilnehmen, immerhin besteht ein 40%iges Risiko, dass er wieder
einen ungültigen Sprung macht.“
„Tim und Lukas sind zwar durchschnittlich gleich weit gesprungen, aber Tims
größte Sprungweite ist größer als die von Lukas und beim Bewerb zählt die größte
Weite.“
„Tim und Lukas sind zwar durchschnittlich gleich weit gesprungen, aber Lukas
springt viel konstanter. Bei Tim ist die Gefahr groß, dass er im Bewerb einen
schlechten Sprung hat.“
Kommentar:
Durch die offene Fragestellung werden die Lernenden (auch) unterschiedliche statistische
Kenngrößen heranziehen, um entsprechende Argumente zu finden.
Nicht mechanisches Rechnen steht im Vordergrund, sondern ein reflektierender Umgang mit
statistischen Kenngrößen. Auch wird erkennbar, inwieweit die Lernenden die im Unterricht
eingeführten mathematischen Fachbegriffe im alltäglichen Sprachgebrauch verwenden.
Die Aufgabe eignet sich als Einstiegsbeispiel für das Kapitel Statistische Kenngrößen, weil sie
deutlich macht, dass es nicht ausreicht, eine Datenliste ausschließlich mithilfe des arithmetischen
Mittels zu beschreiben, und anregt, weitere Kenngrößen zu definieren.
Im Folgenden wird ein einfaches Klassifikationsschema für offene Aufgaben nach Regina
Bruder (2011) beschrieben.
3.3 Klassifikationsschema für offene Aufgaben mit
Beispielen
Regina Bruder (2011) unterscheidet Aufgabentypen danach, wie offen sie sind bezüglich
der Information über die Ausgangssituation, Start
der Methode bzw. des Lösungsverfahrens und Weg
des Ergebnisses bzw. der Lösung. Ziel

38 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Damit ergeben sich acht mögliche Aufgabentypen 1 , die im Mathematikunterricht eine Rolle
spielen können:
Das Zeichen ü steht für „bekannt“, ? für „nicht bekannt“.
Start
Situation
Information
Weg
Methode
Verfahren
Ziel
Ergebnis
Lösung
Bezeichnung des
Aufgabentyps
ü ü ü Musteraufgabe mit Lösung
ü ü ? Bestimmungsaufgabe
? ü ü Umkehraufgabe, bei der eine Ausgangssituation
? ? ü zu einem Ergebnis bei vorgegebenen
Verfahren rekonstruiert werden soll
? ü ?
Erfinden einer Aufgabe zu einem vorgegebenen
Lösungsweg
ü ? ü
Beweisaufgabe, bei der eine Argumentationskette
aufgebaut werden muss, die zum
angegebenen Ergebnis führt
ü ? ?
Problemaufgabe, bei der selbstständig
Lösungswege entwickelt werden müssen
? ? ? Problemaufgabe mit offenem Ausgang
}
offene Aufgaben geschlossene
Aufgaben
3.3.1 Beispiele – Geschlossene Aufgaben
Musteraufgaben mit Lösung ü ü ü
Das Betrachten von gelösten Aufgaben und die Reflexion über die vorliegende
Aufgabenbearbeitung(en) bieten Gelegenheit, über Problemlöseprozesse nachzudenken,
und können zum Anlass genommen werden, über verwendete Strategien zu reflektieren und
diese zu beschreiben. Ein Spezialfall von Musteraufgaben sind Aufgaben zur Fehlersuche.
Michaela hat die Gleichung 5x – 2 – 3x – 4 = 6x – 3 – 5x richtig gelöst. Betrachte ihren
Lösungsweg. Ist sie geschickt vorgegangen? Welchen Tipp würdest du ihr geben?
5x – 2 – 3x – 4 = 6x – 3 – 5x | +4
5x – 2 – 3x = 6x – 3 – 5x + 4 | +2
5x – 3x = 6x – 3 – 5x + 4 + 2 | +5x
5x – 3x + 5x = 6x – 3 + 4 + 2 | -6x
5x – 3x + 5x – 6x = -3 + 4 + 2
x = 3
1 Dieses Modell wird auch im Praxishandbuch Mathematik AHS Oberstufe (BIFIE, 2011, S. 114–123)
vorgestellt.

Aufgaben im Mathematikunterricht 39
Julius hat kontrolliert, ob die angeführten Aussagen richtig sind und die falschen Aussagen
durchgestrichen. Bist du mit seiner Bewertung einverstanden? Stelle gegebenenfalls
richtig. Begründe deine Meinung.
Alle Quadrate sind
zueinander ähnlich.
Alle Kreise sind
einander ähnlich.
Alle gleichseitigen
Dreiecke sind einander
ähnlich.
Alle Rechtecke sind
einander ähnlich.
Alle gleichschenkligen
Dreiecke sind einander
ähnlich.
Kommentar:
Geschlossenen Aufgaben mit Fehlersuche kommt im Hinblick auf die bei Standardtestungen
und zentralen Prüfungen häufig eingesetzten Multiple-Choice-Formate immer größere Bedeutung
zu. Werden diese Aufgaben im Unterricht eingesetzt, sollte sich die Kontrolle nicht
darauf beschränken, ob die Kreuzchen an den richtigen Stellen sind. Erst wenn Beschreibungen,
Begründungen und Erklärungen eingefordert werden, kann das Diagnosepotenzial
solcher Aufgaben erhöht werden.
Bestimmungsaufgaben ü ü ?
Bei den folgenden beispielhaft angeführten geschlossenen Aufgaben steht das Eintrainieren
eines erlernten Verfahrens im Vordergrund. Diese Beispiele finden sich häufig im Anschluss
an ein entsprechendes Musterbeispiel. Eigene Lösungswege der Schüler/innen werden weitestgehend
ausgeschlossen und ein Reflektieren über den Lösungsweg findet in der Regel
nicht statt.
1. Berechne den Flächeninhalt eines Parallelogramms mit a = 6 cm und h a
= 4 cm
mithilfe der Flächenformel.
2. Löse die Gleichung 3x + 4 = 16 mithilfe von Äquivalenzumformungen.
3. Berechne den Flächeninhalt der abgebildeten
Figur. Zerlege sie dafür in ein Rechteck und ein
rechtwinkliges Dreieck. Die Seitenlänge eines
quadratischen Kästchens beträgt 1 cm.
4. Vereinfache den Term a 5 · s 4 · a 6 · s 2 · s =

40 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
3.3.2 Beispiele – Offene Aufgaben
Umkehraufgaben ? ü ü ? ? ü
Aus geschlossenen Aufgaben werden beispielsweise durch Umkehrung offene Aufgaben.
Hier sei ein Beispiel zur Flächenberechnung vorgestellt: Anstatt mithilfe der bekannten Flächenformel
Flächenberechnungen durchführen zu lassen, kann man den Flächeninhalt vorgeben
und die Schüler/innen passende Figuren zeichnen lassen. Oder man gibt bei Gleichungsaufgaben
die Lösung einer Gleichung vor und fragt nach möglichen Gleichungen.
Unterschiedliche Lösungsstrategien und -wege, die auf unterschiedlichem Niveau möglich
sind, führen zu unterschiedlichen richtigen Antworten und Ausgangssituationen. Umkehraufgaben
eignen sich auch gut als Diagnoseaufgaben – die gewählten Lösungswege lassen
Rückschlüsse auf die Vorstellungen der Schüler/innen zu.
Zeichne drei verschiedene Parallelogramme mit dem Flächeninhalt A = 18 cm².
Mögliche Lösungen:
Weitere mögliche Lösungen aus Schülerarbeiten:
Kommentar:
Im Gegensatz zur geschlossenen Bestimmungsaufgabe kann hier nicht mehr in die Flächenformel
eingesetzt werden. Die Bearbeitungen zeigen unter anderem, dass das Rechteck
als Spezialfall des Parallelogramms erkannt wird. Die Erprobung des Beispiels auf einer
7. Schulstufe zeigte, dass viele Schüler/innen nicht die Form des Parallelogramms bei gleichbleibender
Seitenlänge und Höhe modifizierten, sondern Seitenlänge und Höhe veränderten.
1. Notiere drei verschiedene Gleichungen, deren Lösung 5 ist.
2. Das durchschnittliche wöchentliche Taschengeld der drei Freundinnen Sarah, Anna
und Maria beträgt 3 €. Wie viel € könnte jede von ihnen bekommen? Notiere drei
verschiedene Möglichkeiten.
3. Gib einen Bruch an, der größer als ​ 1__ ​und kleiner als ​2__ ​ist. Beschreibe, wie du den
2 3
Bruch gefunden hast.

Aufgaben im Mathematikunterricht 41
Erfinden von Aufgaben zu einem vorgegebenen
Lösungsweg
? ü ?
Bei diesem Aufgabentyp ist der Lösungsweg vorgegeben und die Schüler/innen müssen
überlegen, welche Aufgabe sie mit diesem Lösungsweg bearbeiten könnten. Die Bearbeitung
der Aufgabe lässt Rückschlüsse darauf zu, wie flexibel Schüler/innen mit mathematischen
Übersetzungsprozessen zwischen einer sachbezogenen Situation und einem mathematischen
Modell agieren (vgl. Eichler, Herget, Käpnick et al., 2005).
Erfinde eine Rechengeschichte, deren Lösung du mithilfe der Rechnung
100 – (32 + 2 · 5) ermitteln kannst.
Erfinde Textaufgaben zu folgenden Rechnungen:
48 g : 6 g
60 m : 4
Kommentar:
Die von den Lernenden formulierten Aufgaben liefern einen Hinweis darauf , ob die Schüler/
innen beim Dividieren zwischen „Messen“ und „Teilen“ unterscheiden können.
1. Marlies hat den Flächeninhalt A einer Figur in cm² mithilfe der Rechnung A = ​ 16 ∙ 8 ______
2 ​
bestimmt. Um welche Figur(en) könnte es sich gehandelt haben?
2. Formuliere eine Textaufgabe, bei deren Beantwortung du die Lösung der Gleichung
x + (x + 3) = 15 nützen kannst.
3. „Michel aus Lönneberga“: Kennst du die lustigen
Geschichten von „Michel aus Lönneberga“?
In einem der vielen Streiche hängt Michel
seine kleine Schwester Ida an den Fahnenmast
und zieht sie als Fahne hoch. In den Diagrammen
ist das Hissen der „Ida-Fahne“ auf
verschiedene Weise dargestellt. Beschreibe,
wie Michel gezogen haben muss, damit das
jeweilige Diagramm entsteht.
(nach Griesel, Postel & Suhr, 2004, S. 25)

42 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Beweisaufgaben ü ? ü
Bei Beweisaufgaben wird den Schülerinnen und Schülern das Ergebnis bereits mitgeteilt und
nach der Begründung des Lösungswegs gefragt.
Begründe, warum der Flächeninhalt A eines Deltoids mit den Diagonalen e und f mithilfe
der Formel A = ​ ____ e ∙ f ​berechnet werden kann.
2
Kommentar:
Durch die Angabe des Ergebnisses wird für die Lernenden klar, dass das bloße Mitteilen der
Formel nicht ausreicht.
Eine 12 cm lange Schnur soll in Stücke mit einer Länge von 3 cm zerschnitten
werden. Marvin berechnet die Anzahl der notwendigen Schnitte mit der Rechnung
12 : 3 = 4 und antwortet: „Es sind 4 Schnitte notwendig.“ Erkläre, warum seine Antwort
falsch ist.
Problemaufgaben, bei denen selbstständig Lösungswege
entwickelt werden müssen
ü ? ?
Subjektiv schwierige bzw. unbekannte Aufgaben werden als Problem(löse)aufgaben bezeichnet.
Die Schüler/innen müssen selbstständig Lösungswege entwickeln und aus den ihnen
bekannten heuristischen Strategien (systematisches Probieren, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten,
Rückführen von Unbekanntem auf Bekanntes) geeignete auswählen und heuristische
Hilfsmittel (Veranschaulichung durch Skizzen, Tabellen, grafische Darstellungen, Gleichungen
usw.) nützen. Dabei wird ihre geistige Beweglichkeit trainiert. Inwieweit eine Aufgabe tatsächlich
eine Problemaufgabe ist, hängt stets auch von den individuellen Vorkenntnissen der Lernenden
ab. Eine scheinbar geschlossene Bestimmungsaufgabe wird zur Problemaufgabe, wenn
den Schülerinnen und Schülern noch kein Standardverfahren zur Bearbeitung bekannt ist.
Um die Bereitschaft, sich mit Aufgaben dieser Art auseinanderzusetzen, zu steigern bzw.
um zufriedenstellende Lösungen entwickeln zu können, müssen Schüler/innen schrittweise
darauf vorbereitet werden – Problemlösen muss und kann man auch lernen.
Im Bus ist die Hälfte der Sitzplätze mit Erwachsenen besetzt. Auf der Hälfte der übrigen
Plätze sitzen Kinder. 13 Sitzplätze sind frei. Wie viele Sitzplätze hat der Bus?
Versuche, verschiedene Lösungswege zu finden, und beschreibe sie.
Mögliche Lösungen:
Lösungsansatz mithilfe einer informativen Figur:
Erwachsene
​ 1__ 2 ​
Kinder
13
​ 1__ 4 ​ ​ 1__ 4 ​
Die freien Plätze umfassen ein Viertel aller Sitzplätze, daher hat der Bus 4 · 13 =
52 Sitzplätze.

Aufgaben im Mathematikunterricht 43
Lösungsansatz mithilfe einer Gleichung:
x … Anzahl der Sitzplätze
​ x__ ​+ ​1__ ​· ​x__ ​+ 13 = x
2 2 2
x = 52
Der Bus hat 52 Sitzplätze.
Kommentar:
Bei der Bearbeitung dieser Aufgabe wird deutlich, welche heuristischen Hilfsmittel (informative
Figur, Gleichung …) die Lernenden zur Bearbeitung von Problemaufgaben nützen. Grundsätzlich
führt das Anfertigen einer informativen Figur unmittelbar zur Lösung der Aufgabe.
Allerdings erfordert dieser Zugang eine Abstraktionsleistung der Lernenden, die nicht unterschätzt
werden sollte: „Immer dann, wenn man ein Objekt … in Anteile aufteilen will, kann
man sich dieses Objekt oder diese Anzahl als Länge einer Strecke veranschaulichen oder als
Rechteckfläche (Balken) oder als Kreisfläche (Torte, Pizza).“ (Bruder & Collet, 2011, S. 48).
Doch auch der Versuch, die Aufgabe mithilfe einer Gleichung zu lösen, ist wertvoll im Hinblick
auf das Problemlösen-Lernen.
Berechne den Flächeninhalt der abgebildeten Figur auf verschiedene Arten. Die Seitenlänge
eines quadratischen Kästchens beträgt 1 cm (vgl. Bruder & Collet, 2011,
S. 92).
Kommentar:
Im Gegensatz zur vorangegangenen Aufgabenstellung im Abschnitt 3.3.1 lässt diese Aufgabe
den Lösungsweg offen bzw. fordert verschiedene Lösungswege ein. Dadurch wird eine
Diagnose möglich: Welche Strategie verwenden die Schüler/innen – Zerlegen oder Ergänzen?
Welche Figuren verwenden sie bei der Zerlegung?

44 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Aus einem rechteckigen Blatt Papier (DIN-A4-Blatt: 210 mm x 294 mm) soll eine
möglichst große, oben offene Schachtel hergestellt werden. Dazu werden an den
Ecken vier gleich große Quadrate abgeschnitten. Bei welcher Seitenlänge des Quadrats
hat die Schachtel das größte Volumen?
Die folgende Abbildung zeigt die Bearbeitung der Aufgabe durch eine Schülerin der
8. Schulstufe mit Technologieeinsatz (GeoGebra):
Kommentar:
Die Bearbeitung dieser Aufgabenstellung ist auf unterschiedlichen Niveaus und mit unterschiedlichen
Ansätzen möglich. Durch Probieren und Herstellen einer größeren Zahl von entsprechenden
Behältern erkennen die Schüler/innen, wie sich das Volumen in Abhängigkeit
von der Seitenlänge der abgeschnittenen Quadrate ändert. Systematisches Probieren und
das Eintragen der Werte der Seitenlänge des abgeschnittenen Quadrats und des Volumens in
eine Tabelle (bzw. auch die grafische Darstellung des Volumens in Abhängigkeit von der Seitenlänge)
ermöglichen die (näherungsweise) Bestimmung der gesuchten Seitenlänge. Diese
Form der Bearbeitung ist von Schülerinnen und Schülern aller Leistungsniveaus einforderbar.
Der Einsatz von Technologie (beispielsweise GeoGebra) macht das „Probieren“ einfacher.

Aufgaben im Mathematikunterricht 45
Für die Entwicklung von Problemlösefähigkeiten ist es wichtig, den Schülerinnen und Schülern
nach der Bearbeitung von Problemaufgaben Fragen hinsichtlich der verwendeten Strategien
und der eingesetzten Hilfsmittel (Tabelle, informative Figur, Zerlegungsprinzip, Ergänzungsprinzip,
Gleichung etc.) zu stellen und mit der Klasse zu diskutieren: Was hat dir
geholfen, die Aufgabe zu lösen? Erkläre, warum dieses Hilfsmittel (Tabelle, Gleichung …) dir
bei der Bearbeitung der Aufgabe geholfen hat.
Problemaufgaben mit offenem Ausgang ? ? ?
Offene Situationen entstehen, wenn Informationen selbstständig eingeholt werden müssen
und auch das Ergebnis noch unklar ist. Im Unterricht werden diese Aufgaben häufig im Rahmen
von Projekten zu bearbeiten sein. Beispiele für diesen Aufgabentyp sind etwa Fermi-
Aufgaben (siehe S. 57).
1. Plane den nächsten Wandertag.
2. Eure Klasse erhält den Auftrag, das Buffet für den nächsten Elternsprechtag zu
organisieren. Die Einnahmen dürft ihr zur Gestaltung eures Klassenraums verwenden.
Was wollt ihr anbieten? Welche Kosten entstehen? Zu welchem Preis wollt ihr
verkaufen? Welche Einnahmen könnt ihr erzielen?
Kommentar:
Diese Aufgaben zeigen den Schülerinnen und Schülern deutlich, dass Mathematik nützlich
ist, um Alltagsprobleme zu lösen.
3.4 Einsatz offener Aufgaben im Unterricht
Der regelmäßige Einsatz offener Aufgaben in verschiedenen Phasen des Unterrichts als Ergänzung
zu herkömmlichen Routineaufgaben unterstützt die Schüler/innen bei der Entwicklung
der Handlungskompetenzen Darstellen und Modellbilden, Interpretieren sowie Argumentieren
und Begründen. Gleichzeitig wird ihre geistige Beweglichkeit trainiert. Unabhängig
von der Bedeutung offener Aufgaben wird es in jedem Fall nötig sein, auch Routineaufgaben
im Unterricht zu behandeln.
Das Lernpotenzial einer Aufgabe kommt nicht automatisch zum Tragen. Für die Entfaltung
des Aufgabenpotenzials ist stets auch das methodische und didaktische Geschick der Lehrer/innen
verantwortlich. So wird es einer geschickten Lehrkraft häufig gelingen, etwa durch
zusätzliche, zur Reflexion anregende Fragestellungen aus der unscheinbarsten Routineaufgabe
eine Aufgabe mit hohem Lernpotenzial zu machen.
Testungen und/oder Schularbeiten sollen im Hinblick auf langfristigen Kompetenzaufbau
auch Diagnose ermöglichen. Daher ist auch in Test- und/oder Prüfungssituationen der teilweise
Einsatz von offenen Aufgaben sinnvoll. Will man wissen, ob die Schüler/innen ein
Verfahren nicht nur unverstanden anwenden, muss man ihnen Möglichkeiten geben, ihre
Überlegungen darzulegen und die Reflexion von Lösungswegen – ob selbst gewählt oder
vorgegeben – einfordern.

46 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Literatur
Barzel, B., Holzäpfel, L., Leuders, T. et al. (2011). Mathematik unterrichten: Planen, durchführen,
reflektieren. Berlin: Cornelsen Scriptor.
Bruder, R., Büchter, A., Komorek, E. et al. (2008). Mathematikunterricht entwickeln. Berlin:
Cornelsen Scriptor.
Bruder, R. & Collet, C. (2011). Problemlösen lernen im Mathematikunterricht. Berlin: Cornelsen
Scriptor.
Büchter, A. & Leuders, T. (2005). Mathematikaufgaben selbst entwickeln. Berlin: Cornelsen
Scriptor.
Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens
(BIFIE) (Hrsg.) (2011). Praxishandbuch Mathematik AHS Oberstufe. Auf dem Weg zur
standardisierten kompetenzorientierten Reifeprüfung. Graz: Leykam. Verfügbar unter https://
www.bifie.at/node/1354 [26.09.2012].
Eichler, A., Herget, W., Käpnick, F. et al. (2005). mathematica didactica. Zeitschrift für Didaktik
der Mathematik 28.
Griesel, H., Postel, H. & Suhr, F. (Hrsg.) (2004). Elemente der Mathematik. 6. Arbeitsheft.
Braunschweig: Schroedel.
Leuders, T. (2001). Qualität im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I und II. Berlin: Cornelsen
Scriptor.

Selbstdifferenzierende Aufgaben 47
4 Selbstdifferenzierende Aufgaben
Gerade im Fach Mathematik machen Lehrer/innen die Erfahrung, dass es in fast allen Klassen
und Gruppen, die sie unterrichten, beachtliche Unterschiede bei der Schnelligkeit und
Intensität gibt, mit der die einzelnen Schüler/innen fachliche Inhalte aufnehmen und für sich
nutzbar machen können. Dies gilt auch für Gruppen, bei denen durch äußere, schulorganisatorische
Differenzierung bereits versucht wurde, in Bezug auf die Leistungsfähigkeit eine
gewisse Homogenität innerhalb der Gruppe herzustellen.
Hans Christian
Neureiter
Der vorerst naheliegende Gedanke, dass es nun die Aufgabe der Lehrperson sei, auf diese
individuellen Unterschiede stets mit individuellen Lernprogrammen zu reagieren, ist in vielen
Fällen aus zwei Gründen schwer im Schulalltag umsetzbar: Erstens würde die Vorbereitung
sehr vieler verschiedener Lernprogramme die zeitlichen Möglichkeiten der Lehrpersonen
überschreiten und zweitens ist es in der Regel nicht möglich, zu jedem Zeitpunkt die individuellen
Voraussetzungen aller Schüler/innen zu kennen (vgl. Büchter & Leuders, 2005,
S. 104).
Weil also eine von außen kommende sinnvolle und effektive Differenzierung des Lernangebots
häufig nicht möglich ist, gilt es, nach Wegen zu suchen, die diese Differenzierung in
die Person der/des Lernenden verlegt. Das Lernangebot sollte so gestaltet sein, dass jede
Schülerin/jeder Schüler Anknüpfungspunkte findet, die ihrer/seiner Leistungsfähigkeit entsprechen
und von denen aus weitere Lernschritte möglich sind. Dass auf diesem Weg in
der Regel nicht alle die gleichen Ergebnisse erreichen werden, ist zu erwarten. Wichtig ist
jedoch, dass es auf diese Weise wahrscheinlicher wird, dass sowohl leistungsschwächere
als auch leistungsstärkere Schüler/innen in dem ihnen entsprechenden Maß gefordert und
damit gefördert werden.
Selbstdifferenzierende Aufgaben 1 sind ein solches Lernangebot, das versucht, die Differenzierung
in die Person des Lernenden zu legen. Nicht die Lehrperson ordnet einzelnen Schülerinnen
und Schülern bestimmte Teilaufgaben einer größeren Gesamtaufgabe zu, sondern
die Aufgabe selbst ist so gestaltet, dass die Schüler/innen von sich aus Prioritäten setzen
können. Eine selbstdifferenzierende Aufgabe ist also ein Aufgabenformat, das allen Schülerinnen
und Schülern als Ganzes vorgelegt wird. Jede Schülerin/jeder Schüler kann selbst
entscheiden, mit welcher Teilaufgabe sie/er beginnt, und es wird nicht erwartet, dass immer
alle Schüler/innen alle Teilaufgaben bearbeiten. Sehr wohl sollten jedoch alle Teilaufgaben bei
der am Schluss erfolgenden zusammenfassenden Betrachtung der Gesamtaufgabe, bei der
die Lehrperson alle Ergebnisse zusammenführt, in den Blick genommen werden.
Es sollte auf Schwierigkeiten eingegangen und zusammen mit den Schülerinnen und Schülern
analysiert werden, welche Kompetenzen für die Lösung der Teilaufgaben notwendig
waren. Wichtig ist, dass die einzelnen Teilaufgaben unabhängig voneinander gelöst werden
können. In der Regel besteht eine selbstdifferenzierende Aufgabe aus einem Informationsteil
und aus drei bis fünf Teilaufgaben, die nicht hierarchisch (etwa nach geschätzter Schwierigkeit)
geordnet sind. Diese Freiheit der Anordnung und der Bearbeitungsreihenfolge kann
dadurch unterstrichen werden, dass – wie in den folgenden Beispielen – die Teilaufgaben
etwa durch Spielkartensymbole gekennzeichnet werden. Ihrer Arbeitsgeschwindigkeit entsprechend
bearbeiten die Schüler/innen die ihnen mögliche Anzahl von Teilaufgaben. Die
Idee zur folgenden Aufgabe stammt aus dem Projekt SINUS Nordrhein-Westfalen (Ministerium
für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen, 2010), das eine ganze
Reihe von selbstdifferenzierenden Aufgaben enthält.
1 Solche oder ähnliche Aufgaben werden häufig auch als „Blütenaufgaben“ bezeichnet (vgl. beispielsweise
Bruder, 2006).

48 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
4.1 Fahrradfahren
Sarah fährt viel und gern mit dem Fahrrad, auch zu ihrer ca. 3 km entfernten Schule.
Da viele Kinder mit dem Fahrrad zur Schule kommen, dauert das Abstellen und Abschließen
des Fahrrads etwa 5 Minuten. Der Unterricht beginnt um 8.15 Uhr. Sarah
benötigt für 1 km etwa 5 Minuten.
Sarah besucht ihre Freundin Hannah, die 8 km entfernt wohnt, oft mit dem Rad.
An diesem Wochenende
nimmt Sarah mit ihrer Freundin
an einer Radrallye teil. Start
und Ziel ist Annendorf. In den
anderen Orten wird der zu Beginn
ausgeteilte Rallyepass mit
einem Stempel versehen. Von
Annendorf aus sind alle Orte
einmal zu durchfahren. In jedem
Ort ist ein Aufenthalt von
15 Minuten vorgesehen. In Deheim
wird zu einem Preis von
3 € ein kleiner Imbiss gereicht.
Ferlingen (F)
Gerrham (G)
5,4 km
1,7 km
Embach (E)
Cehausen (C)
2,7 km
2,6 km 3 km
3,4 km
2,5 km
1,8 km
3,5 km
4,3 km
1,3 km
Deheim (D)
4,9 km
Bernau (B)
Annendorf (A)
Start/Ziel
♦
Sarah
♠
Um
möchte immer 10 Minuten
vor Unterrichtsbeginn in der
Schule sein. Wann muss Sarah
von zu Hause wegfahren?
14.30 Uhr startet Sarah von
zu Hause, um Hannah zu besuchen.
Wann trifft sie dort ein?
♣
Welchen
♥
Gib
Weg würdest du bei
der Radrallye wählen? Begründe
deine Wahl.
möglichst viele Radrouten
der Rallye an. Beachte: Jeder
Ort darf nur einmal angefahren
werden.
Findet noch weitere interessante Aufgabenstellungen und bearbeitet diese.
(Mögliche) Lösungen:
♦ Sarah muss um 7.45 Uhr von zu Hause wegfahren.
♠ Sarah trifft um 15.10 Uhr bei Hannah ein.
♣ Ich würde die folgende Route wählen, weil sie die kürzeste ist: Annendorf (A) –
Bernau (B) – Cehausen (C) – Deheim (D) – Embach (E) – Ferlingen (F) – Gerrham
(G) – Annendorf (A). Diese Route ist 23,3 km lang.
♥ Es gibt 6 verschiedene Routen:
R1: A – B – C – D – E – F – G – A
R2: A – C – B – D – E – F – G – A
R3: A – B – D – C – E – F – G – A
R4: A – G – F – E – D – C – B – A
R5: A – G – F – E – C – D – B – A
R6: A – G – F – C – E – D – B – A

Selbstdifferenzierende Aufgaben 49
Kommentar:
Wie bei einer selbstdifferenzierenden Aufgabe angestrebt, spricht diese Aufgabe unterschiedliche
Zugänge an: Zweimal geht es in verschiedener Komplexität um Berechnungen
von Zeitpunkten (♦ und ♠). Die Begründungsaufgabe ♣ lässt offene und kreative Lösungen
zu. Jemand könnte auch die längste Route nehmen wollen, um möglichst lange mit der
Freundin zusammen zu sein. Die ♥-Frage werden jene zuerst bearbeiten, die lieber kombinieren
als addieren.
Ebenfalls an ein Beispiel aus dem oben genannten Projekt angelehnt ist die folgende selbstdifferenzierende
Aufgabe Adriaurlaub. Eine niederschwellige Teilaufgabe mit hohem Realitätsbezug
(Gesamtkosten für einen 14-tägigen Adriaaufenthalt) sollte für alle Schüler/innen
lösbar sein. Die Überlegungen zur gerechten Kostenaufteilung führen deutlich in den Handlungsbereich
Argumentieren und Begründen hinein.
4.2 Adriaurlaub
Familie Binder und Familie Müller verbrachten
ihren Urlaub gemeinsam an der Adria.
Sie teilten sich 14 Tage lang eine Ferienwohnung,
die pro Tag 120 € kostete. Für die
Endreinigung mussten bei der Abreise noch
30 € in bar bezahlt werden.
Zur Familie Binder gehören die Eltern, der
11-jährige Sohn und die 9-jährige Tochter.
Die alleinerziehende Frau Müller hat 13-jährige
Zwillingstöchter.
Zusammen unternahmen die beiden Familien viele Ausflugsfahrten. Sie benutzten
dazu den großen PKW der Familie Binder mit seinen 7 Sitzplätzen. Während des
14-tägigen Urlaubs entstanden für die Verpflegung und für die gemeinsamen Fahrten
Kosten von 1 435 €.

50 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Herr Binder schlägt bei der Abrechnung vor, dass jede Familie die Hälfte der Gesamtkosten
für die gemeinsamen Fahrten und die Verpflegung bezahlen soll. Frau Müller
möchte die Kosten anders aufteilen.
♦
Herr
♠
Berechne
Binder hat die Kosten
für die Ferienwohnung (ohne
Endreinigung) im Vorhinein mit
Kreditkarte bezahlt. Er ersucht
nun Frau Müller, ihm 720 € für
die Wohnung zu überweisen.
Wie ist Herr Binder auf diese
Summe gekommen?
die Summe aller Kosten
(ausgenommen die Anreise)
für beide Familien zusammen für
den 14-tägigen Urlaub an der
Adria.
♣
Bei
♥
Welche
manchen Reiseanbietern
zahlen Kinder unter 14 Jahren
nur die Hälfte. Wie müssten die
Kosten für die gemeinsamen
Fahrten und für die Verpflegung
unter dieser Bedingung aufgeteilt
werden?
Vorschläge könnte
Frau Müller für die Kostenaufteilung
bei den Ausflugsfahrten
machen? Begründe deine Ideen
und berechne jeweils die Kosten
für die beiden Familien.
Findet noch weitere interessante Aufgabenstellungen und bearbeitet diese.
(Mögliche) Lösungen:
♦ Herr Binder hat die Wohnungskosten (120 € ∙ 14 = 1 680 €) durch 7 geteilt, weil
insgesamt 7 Personen die Wohnung genutzt haben. Für Familie Müller hat er entsprechend
3 Personen verrechnet (1680 : 7 ∙ 3 = 720).
♠ Die Gesamtkosten für beide Familien zusammen (Ferienwohnung, Ausflüge, Verpflegung,
ohne Anreise) betragen 3 145 €.
♣ Ansatz: 3x + 4 ∙ 0,5x = 1 435; Familie Binder: 861 €, Familie Müller: 574 €
♥ Variante 1: Frau Müller könnte argumentieren, dass – nach der Anzahl der Personen
– die Gesamtkosten für die gemeinsamen Fahrten und die Verpflegung im
Verhältnis 4 : 3 aufgeteilt werden sollten. Die Benutzung des Autos von Familie
Binder würde dabei durch die zwei Erwachsenen in dieser Familie aufgewogen.
Ansatz: 4x + 3x = 1 435; Familie Binder: 820 €; Familie Müller: 615 €
Variante 2: Frau Müller könnte argumentieren, dass – nach der Anzahl der Personen
– grundsätzlich die Gesamtkosten für die gemeinsamen Fahrten und die
Verpflegung im Verhältnis 4 : 3 aufgeteilt werden sollten. Für die Benutzung des
Autos von Familie Binder würde sie Herrn Binder 100 € geben.
Grundsätzlicher Ansatz: 4x + 3x = 1 435; Kosten nach Zahlung der 100 € von
Frau Müller an Herrn Binder: Familie Binder: 720 €; Familie Müller: 715 €
Kommentar:
Umfangreiche Aufgaben wie die Aufgabe Adriaurlaub enthalten oft viel Lesetext. Das kann
leistungsschwächere Schüler/innen entmutigen. Besteht diese Gefahr, sollte die Lehrperson
den Aufgabentext zuerst gemeinsam mit den Schülerinnen und Schülern durchlesen.
Offene Aufgabenformate können die innere Differenzierung erleichtern und voranbringen
(siehe Kapitel 3, S. 35–37). Es hat sich jedoch gezeigt, dass eine einseitige Orientierung an
diesen Formaten nicht allen Schülerinnen und Schülern gerecht wird (vgl. Reibold & Bruder,

Selbstdifferenzierende Aufgaben 51
2010, S. 2). Werden selbstdifferenzierende Aufgaben mit dem Fokus auf die Aufgabenformate
betrachtet, dann sollen sie auch in dieser Hinsicht eine entsprechende Vielfalt bieten. Die
folgende Aufgabe Mountainbikestrecke soll dies demonstrieren.
4.3 Mountainbikestrecke
Martina und Paul haben eine Mountainbikestrecke
befahren.
Der Graph beschreibt ihre Fahrt, wobei
die Seehöhe (in Metern) als Funktion der
Zeit (in Stunden) dargestellt ist.
Anmerkung: Diese Form der Darstellung des Streckenverlaufs lässt keine Rückschlüsse auf die Streckenführung
in Bezug auf Steilheit oder Beschaffenheit und auch keine Rückschlüsse in Bezug auf die Fahrgeschwindigkeit
von Martina und Paul zu.
♦
Beschreibe
♠
Auf
den Verlauf dieser
Fahrt mit Worten. Wie lang
brauchten Martina und Paul, um
die Strecke zu bewältigen?
zwei Streckenabschnitten
mussten Martina und Paul einen
Anstieg bewältigen. Kennzeichne
diese Abschnitte in der Grafik.
In welchem Abschnitt haben
sie schneller an Höhe gewonnen.
Begründe deine Antwort.
♣
Haben
♥
In
Martina und Paul eine
Rastpause eingelegt? Begründe
deine Antwort.
welchen Höhen startet
bzw. endet die Strecke? Nach
welcher Zeit wurde der höchste
Punkt erreicht und wie hoch
über dem Meeresspiegel waren
sie dann? Wie hoch über dem
Meeresspiegel waren sie nach
3 Stunden Fahrtdauer? Wann
befanden sie sich auf einer Seehöhe
von 400 m?
Zwei der folgenden Aussagen gehen aus dem Diagramm hervor. Kreuze
die zwei Aussagen an, die sich mit Sicherheit aus dem Diagramm ergeben.
O Martina und Paul haben in der ersten Stunde fast 400 Höhenmeter
gewonnen.
O Martina und Paul fuhren auf dieser Mountainbikestrecke abwärts
schneller als aufwärts.
O Die Mountainbikestrecke verläuft in der ersten Stunde stärker steigend
als in der sechsten Stunde.
O Insgesamt haben Martina und Paul Anstiege von fast 600 Höhenmetern
bewältigt.
O Martina und Paul waren in der dritten Stunde schneller unterwegs als in
der vierten Stunde.

52 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
(Mögliche) Lösungen:
♦ In der ersten Stunde ist in kurzer Zeit ein großer Höhenunterschied zu bewältigen,
in der zweiten, dritten und vierten Stunde verliert die Strecke an Höhe, während
sie in den folgenden 2,5 Stunden wieder ansteigt. In der letzten Stunde verliert die
Strecke ziemlich rasch an Höhe. Martina und Paul haben ca. 7,5 Stunden benötigt.
♠ Sie haben in der ersten Stunde schneller an Höhe gewonnen, weil in kürzerer Zeit
mehr Höhenmeter bewältigt wurden.
♣ Sie haben keine Rastpause eingelegt. Dies erkennt man daran, dass der Graph
keine Stellen aufweist, an denen die Seehöhe für einige Zeit gleichbleibend ist.
♥ Start bei 200 m; Ende bei ca. 320 m. Nach ca. 1 Stunde und 20 Minuten wurde
der höchste Punkt mit knapp 600 m Seehöhe erreicht. Nach 3 Stunden waren
sie in ca. 400 m Seehöhe. Nach ca. 20 Minuten, nach ca. 3 Stunden, nach ca.
5,5 Stunden und nach ca. 7,25 Stunden befanden sie sich jeweils auf einer Seehöhe
von 400 m.
Kreuze die zwei Aussagen an, die sich mit Sicherheit aus dem Diagramm ergeben.
X Martina und Paul haben in der ersten Stunde fast 400 Höhenmeter gewonnen.
O Martina und Paul fuhren auf dieser Mountainbikestrecke abwärts schneller als
aufwärts.
O Die Mountainbikestrecke verläuft in der ersten Stunde stärker steigend als in
der sechsten Stunde.
X Insgesamt haben Martina und Paul Anstiege von fast 600 Höhenmetern bewältigt.
O Martina und Paul waren in der dritten Stunde schneller unterwegs als in der
vierten Stunde.
Strebt man bei der Arbeit mit heterogenen Lerngruppen eine innere Differenzierung an, so
sind grundsätzlich zwei Herangehensweisen denkbar, die als geschlossene bzw. als offene
Differenzierung bezeichnet werden. Bei der geschlossenen Differenzierung versucht die Lehrperson,
jeder Schülerin/jedem Schüler ein „maßgeschneidertes“ Aufgabenprogramm anzubieten.
Es ergeben sich dabei zwei Probleme: a) Wie findet die Lehrperson jenes Maß, das
genau passend ist? und b) Woher nimmt die Lehrperson die Zeit – einerseits für die jeweilige
individuelle Diagnose und andererseits für die Vorbereitung der individuellen Aufgabenzusammenstellungen?
Wegen dieser Probleme findet die offene Differenzierung immer größeren
Zuspruch (vgl. Hußmann & Prediger, 2007, S. 3). Hier haben die Lernenden eine Auswahlmöglichkeit
und übernehmen dadurch auch einen Teil der Verantwortung dafür, dass sie sich
auf einem ihnen entsprechenden Niveau mit mathematischen Fragestellungen beschäftigen.
Mithilfe der in diesem Kapitel beschriebenen selbstdifferenzierenden Aufgaben lässt sich
das Konzept der offenen Differenzierung konkret umsetzen. Freilich sind auch mit diesem
Konzept Probleme verbunden. Wenn leistungsstarke Schüler/innen nicht von sich aus bereit
sind, auf dem ihnen angemessenen Niveau zu arbeiten, werden zusätzliche Impulse seitens
der Lehrperson notwendig sein. Bei der folgenden Aufgabe Laufbrunnen könnte es z. B.
durchaus sein, dass die Begründungs- oder Interpretationsteilaufgabe einzelnen leistungsstarken
Schülerinnen und Schülern als zu mühsam erscheint und sie von sich aus eher die
anderen Teilaufgaben bearbeiten würden. Hier bedarf es der Unterstützung durch die Lehrperson.
Der mathematische Kompetenzaufbau – gerade auch im Bereich Argumentieren
und Begründen – ist ein langfristiger Prozess und muss möglichst früh beginnen. Man kann
diesen Prozess durchaus mit jenem Weg vergleichen, der im Deutschunterricht dazu führt,
dass eine Schülerin/ein Schüler eine Erörterung verfassen kann.

Selbstdifferenzierende Aufgaben 53
4.4 Laufbrunnen
Auf dem Foto siehst du einen Brunnen, bei dem die folgenden Größen gemessen
wurden:
Die Innenmaße des annähernd quaderförmigen Trogs betragen ca. 360 cm x
75 cm x 58 cm (Angabe als Länge x Breite x Höhe).
In den abgebildeten Brunnen fließen pro Minute 23 Liter Wasser.
Der innere Durchmesser des Zuflussrohrs beträgt 3,2 cm.
Der Trog kann bis zu 6 cm unter den Rand gefüllt werden, das restliche Wasser
fließt durch ein Überlaufrohr ab.
♦
Peter
♠
Wie
behauptet: Wenn der
Durchmesser des Zuflussrohrs
doppelt so groß wäre, würde
das Füllen des Trogs nur halb
so lange dauern. Stimmt Peters
Behauptung? Begründe deine
Meinung.
viel Liter Wasser sind in
dem Trog, wenn er bis zu
6 cm unter den Rand gefüllt ist?
Um den Brunnen entleeren zu
können, befindet sich am Boden
eine Öffnung, durch die durchschnittlich
40 Liter Wasser pro
Minute aus dem Trog fließen.
Wie lange dauert es, bis der
Brunnen „leer“ ist? (Der Zufluss
des Wassers beim Laufbrunnen
kann nicht gestoppt werden.)
♣
Wie
♥
Interpretiere
viel Liter Wasser sind in
dem Trog, wenn er bis zu 6 cm
unter den Rand gefüllt ist? Gib
die errechnete Wassermenge
auch in hl und in m³ an. Wie lange
dauert das Füllen des Trogs?
die folgenden vier
Diagramme, die zu dieser Brunnenaufgabe
gehören. Bei allen
Diagrammen ist die Beschriftung
der beiden Achsen unvollständig.
Vervollständige die Beschriftung
der Achsen sinnvoll und
beschreibe in Worten die Aussagen
der einzelnen Diagramme.

54 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Diagramm 1
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0 20 40 60 80 100 120
Diagramm 2
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0 20 40 60 80 100 120
Diagramm 3
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0 20 40 60 80 100 120
Diagramm 4
60
50
40
30
20
10
0
0 20 40 60 80 100 120
(Mögliche) Lösungen:
♦ Peters Behauptung ist falsch. Wenn man den Durchmesser verdoppelt, vervierfacht
sich die Querschnittsfläche (A = r²π) und damit steigt auch die pro Minute
durchfließende Wassermenge auf weit mehr als das Doppelte an (Anmerkung:
Wegen des Gesetzes von Hagen-Poiseuille wäre die Antwort „auf das Vierfache“
physikalisch nicht korrekt; es genügt aber in diesem Fall sicher, das Argument der
vierfachen Querschnittsfläche zu akzeptieren und einen Hinweis auf die größere
Strömungsgeschwindigkeit in der Mitte des Rohres zu geben.)
♣ V = 1404 l = 14,04 hl = 1,404 m³; 61 Minuten = 1h 1min
♠ V = 1404 l; Differenz aus Zufluss und Abfluss: -17 l/min; 1 404 : 17 = 82,59
à ca. 1 h 23 min.
♥ 1. Der Trog ist zu Beginn leer und wird durch das Zulaufrohr bis 6 cm unter den
Rand gefüllt. Dann ändert sich das Wasservolumen im Beobachtungszeitraum
nicht mehr, da gleich viel Wasser abfließt wie zufließt. Beschriftung der Achsen:
x – Zeit in Minuten; y – Wasservolumen im Trog in Litern
2. Der Trog ist zu Beginn halb voll und wird durch das Zulaufrohr bis 6 cm unter
den Rand gefüllt. Dann ändert sich das Wasservolumen im Beobachtungszeitraum
nicht mehr, da gleich viel Wasser abfließt wie zufließt. Beschriftung der
Achsen: x – Zeit in Minuten; y – Wasservolumen im Trog in Litern
3. Der Trog ist zu Beginn voll und wird bei geöffnetem Zulauf geleert. Da pro
Minute 23 l Wasser in den Trog einfließen, aber durchschnittlich 40 l abfließen,
ist der Trog nach 83 Minuten leer. Beschriftung der Achsen: x – Zeit in
Minuten; y – Wasservolumen im Trog in Litern (Anmerkung: Es ist möglicherweise
sinnvoll, die Schüler/innen darauf hinzuweisen, dass die Abnahme des
Wasservolumens in Wirklichkeit nicht linear verläuft, da sich mit zunehmender
Wasserstandshöhe auch die Druckverhältnisse im Trog ändern. Deshalb wird
bei der Aufgabe auch von einer durchschnittlichen Abflussmenge von 40 l/min
ausgegangen.
4. Das Diagramm zeigt die Veränderung des Wasserstands im Trog. Er ist zu
Beginn leer und wird gefüllt. Die Wasserstandshöhe nimmt kontinuierlich zu.
Nach 61 Minuten ist die Maximalhöhe erreicht. Da sich die Unterkante des
Abflusses auf 52 cm Höhe befindet, kann das Wasser nicht weiter ansteigen.
Beschriftung der Achsen: x – Zeit in Minuten; y – Wasserstandshöhe in cm

Selbstdifferenzierende Aufgaben 55
Bei den bisher vorgestellten selbstdifferenzierenden Aufgaben ergaben sich für die
Schüler/innen Wahlmöglichkeiten durch Teilaufgaben, die verschiedene Kompetenzen und
Leistungsniveaus ansprechen. Daneben lassen sich auch selbstdifferenzierende Aufgabenstellungen
konstruieren, die ohne die Vorgabe von Teilaufgaben auskommen und dennoch
die Ansprüche „niedrigschwelliger Einstieg“, „in sich wertvolle Teilergebnisse“ und „Herausforderung
für Leistungsstarke“ erfüllen.
Ein erstes Beispiel für eine Aufgabe dieser Art ist die Vier-Vierer-Frage 2 .
4.5 Vier-Vierer-Frage
Ist es möglich, jede der zehn Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und 10 dadurch darzustellen,
dass ausschließlich vier Mal die Ziffer „4“ verwendet wird und nur die Grundrechnungsarten
+, –, ∙ und : sowie Klammern zum Einsatz kommen?
Es muss also in einer Rechnung, deren Ergebnis eine der angeführten Zahlen sein soll,
genau vier Mal die 4 vorkommen. Dabei dürfen alle Grundrechnungsarten verwendet
und Klammern gesetzt werden. Die Bildung neuer Zahlen aus mehreren Vierern (z. B.
44) ist nicht gestattet. Beispiel für eine Darstellung der Zahl 16: 4 ∙ 4 – 4 + 4 = 16.
(Mögliche) Lösungen:
1 = (4 + 4) : (4 + 4)
2 = 4 ∙ 4 : (4 + 4)
3 = (4 + 4 + 4) : 4
4 = 4 ∙ (4 – 4) + 4
5 = (4 ∙ 4 + 4) : 4
6 = 4 + (4 + 4) : 4
7 = (4 + 4) – 4 : 4
8 = 4 + 4 + 4 – 4
9 = 4 + 4 + 4 : 4
10 = ?
Kommentar:
Die Frage wird zuerst mündlich gestellt, an die Wand projiziert oder in Form von Kopien an die
Schüler/innen kommuniziert. Anhand des Beispiels der Zahl 16 wird geklärt, ob die Fragestellung
verstanden wurde. Danach folgen eine fünfminütige Einzelarbeit und eine fünfminütige
Partnerarbeit. Nach dieser werden erste Lösungen gesammelt und an der Tafel notiert. Bei
Zahlen, für die es bereits Lösungen gibt, werden – wenn vorhanden – auch gleich alternative
Vorschläge notiert. Diese erste Sammelphase regt die Kreativität für die folgende, zehn bis
fünfzehn Minuten umfassende Einzelarbeitsphase an. Abschließend werden die Lösungen
für die weiteren Zahlen gesammelt und es wird das Fehlen einer Lösung für die Zahl 10
festgestellt.
Ein weiteres Beispiel für eine selbstdifferenzierende Aufgabe, die ohne vorgegebene Teilaufgaben
auskommt, ist die Aufgabe Würfelnetze finden. Ein oder zwei Würfelnetze zu finden
und aufzuzeichnen ist ein niederschwelliger Einstieg, der sehr vielen Schülerinnen und Schülern
gelingen kann. Verlässlich alle möglichen Würfelnetze zu finden, ist hingegen auch für
leistungsstarke Schüler/innen eine sehr große Herausforderung. Gerade bei dieser Aufgabe,
die zu großen Unterschieden in der Qualität und Quantität der Ergebnisse führt, ist jene förderliche
Einstellung der Lehrperson von großer Bedeutung, die Annedore Prengel als „Anerkennungskultur“
bezeichnet hat (vgl. Wollring, 2007, S. 1). Es geht dabei darum, dass auch
Teillösungen oder noch unvollständig entwickelte Strategien positiv gewertet und als wichtige
Beiträge für den Gesamtlösungsprozess gewürdigt werden. Bei den Würfelnetzen ist jedes
einzelne richtige Netz ein Anlass für ein kleines Lob. Im Zuge der Erprobung dieser Aufgabe
2 nach einer Idee von Gerhard Lindbichler, Haus der Mathematik, Wien

56 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
zeigte sich, dass sich auch bei leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern eine positive
innere Dynamik entwickelte, die sich etwa im Ausruf von Anna-Lara äußerte: „Juhu, das
ist schon mein dritter Entwurf!“.
4.6 Würfelnetze finden
Zeichne mehrere – und wenn möglich alle denkbaren – Netze, die einen Würfel von
2 cm Kantenlänge ergeben, in dein Heft. Zeichne jedes dieser Netze zuerst auf ein
loses, kariertes Blatt Papier und schneide es aus. Falte es – wenn möglich – zu einem
Würfel und überprüfe dadurch, ob es sich tatsächlich um das Netz eines Würfels handelt.
Zwei Netze gelten als gleich, wenn sie sich beim Aufeinanderlegen vollständig
überdecken. Die Netze dürfen dazu auch umgedreht werden.
Beginne in einer Einzelarbeit und bilde nach 15 Minuten mit drei weit entfernt sitzenden
Mitschülerinnen oder Mitschülern eine Vierergruppe.
Lösung:
Kommentar:
Die im Rahmen der Einzelarbeit oder in der Gruppenphase häufig gestellte Frage „Wann
sind zwei Netze gleich?“ führt direkt zum Inhalt des Fachbegriffs Kongruenz, der neben
der Verschiebung und Drehung auch die Spiegelung einschließt.
In der Gruppenphase sollen die Schüler/innen Stapel von kongruenten Netzen bilden, um
deutlich zu sehen, wie viele verschiedene Netze schon gefunden wurden.
Für die Kommunikation in der Gruppe kann es hilfreich sein, den verschiedenen Netzen
Namen zu geben, z. B. „Momo“ oder „Mimi“.
Die Schüler/innen erhalten zum Abschluss ein kopiertes Blatt mit den elf denkbaren Netzen,
das eine zusätzliche Selbstkontrolle und einen systematischen Überblick ermöglicht.
Dieser Kontrollstreifen wird dann ins Heft geklebt.
4.7 Telefonspiel 3
Im Bereich einfacher geometrischer Figuren ist folgende Partnerarbeit selbstdifferenzierend:
Jede Partnerin/jeder Partner zeichnet, ohne dass die/der andere die Zeichnung sehen kann,
eine Kombination einfacher geometrischer Figuren (z. B. eine Kombination dreier etwa gleich
großer Rechtecke). Anschließend versucht sie/er, die erstellte Zeichnung ihrer/seiner Partnerin
oder ihres/seines Partners so gut zu beschreiben, dass diese/dieser sie nachzeichnen
kann. Nach dem Vergleich mit der Originalzeichnung folgt ein Rollentausch.
Das Telefonspiel kann mit oder ohne Rückfragemöglichkeit gespielt werden. Jedenfalls darf
keine/keiner der Partner/innen sehen, was die/der andere gezeichnet hat oder gerade zeichnet.
Bewährt hat sich, dass die Schüler/innen dabei Rücken an Rücken sitzen.
3 Diese Idee ist in erweiterter Form in der Broschüre MathematikMethoden 1 (BMUKK, 2007, S. 50)
beschrieben.

Selbstdifferenzierende Aufgaben 57
4.8 Fermi-Aufgaben
Benannt ist dieser Typ von Aufgaben nach dem italienischen Physiker Enrico Fermi, der für
seine treffsicheren Abschätzungen bekannt war. Fermi-Aufgaben stammen aus der alltäglichen
Erfahrungswelt und sind daher allen zugänglich. Sie selbst enthalten zu ihrer Beantwortung
nur unzureichende Informationen. Sie bedingen daher eigene Recherchen und Annahmen,
um Abschätzungen vernünftig begründen zu können. Die Aufgaben führen in der
Regel weder zu einer völlig eindeutigen, exakten Antwort noch sind sie durch einen einzigen
Lösungsweg lösbar.
Die folgende Aufgabengruppe zeigt exemplarisch, wie Fermi-Aufgaben – als Aufgabengruppe
zusammengestellt – den Schülerinnen und Schülern im Sinn der Selbstdifferenzierung
vorgelegt werden können:
♦
Wie
♠
Wie
oft blinzelt man an einem
Tag?
viele Zigaretten raucht ein
echter Kettenraucher pro Tag?
♣
♥
Trinkt ein Mensch in einem Jahr
mehr Flüssigkeit als in einer
Badewanne Platz hat?
Wie viele Zahnärzte gibt es in
Hallein?
(Mögliche) Abschätzungen:
♦ Die Schüler/innen könnten bei sich bzw. bei ihren Nachbarn beobachten, wie oft
sie in einer Minute blinzeln. Geht man von zehn Mal Blinzeln pro Minute und von
8 Stunden Schlaf aus, kommt man auf ca. 1 000 Mal (970 Mal) Blinzeln pro Tag.
♣ Ja, auf alle Fälle. Geht man von zumindest 1,5 Litern Flüssigkeit pro Tag aus, so
sind das schon mehr als 500 Liter pro Jahr. Eine Badewanne fasst jedoch nur ca.
200 Liter.
♠ Ein echter Kettenraucher raucht fast ohne Pause. Geht man von einer Rauchzeit
von 10 Minuten pro Zigarette, 7 Stunden Schlaf und 1 Stunde Essenszeit aus, so
ergeben sich ca. 100 Zigaretten (96 Zigaretten) pro Tag.
♥ Hallein hat ca. 20 000 Einwohner. Annahmen: 20 % haben ein künstliches Gebiss
und gehen nur mehr selten zum Zahnarzt. Im Schnitt gehen die anderen einmal
pro Jahr zum Zahnarzt. Eine Behandlung dauert etwa eine halbe Stunde. Die
Ordinationszeit eines Zahnarzts beträgt etwa 25 Stunden pro Woche. Er kann
also 50 Personen pro Woche behandeln. Wenn der Zahnarzt 46 Wochen pro Jahr
ordiniert, kommt er auf 2 300 Behandlungen. 16 000 durch 2 300 ergibt ca. 7. Es
müsste also in Hallein ca. 7 Zahnärzte geben. (Anmerkung: Laut Telefonbuch sind
derzeit 8 Zahnärzte in Hallein tätig.)
4.9 Das Schulbuch als Helfer – Schulbuchaufgaben
und innere Differenzierung
Die Erstellung von Unterrichtssequenzen, die wesentliche Aspekte der Selbstdifferenzierung
berücksichtigen, muss nicht mit großem Aufwand verbunden sein. Fast alle Lehrbücher bieten
eine gute Basis für die Zusammenstellung solcher Sequenzen. 4
Explizit als selbstdifferenzierende Aufgaben gekennzeichnete Beispiele kommen in Schulbüchern
selten vor. In diesem Abschnitt wird aber gezeigt, auf welche Weise Schulbücher im
4 Die Grundidee zu den folgenden Ausführungen stammt aus Büchter & Leuders, 2005, S. 107–108.

58 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Hinblick auf die Idee der Selbstdifferenzierung genutzt werden können. Die Ausführungen
machen deutlich, dass es für Lehrpersonen mit überschaubarem Aufwand möglich ist, durch
präzise Arbeitsaufträge Gruppen von Schulbuchaufgaben in Richtung selbstdifferenzierender
Aufgaben zusammenzufassen und so das Schulbuch in sehr effektiver Weise zu nutzen.
Aufgabe der Lehrkraft bleibt es, die in den Lehrbüchern vorhandenen Beispiele unter dem
Blickwinkel der Möglichkeit zur Selbstdifferenzierung zu analysieren und eine entsprechende
Beispielauswahl zu treffen.
Sehr wichtig ist die sorgfältige Formulierung der Arbeitsaufträge. Diese sollen den Schülerinnen
und Schülern die ersten Male schriftlich in Papierform vorgelegt werden. Ist dieser
spezifische Umgang mit dem Lehrbuch dann nach einiger Zeit geläufig, genügt es, die Aufträge
mündlich bekanntzugeben und sie etwa an der Tafel zu notieren. Keinesfalls geht es in
diesem Kapitel um die Erstellung neuer Arbeitsblätter. Im Gegenteil: Das Lehrbuch rückt in
den Mittelpunkt und soll optimal eingesetzt werden.
Bei den vorgestellten Arbeitsaufträgen ist ein Transfer in Richtung einer sinnvollen und effektiven
Vorbereitung auf Leistungsmessungen zu erwarten. Schüler/innen können die Erfahrung
machen, dass es wichtig ist, sich einen Überblick zu verschaffen, bevor man zu rechnen beginnt.
Sie sehen, dass es häufig genügt, nur einige ausgewählte Beispiele tatsächlich durchzurechnen,
wenn eine Vielzahl von Aufgaben die gleiche inhaltliche Grundstruktur besitzt.
Für die Lehrpersonen ergibt sich durch die Verwendung der vorgestellten Arbeitsaufträge die
Möglichkeit, einzelne Schüler/innen individuell zu unterstützen, während die Gesamtgruppe
mit der Bearbeitung des Arbeitsauftrags beschäftigt ist. Um allen Schülerinnen und Schülern
Anknüpfungspunkte zu bieten, sollen die Aufgabenzusammenstellungen immer Beispiele
enthalten, die auch auf niedrigem Leistungsniveau weitgehend selbstständig bearbeitet werden
können.
Alle Arbeitsaufträge beginnen mit einer Einzelarbeitsphase. Ob der ganze Arbeitsauftrag als
Einzelarbeit gestellt wird oder in eine Partnerarbeit bzw. Gruppenarbeit übergeht, hängt vom
fachlichen Inhalt und von der Klassensituation ab. Eine Zusammenfassung bzw. Weiterführung
im Plenum ist auf alle Fälle zu empfehlen. Dabei soll jeweils auch herausgearbeitet werden,
welche Kompetenzen für die Lösung der Aufgabe notwendig waren.
Die im Folgenden vorgestellten vier Arbeitsaufträge können durch die Aufforderungen
„Beginne mit dem Leichtesten“,
„Suche das Schwierigste heraus“,
„Schätze dich ein“ und
„Erkenne die Gemeinsamkeiten“
charakterisiert werden.
4.9.1 Arbeitsauftrag 1: „Mit dem Leichtesten beginnen“
Mit dem folgenden Arbeitsauftrag kann aus einer herkömmlichen Schulbuchseite, die eine
Sammlung von Einzelaufgaben zu einem bestimmten Lehrstoffbereich enthält, ohne großen
Aufwand eine selbstdifferenzierende Aufgabe gemacht werden. Das Stichwort zu diesem
Arbeitsauftrag lautet: „Mit dem Leichtesten beginnen“. Welche (Teil-)Aufgabe am leichtesten
ist, wird aber nicht von der Lehrperson festgelegt. Diese Entscheidung trifft jede Schülerin/
jeder Schüler für sich selbst.

Selbstdifferenzierende Aufgaben 59
Arbeitsauftrag:
Wähle von den folgenden Aufgaben jene als erste zur Bearbeitung aus, die dir am
leichtesten erscheint.
Fahre mit der für dich nächstschwierigeren Aufgabe fort.
Kommentar:
Große Sorgfalt ist von der Lehrperson darauf zu verwenden, welche (Teil-)Aufgaben dieser
Schulbuchseite den Schülerinnen und Schülern zur Auswahl vorgelegt werden. Keinesfalls
dürfen die Schüler/innen in Bezug auf ihre Leseleistung bzw. Lesebereitschaft überfordert
werden. Andererseits sollen ihnen verschiedene Zugänge im Hinblick auf konkrete Handlungsweisen
offen stehen, z. B. mit konkreten Zahlenrechnungen zu beginnen, eine Tabelle
zu vervollständigen oder eine Zeichnung bzw. Skizze anzufertigen.
4.9.2 Arbeitsauftrag 2: „Das Schwierigste heraussuchen“
Dieser Arbeitsauftrag zielt wesentlich auf die Förderung der kommunikativen Fähigkeiten der
Schüler/innen ab. Sie müssen abschätzen können, welche Aufgabe ihnen vermutlich schwer
fallen wird, und diese Abschätzung auch erläutern können. Für die Lehrperson ergibt sich
durch die Prozessbeobachtung oder durch Nachfrage in der abschließenden Plenumsphase
ein Überblick darüber, worin die größten Schwierigkeiten der Schüler/innen bestehen. Wichtig
ist, dass bei den zur Wahl gestellten Aufgaben zwei dabei sind, die auch für Schüler/innen
mit niedrigem Leistungsniveau auf alle Fälle lösbar sind.
Arbeitsauftrag:
Lies die folgenden fünf Aufgaben durch und suche die für dich schwierigste heraus.
Teile deiner Banknachbarin/deinem Banknachbarn mit, welche Aufgaben du ausgesucht
hast und erkläre ihr/ihm, warum du diese Aufgabe als schwierig ansiehst.
Beginne danach mit der Bearbeitung der für dich leichtesten Aufgabe.
Kommentar:
Dieser Arbeitsauftrag eignet sich besonders gegen Ende der Erarbeitung eines bestimmten
Stoffkapitels, um Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit zu geben, einen Überblick über
das schon Gelernte zu gewinnen. Er eignet sich aber auch, um noch vorhandene Lücken zu
erkennen.
Ergänzend empfiehlt sich für eine effiziente Gestaltung einer solchen Unterrichtssequenz der
Einsatz von Tutorinnen und Tutoren (siehe Abschnitt 6.4, S. 94). Tutorinnen und Tutoren sind in
diesem Zusammenhang Schüler/innen, die eine bestimmte Art von Aufgabenstellungen bereits
beherrschen und von ihren Mitschülerinnen und Mitschülern zur Mithilfe bei der Lösung der
Aufgaben herbeigerufen werden können. Tutor/in wird man in einer solchen Sequenz, wenn
man der Lehrperson zeigt, dass man (fast) alle vorgelegten Aufgaben richtig gelöst und den Lösungsweg
auch schriftlich dokumentiert hat. Manche besonders begabte Schüler/innen übernehmen
gerne solche Tutorenrollen. Es ist jedoch darauf zu achten, dass besonders Begabte
immer wieder auch mit inhaltlichen Herausforderungen besonderer Art konfrontiert werden.

60 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
In vielen Schulbüchern werden einzelne Aufgaben mit einem „+“ versehen, das in der Legende
dann als Zeichen für „schwieriger und umfangreicher“ beschrieben wird. Die Verwendung
solcher Zeichen („Sternchen-Aufgaben“) ist ein zweischneidiges Unterfangen. Einerseits wird
der Lehrperson eine gewisse Zusatzinformation geliefert, andererseits kann dieses Vorgehen
Schüler/innen, die sich selbst als leistungsschwächer einstufen oder weniger Selbstbewusstsein
haben, davon abhalten, solche Aufgaben überhaupt näher in den Blick zu nehmen –
auch wenn diese für sie letztlich durchaus lösbar wären.
4.9.3 Arbeitsauftrag 3: „Das eigene Können einschätzen“
Der dritte der hier vorgestellten Arbeitsaufträge führt zu einer aktiven Differenzierung durch
die Schüler/innen selbst. Sie müssen versuchen einzuschätzen, wo sie mit ihren Fähigkeiten
stehen. Diese Selbsteinschätzung hilft wiederum auch der Lehrperson dabei, die Schüler/
innen dort abzuholen, wo sie stehen und sie dann in der Plenumsphase in effektiver Weise
weiterzuführen bzw. die Leistungsstärkeren in ihren Ergebnissen zu bestätigen.
Arbeitsauftrag:
Lies die folgenden Aufgaben durch.
Suche zwei (Teil-)Aufgaben heraus, die du sicher lösen kannst.
Suche danach zwei (Teil-)Aufgaben heraus, die du vermutlich lösen kannst.
Bearbeite nun alle herausgesuchten (Teil-)Aufgaben.
Kommentar:
Die von der Lehrperson zur Auswahl angebotenen Aufgaben können auch über mehrere
Schulbuchseiten verteilt sein. Soll in einem bestimmten Inhaltsbereich (z. B. Wachstumsprozesse)
ein bestimmter Handlungsbereich (z. B. H1, Darstellen und Modellbilden) auf jeden
Fall angesprochen werden, so ist der Arbeitsauftrag entsprechend zu erweitern, etwa durch
folgende Formulierung:
Versuche, in einem letzten Schritt auf alle Fälle mindestens eine Formel aufzustellen
und mindestens eine Grafik zu zeichnen, falls das in deinen bisherigen Bearbeitungen
noch nicht geschehen ist.
4.9.4 Arbeitsauftrag 4: „Gemeinsamkeiten erkennen“
Lehrer/innen wünschen sich von Schulbüchern zu Recht, dass diese eine Fülle von Übungsaufgaben
enthalten. Wenn diese an einer Stelle im Lehrbuch so zusammengestellt sind, dass
es sich um eine große Zahl von Beispielen handelt, die von der Rechenstruktur her gleich
oder sehr ähnlich sind, spricht man von Aufgabenplantagen. Solche finden sich in vielen
Schulbüchern und sind für eine innere Differenzierung nutzbar, wenn die Lehrperson geeignete
Arbeitsaufträge gibt. Bei einer Aufgabenplantage ist es nur selten sinnvoll, alles bis ins
Detail durchzurechnen oder durchrechnen zu lassen. Je nach Lesekompetenz wird man sich
auf drei Aufgaben beschränken oder bis zu acht Aufgaben einbeziehen. Bei einer Aufgabenplantage
zum Themenbereich Massen berechnen könnte Arbeitsauftrag 4 beispielsweise
folgendermaßen lauten:

Selbstdifferenzierende Aufgaben 61
Arbeitsauftrag:
Lies dir alle Aufgaben durch.
Was muss bei allen Aufgaben jedenfalls berechnet werden?
Welche (Teil-)Aufgaben sind ganz ähnlich?
Bearbeite eine der Aufgaben.
Fallen dir bei einzelnen Aufgaben Besonderheiten auf? Welche?
Bearbeite mindestens eine weitere Aufgabe.
Kommentar:
Das hier angewendete Prinzip der Forderung nach individuell-reflektierter Aufgabenauswahl
bringt für die Schüler/innen mehrere Vorteile mit sich:
Sie haben Gelegenheit, in den Texten und Aufgabenstellungen Gemeinsamkeiten im Sinn
ähnlicher Strukturen zu erkennen, bevor sie „drauf los“ rechnen.
Sie können individuell jene Aufgabe(n) operativ bearbeiten, die inhaltlich ihr größtes Interesse
finden.
Sie lernen, dass es auch in der Vorbereitung auf eine Lernzielkontrolle oder Leistungsüberprüfung
nicht notwendig ist, jedes Beispiel operativ zu bearbeiten.
Die Besonderheiten einzelner (Teil-)Aufgaben können anschließend im Plenum in zeitökonomischer
Weise besprochen werden, ohne dass alles konkret gerechnet wird.
Die Formulierung gleiche Struktur ist wahrscheinlich nicht Bestandteil des Sprachschatzes
zehnjähriger Schüler/innen, wenn es um die Beschreibung von Gemeinsamkeiten in Bezug
auf verschiedene Aufgaben geht. Es lohnt sich jedoch, diese bewusst einzuführen. Strukturerkennung
und Mustererkennung sind zentrale mathematische Handlungen.
4.9.5 Ein Leistungstest
Fast immer ist es sinnvoll, Arbeitsaufträge vollständig zu lesen, bevor man mit der konkreten
(Rechen-)Arbeit beginnt. Damit sich die Schüler/innen diesen strategischen Grundsatz auch
emotional einprägen, sind die sechs Minuten Unterrichtszeit, die der folgende Leistungstest
benötigt, gut investiert:
Der Arithmetik-Geometrie-Leistungstest
Die Zeit ist auf 6 Minuten begrenzt.
1. Lies alles durch, bevor du etwas tust.
2. Schreibe schnell deinen Vor- und Nachnamen rechts oben auf die Testseite.
3. Zeichne im vorigen Satz ein Rechteck rund um das Wort „schnell“.
4. Zeichne 5 kleine Quadrate auf die rechte Hälfte dieser Seite.
5. Zeichne einen Kreis in jedes dieser Quadrate.
6. Addiere alle auf dieser Seite vorkommenden Zahlen. Notiere das Ergebnis: _____
7. Rechne im Kopf: 17 – 8 + 7 – 6 = ______
8. Addiere die Lösungen der Aufgaben 6 und 7. Notiere das Ergebnis: _______
9. Schreibe ein „x“ in die linke untere Ecke dieses Blatts.
10. Unterschreibe dieses Blatt unten rechts mit deinem Nachnamen.
11. Und nun, nachdem du alle Anweisungen sorgfältig durchgelesen hast, tue nur
das, was in Anweisung 2 steht.

62 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
4.9.6 Zusammenfassung
Nahezu jedes Schulbuch kann in Richtung selbstdifferenzierender Aufgabenstellungen genutzt
werden, wenn die Lehrperson in geeigneter Weise mehrere Aufgaben zusammenfasst
und präzise Arbeitsaufträge gibt, wie z. B.:
Beginne mit der für dich leichtesten Aufgabe.
Suche die für dich schwierigste Aufgabe heraus und erkläre deiner Nachbarin/deinem
Nachbarn, was für dich schwierig ist.
Schätze ein, welche zwei Aufgaben du sicher lösen kannst und welche zwei Aufgaben du
wahrscheinlich lösen kannst.
Lies alle Aufgaben durch. Bei welchen Aufgaben fallen dir Gemeinsamkeiten auf? Welche?
Literatur
Bruder, R. (2006). Modul 1: Weiterentwicklung der Aufgabenkultur im Mathematikunterricht.
Verfügbar unter http://www.berlin.de/imperia/md/content/sen-bildung/unterricht/individuelles-lernen/aufgabenkultur_im_mathematikunterricht.pdf?start&ts=1306331820&file=aufgab
enkultur_im_mathematikunterricht.pdf [16.05.2012].
Büchter, A. & Leuders, T. (2005). Mathematikaufgaben selbst entwickeln. Lernen fördern –
Leistung überprüfen. Berlin: Cornelsen Scriptor.
Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur (BMUKK) (Hrsg.) (2007). MathematikMethoden
1. Wien.
Hußmann, S. & Prediger, S. (2007). Mit Unterschieden rechnen – Differenzieren und Individualisieren.
Verfügbar unter http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/07-
PM17-Hussmann-Prediger-Differenzieren-Vorabfassung.pdf [16.05.2012].
Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Hrsg.) (2010).
SINUS Nordrhein-Westfalen. Projekt „Diagnose und individuelle Förderung“. Verfügbar unter
http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/sinus/front_content.php?idart=
2343 [16.05.2012].
Prediger, S. (2007). Mit der Vielfalt rechnen – Aufgaben, Methoden und Strukturen für den
Umgang mit Heterogenität im Mathematikunterricht. Verfügbar unter http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/07-Indive-Differenzieren.pdf
[16.05.2012].
Reibold, J. & Bruder, R. (2010). Ein binnendifferenzierendes Unterrichtskonzept für die Sekundarstufe
I im Projekt MABIKOM: Unterrichtsbeispiele und erste Evaluationsergebnisse. Darmstadt.
Verfügbar unter http://www.mathematik.tu-dortmund.de/ieem/cms/media/BzMU/
BzMU2010/BzMU10_REIBOLD_Julia_Binnendifferenzierung.pdf [16.05.2012].
Wollring, B. (2007). Würfelnetze finden und ordnen – Design von Lernumgebungen zur Geometrie
für die Grundschule. Verfügbar unter http://www.sinus-transfer.uni-bayreuth.de/fileadmin/MaterialienIPN/Wollring_Wuerfelnetze_finden_und_ordnen_43_f_Erkner_07-06-22.pdf
[16.05.2012].

Nachhaltigkeit sichern 63
5 Nachhaltigkeit sichern
5.1 Zum Begriff der Nachhaltigkeit
Der Begriff Nachhaltigkeit stammt ursprünglich aus der Forstwirtschaft. „Erstmals wurde das
Prinzip der Nachhaltigkeit vor etwa 300 Jahren formuliert. Hans Carl von Carlowitz, Oberberghauptmann
am kursächsischen Hof in Freiberg (Sachsen), forderte 1713 in seinem Werk
Sylvicultura oeconomica, dass immer nur so viel Holz geschlagen werden sollte, wie durch
planmäßige Aufforstung durch Säen und Pflanzen wieder nachwachsen konnte und gilt deshalb
als Schöpfer des forstwirtschaftlichen Nachhaltigkeitsbegriffes.“ (Aachener Stiftung Kathy
Beys, 2012)
Isabella Benischek &
Elisabeth Mürwald-
Scheifinger
Im Bildungsbereich bedeutet Nachhaltigkeit, dass Fähigkeiten, Fertigkeiten und Wissen über
einen langen Zeitraum verfügbar sind. Diese Erklärung schließt nahtlos an die Kompetenzdefinition
von Weinert an. Kompetenzen sind demnach „die bei Individuen verfügbaren oder
durch sie erlernbaren kognitiven Fähigkeiten und Fertigkeiten, um bestimmte Probleme zu
lösen, sowie die damit verbundenen motivationalen und sozialen Bereitschaften und Fähigkeiten,
um die Problemlösung in variablen Situationen erfolgreich und verantwortungsvoll
nutzen zu können“ (Weinert, 2001, S. 27). Jede Lernerin/jeder Lerner bringt Kompetenzen
in die Schule und den Unterricht mit. Das Ziel von Unterricht ist es, diese bereits vorhandenen
Kompetenzen auf ein höheres Niveau hin zu entwickeln sowie weitere Kompetenzen
zu erwerben, um diese dann auch langfristig zur Verfügung zu haben. Meist wird Unterricht
darauf ausgerichtet, welche Kompetenzen als nicht vorhanden diagnostiziert werden (defizitorientierte
pädagogische Diagnostik). Motivierender und effektiver wäre Unterricht, würden
bereits vorhandene Ressourcen erhoben und genützt werden. Ressourcenorientierte
Kompetenzentwicklung sowie der darauf aufbauende Unterricht richten sich danach aus,
Aufgabenstellungen für Schüler/innen so vorzubereiten, dass sie zu deren Lösung auf bereits
vorhandene Ressourcen zurückgreifen können, aber auch neue Lösungsstrategien und
Lösungsmechanismen entdecken und trainieren können. Dadurch kann vorhandenes Wissen
mit neuem, selbst entdecktem Wissen verknüpft werden (Mürwald-Scheifinger & Weber,
2011, S. 123–124).
„Der Weg zu einer nachhaltigen Entwicklung ist ein Prozess, der auf Selbsttätigkeit und Reflexivität
von Menschen angewiesen ist. ‚Nachhaltigkeit vermitteln‘ wäre also eine Methode,
die ihr Ziel verfehlen müsste. Dies auch deshalb, weil nicht angenommen werden kann, dass
es eine direkte Beziehung zwischen Wissen und Verhalten gibt. Man kann nicht davon ausgehen,
dass Nachhaltigkeit sich unmittelbar aus der Vermittlung von deren Sinnhaftigkeit
ergibt.“ (Michelsen, Siebert & Lilje, 2011, S. 73)
5.2 Nachhaltigkeit und Unterricht
5.2.1 Allgemeine Aspekte zu Nachhaltigkeit und Unterricht
Abbildung 1 zeigt, wie Nachhaltigkeit und nachhaltiges Lernen aus bildungs- und lerntheoretischer
Sicht dargestellt werden können.
Grundkompetenzen (vgl. Verordnung der Bundesministerin, 2009) sollen nachhaltig verfügbar
sein. Darüber hinaus steht es jeder Lehrperson, aber auch jeder/jedem Lernenden frei
zu entscheiden, welches Wissen, welche Fähigkeiten und Fertigkeiten, welche Kompetenzen
darüber hinaus nachhaltig verfügbar sein sollen. Danach richtet sich die grundlegende
Zielsetzung von Unterricht aus. In einem zeitgemäßen Unterricht sollten daher Fragen zum
Basiswissen und Aufgaben zu den Grundkompetenzen immer wieder eingebaut und geübt
werden. Dabei ist es wichtig und notwendig, dass zuerst konkrete Ziele formuliert werden
(Die Schüler/innen können ...). Anhand dieser Ziele ist festzustellen, welche Kompetenzen die

64 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Lernenden benötigen, sodass bereits vorhandene Kompetenzen im Sinne von Ressourcen
und neu zu entwickelnden Kompetenzen im Unterricht in den Fokus genommen werden
können. In diesem Zusammenhang wird von Output-Orientierung gesprochen.
Nachhaltiges Lernen
bildungstheoretische
Perspektive
nachhaltige
Nutzung
lerntheoretische
Perspektive
nachhaltige
Wirkung
Nachhaltigkeit
als Bildungsziel
Nachhaltigkeit
der Bildungsinhalte
Nachhaltigkeit
des Lernverhaltens
Nachhaltigkeit
der Lernergebnisse
Bildung
für eine
nachhaltige
Entwicklung
Schlüsselqualifizierung:
Gestaltungskonzept
Didaktischer
Formalismus:
Schlüsselqualifizierung
Didaktischer
Materialismus:
Curriculumrevision
Förderung der
Lernfähigkeit:
Lernen
zu lernen
Erhaltung der
Lernbereitschaft:
lebenslanges
Lernen
Evaluation
dauerhafter
Lern- / Transferwirkungen
Sicherung der
Lerntransfers
professionelles
pädagogisches Handeln
Abb. 1: Perspektiven von nachhaltigem Lernen (nach Schüßler, 2005, S. 2)
Neben der Output-Orientierung rückt der Lernprozess der Schüler/innen in den Fokus.
Schratz artikuliert die Forderung, die Perspektive „Lehrseits von Unterricht“ gegen die Perspektive
„Lernseits von Unterricht“ zu tauschen. Wird die lernseitige Sichtweise eingenommen,
so wird zuerst die Schülerin/der Schüler in der sozialen Gruppe vor dem Hintergrund des
Lehr-/Lernprozesses wahrgenommen und erst in zweiter Linie die Lehrperson samt ihrer unterrichtlichen
Zielsetzung selbst (Beer & Benischek, 2011, S. 17). Das Lernen des Individuums
steht im Zentrum der Aufmerksamkeit, den Schülerinnen und Schülern soll die Zeit gegeben
werden, nachzudenken, eigene Fragen entwickeln und stellen zu dürfen. Diese Herausforderung
kann nicht in jedem Augenblick des Unterrichts erfüllt werden, alleine der Blick auf das
Lernen des Individuums verändert die Denk- und Sichtweise der Lehrerin/des Lehrers. Im Folgenden
werden Ideen und Handreichungen zur Erfüllung dieser Herausforderung angegeben,
die eine veränderte – nämlich lernseitige – Sichtweise unterstützen können.
5.2.2 Nachhaltigkeit und Merkmale eines kompetenzorientierten
Mathematikunterrichts
Im Blickpunkt der Bildungsstrategie für Nachhaltigkeit stehen unter anderem Formen von
selbstorganisiertem und projektorientiertem Lernen, die es den Lernenden ermöglichen, Zusammenhänge
zu erkennen und sich mit den Problemen/Aufgaben kritisch, produktiv, kreativ
und wirksam auseinanderzusetzen. Dafür bedarf es einer Vielzahl von Methoden (Michelsen,
Siebert & Lilje, 2011, S. 73). In diesem Zusammenhang steht die Diskussion um Unterrichtsqualität
und guten Unterricht. „Neben einer Verständigung darüber, was Mathematikunterricht
leisten soll (normativer Aspekt), muss bei einer Aufzählung von Qualitätsmerkmalen
ebenfalls die Frage einbezogen werden, mit welchen Mitteln er diese Ziele erreichen kann.
Während die erste Frage immer nur im Konsens aller (entscheidungstragenden) Beteiligten
beantwortbar ist, ist die zweite der wissenschaftlichen Untersuchung (im Sinne empirischer
Forschung) durchaus zugänglich.“ (Leuders, 2001, S. 36)

Nachhaltigkeit sichern 65
Viele Studien (beispielsweise Urban-Glowatzki, 2010; Kruppa, Mandl & Hense, 2002) zeigen,
dass Schüler/innen mit größerer Wahrscheinlichkeit nachhaltig Wissen, Können, Fähigkeiten
und Fertigkeiten erwerben, wenn Kompetenzorientierung im Unterricht im Fokus steht. Dies
ist die Grundlage für lebenslanges Lernen. Erreicht werden kann Nachhaltigkeit somit durch
eine aktive Auseinandersetzung der Schüler/innen mit vielfältigen Themen, wobei der Erarbeitung,
dem Verstehen, der Übung und Festigung ein hoher Stellenwert zukommt (siehe
dazu auch Kapitel 6).
Ein kompetenzorientierter Mathematikunterricht weist nach Kratz folgende Merkmale auf:
„Einbeziehung offener Aufgaben mit breitem Differenzierungspotenzial
Erarbeiten vielfältiger Lösungen, Vergleichen und Bewerten von Lösungen
Einsatz von Methoden und Materialien, die zur Binnendifferenzierung geeignet sind und
der Heterogenität der Lernenden gerecht werden
Inner- und außermathematische Vernetzungen
Vorstellungsaktivierung, Problemlösen, Modellieren, Argumentieren, Begründen
Durchgängige Stimulierung von Eigenaktivitäten, Stärkung der Eigenverantwortung für
den Lernprozess, sowohl in Erarbeitungs- als auch in Übungsphasen (intelligentes Üben)
Methodenvariation im Rahmen einer klaren Unterrichtsstruktur mit vielen Schüler-Kooperationsphasen
Erkennbar beurteilungsfreie Arbeitsatmosphäre, wo Fehler Lernanlässe sind
Reflexion über das Vorgehen und über Mathematik
Einsatz digitaler Werkzeuge zum Entdecken, zur Begriffsbildung, zur Visualisierung und
zur Entlastung von Kalkülen an geeigneten Stellen“ (Kratz, 2011, S. 19)
5.2.3 Nachhaltigkeit und Umsetzung im Mathematikunterricht
Darstellungsebenen
Zurückgehend auf die Theorie der Denkentwicklung von Piaget wird konstatiert, dass Lernprozesse
mehrere Stadien durchlaufen, die durch immer höhere Denkleistungen charakterisiert
sind. Der Prozess des Denkens wird als eine Verinnerlichung von konkreten Handlungen
angesehen. Nach Bruner können dabei drei Repräsentationsmodi unterschieden werden: die
enaktive, die ikonische und die symbolische Darstellungsebene. Für verschiedene mathematische
Bereiche ist es hilfreich, diese Ebenen weiter zu differenzieren. Symbolische Darstellungen
(beispielsweise Zahlen) können den Lernenden so vertraut sein, dass diese in anderen
Bereichen handelnd eingesetzt werden können. Somit können die Darstellungsebenen von
Bruner folgendermaßen erweitert werden:
enaktiv (Handlungen mit konkretem Material)
numerisch-figurativ (z. B. Darstellung von Zahlen mit Punkten, Strichen etc.)
numerisch-tabellarisch (z. B. Zahlen sind in Tabellen angeordnet)
ikonisch-grafisch (z. B. Funktionsgraphen)
symbolisch-algebraisch (z. B. Funktionsterme)
symbolisch-sprachlich (z. B. Darstellung mithilfe der Alltagssprache und/oder der mathematischen
Fachsprache) (Bruner, 1974; Kratz, 2011, S. 132–133)
Der Mathematikunterricht sollte stets die Kompetenz fördern, einen bestimmten Inhalt von
einer Darstellungsebene in eine andere übertragen zu können, denn dies ist in vielen Arbeitsund
Lebensbereichen wichtig.

66 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Lernspirale
Die beschriebenen Darstellungsebenen spiegeln sich in den Lernspiralen wider. „Lernspiralen
beschreiben mehrstufige Arbeitsprozesse der Schüler/innen zur intensiven Erschließung und
Durchdringung des jeweiligen Lernstoffs. Sie implizieren kleinschrittiges Fordern und Fördern
und verbinden vielseitiges eigenverantwortliches Lernen mit konsequenter Methoden-, Kommunikations-
und Kooperationsschulung im Unterricht […]. Sie gewährleisten unterschiedliche
Kontroll- und Anwendungssituationen, binden die Schüler/innen als Helfer und Miterzieher
mit ein und sichern dadurch ein relativ hohes Maß an Lernanstrengung, Lernförderung
und Lerndisziplin.“ (Klippert, 2008, S. 92)
Lernspiralen können über (mehrere) Schulstufen aufgebaut werden (vgl. Lernlinien in BIFIE,
2011c, S. 43; Spiralprinzip in den Lehrplänen), aber auch in Lerneinheiten (eine oder mehrere
Schulstunden umfassend) während eines Schuljahrs.
Somit könnte eine Lernspirale zur Flächenberechnung folgendermaßen aussehen:
spezifische Informationen zur Flächenberechnung lesen
Klärung offener Fragen in Gruppen
Erläuterung von Aufgaben (z. B. im Doppelkreis)
Berechnung der Flächeninhalte von verschiedenen Figuren in Einzelarbeit
Vergleich und Beratung in Partnerarbeit
Konstruktion von Aufgaben in Partnerarbeit
Austausch der erstellten Aufgaben und Berechnung der Flächen
Gespräch und Austausch in der Vierergruppe
Methodenreflexion und Beurteilung der Methode
vertiefende Tipps und Hinweise der Lehrperson (Klippert, 2008, S. 93)
Anregungen zum Initiieren von Lernspiralen (Fotoassoziation Geometrische Figuren, Dosenmathematik
Zeit, Doppelkreis Vierecke) finden sich unter anderem in den Heften der Reihe
MathematikMethoden (BMUKK, 2007/08).
Forschend-entdeckender Unterricht
Ein forschend-entdeckender Unterricht fördert ebenfalls die direkte Auseinandersetzung mit
den Inhalten. Die Lernenden bekommen dadurch die Gelegenheit, ihr Wissen in Bezug zum
individuellen Vorverständnis aktiv zu konstruieren. Solch ein Lernweg ist zumeist verbunden
mit einem Erleben von Sinnhaftigkeit, sowohl auf inhaltlicher als auch auf motivationaler Ebene.
Zudem wird mit dieser Art von Unterricht der Gefahr vorgebeugt, dass Schüler/innen ein
eher statisches Bild von Mathematik, das nur aus starren Gebilden besteht, erfahren (Barzel,
Holzäpfel, Leuders et al., 2011, S. 44). Es scheint nämlich nach wie vor für viele Menschen
festzustehen, dass in der Mathematik mit unveränderlichen Regeln gerechnet wird, diese
zunächst erklärt und dann geübt werden (Maaß, 2009, S. 7).
Jede Lernerin/jeder Lerner soll die angebotenen Informationen individuell erarbeiten, verarbeiten
und aktiv in ihre/seine bereits vorhandenen Wissensstrukturen integrieren. So gesehen
ist Lernen immer eine individuelle Konstruktionsleistung. Aus dieser Sichtweise heraus gelingt
Lernen vor allem, wenn die Lerner/innen
„die Themen, Gegenstände und das eigene Tun für sich als sinnvoll erkennen,
das neue Wissen mit ihrem Vorwissen vernetzen,
in der Kommunikation mit anderen ihr Wissen und ihre Erkenntnisse darstellen und diskutieren,

Nachhaltigkeit sichern 67
sich in ihrer Lernumgebung sicher und aufgehoben fühlen,
ihr Lernen bewusst wahrnehmen und reflektieren und
sich in ihren sozialen Kontexten als selbstwirksam erfahren“ (Brüning & Saum, 2009,
S. 11).
Hier seien Rund um den Äquator und Cheopspyramide (BMBWK, 2006, S. 32–41) als Anregungen
genannt. Diese und ähnliche methodische Ideen in einen kompetenzorientierten,
lernseitigen Unterricht einzubauen, wird durch die Aussage John Medinas (2012) verstärkt,
der insistiert, dass der Mensch als Forscher geboren wird: Dinge, die selbst entdeckt und
erforscht werden, bleiben besser in Erinnerung als passiv aufgenommene Informationen.
5.2.4 Nachhaltigkeit und exemplarische Methoden für den
Unterricht
Vielfältige Erfahrungen von Lehrpersonen zeigen, dass die Methode des kooperativen Lernens
die Nachhaltigkeit des Gelernten fördert. Zu den Prinzipien des kooperativen Lernens
gehören persönliche Verantwortung, Austausch und individuelle Denkzeit, was zu innerer Aktivierung,
mehr Sicherheit und besseren Beiträgen führt. Das Grundprinzip des kooperativen
Lernens ist daher folgender Dreischritt (vgl. Brüning & Saum, 2009, S. 115–117): 1. Denken
(die Schülerin/der Schüler arbeitet alleine) – 2. Austauschen (Vergleich von Ergebnissen, Diskussion
von abweichenden Resultaten in Partner- und/oder Gruppenarbeit) – 3. Vorstellen
(Präsentation der Gruppenergebnisse in der Klasse samt Diskussion, Verbesserung usw.).
„ICH-DU-WIR“
Vielen didaktischen Methoden bzw. Sozialformen liegt das „ICH-DU-WIR“-Prinzip zugrunde.
Es stellt die grundlegende Idee des kooperativen Lernens dar. Will eine Sache verstanden
werden, so muss das Individuum sich davon ansprechen lassen, es muss sich auf eine Sachlage
einlassen und seine eigenen Gedanken und Ideen dazu fassen. Bereits Hans-Georg
Gadamer artikuliert die erste unabdingbare hermeneutische Bedingung, durch die Verstehen
beginnen kann: „[...] dass uns etwas anspricht, dass das Individuum angesprochen wird mit
der Aufforderung zu reagieren (ausgesprochen oder auch nicht ausgesprochen)“ (Gadamer,
1959, S. 24). Durch die persönliche Auseinandersetzung mit dem Sachverhalt erfährt das
Individuum die eigenen Möglichkeiten, aber auch Grenzen („ICH-Phase“). In der Bearbeitung
und Reflexion der Gedanken von anderen zu einem Sachverhalt wird die reflexive Kompetenz
trainiert und die eigenen Ideen werden möglicherweise in Frage gestellt („DU-Phase“). Durch
den Gedankenaustausch mit anderen bekommen Erkenntnisse eine Gestalt und der eigene
Horizont wird stetig erweitert („WIR-Phase“). So wird an einer gemeinsamen Sprache gearbeitet,
die sich immer mehr dem Regulären nähert und doch die eigene, persönliche Sprache
bleibt. Martin Wagenschein beschreibt dieses Ringen um eine gemeinsame Ebene als die
Sprache des Verstehens: ICH versuche es so! Wie machst DU das? Darauf einigen WIR uns!
(Wagenschein, 1980, nach Ruf & Gallin, 2005, S. 25).
Sesseltanz
Eine rasch durchzuführende Art des Gedankenaustauschs ist der Sesseltanz 1 . Urs Ruf und
Peter Gallin beschreiben diese Methode folgenderweise: In einer ersten Phase des Schreibens
fassen die Lernenden ihre Ideen in Worte und schreiben sie nieder. Sie legen ein leeres
1 Diese Methode wurde zum Thema Einen Ausflug planen auf einer 5. Schulstufe erprobt, zu sehen auf
der DVD Bildungsstandards Mathematik 8. Unterrichtsvideos und Begleitmaterialien, die Multiplikatorinnen
und Multiplikatoren in der Fortbildung zur Verfügung steht.

68 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Blatt mit der Bezeichnung Rückmeldungen neben ihre Niederschrift und begeben sich zu
einem anderen Platz. Durch das Lesen des Texts einer/eines anderen und der schriftlichen
Rückmeldung wird der Blick nicht nur auf die Ideen einer Mitschülerin/eines Mitschülers gelegt,
sondern vor allem auch die eigene Resonanzfähigkeit beleuchtet. Rückmeldungen sind
Signale, Weckrufe, die den eigenen und den fremden Horizont öffnen, erweitern, in Frage
stellen, ohne ein Ziel, einen Abschluss, ein Ende vorwegzunehmen. Sie lassen einen offenen
Spielraum für die Entscheidung, darüber zu reflektieren oder nicht. Auch scheinbar negative
Bemerkungen haben hier ihre Berechtigung, sofern sie nicht verletzend sind: „Mir gefällt deine
Idee nicht, weil …“ kann Einsichten ermöglichen und kreative Kräfte wecken. „Deine Idee
ist schlecht“ spricht ein Urteil über den anderen und verhindert damit eine Auseinandersetzung
(Ruf & Gallin, 2005, S. 39).
Placemat 2
Die Schüler/innen werden in Gruppen zu drei oder vier Personen eingeteilt und setzen sich
rund um ein großes Blatt (günstig: Format A3). Auf diesem Blatt ist für jede Schülerin/jeden
Schüler ein individueller Schreibbereich vorhanden, wo in Einzelarbeit die Ideen notiert werden.
In die Mitte des Blatts werden die gemeinsamen Vorstellungen der Gruppe geschrieben.
Abb. 2: Placemat
Durchführung: Die Lehrperson gibt das Thema/die Fragestellung/den Impuls vor. Die Schüler/innen
haben nun eine bestimmte Zeitspanne zur Verfügung, ihre Gedanken in ihrem
Schreibbereich zu notieren. In dieser Phase sollte nicht miteinander gesprochen werden.
Anschließend lesen alle Schüler/innen die Ideen der anderen durch, danach werden diese
diskutiert. Es sollte nach einer gewissen Zeit beschlossen werden, welche Ideen in die Mitte
des Blatts geschrieben werden – diese repräsentieren die Gruppe.
2 Der Einsatz dieser Methode kann über die Multiplikatorinnen und Multiplikatoren zur Verfügung stehende
DVD Bildungsstandards Mathematik 4. Unterrichtsvideos und Begleitmaterialien sowie über
den Band Kompetenzorientierter Unterricht in Theorie und Praxis (BIFIE, 2011a, S. 132) nachvollzogen
werden.

Nachhaltigkeit sichern 69
Zwischenresümee
„Es liegt auf der Hand, dass in einem kompetenzorientierten Unterricht den Methoden eine
viel weiter reichende Bedeutung zukommt als für Abwechslung zu sorgen. […] Schülermethoden
sind Kompetenzentwicklungsmethoden. Lehrermethoden sind Kompetenzermöglichungen.
Sie sollen Lust auf Leistung fördern. Das geht weit über die Unterhaltungsfunktion
hinaus. Ihre angenehme Wirkung entsteht nicht nur durch Spaß an der Sache, sondern durch
den Erfolg, den sie Kindern und Jugendlichen ermöglichen. Kompetenz gibt Sicherheit und
erzeugt Vertrauen in die eigene Stärke. Mangelndes Kompetenzbewusstsein macht Angst
vor Anforderungen. Kompetenzfördernder Unterricht kann damit auch ein Schlüssel zum Abbau
von Schulangst sein.“ (Mattes, 2011, S. 10) Kompetenzorientierung und Nachhaltigkeit
sind untrennbar miteinander verbunden. Im Hinblick auf Bildung bedeutsam ist der Erwerb
einer Kompetenz erst dann, wenn die Lerner/innen auch außerhalb des schulischen Kontexts
davon Gebrauch machen können (ebd., S. 18).
Nachhaltigkeit sichern geht nicht im Gleichschritt – dieser Prozess setzt Differenzierung und
Individualisierung voraus. Den Schülerinnen und Schülern muss Raum und Zeit für die Durchdringung
des „Stoffs“ gegeben werden.
Kopfübungen
Zur Förderung von grundlegenden Kompetenzen können unter anderem sogenannte Kopfübungen
3 dienen. Darunter werden rituelle Lerngelegenheiten für das Aktivbleiben von mathematischem
Basiswissen verstanden. Diese Übungen enthalten in der Regel Aufgaben zu
unterschiedlichen, nicht zum aktuellen Stoff gehörenden Verfahren, Begriffen und Zusammenhängen,
die nachhaltig verfügbar sein sollen. Gleichzeitig soll auch die Selbsteinschätzung
der Schüler/innen im Fokus stehen, die Aufgaben sollen die Lernenden zum Ausgleichen
von individuellen Schwächen anregen. Durch regelmäßige Wiederholung von grundlegenden
Wissensbausteinen wird dem Vergessen entgegengewirkt und ein langfristig verfügbares,
solides mathematisches Wissens-Fundament aufgebaut, das wiederum Voraussetzung zur
Lösung von anspruchsvollen Aufgaben ist.
Bau- und Bausteinaufgaben
Ebenso können Bauaufgaben und ihre Bausteinaufgaben als gute Möglichkeit zur Festigung
von Grundkompetenzen herangezogen werden. „Bauaufgaben sind komplexe Aufgaben, die
stark kompetenzorientiert sind, meist mehrere Handlungs- und Inhaltsdimensionen vereinen
und dadurch vernetztes Denken nicht nur erfordern, sondern auch fördern. Sie haben Aktivierungspotenzial
und machen die Schüler/innen neugierig […]. Sie haben oft auch produktive
Anteile […] und können durch unterschiedliche Problemlösestrategien erschlossen
werden. Zur Lösung sind meist Grundkompetenzen erforderlich, auch weiter zurückliegende
Lerninhalte müssen wieder ins Gedächtnis gerufen werden. Dadurch wird die langfristige
Verfügbarkeit bereits erworbenen Wissens trainiert.“ (Mürwald-Scheifinger & Weber, 2011,
S. 127). Bausteinaufgaben hingegen versuchen, möglichst nur eine Handlungs- und eine
Inhaltsdimension zu verknüpfen. 4
3 Detaillierte Beschreibungen und Anregungen zur Methode Kopfübungen finden sich im Praxishandbuch
für „Mathematik“ 8. Schulstufe (BIFIE, 2011b), in den Heften der Reihe BasisMathematik
(BMUKK, 2008) sowie im Abschnitt 6.2.1, S. 84.
4 In der Praxis erprobte Bauaufgaben mit Bausteinaufgaben finden sich unter anderem in Exemplarische,
beziehungsreiche Aufgaben (BMBWK, 2006, S. 57–75) und im Band Kompetenzorientierter
Unterricht in Theorie und Praxis (BIFIE, 2011a, S. 127–130).

70 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
5.2.5 Nachhaltigkeit und Lernen
Erkenntnisse aus den Neurowissenschaften beeinflussen Schule und Unterricht immer stärker.
Es ist bekannt, dass das Gehirn nur zwei Prozent des Körpergewichts wiegt, aber mehr
als 20 Prozent der mit der Nahrung aufgenommenen Energie verbraucht. „Menschen ‚leisten
sich‘ diesen Luxus, denn wie die Flügel des Albatros oder die Flossen des Wals für das Fliegen
und das Schwimmen optimiert wurden, wurde das Gehirn durch die Evolution optimiert:
für das Lernen. Dies ist aber nicht gleichbedeutend damit, dass die Evolution uns Menschen
für die Schule optimiert hat.“ (Spitzer, 2010, S. 50) Lernen ist hier nicht gleichbedeutend mit
Auswendiglernen, aus neurobiologischer Sicht wäre diese Ansicht sogar falsch. Ein wesentlicher
Begriff im Zusammenhang mit Neurowissenschaften und Lernen ist jener der Neuroplastizität
– Nervenzellen und ihre Verbindungen (Synapsen) verändern sich ständig durch
ihre eigene Tätigkeit, die Veränderung der Stärke der Verbindungen zwischen Nervenzellen
kann als Lernen bezeichnet werden; im Gehirn entstehen somit neuronale Repräsentationen.
Seit vielen Jahrzehnten wird in der Psychologie der Begriff Gedächtnisspuren verwendet: Das
Gedächtnis kann als die Summe der Spuren von vergangenen Erlebnissen, durch die die
Synapsen in ihrer Stärke verändert wurden, bezeichnet werden. Daher sind Wiederholungen
sehr gut für das Lernen, da „dann Impulse immer wieder über die entsprechenden Synapsen
laufen und sich diese durch den wiederholten Gebrauch eben auch nachhaltig verändern“
(ebd., S. 50–55).
Wichtig dabei ist, dass sich sowohl Lernende als auch Lehrende Ziele setzen. Diese helfen,
langfristig zu denken, zu handeln und Motivation und Ausdauer über einen längeren Zeitraum
zu erhalten. Eine weitere wesentliche Komponente ist das Selbstvertrauen, denn wer an sich
glaubt, ist sich auch seines Könnens bewusst (Binder, 2007, S. 13–15).
Die im Folgenden vorgestellten Ideen können nachhaltiges Lernen unterstützen.
Wer sich bewegt, kann besser denken!
Bewegung in den Schulalltag einzubauen, ist kein schwieriges Unterfangen und bedeutet
auch nicht, dass jede Mathematikstunde zu einer Turnstunde umfunktioniert werden soll.
Mit einfach umsetzbaren methodischen Ideen wie dem Einsatz von Laufdiktaten, einem Orientierungslauf
im Schulhaus bzw. im Schulgarten oder Bewegungsübungen zur Aktivierung
von Körper und Geist wird auf jeden Fall Schwung in die Mathematikstunde gebracht. Diese
Ideen wecken auch die letzten Lerner/innen, die sich eigentlich „zurückziehen“ wollten. Mit
Methoden wie der Informationssuche mit Bewegung 5 können neue Inhalte erarbeitet werden
oder – etwa mit einem Laufdiktat – länger zurückliegende Inhalte wieder hervorgeholt und so
nachhaltig gefestigt werden. Auch die Methode Fliegenklatsche (vgl. S. 29) verbindet nachhaltige
Festigung, Bewegung und Spaß.
Wer sich langweilt, denkt nicht mit!
„Wer die Einzelheiten richtig im Gedächtnis behalten will, sollte nicht bei den Einzelheiten
beginnen. Ausgangspunkt sollten vielmehr die Kerngedanken sein, um die herum man die
Einzelheiten hierarchisch anordnet“ (Medina, 2012, S. 91). Wird diese Überlegung mit Martin
Wagenscheins Idee des „Verstehenden Lernens“ verknüpft, so entsteht eine motivationsfördernde
lernseitige Unterrichtsphilosophie. Wagenschein möchte die Lernende/den Lernenden
in ihrer/seiner Ganzheit und mit ihrer/seiner Neugier einbeziehen. Er versteht Bildung nicht
5 Diese Methode wurde zum Thema Statistik auf der 8. Schulstufe erprobt, zu sehen auf der DVD
Bildungsstandards Mathematik 8. Unterrichtsvideos und Begleitmaterialien, die Multiplikatorinnen
und Multiplikatoren in der Fortbildung zur Verfügung steht.

Nachhaltigkeit sichern 71
als einen additiven Prozess, sondern beschreibt sein verstehendes Lernen so: Lernen muss
nicht unbedingt immer von unten nach oben, vom Einfachen zum Komplizierten, vollzogen
werden. Eine komplexe, die Spontanität herausfordernde Frage kann die Gedankenarbeit
und das Interesse, daran zu arbeiten, weit mehr anregen (Wagenschein, 1992, S. 29–31).
Für die Motivation der Schüler/innen sind Einzelheiten wichtig und notwendig, aber für das
langfristige Behalten ist das Vordringen zu den Kerngedanken unumgänglich. Um Neues
verarbeiten und die passenden Vernetzungen herstellen zu können, braucht es Verarbeitungszeit:
Ein Abschnitt eines Inputs darf nur eine gewisse Zeit dauern (beispielsweise zehn
Minuten – diese Zeitspanne ist auch vom Alter der Lernenden abhängig), soll vom Wesentlichen
beherrscht werden und dieses sollte in einer Minute erklärt werden können. Nach dieser
Zeitspanne muss ein „Haken“ gesetzt werden, da sonst die Aufmerksamkeit verloren geht.
Dieser Haken ist ein emotional bedeutungsvoller Reiz, d. h., er muss ein Gefühl auslösen, für
das Thema relevant sein, einen Rückblick geben oder einen neuen Akzent setzen; dies kann
auch eine methodische Veränderung sein (vgl. Medina, 2012, S. 98–101). Werden Lernende
emotional angeregt, so gelingt ihnen Lernen besser. Echte Motivation ist immer auch emotional
besetzt (Wagenschein, 1992, S. 87), daher müssen Lehrer/innen neben der sachlichen
Motivation auch für emotionale Anregungen sorgen. Dem fantasievollen und pädagogischen
Geschick von Lehrpersonen sind hier keine Grenzen gesetzt. Aufgaben können diesem Anspruch
gerecht werden, wenn ihr Aktivierungspotenzial überprüft wird.
Wer aktuelles Feedback erhält, wird motiviert!
Neben der motivierenden Abwechslung ist die unmittelbare Rückmeldung der größte Faktor
für motivierendes Lernen. Darum sollten Aufgabenstellungen auch Möglichkeiten der
Selbstkontrolle aufweisen. Mit entsprechenden Übungsprogrammen am Computer lassen
sich derartige Erfolgserlebnisse leicht erreichen. Das Prinzip des Erfolgs ist der Grundstein
für motivierendes Arbeiten. Die/der Lernende erlebt die Wirksamkeit und Fruchtbarkeit des
eigenen Lernens, was zu Stolz und Selbstbewusstsein führt. Dies wird nicht nur durch die Erfolgsfeststellung
durch die Lehrperson initiiert, sondern auch durch Möglichkeiten der Selbstkontrolle
und Selbstevaluation.
Mit Flow-Erlebnis Anker für Nachhaltigkeit setzen!
Die diagnostische Kompetenz von Lehrenden ist gefragt, wenn Aufgaben und Methoden auf
die kognitiven, emotionalen, motivationalen und sozialen Voraussetzungen der Lerngruppe
abgestimmt werden. Lustlosigkeit, Ineffizienz und der Verlust von Anstrengungsbereitschaft
werden oft durch Überforderung bzw. Unterforderung hervorgerufen.
Als Flow-Erlebnis beschreibt Mihalyi Csikszentmihalyi ein häufig auch durch herausfordernde,
schwierige Aktivitäten erzeugtes Hochgefühl, das einem „nahezu spontanen, mühelosen und
zugleich extrem konzentrierten Bewusstseinszustand“ entspricht (Csikszentmihalyi, 1997,
S. 162).
Folgende Elemente werden einer Flow-Erfahrung zugeschrieben:
klare, definierte Ziele
unmittelbares Feedback für das eigene Handeln
Aufgaben und Fähigkeiten sind im Gleichgewicht
gezielte Aufmerksamkeit (Denken) auf das Handeln
Ablenkungen werden kaum wahrgenommen
keine Versagensängste, da ein Scheitern kaum möglich ist (ebd., S. 163–168)

72 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Anforderungen
Überforderung
Flow
Unterforderung
Fähigkeiten
Abb. 3: Flow im Kontext von Anforderungen und Fähigkeiten
Würde es im Unterricht gelingen, Flow-Erlebnisse zu vermitteln, bräuchte uns Nachhaltigkeit
kein Kopfzerbrechen machen. Genau den Punkt zu treffen, der jede Lernende/jeden Lernenden
individuell motiviert und zu Flow-Erlebnissen bringt, ist schwer möglich und wird auch
nur manchmal gelingen. Trotzdem sollte es das Bestreben der Lehrpersonen sein, diese
Punkte zu treffen. Das Geheimnis erfüllten Lernens ist es, Flow bei möglichst vielen Aktivitäten
zu erleben, die man ohnehin durchführen muss.
Elaboriertes Arbeiten
Wer immer wieder denkend und vernetzend lernt und vor allem auch wiederholt und übt,
dem werden die Inhalte nachhaltig im Gedächtnis bleiben. Im Rahmen elaborierenden Arbeitens
bestätigt sich die konstruktivistische Grundthese des Wissens immer wieder neu. Durch
unterschiedliche Anwendungen wird Wissen neu vernetzt und mit altem Wissen verknüpft.
Derart gestaltetes Lernen erhöht die Flexibilität des Denkens, vertieft das angehäufte Wissen,
erleichtert den Transfer, verhilft zu kreativen Problemlösestrategien und fördert Selbststeuerung
und Kreativität (Gudjons, 2005, S. 13). Sehr hilfreich sind dabei Strukturskizzen wie Mindmaps,
Collagen oder Plakate, da durch Visualisierung ein reflexiver Prozess angeregt wird.
Verwendung von Transferaufgaben
Transferaufgaben geben Antwort auf die oft gestellte Frage „Wozu brauche ich das?“. Fertigkeiten
und Wissen werden dann als nützlich begriffen, wenn sie zur Lösung von Problemstellungen
beitragen. Eine weitere Voraussetzung für einen gelingenden Transfer ist ein durch
mechanisches Üben hervorgebrachtes sachliches und prozedurales Wissen.
Gage und Berliner (1996, S. 332) geben einige wichtige Tipps für gelingenden Transfer:
Erst das Grundlegende sichern, dann den Transfer versuchen.
Voraussetzendes Wissen sicherstellen (wenn etwa das Bruchzahlverständnis nicht vorhanden
ist, können keine Brüche addiert werden).
Die Lernenden kreieren selbst eine Transferaufgabe.
Lösungswege laut denkend vortragen, im Plenum/in der Gruppe diskutieren.

Nachhaltigkeit sichern 73
Da Mathematik nicht ohne Kommunikation auskommt und es eine eigene Fachsprache gibt,
ist es unumgänglich, dass – auch im Sinne der Nachhaltigkeit – Begriffe geklärt und korrekt
verwendet werden.
5.2.6 Nachhaltigkeit und Sprache
„Jede Wissenschaft hat ihre eigene Art, Fragen zu stellen und Lösungen zu formulieren. Wer
sich auskennt in einer Fachsprache und wer über die spezifischen Begriffe und Methoden
verfügt, weiß sofort, was er zu tun hat, wenn er einem fachlichen Problem begegnet. Er kennt
sich aus in den Hauptdimensionen seines Faches, weiß um die Schnellstraßen, die Fragen
und Lösungen effizient miteinander verbinden, und pendelt ungehindert hin und her.“ (Ruf &
Gallin, 2005, S. 21)
In der Mathematik müssen verwendete Begriffe gut geklärt und klar definiert sein, da sie vor
allem in den Kompetenzbereichen Interpretieren sowie Argumentieren und Begründen zu
einer wesentlichen gemeinsamen Sprache und Ausdrucksweise gehören. Es muss zunächst
gelingen, Situationen zu schaffen, in denen die Schüler/innen auf natürliche Art dazu angehalten
werden, sich zu verständigen. Es liegt nahe, sich auszutauschen und Sachprobleme
in gemeinsamer Arbeit anzugehen. Ein solches Verhalten wird als befriedigend und lohnend
erlebt. Dazu ist eine Unterrichtskultur Voraussetzung, die Verständigungs- und Kooperationsbereitschaft
als selbstverständliche Verhaltensorientierung umfasst. Heymann (1996,
S. 140) beschreibt Mathematik als Kommunikationsmedium und als eine Erscheinungsform
des Alltagslebens.
Die Entschlüsselung mathematischer Botschaften (z. B. Tabellen, grafische Darstellungen)
setzt ein gewisses mathematisches Grundwissen und eine Einübung im Umgang mit mathematischer
Fachsprache voraus, sodass auch das Problem der Verständigung zwischen
Expertinnen und Experten sowie Laien entschärft werden kann – wobei hier als Expertinnen
und Experten auch bereits wissende bzw. verstehende Schüler/innen im Dialog mit ihren
Mitschülerinnen und Mitschülern gelten.
Um eine gemeinsame Sprache zu entwickeln, braucht es eindeutige und klar definierte Begriffe.
Dies ist besonders dann unumgänglich, wenn die Begriffe in der Mathematik eine
andere Bedeutung haben als in der Alltagssprache (z. B. Punkt, Strecke, Wurzel, kürzen,
abrunden etc.). Die Klärungen sollten in einer kommunikativen Auseinandersetzung erfolgen
und nicht durch die Vorgabe eines Merksatzes o. Ä., der auswendig zu lernen ist. Es ist auch
darauf zu achten, dass die Erklärungen stets korrekt sind, vor allem im Hinblick auf die Verwendung
des Begriffs auf einer höheren Schulstufe. Das schließt nicht aus, dass Erklärungen
einen Bezug zum Alltag haben können oder lustig (z. B. „Eselsbrücken“) sind. Die korrekte
Begriffsklärung darf aber auch von Seiten der Lehrer/innen nicht unterschätzt werden. Durch
die eigene Schulbiografie und Ausbildung bedingt, werden Begriffe manchmal unreflektiert
verwendet, eine korrekte Begriffsdefinition ad hoc oder eine korrekte schülergerechte Erklärung
sind manchmal nicht möglich. Hilfreich bei der Arbeit mit Fachbegriffen, sowohl für
Lernende als auch für Lehrende, sind ein Mathematik-Vokalbelheft oder Karteikarten.
Je besser die mathematischen Begriffe verstanden und beherrscht werden, umso besser
gelingen auch mathematische Aussagen/Argumente. Folgende Beispiele sollen dies verdeutlichen:
Es stimmt, dass 1 + 2 = 3.
Die Lösung der Gleichung x 2 = 2 ist für x aus Q die leere Menge.
Kommt bei einer Bruchgleichung die Unbekannte im Nenner vor, dann muss die Grundmenge
G zur Definitionsmenge D verkleinert werden.

74 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Es gibt viele Möglichkeiten, die mathematische Fachsprache bewusst in den Unterricht einzubauen.
Im folgenden Beispiel soll ein verbal dargestellter Sachverhalt dem entsprechend
mathematisch dargestellten Sachverhalt zugeordnet werden. Dies verlangt von den Schülerinnen
und Schülern eine fundierte Kenntnis der Fachbegriffe.
Aufgabe:
Welche in einem Satz beschriebene Aufgabe gehört zu welcher Rechnung? Verbinde.
Vermehre die Summe der Zahlen 28 und
7 um den Quotienten dieser Zahlen.
7 · 8 + 28 =
Addiere 28 zum Produkt aus 7 und 8. (28 : 7) · 2 =
Verdopple den Quotienten aus 28 und 7. 7 + 28 · 8 =
Addiere zu 7 das Produkt aus 28 und 8. (28 + 7) + (28 : 7) =
Eine weitere Möglichkeit, den Fokus auf die Begriffsdefinition zu legen, stellt die Verwendung
von Lückentexten dar.
Aufgabe:
Setze die Wörter an der richtigen Stelle ein: Dezimalzahl, Division, gemischte Zahl,
Bruchstrich.
Bruchzahlen können verschieden dargestellt werden. 7 : 8 ist als ______________
dargestellt, 7 – 8
mit einem ______________, 3 1 – 2
als ____________________ und 3,5 als
_________________.
Kommentar:
Innere Differenzierung lässt sich bei Aufgaben dieser Art leicht durchführen – leistungsstärkere
Schüler/innen erhalten keine Schlüsselwörter.
Ebenso ist bei der Auswahl oder der Erstellung von Aufgaben für die Schüler/innen auf die
Sprache zu achten, zumal die Förderung der Lesekompetenz auch Aufgabe des Mathematikunterrichts
ist. Der Text sollte verständlich und altersgerecht sein, wobei unter anderem
auf Satzlänge (kurz und präzise, keine Schachtelsätze), auf fachliche Richtigkeit und auf die
optimale Anordnung von Text und Bild zu achten ist.
Wenn auf der 5. Schulstufe „große Zahlen“ durchgenommen werden, so gibt es kaum eine
Lernende/einen Lernenden, der ihre/seine Lehrperson nicht „testen“ möchte, ob sie denn
auch weiß, wie ganz große Zahlen ausgesprochen werden. Aber auch das eigenständige
Hantieren mit diesen Zahlen macht den Lernenden große Freude. Wenn die Aufgabe für die
Schüler/innen motivierend ist, so ist ein längerer Text für sie in der Regel kein Problem.

Nachhaltigkeit sichern 75
Aufgabe:
Ein Gruß: Ich schicke dir vierundzwanzig Trillionen achthundertdreißig Billiarden neunhundertzweiunddreißig
Billionen fünfundfünfzig Milliarden dreihundertzwanzig Millionen
siebenhundertachtundneunzig Tausend und fünf Grüße. Schreibe diese Zahl von
Grüßen in Ziffernschreibweise an.
Auch viele Knobelaufgaben und mathematische Rätsel setzen eine gewisse Fachsprachenkompetenz
voraus, sie sind motivierend und bringen die Schüler/innen dazu, zu kombinieren,
zu argumentieren, zu interpretieren und zu rechnen.
Aufgabe:
Ein Geschäftsmann, dessen Büro vier Telefonnummern hatte, entdeckte an diesen
zufällig folgende Eigentümlichkeiten. In keiner kam eine Ziffer zweimal vor, jede hatte
10 als Ziffernsumme und jede ergab eine Zahl mit gleichen Ziffern, wenn man ihre
Umkehrung (gleiche Zahl mit verkehrter Ziffernreihe) dazu addierte.
Er teilte diese Entdeckung seinem Freund mit, den es reizte, aus diesen Andeutungen
die vier Telefonnummern zu ermitteln.
Wie lauten die Nummern, wenn berücksichtigt wird, dass im Telefonbuch dieser Stadt
die Nummern zwischen 20 000 und 90 000 liegen?
Lösung: 30241, 34201, 41230, 43210
(nach Degrazia, 2008, S. 70–71)
Rätsel gibt es zu allen mathematischen Inhalten der Sekundarstufe I. Sehr oft beinhalten
sie nicht nur Aktivierungspotenzial für logisches Denken, sondern sind auch hervorragende
Übungen für die fachgemäße Verwendung von Fachsprache und die „Übersetzung“ von Texten
in die mathematische Fachsprache.
Schüler/innen müssen über eine gewisse „Übersetzungskompetenz“ verfügen, da es in der
Mathematik viele Texte mit Alltagswörtern gibt, die in eine mathematische Form (Rechnung,
Gleichung, Diagramm, Graph usw.) zu bringen sind. Viele Begriffe werden bereits in der
Volksschule erarbeitet und zugrunde gelegt. Sie bilden die Basis für die Weiterarbeit auf der
Sekundarstufe I und auch auf der Sekundarstufe II. Daher müssen Vorstellungen und Modelle
von Anfang an korrekt sein. Anschließend werden zwei Beispiele zur Illustration herausgegriffen.
Erweiterung der Zahlenmengen (von den natürlichen Zahlen zu den
ganzen Zahlen)
Über die Entstehung der negativen Zahlen ist historisch nichts bekannt. Sie wurden eigentlich
nur als nützliche Werkzeuge beispielsweise beim Lösen von Gleichungen verwendet und
verschwanden wieder bei der Angabe einer positiven Lösung. Den bekannten Zahlen wurden
positive und negative Vorzeichen gegeben, um eine Gegensätzlichkeit auszudrücken
(Guthaben – Schuld, Temperatur über und unter dem Gefrierpunkt …). Die negativen Zahlen

76 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
konnten nicht als Quantitäten gedacht werden und wurden daher nicht als Zahlen anerkannt,
denn sie waren ja „weniger als nichts“ (vgl. Leibniz). Erst im 19. Jahrhundert wurden die negativen
Zahlen axiomatisch grundgelegt und allein durch ihre Rechengesetze charakterisiert.
Die geschichtliche Entwicklung zeigt, dass bei der Einführung der negativen Zahlen eine Erklärung
mithilfe eines Zusatzbegriffs ein wesentlicher Schritt im Lernprozess ist, weil er einer
alltagstauglichen Auffassung der negativen Zahlen entspricht (negative Zahlen als positive
Zahlen mit einer zusätzlichen Deutung) (Malle, 2007b, S. 8).
Die Schüler/innen kennen negative Zahlen – beispielsweise als Markierungen auf Skalen
(Temperaturskala …) – und sie können auch einfache Aufgaben lösen, bei denen, von einem
Zustand ausgehend, bei gegebener Veränderung der Endzustand berechnet wird. Die Vorzeichen
„+“ und „-“ werden erarbeitet und können anschließend in vielen Situationen interpretiert
werden: vor und nach Christus, Schulden oder Guthaben usw.
Doch bei der Ordnung der negativen Zahlen können sich etliche Fragen auftun: Was ist kleiner:
-4 oder -2? Wird das negative Vorzeichen als Schuld interpretiert, so wäre -4 > -2, denn
4 € Schulden sind mehr als 2 € Schulden. Denkt man an die Zahlengerade, dann wird -4 < -2
nahegelegt, denn -4 liegt links von -2. Welche Interpretation ist nun also richtig? Grundsätzlich
sind beide Interpretationen richtig, aber die fortlaufende Anordnung der ganzen Zahlen
wurde festgelegt, da sie sich als zweckmäßig erwiesen hat. Wird von einer Ungleichung (z. B.
6 < 8) ausgegangen und auf beiden Seiten mehrmals 5 abgezogen, so erhält man 1 < 3 und
schließlich -4 < -2 (Permanenzprinzip).
Eine weitere Problematik tut sich bei der Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen auf:
(+4) + (-7) = (-3). Jeder „vernünftige“ Mensch würde 4 – 7 = -3 schreiben. Warum sollte
man das so kompliziert schreiben, wo doch der Widerstand gegen die Klammernschreibweise
groß ist? Der Sinn dieser Schreibweise liegt aber darin, die Rechenoperationen von
den natürlichen Zahlen auf die ganzen Zahlen auszudehnen. Im oben angeführten Beispiel
(+4) + (-7) = (-3) geht es um eine Addition zweier ganzer Zahlen, während die verkürzte
Schreibweise eine Subtraktion darstellt. Bei Addition und Subtraktion ganzer Zahlen muss
somit zwischen Vorzeichen und Rechenzeichen unterschieden werden (Malle, 2007a,
S. 54–55).
Diese Beispiele verdeutlichen, dass der Begriffsbildung und der Durchdringung von Begriffen
große Bedeutung zukommt. In diesem Zusammenhang wird auch deutlich, dass pauschal
getätigte Aussagen wie „Man kann nur eine kleine von einer großen Zahl wegzählen“ mathematisch
gesehen gefährlich werden können. Hier sei nochmals vermerkt, wie wichtig es ist,
ein Mitdenken und echtes Verstehen (vor allem auch durch genügend Zeit) zu ermöglichen,
und welchen Wert pädagogische Diagnostik bei der Erstellung von Aufgaben und vor allem
bei der Auswahl und Beschreibung der Lösungswege von Schülerinnen und Schülern hat.
Der Funktionsbegriff
Bereits in der Volksschule wird der Funktionsbegriff zugrunde gelegt. Dies geschieht unter
anderem, wenn im Rahmen von Sachaufgaben beim Schlussrechnen von einer Einheit auf
eine Mehrheit, von einer Mehrheit auf die Einheit oder von einer Mehrheit auf eine andere
Mehrheit geschlossen wird (z. B.: Ein Kilogramm Äpfel kostet 2 Euro. Wie viel Euro kosten
4 kg?). Dabei wird die Annahme getroffen, dass sich Menge und Preis immer im selben Verhältnis
vermehren bzw. verringern, Preisnachlässe werden nicht berücksichtigt.
Im Mathematikunterricht auf der 5. und 6. Schulstufe ist das Kapitel der direkten und indirekten
Proportionalität ebenfalls prominent vertreten. Beide Begriffe müssen hier definiert
und gut reflektiert werden, denn die Pauschalaussage „je mehr …, desto mehr …“ bzw. „je

Nachhaltigkeit sichern 77
weniger …, desto weniger …“ ist nicht zulässig. Korrekt wäre beispielsweise die Aussage für
die direkte Proportionalität, dass zwei Größen zueinander direkt proportional sind, wenn dem
Doppelten (Dreifachen, Vierfachen …) der einen Größe das Doppelte (Dreifache, Vierfache …)
der anderen Größe entspricht. Ebenso verhält es sich mit dem Proportionalitätsfaktor k. Bei
zwei direkt proportionalen Größen ist der Quotient der einzelnen Wertepaare gleich groß. Der
Wert dieses Quotienten wird mit k bezeichnet. Bei der indirekten Proportionalität entspricht
dann dem n-ten Teil der einen Größe das n-Fache der anderen Größe und für die Zahlenpaare
(x I y) einer indirekten Proportionalität gilt, dass x · y = k.
Diese klare Definition spiegelt sich auch in der Schreibweise solcher und ähnlicher Aufgaben
wider. Stark verankert, weil traditionell eingeführt und weitergegeben, wurden (und werden)
Proportionalitätsaufgaben in folgender oder ähnlicher Schreibweise gelehrt:
3 kg ... 15,00 €
7 kg ... x (?) €
Danach wird mit Pfeildarstellungen gearbeitet, die den Lernenden nach einer Art Kochrezept
die Berechnung vorgeben. Schnell sind diese Darstellungen „gelernt“, hinterfragt werden sie
kaum mehr; Schüler/innen wissen, wie sie tun sollen, sie wissen aber nicht (mehr), was sie
eigentlich tun.
Die Schreibweise in Tabellenform begründet sich dadurch, dass die Proportionalität einen
funktionalen Zusammenhang darstellt und somit auch gleich als solche gelehrt werden soll.
Es hat sich weitgehend die Erkenntnis durchgesetzt, dass der Aufgabentyp Schlussrechnung
in seinem Kern als Funktion verstanden wird (Vollrath & Weigand, 2007, S. 170). Eine
Einführung unter diesem Gesichtspunkt ist auch in der Volksschule möglich, da die Schreibweise
in Tabellenform schlussendlich auch ein Mechanismus ist, der erlernt wird. Die weitere
Begründung liegt darin, dass die Anschlussfähigkeit zu Funktionen durch eine von Anfang an
fachlich richtige Schreibweise erleichtert wird.
kg €
3 15,00
7 ?
Wie Kompetenzaufbau im Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten langfristig gestaltet werden
kann, wird im Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe (BIFIE, 2011b, S. 63–69)
erläutert.
Auf der 7. Schulstufe kehrt dieser Inhalt bei der Berechnung von Proportionen wieder, um
dann auf der 8. Schulstufe erneut in Form von linearen Gleichungen und Gleichungssystemen
mit zwei Variablen aufgegriffen und vertieft bzw. erweitert zu werden. Aber nur, wenn der
Funktionsbegriff tatsächlich gefestigt ist, können diese Inhalte durchdrungen werden.
Gerade beim grafischen Lösen linearer Gleichungen spielt der Proportionalitätsfaktor k eine
wesentliche Rolle. Es ist zu wenig, zu wissen, dass „k beim Zeichnen jener Wert ist, der angibt,
nachdem d auf der y-Achse aufgetragen und man eine Einheit nach rechts gegangen
ist, wie viele Einheiten hinauf (wenn positiv) oder hinunter (wenn negativ) zu gehen sind“.
Vertieft werden können dann die verschiedenen Lösungsfälle von linearen Gleichungssystemen,
wenn die Bedeutung von k bewusst gemacht wurde (eine Lösung, keine Lösung, unendlich
viele Lösungen). Hier eignet sich auch die Verwendung von Computerprogrammen,
um den Zeitaufwand beim grafischen Lösungsverfahren zu reduzieren – hier kommt es nicht
auf die Kompetenzen des korrekten Konstruierens an, sondern auf die Interpretation.

78 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Ebenso ist die Interpretation von Funktionsgraphen in diesem Zusammenhang zu nennen:
Aufgabe:
Welche Informationen gibt die Zeichnung?
Preis in €
Menge in kg
Lösungsmöglichkeiten: „Menge und Preis sind direkt proportional“, „Es gibt keinen
Mengenrabatt“ ...
Aufgabe:
Die Behälter werden so mit Wasser gefüllt, dass in jeder Sekunde gleich viel Wasser
hineinläuft. Die Funktionsgraphen geben die Füllhöhe (h) in Abhängigkeit von der Zeit
(t) an. Welches Diagramm passt zu welchem Behälter?
h
1
h
2
h
3
t
t
t
h
4
h
5
h
6
t
t
t

Nachhaltigkeit sichern 79
Mathematisches Vokabelheft, individuelle Formelsammlung, Merkheft
Mit den genannten Inhalten soll beispielhaft angeführt werden, wie unterschiedlich die Verwendung
und Einübung der mathematischen Fachsprache vermittelt werden kann. Zum
Abschluss dieses kurzen Anrisses zum Thema Fachsprache sollen das oft verwendete „mathematische
Vokabelheft“, die individuelle Formelsammlung bzw. das individuelle Merkheft
angeführt werden. Oftmals werden hier stark verkürzt und aus dem Kontext herausgenommene
Algorithmen niedergeschrieben, auswendig gelernt und als rein mechanische Abarbeitung
im Gedächtnis fixiert.
Für das flexible Anwenden in variablen Situationen ist aber nicht der Automatismus notwendig,
sondern vor allem die Fähigkeit zur Umsetzung des Algorithmus in einen anderen
Kontext. Dies kann beispielsweise durch folgende Art von Merkheft/Formelsammlung/Vokabelheft
unterstützt werden:
Text
mathematische
Darstellung
Rechenbefehl in
Worten
Darstellung mit
Variablen
anders ausgedrückt
die Hälfte (von) : 2 Dividiere durch 2. x : 2 oder ​ x__
2 ​ halbieren
vermindere
um 4
– 4 Subtrahiere 4. x – 4 abziehen
drei Prozent
von
Endpreis nach
Gewährung von
20 % Rabatt
andere Denkstrategie
für
20 % Rabatt
3 % von
– 20 %
– 20 %
Berechne den
Wert von 3/100
des Gesamten.
_____ ​ x · 3
drei Hundertstel
100 ​ von
Gesamt
Berechne den (x) – _____ ​ x · 20 Zuerst werden
100 ​ 20 % vom
Wert von 20/100
Gesamtwert
des Gesamten und oder
berechnet
subtrahiere diesen
vom Gesamten. ​
Gesamt (x) _____
und dann von
· 80
100 ​ diesem abgezogen.
Wenn vom Gesamtwert
20 % abgezogen
werden,
bleiben von 100 %
dann 80 % übrig.
Gesamt
(x) · 0,8
100 % – 20 %
sind 80 %,
also werden
diese gleich
berechnet.
5.2.7 Resümee
Zusammenfassend kann gesagt werden, dass unterschiedliche, vielfältige Unterrichts- und
Bearbeitungsmethoden zu einem nachhaltigen Lernen und Behalten führen. Der Unterricht
muss Kompetenzorientierung fokussieren; die Erkenntnisse der Neurowissenschaften sollten
Einfluss auf die Gestaltung von Unterricht haben.

80 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Literatur
Aachener Stiftung Kathy Beys (Hrsg.) (2012). Lexikon der Nachhaltigkeit. Definition Nachhaltigkeit.
Verfügbar unter http://www.nachhaltigkeit.info/artikel/definitionen_1382.htm
[27.09.2012].
Barzel, B., Holzäpfel, L., Leuders, T. et al. (2011). Mathematik unterrichten: Planen, durchführen,
reflektieren. Berlin: Cornelsen Scriptor.
Beer, R. & Benischek, I. (2011). Aspekte kompetenzorientierten Lernens und Lehrens. In
Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens
(BIFIE) (Hrsg.). Kompetenzorientierter Unterricht in Theorie und Praxis. Graz: Leykam.
S. 5–28. Verfügbar unter https://www.bifie.at/node/351 [27.09.2012].
Binder, P. (2007). Kopftraining. So bringen Sie Ihr Gehirn in Schwung. Leoben: Kneipp.
Bruner, J. (1974). Entwurf einer Unterrichtstheorie. Berlin: Berlin-Verlag.
Brüning, L. & Saum, T. (2009). Erfolgreich unterrichten durch Kooperatives Lernen. Strategien
zur Schüleraktivierung. Essen: NDS.
Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens
(BIFIE) (Hrsg.) (2011a). Kompetenzorientierter Unterricht in Theorie und Praxis. Graz:
Leykam. Verfügbar unter https://www.bifie.at/node/351 [28.09.2012].
Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens
(BIFIE) (Hrsg.) (2011b). Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe. 2., überarbeitete
Auflage. Graz: Leykam. Verfügbar unter https://www.bifie.at/node/315 [28.09.2012].
Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens
(BIFIE) (Hrsg.) (2011c). Praxishandbuch Mathematik AHS Oberstufe. Auf dem Weg
zur standardisierten kompetenzorientierten Reifeprüfung. Graz: Leykam. Verfügbar unter
https://www.bifie.at/node/1354 [27.09.2012].
Bundesministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur (BMBWK) (Hrsg.) (2006). Exemplarische,
beziehungsreiche Aufgaben. Erweiterung des Aufgabenpools zur Version 3.0 der
Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe. Wien. Verfügbar unter http://
www.gemeinsamlernen.at/siteVerwaltung/mOBibliothek/Bibliothek/Broschuere_M8_Aufgaben_Februar_2006.pdf
[29.09.2012].
Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur (BMUKK) (Hrsg.) (2007/08). MathematikMethoden.
Beiträge zur Unterrichtsentwicklung mit dem Blick auf Bildungsstandards für
Mathematik am Ende der 8. Schulstufe 1–3. Wien.
Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur (BMUKK) (Hrsg.) (2008). BasisMathematik
1–2. Wien.
Csikszentmihalyi, M. (1997). Kreativität. Wie Sie das Unmögliche schaffen und Ihre Grenzen
überwinden. Stuttgart: Klett-Cotta.
Degrazia, J. (2008). Von Ziffern, Zahlen und Zeichen. Unterhaltsame mathematische Rätsel.
Köln: Anaconda.

Nachhaltigkeit sichern 81
Gadamer, H.-G. (1959). Vom Zirkel des Verstehens. In Neske, G. (Hrsg.). Martin Heidegger
zum 70. Geburtstag. Festschrift. Pfullingen.
Gage, N. & Berliner, D. (Hrsg.) (1996). Pädagogische Psychologie. Weinheim: Beltz.
Gudjons, H. (2005). Methoden und Strategien intelligenten Übens. In Pädagogik. Intelligentes
Üben 11. S. 12–15.
Heymann, H. W. (1996). Allgemeinbildung und Mathematik. Studien zur Schulpädagogik und
Didaktik. Bd. 13. Weinheim: Beltz.
Klippert, H. (2008). Besser lernen. Kompetenzvermittlung und Schüleraktivierung im Schulalltag.
Stuttgart: Klett.
Kratz, H. (2011). Wege zu einem kompetenzorientierten Mathematikunterricht. Seelze: Kallmeyer.
Kruppa, K., Mandl, H. & Hense, J. (2002). Nachhaltigkeit von Modellversuchsprogrammen
am Beispiel des BLK-Programms SEMIK. Forschungsbericht. Ludwig Maximilians Universität
München. Verfügbar unter http://epub.ub.uni-muenchen.de/258/1/FB_150.pdf [20.07.2012].
Leuders, T. (2001). Qualität im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I und II. Berlin: Cornelsen
Scriptor.
Maaß, K. (2009). Mathematikunterricht weiterentwickeln. Berlin: Cornelsen Scriptor.
Malle, G. (2007a). Die Entstehung der negativen Zahlen. In mathematik lehren 142. S. 52–58.
Malle, G. (2007b). Zahlen fallen nicht vom Himmel. Ein Blick in die Geschichte der Mathematik.
In mathematik lehren 142. S. 4–12.
Mattes, W. (2011). Methoden für den Unterricht. Kompakte Übersichten für Lehrende und
Lernende. Paderborn: Schöningh.
Medina, J. (2012). Gehirn und Erfolg. 12 Regeln für Schule, Beruf und Alltag. 5. Auflage.
Heidelberg: Spektrum.
Michelsen, G., Siebert, H. & Lilje, J. (2011). Nachhaltigkeit lernen. Ein Lesebuch. Bad Homburg:
VAS.
Mürwald-Scheifinger, E. & Weber, W. (2011). Kompetenzorientierter Unterricht – Sekundarstufe
I – Mathematik. In Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung
des österreichischen Schulwesens (BIFIE) (Hrsg.). Kompetenzorientierter Unterricht in Theorie
und Praxis. Graz: Leykam. S. 109–138. Verfügbar unter https://www.bifie.at/node/351
[27.09.2012].
Ruf, U. & Gallin, P. (2005). Dialogisches Lernen in Sprache und Mathematik. Bd. 1: Austausch
unter Ungleichen. Grundzüge einer interaktiven und fächerübergreifenden Didaktik. Seelze:
Kallmeyer.
Schüßler, I. (2005). Nachhaltiges Lernen. Verfügbar unter http://www.die-bonn.de/portrait/
aktuelles/DIE_Forum_2005_schuessler_NachhaltigesLernen.pdf [20.07.2012].
Spitzer, M. (2010). Medizin für die Bildung . Ein Weg aus der Krise. Heidelberg: Spektrum.

82 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Urban-Glowatzki, H. (2010). Beforschung von standardbezogenem und nachhaltigem Lernen
mit Unterstützung moderner Technologien auf allen Schulstufen der Grundstufe. Verfügbar
unter http://imst.uni-klu.ac.at/imst-wiki/images/d/d2/1730_Urban-Glowatzki_lang.pdf
[20.07.2012].
Verordnung der Bundesministerin für Unterricht, Kunst und Kultur über Bildungsstandards im
Schulwesen (2009). In BGBl. II Nr. 1/2009. Verfügbar unter http://www.bmukk.gv.at/medienpool/17533/bgbl_ii_nr_1.pdf
[28.06.2012].
Vollrath, H.-J. & Weigand, H. G. (Hrsg.) (2007). Algebra in der Sekundarstufe. München:
Spektrum.
Wagenschein, M. (1980). Physikalismus und Sprache. Gegen die Nichtachtung des Unmessbaren
und Unmittelbaren. In Schaefer, G. & Loch, W. (Hrsg.). Kommunikative Grundlagen des
naturwissenschaftlichen Unterrichts. Weinheim: Beltz.
Wagenschein, M. (1992). Verstehen lernen. Genetisch – Sokratisch – Exemplarisch. 10. Auflage.
Weinheim: Beltz.
Weinert, F. E. (2001). Vergleichende Leistungsmessung in Schulen – eine umstrittene Selbstverständlichkeit.
In Weinert, F. E. (Hrsg.). Leistungsmessung in Schulen. Weinheim: Beltz.
S. 17–31.

Intelligentes Üben 83
6 Intelligentes Üben
„Übungen, unter immer wieder neuen Gesichtspunkten, an immer wieder neuem Material,
in immer wieder neuen Zusammenhängen, anderen Anwendungen,
als immer wieder neue, größere Aufgaben – darin steckt das Geheimnis des Übens!“
(Heinrich Roth)
Elisabeth Fuchs
Lebenslanges Lernen bedeutet, ein Leben lang selbstständig zu lernen. Dabei wird Lernen
zu einem selbstverständlichen und unablässigen Teil persönlicher Lebensgestaltung. In der
Schule als einem Ort der Begegnung mit Lernen soll der Kompetenzerwerb bei den Schülerinnen
und Schülern möglichst früh einsetzen und als lebenslanger Prozess verstanden
werden. Für neue Konzepte offen sein, neue Kompetenzen erwerben, neue Situationen einschätzen
können, mit Unerwartetem fertig werden – all dies sind wichtige Aspekte, die den
Weg eines Menschen wesentlich bestimmen können. Grundlagen, diesen Lernweg gut bewältigen
zu können, sind ein gut verankertes Grundwissen und -können, ein sicheres Umgehen
mit Routinen, die Herstellung von Alltagsbezügen sowie die Planung und motivierte
Durchführung des eigenen Lernens. Dem Wiederholen und Üben wird dabei eine besondere
Bedeutung beigemessen.
6.1 Warum üben?
Nachhaltiges Lernen verlangt, dem Vergessen vorzubeugen. Die Geschwindigkeit, mit der
wir vergessen, hängt von vielen Faktoren ab. Das Alter der Person und körperliche Faktoren
wie Gesundheit, Schlaf, Stress und Nervosität beeinflussen den Prozess des Behaltens
ebenso wie die Schwierigkeit des Lernstoffs. Näherungsweise kann gesagt werden, dass
Prinzipien und Gesetzmäßigkeiten langsam vergessen werden (ca. 5 % nach 30 Tagen),
Gedichte etwas schneller (ca. 45 % nach 30 Tagen) und sinnlose Silben sehr schnell (mehr
als 75 % nach 5 Tagen).
100 %
80 %
60 %
40 %
20 %
A = Prinzipien und
Gesetzmäßigkeiten
B = Gedichte
C = Prosatexte
D = sinnlose Silben
nach: 5 10 15 20 25 30 Tagen
Abb. 1: Vergessenskurven (nach Michel & Novak, 1990)
Das bedeutet, je klarer, strukturierter, logischer und schlüssiger die Inhalte den Schülerinnen
und Schülern dargeboten werden, desto günstiger ist es für den Prozess des Behaltens. Für
neu gelernte Inhalte ist ein regelmäßiges Wiederholen unumgänglich. Man kann davon ausgehen,
dass kurze Wiederholungsphasen nach immer längeren Zeitintervallen effizienter sind
als kurzfristiges überhäuftes Lernen, wie es vor Schularbeiten häufig Praxis ist. Die optimalen
Abstände für Wiederholungen richten sich nach der lernenden Person und dem Inhalt. Die
Erfahrung zeigt, dass es günstig ist, neu Gelerntes am Nachmittag bzw. Abend des gleichen
Tags, spätestens aber innerhalb von zwei Tagen das erste Mal und nach zwei bis drei Tagen
ein zweites Mal zu wiederholen. In weiterer Folge können die zeitlichen Abstände größer
werden – etwa zweimal, dann einmal pro Woche und schließlich in größeren Intervallen. Auch
das Wiederholen von neu Gelerntem und das Reflektieren neuartiger Zusammenhänge in
der Zeit unmittelbar vor dem Schlafengehen wird von Schülerinnen und Schülern als effektiv
rückgemeldet. Letztendlich muss jede/jeder für sich selbst herausfinden, wann die beste
Lernzeit ist und mit welchen Intervallen sie/er am besten zurecht kommt.

84 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Neben dem wiederholten Bewusstmachen und mehrfachen Wiederholen nach der Informationsaufnahme
ist ein sinnvolles, quantitativ ausreichendes Üben notwendig. In der Folge
sollen den Schülerinnen und Schülern Möglichkeiten zum Anwenden des neu Gelernten
geboten werden. Dabei können sie ihre Fertigkeiten vervollkommnen und einen Transfer in
neuartige Situationen wagen. Erst damit kann der neue Inhalt nachhaltig in das bestehende
Wissensnetz integriert werden.
6.2 Wozu üben?
6.2.1 Routine für den Alltag
Bildungsstandards verlangen die nachhaltige Sicherung von Grundkompetenzen. Wenn dafür
nicht regelmäßig geübt wird, ist nach ein paar Wochen schon wieder vieles vergessen.
Dem Üben und Wiederholen von Basisfertigkeiten sollte dabei ein hoher Stellenwert beigemessen
werden. Dazu gehören z. B. Kopfrechenfertigkeiten, Runden, Überschlagsrechnungen,
Rechnen mit Zehnerpotenzen, Verständnis für Maßeinheiten und Umwandlungsfaktoren,
einfaches Rechnen mit Prozenten, verschiedene Darstellungsformen von Bruchteilen,
Verstehen einfacher Terme, Winkel messen, Skizzen von ebenen Figuren und einfachen Körpern
erstellen usw. Eigenständige Übungsformen zum Wachhalten und Wiederholen von
Basiswissen sind nach Regina Bruder der „Mathematikführerschein“ und die sogenannten
„Kopfübungen“ (Bruder, 2008, S. 5).
Trotz Taschenrechner und Computer gehört ein schnelles und sicheres Rechnen mit einfachen
Zahlen im Kopf zum für den Alltag unverzichtbaren Grundkönnen. Das folgende Beispiel
für einen Mathematikführerschein soll dabei als Übungsanregung dienen:
Kopfrechentest (8. Schulstufe)
Für die folgenden Aufgaben hast du 4 Minuten Zeit.
1. 5 + 7 = 11. 18 + 17 = 21. 600 – 420 =
2. 13 – 8 = 12. 27 : 9 = 22. 30 · 6 =
3. 2 · 87 = 13. 560 : 2 = 23. 41 – 50 =
4. 160 : 40 = 14. 19 + 32 = 24. 16 + 19 =
5. 21 · 6 = 15. 44 – 7 = 25. 15 · (-4) =
6. 47 – 14 = 16. 120 + 350 = 26. (-52) + (-14) =
7. 11 · 0 = 17. 35 : 5 = 27. 42 : 7 =
8. 1 – 4 = 18. 12 · 10 = 28. 61 + (-25) =
9. 15 · (-3) = 19. 96 : 6 = 29. 450 : 9 =
10. 39 : 3 = 20. 37 + 55 = 30. 76 – 18 =
Anzahl richtiger Lösungen:
Kopfrechenführerscheinprüfung bestanden: ja / nein
Datum:
Unterschrift:
(nach Bruder, 2008)

Intelligentes Üben 85
Ein Einsatz des Kopfrechentests erscheint ab der 7. Schulstufe sinnvoll; der Test könnte
zu Beginn der 8. und 9. Schulstufe wiederholt werden und nach der Beurteilung jeweils als
„Zertifikat“ ausgeteilt werden. Bei Nichterreichen der erwünschten Leistung macht es Sinn,
ein Übungsangebot zu erstellen und den Test zu einem späteren Zeitpunkt zu wiederholen.
Es genügt, wenn z. B. einmal wöchentlich in nicht mehr als 10 Minuten „vermischte“ Kopfübungen
als rituelle Lerngelegenheiten stattfinden. Den Schülerinnen und Schülern werden
die Aufgaben über Beamer, Overhead oder auch nur mündlich dargeboten. Die Beispiele
werden unabhängig vom aktuellen Lernstoff oder einer konkreten Anwendungssituation zusammengestellt.
Für diagnostische Zwecke ist es sinnvoll, die Aufgaben über einen längeren
Zeitraum (etwa 10 Wochen) aus gleichbleibenden Themenbereichen zu wählen (vgl. BIFIE,
2011b, S. 73 und S. 104–105).
Das folgende Beispiel wurde der Online-Plattform der Arbeitsgruppe Fachdidaktik der
Mathematik der TU Darmstadt (o. J.) entnommen:
Beispiel für eine Kopfübung (einsetzbar ab der 7. Schulstufe)
1. Zeichne den dritten Teil (ein Drittel) des Kreises mit Farbe ein.
2. Welche Diagramm-Möglichkeiten kennst du, um dir einen Sachverhalt zu veranschaulichen?
Gib mindestens zwei verschiedene Diagrammdarstellungen an.
3. (799 – 79) : 12 =
4. Zeichne einen Winkel von 34°.
5. Welchen Umfang hat ein Rechteck mit Seitenlängen von 4 cm und 7 cm?
6. Skizziere einen Quader im Schrägriss.
7. 4,517 t = ? kg
8. Gib jeweils ein Beispiel für eine punkt-, achsen- und drehsymmetrische Figur.
9. Ist 234 589 durch 9 teilbar?
10. Gib die ersten 10 Primzahlen an.
11. Berechne ​ 2__ ​: ​2__
5 3 ​=
12. Zwei Schüler/innen einer Klasse haben beim letzten Test einen Einser geschrieben,
drei Schüler/innen einen Zweier und ​ 1__ ​der Schüler/innen der Klasse einen
3
Dreier. Neun Schüler/innen haben ein „Genügend“ oder ein „Nicht genügend“ bekommen.
Wie viele Schüler/innen gehen in diese Klasse?

86 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Lösungsvorschlag:
1.
Ein Drittel
2. Diagramme zum Veranschaulichen sind: Kreisdiagramm, Balkendiagramm, Säulendiagramm
3. (799 – 79) : 12 = 720 : 12 = 60
4.
34°
5. Umfang = 2 · 4 cm + 2 · 7 cm = 22 cm
6.
h
b
a
7. 4,517 t = 4 517 kg
8. Symmetrien:
Punktsymmetrie Achsensymmetrie Drehsymmetrie
9. Nein, 234 589 ist nicht durch 9 teilbar, da die Quersumme nicht durch 9 teilbar ist.
10. Die ersten 10 Primzahlen sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
11. ​ 3__
5 ​
12. (2 + 3 + 9) = 14; 14 Schüler/innen haben die Note 1, 2, 4 oder 5 geschrieben, das
entspricht zwei Drittel. Ein Drittel entspricht daher einer Zahl von 7 Schülerinnen
und Schülern. Die Klassenschülerzahl beträgt 21.

Intelligentes Üben 87
Durch „Kopfgeometrie“ können die Entwicklung des geometrischen Vorstellungs- und Denkvermögens
und das Denken in ein, zwei und drei Dimensionen gefördert werden. Dabei ist
das Lösen einer geometrischen Aufgabenstellung nur durch Operieren im Kopf ohne Hilfsmittel
gefordert. Visualisierungen oder Modelle können kopfgeometrische Überlegungen und
Begründungen anregen. Nach dem Darstellen des Ergebnisses mit Begründungen soll es
Kontrollmöglichkeiten geben, wobei es günstig ist, dabei auf Materialien zurückzugreifen.
Beispiele für kopfgeometrische Aufgabenstellungen
Martins Mutter bäckt eine große Pizza. Die eine Hälfte wird mit Schinken belegt, ein
Drittel der anderen Hälfte nur mit Gemüse. Welcher Anteil der Pizza wird nur mit Gemüse
belegt?
Lösung: ein Sechstel
Wie muss man einen Würfel durchschneiden, damit als Schnittfläche ein Quadrat, ein
Rechteck oder ein Dreieck entsteht?
(Kontrollmöglichkeit mithilfe eines Modells oder eines durchgeschnittenen Würfels,
der aus einer Kartoffel hergestellt wurde)
Lösung, ausgehend von einem Würfel mit den Eckpunkten ABCDEFGH: Quadrat:
Schnittflächen, jeweils parallel zu einer Seitenfläche (z. B. parallel zu ABEF); Rechteck:
„Diagonalschnitt“ (z. B. Rechteck ACEG); Dreieck: „Ecken abschneiden“ oder z. B.
Dreieck BEG)
Der Körper in Bild a besteht aus fünf Würfeln. Dieser Körper wird gedreht. Welche der
folgenden Figuren (b – e) kann sich ergeben?
a
b c d e
Lösung: d
(nach Hammer, 2011, S. 25)

88 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Hier ist jeweils ein Viereck teilweise verdeckt (unterhalb der waagrechten Linie). Um
welche Art von Viereck kann es sich bei den drei Bildern jeweils handeln? Finde möglichst
viele (alle) Viereckstypen. Begründe jeweils deine Antwort.
Lösung: Links: Quadrat, Rechteck, Trapez, Parallelogramm, Rhombus, Deltoid;
Mitte: Rechteck, Parallelogramm, Trapez; Rechts: Trapez
(nach Roth, 2011, S. 29)
Den Sinn des Festigens von Routinen und des Wachhaltens von Basisfertigkeiten betont
auch Hans Aebli (1991). Eine solche „Übung strebt die Bildung von Automatismen an“, es
sollen „rasche, sichere, aber stereotype Reaktionen“ trainiert werden. Aebli begründet den
daraus entstehenden Nutzen damit, dass durch diese Automatisierung eine gedankliche Beweglichkeit
und Übersicht geschaffen wird, sodass „neue Operationen in höhere Zusammenhänge
integriert werden können“ (Wynands, 2006, S. 114). Erst wenn eine Schülerin/
ein Schüler etwa über bestimmte Rechenschritte nicht mehr nachdenken muss, ist sie/er in
der Lage, mithilfe dieser Rechenschritte neue Probleme zu lösen. Aufgrund der Heterogenität
der Unterrichtsgruppen werden nicht alle Schüler/innen diese Ziele gleichermaßen erreichen.
Wenn weiteres Üben bei einzelnen Schülerinnen und Schülern keinen Fortschritt bringt, so ist
es möglicherweise sinnvoll, trotzdem einen Schritt vorwärts und – falls erforderlich – später
wieder einen Schritt zurück zu gehen, um die Hürde zu nehmen. Es kann nicht erwartet werden,
dass alle die vorgegebenen Ziele zum gleichen Zeitpunkt gleich gut erreichen.
6.2.2 Nachhaltiger Kompetenzaufbau
Im Sinne der Bildungsstandards und der Kompetenzorientierung tritt eine spezielle Form des
Übens in den Mittelpunkt. Es wird nun versucht, den Anteil der Übungen, die auf das reine
Automatisieren abzielen, zu reduzieren und durch Aufgabensequenzen zu ersetzen, die nicht
nur Rechenfertigkeit trainieren, sondern zusätzlich auch den Blick auf Zusammenhänge, Gesetzmäßigkeiten,
Regeln, Methoden oder Begriffe lenken.
Mit Aufgaben dieser Art kann ein wichtiges Denkmuster für strategisches Arbeiten geübt
werden. Von Bedeutung ist dabei, zunächst mit „signifikanten“ Zahlen statt mit Variablen zu
arbeiten. Um das allgemeine Gesetz leichter zu finden, kann man diese signifikanten Zahlen
färbig hervorheben und anschließend durch Variable ersetzen.
Die Erfahrung zeigt, dass das auf Automatisieren abzielende Üben die Schüler/innen allein
nicht befähigen kann, das in einer bestimmten Situation erlernte Wissen auf ähnliche oder
neue Situationen zu übertragen. Für einen derartigen Wissenstransfer müssen übergeordnete
Begriffe und Strukturen herausgearbeitet und begreifbar gemacht werden, Stoffgebiete
vernetzt, neue Erkenntnisse entdeckt und begründete Kommunikation angestoßen werden.
Dem Üben mit Berücksichtigung dieser Aspekte sollte daher ein hoher Stellenwert innerhalb
des Mathematikunterrichts beigemessen werden.

Intelligentes Üben 89
Folgende Aufgaben zum Thema Terme und Größen sollen neben dem Üben von
Basiskompetenzen (Kopfrechnen mit einziffrigen Zahlen, Maßumwandlungen ...) den Blick
auf Zusammenhänge lenken:
1. Rechne aus und ordne die Ergebnisse der Größe nach. Beginne mit der kleinsten
Zahl.
4 + 2 · 3 (4 + 2) · 3 4 · (2 + 3) 4 : (2 – 1)
4 : 2 – 1 4 – 2 · 0 (4 + 2 : 1) · 0
2. Welche Größenangaben gehören zu Längen, welche zu Flächen? Sortiere und
ordne.
0,6 m 0,1 m² 50 mm 80 cm² 10 cm² 1dm² ​ 1__ ​km 66 cm
2
3. Arbeite mit folgenden Längenangaben:
305 m, 905 m, 195 m, 95 m, 550 m, 650 m, 450 m, 915 m, 805 m, 85 m
a. Zwei Längen sollen zusammen höchstens 1,5 km ergeben. Schreibe alle passenden
Längenpaare auf.
b. Wie lang sind x gleich lange Stäbe, die zusammen so lang sind wie alle hier
angegebenen Längen zusammen? Bestimme die Stablängen für verschiedene
x-Werte.
4. Ergänze die Faktoren so, dass eine richtige Gleichung entsteht.
10 · 6 = 5 · __ · __ 100 · 15 = 25 · __ · 3 · __ 9 · 40 = __ · __ · __ · __
(nach Blum, Drüke-Noe, Hartung et al., 2006, S. 116)
Die folgenden Aufgaben zum Thema Gleichungen ermöglichen neben dem reinen Rechnen
das Erkennen von Aufgabenmustern (Anreiz für Entdeckungen) und deren Begründung
(Herausforderung).
1. Rechne und kontrolliere. Ergänze ähnliche Gleichungen.
a. 9 · 11 = 10 · 10 – 1 19 · 21 = 20 · 20 – 1 29 · 31 = 30 · 30 – 1
b. 9 · 1 – 1 = 8 9 · 21 – 1 = 188 9 · 321 – 1 = 2 888 9 · 4 321 – 1 = _______
2. a. Schau dir die Serie von Gleichungen an und kontrolliere.
b. Setze die Reihe um drei weitere Gleichungen fort.
c. Wie heißt die 10. Gleichung? Ist sie richtig?
d. Zeichne für die beiden Seiten der Gleichungen Punktmuster.
Tipp: Links stehen „Quadratzahlen“, rechts „Dreieckszahlen“.
1 = 1
4 – 1 = 1 + 2
9 – 4 + 1 = 1 + 2 + 3
16 – 9 + 4 – 1 = 1 + 2 + 3 + 4

90 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Lösungsvorschlag:
zu c. 100 – 81 + 64 – 49 + 36 – 25 + 16 – 9 + 4 – 1 = 1 + 2 + 3 + ……. + 9 + 10
55 = 55
zu d.
linke Seite rechte Seite 4 linke – 1 Seite = 1 + 2 rechte Seite
(„Quadrat- „Dreiecks- („Quadrat- 3
= 3 „Dreieckszahlen“)
zahlen“ zahlen“) zahlen“
4 – 1
3
=
=
1 + 2
3
9 – 4 + 1
6
=
=
1 + 2 = 3
6
3. Kontrolliere, ergänze und prüfe weitere ähnliche Gleichungen.
(1 + 2) 2 = 1 3 + 2 3
(1 + 2 + 3) 2 = 1 3 + 2 3 + 3 3
(1 + 2 + 3 + 4) 2 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3
9 – 4 + 1
6
=
=
1 + 2 = 3
(nach 6Blum, Drüke-Noe, Hartung et al., 2006, S. 116)
Die folgende Aufgabe verbindet das Erkennen von Aufgabenmustern mit einer geometrischen
Visualisierung:
1. Du siehst hier eine Reihe von Quadraten, deren Seitenlänge immer um ein Kästchen
zunimmt. Sie werden stets nach der gleichen Regel aufgeteilt.
a. Wie setzt sich die Reihe fort?
. . . .
4 2 = 1 · 4 + 3 · 4
5 2 = 2 · 5 + 3 · 5
6 2 = 3 · 6 + 3 · 6

Intelligentes Üben 91
b. Gib einen Term für die Anzahl 10², 30², 50² der Kästchen des Quadrats gemäß
dieser Aufteilung an:
10² = _______________ 30² = ________________ 50² = ________________
c. Gib einen Term für die Anzahl k² der Kästchen des Quadrats gemäß dieser
Aufteilung an und überprüfe ihn durch Termumformung:
k² = _________________
2. Löse die gleichen Aufgaben wie unter Punkt 1 mit der folgenden Aufteilung:
. . . .
4 2 = 2 · 4 + 3 · 2 + 2
5 2 = 2 · 5 + 4 · 3 + 3
6 2 = 2 · 6 + 5 · 4 + 4
3. Erfinde weitere Aufteilungsarten und gib den zugehörigen Term an.
Lösung zu Aufgabe 1:
b) 10 2 = 7 · 10 + 3 · 10 30 2 = 27 · 30 + 3 · 30 50 2 = 47 · 40 + 3 · 40
c) k 2 = (k – 3) · k + 3 · k
(nach Herget, Jahnke & Kroll, 2008, S. 104)
Bereits nach einer kurzen Einführung in das neue Thema beginnt der Prozess des Übens.
Üben und entdeckendes Lernen schließen einander dabei nicht aus (Wynands, 2006,
S. 114). Die angebotenen Übungsaufgaben sollen das eigenständige Denken fördern und
zum Weiterdenken auffordern, um Muster, Regeln oder Strukturen zu erkennen.
Damit Schüler/innen diese Kompetenzen entwickeln und das Gelernte auch auf für sie neuartige
Situationen übertragen können, sind im Allgemeinen viele Lernerfahrungen auf einem bestimmten
Gebiet notwendig. Dabei kann ein vermehrtes Analysieren guter Lösungsbeispiele
Schülerinnen und Schülern zu wirksamen Strategien für die Lösung von Aufgaben verhelfen.
Die kommunikativen Kompetenzen der Bildungsstandards fordern außerdem, diese Erkenntnisse
zu begründen und sich darüber mit anderen – in adäquater Form und mit mathematischen
Sprachmitteln – auszutauschen.

92 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Zusammenfassend spricht man hier von kompetenzorientiertem intelligentem Üben, wobei
möglichst alle Schüler/innen individuell angesprochen und in geeigneter Weise erreicht werden
können.
Beispiel „Wie teuer ist der Ausflug?“:
(Aufgabenstellung mit Schwerpunkten auf arithmetischem Modellieren und Argumentieren)
Fünf Freunde planen einen Ausflug nach Hamburg. Sie fahren mit dem PKW und
wollen dort die Modellbahnausstellung besuchen.
Im PKW finden höchstens
5 Personen Platz.
Benzinkosten gesamt: 150 €
Eintritt Modellbahnausstellung:
8 € pro Person
Kosten pro Person in €: ____ ​ 150
5 ​+ 8
a. Was ändert sich, wenn die Benzinkosten auf 160 € steigen?
b. Was ändert sich, wenn zwei Freunde krank werden?
c. Was ändert sich, wenn insgesamt sechs Freunde mitfahren?
d. Was ändert sich, wenn es in der Ausstellung eine Gruppenkarte zu 28 € für bis zu
sechs Besucher/innen gibt?
e. Mit welchem Term kann man die Gesamtkosten für alle ausrechnen?
f. Finde selbst weitere Fragestellungen.
(nach Marxer, 2012)
6.3 Was üben?
Aufgaben zum Üben neu gelernter Begriffe, zum Stabilisieren, zur Sicherung von Routinen
und zum regelmäßigen Wiederholen von Basiswissen spielen in einem kompetenzorientierten
Unterricht im Sinne der Bildungsstandards nach wie vor eine wesentliche Rolle – sowohl im
Unterricht in der Schule als auch bei den Arbeiten zu Hause.
Ziel des Übens soll es nach Leuders (2009, S. 133) allerdings sein, neben dem Üben von
Kenntnissen und Fertigkeiten eine Reihe weiterer Fähigkeiten gleichermaßen zu fördern.
Dazu zählen
das Verstehen- und Erklären-Können anhand konkreter Vorstellungen,
das Anwenden in neuen Situationen,
das Nutzen übergreifender Strategien in unbekannten Situationen sowie
die Reflexionsfähigkeit, d. h., die Fähigkeit zu beurteilen bzw. zu bewerten.
Abgesehen von den Grundkenntnissen als Voraussetzung für das Anwenden bauen die
angeführten Fähigkeitsaspekte nicht in Stufen aufeinander auf, d. h., es besteht kein zunehmender
Schwierigkeitsgrad. Dadurch besteht weitestgehend für alle Schüler/innen die
Möglichkeit, in allen genannten Fähigkeitsaspekten – bezogen auf ein Thema – zu lernen und
durch gezieltes Üben mit leichten bis schwierigen bzw. elementaren bis vertiefenden Übungen
gefördert zu werden.

Intelligentes Üben 93
Beispiel zum Thema Mittelwert
Wie kannst du den arithmetischen Mittelwert bzw. den Median einer
Datenliste bestimmen?
Berechne jeweils den arithmetischen Mittelwert der folgenden Datenreihe:
Angesprochener
Fähigkeitsaspekt
Kenntnisse
Fertigkeit
1, 3 1, 3, 5 1, 3, 5, 7
Setze die Reihe fort und bestimme wiederum jeweils den arithmetischen
Mittelwert. Betrachte die Mittelwerte. Was fällt dir auf?
Eine Datenliste enthält folgende Werte:
16, 15, 18, 17, 17, 16, 19, 16, 19
Verstehen/
Vorstellung
Der arithmetische Mittelwert beträgt 17.
Tim und Tina haben im Unterricht gefehlt und können nun die Bedeutung
des arithmetischen Mittelwerts nicht verstehen. Hilf ihnen.
Finde eine passende Situation aus dem Alltag zu der oben dargestellten
Datenliste, damit sich Tina und Tim besser vorstellen
können, was ein arithmetischer Mittelwert ist.
Der Preis eines bestimmten Fernsehgeräts wurde bei fünf Anbietern
ermittelt: 399,00 €; 459,00 €; 409,00 €; 399,50 €; 389,00 €
a. Wie teuer ist dieses Fernsehgerät im Durchschnitt?
b. Warum geben Konsumentenvereine häufig den Median und nicht
das arithmetische Mittel der Preise an? Überlege und notiere eine
Begründung.
Ein Ferienhotel macht eine Umfrage unter seinen Gästen, in der nach
der Wichtigkeit der Hotelsauna gefragt wird. Das Ergebnis lautet:
Anwendungsfähigkeit
Strategie
sehr wichtig: 85
ziemlich wichtig: 38
weniger wichtig: 60
unwichtig: 31
Wie wichtig ist den Hotelgästen die Hotelsauna? Erläutere deine
Überlegungen.
Suche zunächst die Durchschnitte (arithmetischer Mittelwert) heraus,
die du ohne Verwendung der Formel bestimmen kannst. Begründe
deine Auswahl.
Reflexionsfähigkeit
(z. B. Bewerten,
Begründen)
a. 4, 5, 5, 5, 5, 6
b. 8, 10, 12, 14
c. 4, 6, 10
d. 10, 5, 5, 5, 10
e. 1, 3, 5, 6
f. 11, 12, 14, 15
(nach Leuders, 2009, S. 133 und 137–139)

94 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
6.4 Wie üben?
Nach Regina Bruder (2008) kann intelligentes Üben nur in einer ruhigen, konzentrierten Arbeitsatmosphäre
stattfinden. Dabei sollen gemeinsam vereinbarte Regeln (Materialien, Lautstärke
etc.) eingehalten und Lernstörungen diskret und beiläufig behoben werden.
Im Fokus steht der Lernprozess der Schüler/innen. Winter und Wittmann (zitiert nach Bruder,
2008, S. 5) forderten bereits in den 1980er-Jahren, dass im Unterricht „entdeckend geübt
und übend entdeckt“ werden soll. Dabei kommt es insbesondere darauf an, dass jede Schülerin/jeder
Schüler individuell aktiv wird. Was im eigenen Tun erforscht, ausfindig gemacht
und erfasst wurde, wird besser und gründlicher behalten.
Motivation und die richtige Einstellung zum Üben sind notwendige Voraussetzungen, damit
Üben zu einem erfolgreichen Prozess werden kann. Durch Lernen und Üben in Sinnzusammenhängen
kann Motivation aus der Sache heraus möglich werden. Verantwortung für das
eigene Lernen und Üben kann gefördert werden, indem die Schüler/innen immer wieder
aufgefordert werden, sich bewusst zu machen, „was“ sie „wie gut“ schaffen.
Die Schüler/innen üben in der Folge überlegter (Worum geht es? Was ist leicht? Was kann
ich schon? Was muss ich noch lernen? usw.). Durch das Erleben von Erfolgen kann neue
Übungsbereitschaft geweckt werden; ein regelmäßiges Bewusstmachen von Inhalten und
Zielen (einsichtiges Lernen) hilft, das Geübte besser zu behalten und den Übungsertrag zu
steigern. Für einen gelingenden Lern- und Übungsprozess ist daher die Ausrichtung auf die
Möglichkeiten und Bedürfnisse der einzelnen Schüler/innen von besonderer Wichtigkeit. Dieser
Forderung kann durch Maßnahmen äußerer Differenzierung – etwa durch Üben an Stationen
oder durch Arbeiten mit individualisierenden Wochenplänen bzw. mit Kompetenzrastern
– Rechnung getragen werden.
Eine andere Möglichkeit, die zu einer inneren Differenzierung führt, ist das Üben mit sogenannten
„selbstdifferenzierenden Aufgaben“. Das sind Aufgaben, die allen Schülerinnen und
Schülern (auch unterschiedlicher Leistungsniveaus) ein Üben an denselben Aufgaben in geeigneter
Weise ermöglichen, sodass jede Schülerin/jeder Schüler auf ihrem/seinem Niveau
Nutzen aus den Übungen ziehen kann (vgl. S. 47). Aufgaben, die diesem differenzierenden
Anspruch genügen, berücksichtigen meist folgende drei Aspekte:
1. einen Einstieg, der zum Problem hinführt und für niemanden eine unüberwindliche Hürde
darstellt
2. den Kern der Sache, eine gehaltvolle mathematische Problemstellung zum aktuellen
Lehrstoff
3. eine „Rampe“, die Schüler/innen zu einem geistigen „Höhenflug“ einlädt, der freilich
manchmal nicht jeder/jedem gelingen wird 1 (Hammer, 2007, S. 110–114)
Im Gegensatz zum kleinschrittigen Üben sollen die Schüler/innen durch das Üben in Sinnzusammenhängen
befähigt werden, eigene Denkleistungen zu erbringen. Hindernisse und
Widerstände auf dem Weg zum Ziel sollen dabei weitestgehend selbstverantwortlich überwunden
werden. Nach der ersten individuellen Auseinandersetzung mit dem Übungsbeispiel
kann ein Austausch mit einer Partnerin/einem Partner oder in Kleingruppen fruchtbringend
sein.
1 Hier kann z. B. verlangt werden, Verbindungen herzustellen oder den im Kern bearbeiteten Spezialfall
zu verallgemeinern. Man kann auch Entdeckungen ermöglichen oder Problemlösestrategien anregen.

Intelligentes Üben 95
Beispiel:
a. Einstieg
Es sind die Zahlen 1, 2 und 3 gegeben. Bilde alle möglichen Bruchzahlen aus
jeweils zwei dieser Zahlen und sortiere sie der Größe nach. (Eine Mehrfachverwendung
der gegebenen Zahlen ist erlaubt.)
b. Kern der Sache
Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn du die Zahlen 1, 2, 3, 5 und 7 verwendest?
Wie viele dieser Bruchzahlen haben Werte, die kleiner als 1 sind?
c. Rampe
Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn du die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n verwendest?
Haben die Bruchzahlen alle unterschiedliche Werte? Forsche weiter.
Lösungsvorschlag:
(Hammer, 2007, S. 110–114)
a. ​ 1__ ​< ​1__ ​< ​2__ ​< ​1__ ​= ​2__ ​= ​3__ ​< ​3__ ​< ​2__ ​< ​3__
3 2 3 1 2 3 2 1 1 ​
b. ​ 1__
1 ​ ​1__ 2 ​ ​1__ 3 ​ ​1__ 5 ​ ​1__ 7 ​ Zehn Bruchzahlen haben einen Wert kleiner als
​ 2__
1, abzulesen oberhalb der „Diagonale“ von links
1 ​ ​2__ 2 ​ ​2__ 3 ​ ​2__ 5 ​ ​2__ 7 ​ oben bis rechts unten in der nebenstehenden
​ 3__
Darstellung.
1 ​ ​3__ 2 ​ ​3__ 3 ​ ​3__ 5 ​ ​3__ 7 ​
​ 5__
1 ​ ​5__ 2 ​ ​5__ 3 ​ ​5__ 5 ​ ​5__ 7 ​
​ 7__
1 ​ ​7__ 2 ​ ​7__ 3 ​ ​7__ 5 ​ ​7__ 7 ​
c. ​ 1__
1 ​ ​1__ ​
2
............. ​1__
n ​
​ 2__
1 ​ ​2__ ​
2
............. ​2__
n ​
. .
. .
. .
​ n__ ​ ..................... ​n__
1 n ​
n Spalten, n Zeilen, d. h. n ∙ n = n² Bruchzahlen
insgesamt. Darin sind n uneigentliche Brüche,
dargestellt in der „Diagonale“ von links oben bis
rechts unten, enthalten.
Die Anzahl der Bruchzahlen mit einem Wert
kleiner als 1 lässt sich daher mit dem Term
(n² – n) : 2 berechnen. Dies entspricht allen
Bruchzahlen oberhalb der „Diagonale“ von links
oben bis rechts unten in der nebenstehenden
Darstellung.
Analog wird die Anzahl der Brüche mit einem
Wert größer als 1 berechnet.
Eine zusätzliche Möglichkeit zur Unterstützung bieten Hilfekärtchen für gestufte Hilfen im
Hinblick auf Inhalte und/oder Lösungsstrategien. Diese können geordnet am Lehrertisch
aufgelegt werden; die Schüler/innen holen sich dann bei Bedarf einzelne Hilfekärtchen. Ein
letztes Hilfekärtchen gibt eine mögliche Darstellung des gesamten Lösungswegs an, sodass
tatsächlich jede Schülerin/jeder Schüler das zu bearbeitende Problem selbstständig lösen
kann. Die Antwort dazu ermöglicht eine Selbstkontrolle.

96 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Beispiel für eine gestufte strategische Hilfe zu b.:
Hilfe 1
Erstelle eine übersichtliche
Tabelle, damit du
sichergehen kannst, alle
Möglichkeiten zu erfassen.
Antwort zu Hilfe 1
Stufe 1
Nenner
Zähler 1 2 3 5 7
1
2
3
5
7
Antwort zu Hilfe 1
Stufe 2
​ 1__
1 ​ ​1__ 2 ​ ​1__ 3 ​ ​1__ 5 ​ ​1__ 7 ​
​ 2__
1 ​ ​2__ 2 ​ ​2__ 3 ​ ​2__ 5 ​ ​2__ 7 ​
​ 3__
1 ​ ​3__ 2 ​ ​3__ 3 ​ ​3__ 5 ​ ​3__ 7 ​
​ 5__
1 ​ ​5__ 2 ​ ​5__ 3 ​ ​5__ 5 ​ ​5__ 7 ​
​ 7__
1 ​ ​7__ 2 ​ ​7__ 3 ​ ​7__ 5 ​ ​7__ 7 ​
Das Arbeiten mit einer Partnerin/einem Partner oder in Lerngruppen fördert zudem die kommunikativen
Fähigkeiten und das Reflektieren über das Tun, wie es die Bildungsstandards
verlangen.
Übungsphasen stellen einen wesentlichen Teil in einem vollständigen Lernzyklus dar und
sollten nach Möglichkeit von Lehrkräften begleitet werden. Um zu gewährleisten, dass
die Lehrkraft sich mit einzelnen Schülerinnen und Schülern und ihren individuellen Problemen
auseinandersetzen kann, müssen genügend Zeit und Raum zur Verfügung stehen.
Unterstützt werden können die Lehrer/innen fallweise durch leistungsstarke Schüler/innen,
die als Tutorinnen und Tutoren fungieren. Peer-Tutoring ist eine besonders intensive Art von
Partnerarbeit, bei der Schüler/innen spezifische Funktionen von Lehrkräften übernehmen.
Damit geht auf der einen Seite ein Lernen durch Lehren für die Tutorin/den Tutor, auf der
anderen Seite ein Unterstützen und Fördern der Mitschülerin/des Mitschülers einher. Gut
gelingt dies mithilfe von Tutorinnen und Tutoren, die über die entsprechenden fachlichen und
sozialen Kompetenzen verfügen (vgl. BIFIE, 2011a, S. 131–132).
Fehler, die sich beim Üben einschleichen können, sollen frühestmöglich korrigiert werden, da
sie sich im weiteren Verlauf des Übens sonst festigen und so den Lernerfolg beeinträchtigen.
Neben der Selbstkontrolle durch die Schüler/innen – etwa mithilfe von Lösungsblättern –
oder der Kontrolle durch die Lehrkraft bietet auch das Bilden von Tandems Entlastung in der
Reflexions- und Kontrollphase. Schüler/innen stellen sich wechselseitig Lösungswege bzw.
Lösungsstrategien vor, vergleichen die Ergebnisse, diskutieren über die Lösungswege und
interpretieren ihre Ergebnisse. Fehler sind dabei keine Schande, sondern eine Chance. Die
Analyse falscher oder unbrauchbarer Lösungswege kann den Lernprozess erneut in Gang
bringen. Der fehlerhafte Ansatz muss in Ruhe durchschaut werden können, um neue Lösungswege
zu finden.
Üben im Rahmen der Hausübungen bietet für Schüler/innen die Chance, sich noch einmal
individuell und aktiv mit den Lerninhalten zu beschäftigen. Eltern haben dabei motivierende
Funktion, sind aber im Allgemeinen keine didaktisch geschulten Ansprechpartner/innen. Es
soll daher kein Druck bestehen, alle Aufgaben unbedingt richtig gelöst in die Schule mitzubringen.
Von den Schülerinnen und Schülern selbstständig bearbeitete Hausaufgaben in
schriftlicher Form sollen von der Lehrkraft kontrolliert und gewürdigt werden.

Intelligentes Üben 97
6.5 Wann und wie oft üben?
Es ist günstig, oft, aber kurz und ohne Zeitdruck zu üben.
Bezogen auf die Unterrichtsstunde soll dem Üben genügend Platz eingeräumt werden.
Üben darf nicht erst in den letzten Minuten der Unterrichtsstunde beginnen oder zur Gänze
in Hausübungen ausgelagert werden.
Bezogen auf den Lernprozess ist unmittelbares, kontinuierliches und immanentes Üben
erforderlich.
Üben begleitet den gesamten Lernprozess, wobei unterschiedliche Typen von Übungen
zweckmäßig sind:
Am Anfang (unmittelbar nach dem ersten Eintauchen in das neue Thema) sind mehr oder
weniger gestützte Übungen mit konkretem Material und zeichnerischen Darstellungen
sinnvoll. Diese bilden nicht nur die Grundlage für den Aufbau von Basiswissen und Grundfertigkeiten,
sondern leiten auch höhere Denkprozesse an. Die Symbolsprache der Mathematik
ist behutsam als eine immer kürzere Bezeichnung dieser anschaulichen Operationen
aufzubauen.
Im Mittelstück sind reflexive Übungen von Vorteil. Dabei werden in einer ersten Phase die
Fertigkeiten bzw. Wissenselemente individuell geübt. Das entspricht der traditionellen
Form des unstrukturierten Übens. In einer zweiten Phase wird die in der Aufgabenserie
steckende Struktur erforscht und nach Zusammenhängen gesucht, wobei höhere Denkleistungen
zu erbringen sind.
Den Abschluss sollen Automatisierungsübungen und immanente Übungen (Üben im
Zuge einer übergeordneten Fragestellung) im Wechsel mit Einheiten zum Erkunden, Entdecken
und Anwenden bilden.
Ein Automatisieren gewisser grundlegender Wissenselemente und Fertigkeiten durch reines
Üben ist auch im Konzept des intelligenten Übens vorgesehen. Doch ist darauf zu achten,
dass der Übergang zu diesem Übungstyp nicht zu früh passiert, um nicht den Prozess des
Verstehens zunichte zu machen (z. B. durch zu frühe Bekanntgabe der Bruchrechenregeln
nach Einführungsbeispielen zum Verstehen). Das immanente Üben ist ein sehr anspruchsvoller
Übungstyp und fordert die Schüler/innen in doppelter Weise. Zeitgleich mit der Nutzung
grundlegenden Wissens und der Ausführung der betroffenen Fertigkeiten müssen die Schüler/innen
auch die übergeordnete Zielsetzung im Auge haben.
Sogenannte Bauaufgaben 2 (siehe auch Kapitel 5, S. 69) fordern ein solches indirektes Üben,
das als besonders wirksam angesehen wird. Durch den langfristigen Kompetenzaufbau im
Mathematikunterricht erfolgt das immanente Üben zu einem gewissen Teil auch automatisch,
da frühere Übungsinhalte im Verlauf des Unterrichts von selbst wiederkehren und so frühere
Themen und Inhalte immer wieder gefestigt werden. Zum Beispiel werden beim Lösen von
Gleichungen das Rechnen mit ganzen Zahlen und Bruchzahlen, das Operieren mit Termen
und das Berechnen des Werts eines Terms (Überprüfung der Richtigkeit der Lösung durch
eine Probe) durch ein entsprechendes Angebot, je nach Bedarf und Zielsetzung, indirekt
wieder geübt.
Das Bearbeiten von alltagsbezogenen Sachaufgaben fordert neben der Kompetenz des Modellierens
auch das Anwenden von Routinen aus verschiedenen mathematischen Bereichen
zur Lösungsfindung. Bereits erfasste und abgespeicherte Abfolgen von Denk- und Handlungsschritten
müssen wieder präsent gemacht, richtig eingesetzt und immer wieder neu
vernetzt werden. Dadurch können die Grundkompetenzen im jeweiligen, individuell bestehenden
Wissensnetz nachhaltig verankert werden.
2 Vgl. dazu etwa BMBWK, 2006, S. 57 (Beispiel Fußgängerzone) sowie BIFIE, 2011a, S. 127–131
(Beispiel Windkraftwerk).

98 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
6.6 Tipps für erfolgreiches, intelligentes Üben
Erfolgsfaktoren beim Üben
„Der Erfolg des Übens wird erhöht, wenn der Gegenstand des Übens für den Schüler
subjektiv bedeutsam ist.
Der Erfolg des Übens wird erhöht, wenn er mit einem hohen Grad von Selbsttätigkeit
verknüpft ist.
Sinnvolle, strukturierte Zusammenhänge werden leichter gelernt und bleiben besser im
Gedächtnis haften als zusammenhanglose Informationen.
Das Üben fällt leichter und der Lernerfolg ist höher, wenn zuvor Gesetzmäßigkeiten,
Oberbegriffe, Prinzipien und logische Verknüpfungen des neuen Sinn-, Sach- oder Problemzusammenhangs
erarbeitet worden sind.
Das Behalten des Gelernten wird erleichtert, wenn es mit bekannten älteren Wissensbeständen
bzw. Kompetenzbereichen verknüpft wurde.
Das Einprägen wird erschwert, wenn parallel dazu oder gleich danach ähnlich strukturierte
Inhalte gelernt werden sollen (Ähnlichkeitshemmung).
Das Behalten des Gelernten wird erschwert, wenn gleich danach interessante und aufregende
neue Inhalte zur Kenntnis genommen werden.
Regelmäßige Übungsphasen erhöhen den Erfolg.
Die meisten Menschen lernen besser, wenn sie sowohl auditiv wie visuell unterstützt werden.
Neu Gelerntes in den folgenden zwei Tagen wiederholen. (Nach 5 Tagen sind 70 % vergessen.)
Nur was immer wieder reaktiviert und angewandt wird, wird dauerhaft behalten und gekonnt.
In der Mittagszeit lernt sich's am schlechtesten!“ (zitiert nach Bruder, 2008, S. 5)
Literatur
Aebli, H. (1991). Zwölf Grundformen des Lehrens: eine allgemeine Didaktik auf psychologischer
Grundlage. Stuttgart: Klett-Cotta.
Arbeitsgruppe Fachdidaktik der Mathematik der TU Darmstadt (o. J.). Material Mathe. Kopfübung.
Verfügbar unter http://www.problemloesenlernen.dvlp.de/files/material/klasse6/
Kopfuebung_Klasse_6.pdf [28.09.2012].
Barzel, B., Holzäpfel, L., Leuders, T. et al. (2011). Mathematik unterrichten: Planen, durchführen,
reflektieren. Berlin: Cornelsen Scriptor.
Blum, W., Drüke-Noe, C., Hartung, R. et al. (Hrsg.) (2006). Praxisbuch: Bildungsstandards
Mathematik: konkret, Sekundarstufe I: Aufgabenbeispiele, Unterrichtsanregungen, Fortbildungsideen.
Berlin: Cornelsen Scriptor.
Bruder, R. (2008). Üben mit Konzept. In Mathematik lehren 147. Verfügbar unter http://www.
friedrich-verlag.de/data/8E141877AF43410FB4C6382625AAFDBC.0.pdf [17.05.2012].
Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens
(BIFIE) (Hrsg.) (2011a). Kompetenzorientierter Unterricht in Theorie und Praxis. Graz:
Leykam. Verfügbar unter https://www.bifie.at/node/351 [27.09.2012].
Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens
(BIFIE) (Hrsg.) (2011b). Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe. 2., überarbeitete
Auflage. Graz: Leykam. Verfügbar unter https://www.bifie.at/node/315 [27.09.2012].

Intelligentes Üben 99
Bundesministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur (BMBWK) (Hrsg.) (2006). Exemplarische,
beziehungsreiche Aufgaben. Erweiterung des Aufgabenpools zur Version 3.0 der
Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe. Wien. Verfügbar unter http://
www.gemeinsamlernen.at/siteVerwaltung/mOBibliothek/Bibliothek/Broschuere_M8_Aufgaben_Februar_2006.pdf
[29.09.2012].
Hammer, C. (2007). Durch Aufgaben gesteuerter Mathematikunterricht. In Bayrisches Staatsministerium
für Unterricht und Kultus (Hrsg.). SINUS Bayern. Beiträge zur Weiterentwicklung
des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts. Verfügbar unter http://www.sinusbayern.de/userfiles/Broschuere_2007/K5/K52L.pdf
[17.05.2012]. S. 110–115.
Hammer, C. (2011). Immer mal wieder ... 25 Aufgabenideen zur Kopfgeometrie. In Mathematik
lehren 167. S. 25–27.
Haug, R. (2006). Produktives Üben des räumlichen Vorstellungsvermögens – virtuelle Räume
neu entdecken. In PM – Praxis der Mathematik in der Schule 48/12. S. 32–36.
Haug, R., Harter, S. & Holzäpfel, L. (2010). Sinnstiftenden Mathematikunterricht selbst entwickeln.
Skriptum. Freiburg: Pädagogische Hochschule Freiburg.
Herget, W., Jahnke, T. & Kroll, W. (2008). Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht
– Sekundarstufe I: 5.–10. Schuljahr. Aufgabensammlung. Berlin: Cornelsen.
Leuders, T. (2009). Intelligent üben und Mathematik erleben. Verfügbar unter http://www.
ehrenamt-bw.de/servlet/PB/-s/1ohvjubvd0kzltfo60nq72f46fgeaj0/show/1339305/2009_
leuders_intelligent_ueben_mathemagische_momente.pdf [17.05.2012].
Leuders, T. & Wittmann, G. (2006). Produktives Üben im Geometrieunterricht . In PM – Praxis
der Mathematik in der Schule 48/12. S. 1–7.
Marxer, M. (2012). Arithmetisches Modellieren – Vorerfahrungen zu Variablen und Termen
ermöglichen. In Mathematik lehren 171. S. 49–54.
Michel, C. & Novak, F. (1990). Kleines psychologisches Wörterbuch. Erweiterte und aktualisierte
Neuausgabe. Freiburg: Herder.
Paradies, L., Linser, H. & Greving, J. (2007). Diagnostizieren, Fordern und Fördern. Berlin:
Cornelsen Scriptor.
Roth, J. (2011). Geometrie im Kopf. Bewegliches Denken nutzen und fördern. In Mathematik
lehren 167. S. 28–31.
Rüdell, E. (2010). Das BASIS-Buch des Lernens. Mehr Erfolg für unsere Kinder in der Schule.
Seelze: Kallmeyer.
Ruf, U., Keller, S. & Winter, F. (2008). Besser lernen im Dialog. Dialogisches Lernen in der
Unterrichtspraxis. Seelze: Kallmeyer.
Wynands, A. (2006). Intelligentes Üben. In Blum, W., Drüke-Noe, C., Hartung, R. et al.
(Hrsg.). Mathematik: konkret, Sekundarstufe I: Aufgabenbeispiele, Unterrichtsanregungen,
Fortbildungsideen. Berlin: Cornelsen Scriptor. S. 113–125.

Technologieeinsatz im Mathematikunterricht 101
7 Technologieeinsatz im Mathematikunterricht
7.1 Welche Technologien können zum Einsatz
kommen?
Sieglinde Fürst
Das Wort Technologie meint in diesem Zusammenhang:
elektronische Werkzeuge
einfache Taschenrechner
grafikfähige Taschenrechner
CAS-Rechner 1
Tabellenkalkulation (z. B. Excel)
dynamische Geometriesoftware (z. B. GeoGebra)
elektronische Lernmedien
Lernpfade
CD-ROM- und Internet-basierte Lernumgebungen
Applets
dynamische Webseiten (z. B. dynamische GeoGebra-Arbeitsblätter)
elektronische Wissensbasen
Internet als Informationsquelle (z. B. Google, Wikipedia, YouTube)
CDs mit mathematischen Übungsprogrammen
mit CDs ausgestattete Schulbücher
Darüber hinaus lässt sich das Internet als Kommunikationsmedium nützen, wo via E-Mail
oder Lernplattformen ein Austausch zwischen Lehrer/in und Schüler/in möglich ist. Neue
Entwicklungen sind zu beobachten (z. B. Entwicklung von interaktiven Lehrbüchern), die
eine ständige Weiterbildung der Lehrer/innen und eine Nachjustierung des Unterrichtsgeschehens
bedingen. Der Mathematik-Lehrplan der Sekundarstufe führt als Bildungs- und
Lehraufgabe „verschiedene Technologien (z. B. Computer) einsetzen können“ an und fordert:
„Die Möglichkeiten elektronischer Systeme bei der Unterstützung schülerzentrierter, experimenteller
Lernformen sind zu nutzen“.
Im vorliegenden Kapitel soll keinem bestimmten Gerät oder Programm der Vorzug gegeben,
vielmehr sollen die Möglichkeiten des Technologieeinsatzes im Allgemeinen beleuchtet werden.
7.2 Warum Technologie?
Was sagen Lehrer/innen, die Technologie einsetzen?
Der gesellschaftliche Umbruch, den das Informationszeitalter auf allen Ebenen gebracht hat,
muss auch im schulischen Alltag Niederschlag finden. Daher seien einige Aspekte angeführt,
die für den Einsatz von Technologie im Mathematikunterricht sprechen:
Das frühe Erlernen von Computertechniken (Tabellenkalkulation, Zeichenprogramme,
Textverarbeitung usw.) fördert nachhaltigen Wissenserwerb.
Dem Mangel an Fachkräften in technischen Berufen sollte durch die zunehmende Förderung
technischer Kompetenzen bei den Schülerinnen und Schülern begegnet werden.
1 CAS = Computer-Algebra-Systeme

102 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung sieht ab dem Schuljahr 2015/16 für die Reifeund
Diplomprüfung an BHS Mindestanforderungen an die Technologie (www.bifie.at/
node/81) bzw. ab dem Schuljahr 2017/18 an AHS den verpflichtenden Einsatz von höherwertiger
Technologie (DGS, CAS, Tabellenkalkulation) vor.
Das selbstverständliche Umgehen mit neuen Technologien ist vor allem für die künftige
Berufswahl von Mädchen wichtig, da diese tendenziell leider noch immer weniger an
Technik interessiert sind bzw. weniger oft technische Berufe wählen als männliche Jugendliche
und damit ihre beruflichen Zukunftsaussichten verschlechtern (OECD, 2008;
OECD, 2012).
Immer mehr Haushalten steht ein (mobiler) Computer zur Verfügung.
Die Rolle der Lehrerin/des
Lehrers wandelt sich.
Man ist nicht immer die/der
Alleinwissende.
Auch außerhalb der Unterrichtszeit
wird gefragt, diskutiert, nach
Lösungen gesucht.
Entdeckendes
Lernen wird
gefördert.
Probleme beim
Umgang mit dem
Gerät können oft
nur gemeinsam
gelöst werden.
Der Kontakt zwischen
Lehrpersonen und den Kindern,
aber auch jener zwischen den
Schülerinnen und Schülern wird
gefördert.
Die Motivation im Unterricht steigt.
Für mich ist das soziale Lernen der
Kinder die bedeutendste Erfahrung.
Abb. 1: Aussagen von Lehrerinnen und Lehrern
Ein Argument, das immer wieder gegen den Technologieeinsatz vorgebracht wird, ist das
Zurückdrängen von händischen Fertigkeiten. Auf grundlegende mathematische Rechenfertigkeiten
darf natürlich nicht vergessen werden. Was als „grundlegende Rechenfertigkeit“ zu
gelten hat, muss allerdings festgelegt werden.
Die mit Technologieeinsatz einhergehenden Veränderungen des Unterrichts geben Anlass zur
Hoffnung, dass Schüler/innen verstärkt zu selbstständigem Wissenserwerb angeregt werden
und damit vermehrt eine sachbezogene Motivation zum Lernen aufbauen.
Früher Technologieeinsatz fordert auf zum Experimentieren, Interpretieren von Lösungen,
Suchen unterschiedlicher Lösungswege und Begründen. Daher unterstützt früher Technologieeinsatz
eher repetitiv Lernende (= Auswendiglernen von Lösungsstrategien, Einüben
gewisser Schemata) beim verständigen Lernen. Dieses verständige Lernen ist anzustreben,
denn Schüler/innen, die versuchen, den Inhalt zu verstehen und mit bereits Bekanntem zu
verknüpfen, schneiden auch in Prüfungssituationen wesentlich besser ab. Interessante Erkenntnisse
über unterschiedliche Lerntypen und erfolgreiche Lernstrategien finden sich im
Praxishandbuch Mathematik AHS Oberstufe (BIFIE, 2011b, S. 33).
7.3 Einfluss des Technologieeinsatzes auf den
Unterricht
Technologieeinsatz sollte nicht nur sporadisch im Unterricht erfolgen, sondern den Mathematikunterricht
kontinuierlich begleiten. Dies bedeutet, dass Änderungen in den didaktischen
Zugängen, im Lernprozess, aber auch in den Sozialformen des Unterrichtsgeschehens auftreten.
Erfahrungen zum Technologieeinsatz liegen aus mehreren Unterrichtsprojekten vor;
viele Materialien, die unmittelbar oder mit kleinen Änderungen im Unterricht eingesetzt werden
können, sind bereits verfügbar.

Technologieeinsatz im Mathematikunterricht 103
Technologieeinsatz unterstützt
entdeckendes Lernen und trägt zu nachhaltigem Wissenserwerb bei. Mathematische Zusammenhänge,
Rechenregeln oder Eigenschaften von geometrischen Figuren werden
von den Schülerinnen und Schülern mittels Technologie selbstständig erkannt bzw. erarbeitet.
das Auffinden eigener Lösungsstrategien, da Vermutungen und Rechnungen schnell
überprüft werden können.
die Kompetenzentwicklung in den Handlungsbereichen Modellbilden und Interpretieren
sowie Argumentieren und Begründen.
das Lesen und Verstehen von Texten.
Interpretationen von Ergebnissen im Kontext.
Das schriftliche Rechnen tritt bei verstärktem Technologieeinsatz in den Hintergrund.
Helmut Heugl (BIFIE, 2011b, S. 73) gibt für den Einsatz von Technologie vier verschiedene
Bereiche an. Diese gelten auch für die Sekundarstufe I:
Visualisieren
Experimentieren
Modellieren
Rechnen
7.3.1 Visualisieren
Visualisierungen sind in verschiedenen Inhalten, wie etwa in der Statistik oder Funktionenlehre,
absolut notwendig (BIFIE, 2011a, S. 18 und S. 34). Mit Technologie stehen grafische
Darstellungen gerade in heterogenen Gruppen für alle schnell zur Verfügung. Sie sind Hilfen
sowohl bei der Lösung von Aufgaben als auch für das vertiefende Verständnis. Diese beiden
Aspekte werden von den folgenden beiden Aufgaben angesprochen:
Beispiel: Grafisches Darstellen von Daten
Die 3A und die 3B fahren gemeinsam auf Projektwoche in den Pinzgau. Es werden
vier verschiedene Projekte angeboten:
Projekt 1: Wanderung zur Thüringerhütte
Projekt 2: Mineralien suchen im Harbachtal
Projekt 3: Besuch des Kraftwerks Kaprun
Projekt 4: Besuch eines Kupferschaubergwerks
Die Schüler/innen stimmen ab, was sie am liebsten machen wollen. Die Ergebnisse
sind in folgender Tabelle zusammengefasst:
Projekt 3A 3B
1 5 2
2 9 4
3 6 7
4 3 6

104 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Stelle mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms die Wahl der 3A und der 3B sowie
beider Klassen gemeinsam in jeweils einem Kreisdiagramm dar. Wie sollen die Lehrkräfte
entscheiden? Begründe die Entscheidung.
Mögliche Lösung:
Die Lehrkräfte könnten versuchen, sowohl Projekt 2 als auch Projekt 3 durchzuführen,
da gleich starkes Interesse besteht, wie das Kreisdiagramm zeigt. Sie könnten auch
nochmals über diese beiden Projekte abstimmen lassen (Stichwahl).
Kommentar:
Diese Aufgabe ist bei Einsatz einer Tabellenkalkulation, die das Zeichnen von Grafiken einschließt,
für alle lösbar. Die gegebene Tabelle kann, wie oben angedeutet, direkt in das Programm
Excel übernommen werden. Die Summen können entweder mit einer Formel oder im
Kopf berechnet werden. Das dreimalige Zeichnen eines Kreisdiagramms bewirkt ein Einüben
der notwendigen Programmschritte ohne viel Zeitaufwand. Kreisdiagramme erfordern beim
händischen Zeichnen viel Aufwand und Wissen (Arbeiten mit Winkelmaßen), was den Einsatz
von Technologie begründet.
Beispiel: Grafisches Lösen von Gleichungssystemen – Lösungsfälle
Die nächste Aufgabe bezieht sich auf ein Kapitel, das die Vernetzung von Algebra und Funktionslehre
aufzeigt, nämlich das Lösen von Gleichungen (= Aufsuchen von Nullstellen einer
Funktion) und von Gleichungssystemen (= Schnitt zweier Funktionsgraphen).

Technologieeinsatz im Mathematikunterricht 105
Beim Lösen von Gleichungssystemen werden bevorzugt Gleichungssysteme verwendet, die
eine eindeutige Lösung haben. Bei nicht eindeutig lösbaren Gleichungssystemen (d. h. keine
oder unendlich viele Lösungen) agieren die Schüler/innen oft hilflos und glauben, sich verrechnet
zu haben. Hier unterstützt die Visualisierung der Lösungsfälle durch eine grafische
Darstellung die Schüler/innen in ihrem Lernprozess und trägt damit zur Nachhaltigkeit bei.
Sind die Bilder erst im Kopf, kann leichter auf den Algorithmus rückgeschlossen werden.
Ist ein lineares Gleichungssystem gegeben, muss den Schülerinnen und Schülern bewusst
werden, dass Gleichungen der Form a · x + b · y = c (b ≠ 0) als lineare Funktionen interpretiert
werden können und somit als Graphen darstellbar sind.
Beispiel: Grafisches Lösen von Gleichungssystemen – Lösungsfälle
Gleichungssystem 1 Gleichungssystem 2 Gleichungssystem 3
2x – y = 5 2x – y = 5 2x – y = 5
x + 2y = 5 4x – 2 y = 2 y = 2x – 5
a. Löse die drei Gleichungssysteme rechnerisch ohne Technologieeinsatz.
b. Löse die drei Gleichungssysteme grafisch mit Technologieeinsatz.
c. Wie viele Lösungen können auftreten?
d. Woran erkennst du schon in der Angabe, welcher Lösungsfall eintreten wird?
Zusatzaufgabe:
Finde selbst Gleichungssysteme, die keine Lösung bzw. unendlich viele Lösungen
haben. Beschreibe, worauf du achten musst.
Lösung zu b. und c. mit GeoGebra:
Gleichungssystem 1: eine Lösung x = 3, y = 1

106 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Gleichungssystem 2: keine Lösung
Gleichungssystem 3: unendlich viele Lösungen
Kommentar:
Arbeitsauftrag d. wird eher für leistungsstarke Schüler/innen interessant sein. Man könnte
die Fragestellung auch offener gestalten (z. B.: Löse die 3 Gleichungssysteme grafisch und
überprüfe durch Rechnung. Was fällt dir auf? Notiere deine Beobachtungen).
Durch gezieltes Fragen kann man die Schüler/innen dahingehend führen, passende Zahlen
auszuprobieren. Die meisten Schüler/innen werden erkennen, dass es nur dann unendlich

Technologieeinsatz im Mathematikunterricht 107
viele Lösungen gibt, wenn die erste und zweite Gleichung Vielfache voneinander sind. Trifft
dies nur auf die Koeffizienten von x und y zu, gibt es keine Lösung. Vermutungen können
auch bei diesem Beispiel durch Experimentieren mit dem Programm bestätigt oder verworfen
werden.
Das Arbeiten mit Geometrieprogrammen wie GeoGebra, das kostenlos im Internet zur Verfügung
steht, hat viele Vorteile. Dynamische Geometrieprogramme bieten eine Fülle von Einsatzmöglichkeiten
ab der 5. Schulstufe. Lernenden macht Mathematik damit Spaß. Auch
motorisch ungeschicktere Schüler/innen erhalten mit einem Zeichenprogramm exakte Figuren.
Mit dem Einsatz von Farben, Schattierungen und Linienstärken können individuelle, oft
fast künstlerische Blätter entstehen. Dies stärkt das Selbstwertgefühl und das Vertrauen in
das eigene Können. Beides sind wichtige Aspekte erfolgreichen Lernens.
Eigenschaften von geometrischen Objekten können selbst entdeckt werden. Man kann Längen
und Winkel messen, die Figur verschieben usw. Somit können Geometrieprogramme
nicht nur einen wichtigen Beitrag zur Visualisierung mathematischer Sachverhalte liefern,
sondern auch zum Experimentieren eingesetzt werden.
7.3.2 Experimentieren
Durch Technologieeinsatz können Vermutungen aufgestellt, untersucht und gegebenenfalls
bewiesen werden.
Beispiel: Entdeckungen im Dreieck
Aufgabe 1. Teil:
Mit einem dynamischen Geometrieprogramm wird in einem Halbkreis ein Dreieck gezeichnet.
Man vermutet, dass der Winkel ACB ein rechter Winkel ist. Durch seine
Messung und durch Verschieben des Punkts C kann gezeigt werden, dass diese
Vermutung stimmt (Satz von Thales) (vgl. BIFIE, 2011a, S. 21).
Mögliche Lösung mit GeoGebra:
Kommentar:
Diese Aufgabenstellung wird auch von „Sorgenkindern“ bewältigt und bietet viele Möglichkeiten,
weiter zu forschen. Dies illustrieren die folgenden Aufgabenstellungen.

108 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Aufgabe 2. Teil:
Konstruiere ein Dreieck ABC aus den beiden Endpunkten A und B des Durchmessers
eines Halbkreises und einem weiteren Punkt C, der auf diesem Halbkreis liegt.
Bewege den Punkt C auf dem Kreisbogen und entscheide, ob folgende Sätze wahr
oder falsch sind.
Aussage wahr falsch
α + β ergibt immer 80°.
Die Summe α + β hat immer denselben Wert.
α kann nie größer als β sein.
β ist immer kleiner als 90°.
γ misst immer 90°.
Die Summe der beiden Winkelgrößen α und β ist gleich groß wie
der Winkel γ.
Kommentar:
Wird die obige Tabelle in der Großgruppe besprochen, sollte man auch Erklärungen einfordern,
warum manche Aussagen falsch sind.
Aufgabe 3. Teil:
Zeichne über jeder Seite ein Quadrat und miss die Flächeninhalte. Benutze nun die
Tabelle. Trage die Flächeninhalte in drei Spalten ein. Errechne in der 4. Spalte a 2 + b 2
und in der 5. Spalte c 2 . Ändere dein Dreieck durch „Ziehen“ der Eckpunkte. Was fällt
dir auf?
Möglicher Lösungsweg:

Technologieeinsatz im Mathematikunterricht 109
Kommentar:
Unter Verwendung des Tabellenkalkulationsprogramms kann die Gültigkeit des pythagoreischen
Lehrsatzes für verschiedenste rechtwinkelige Dreiecke überprüft werden. Für weniger
leistungsstarke Schüler/innen genügt es, den Lehrsatz damit einprägsam zu demonstrieren.
Schülerinnen und Schülern mit höherem Leistungsniveau sollte man bewusst machen, dass
damit noch kein exakter Beweis für die Gültigkeit des pythagoreischen Lehrsatzes erfolgt ist
(Beweise sind in allen Lehrbüchern vorhanden). Man weiß nicht, ob er wirklich für alle rechtwinkeligen
Dreiecke gilt. Damit wird verständlich, dass Beweise in der Mathematik stets so
zu führen sind, dass sie Allgemeingültigkeit haben. 2
7.3.3 Modellieren
Technologie ermöglicht das Arbeiten mit verschiedenen mathematischen Modellen. So können
etwa Zinseszinsaufgaben leichter mit einem rekursiven Modell gelöst werden. Dieses
kann auch bei Kreditrückzahlungen (vgl. S. 118) Anwendung finden.
Ein rekursives Modell, das eine Maschine zur Verfügung stellt, macht auch schwierigere Aufgaben
auf niedrigerem Niveau durchführbar. Für leistungsschwächere Schüler/innen ist es
eher von Vorteil, mit einfachem Zinssatz, aber ständig aktualisiertem Grundwert zu rechnen,
als Formeln für Zinseszinsrechnung erarbeiten zu müssen.
Beispiel: Zinsen
Ein Kapital von 100,- € wird mit einem jährlichen Zinssatz von 2 % veranlagt.
Wie entwickelt sich das Guthaben in den nächsten Jahren? Fertige dazu eine Tabelle
und eine Zeichnung an.
Mögliche Lösung:
Das Kapital am Beginn des nächsten Jahres ist gleich dem um die Zinsen vermehrten
Kapital des Vorjahres.
Kapital neu
= Kapital alt
+ Zinsen
Möchte man wissen, wie ein Kapital von 100,- € bei einem jährlichen Zinssatz von 4 %
wächst, so lautet das Modell x n+1
= x n
+ x n
· 0,02 = x n
· 1,02, wobei x 0
= 100.
Das Programm GeoGebra liefert Tabelle und Grafik:
2 Weitere Einsatzideen bietet das Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe (BIFIE, 2011a,
S. 50). Ein Beispiel zur Visualisierung mit Technologieeinsatz (Äquivalenzumformungen) findet sich im
Praxishandbuch Mathematik AHS Oberstufe (BIFIE, 2011b, S. 129).

110 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Kommentar:
Mathematisch steckt in diesem rekursiven Modell ein Iterationsverfahren, d. h. eine Methode
der wiederholten Anwendung desselben Rechenverfahrens. Das Ergebnis eines Schritts findet
als Ausgangswert des jeweils nächsten Schritts Verwendung. Maschinen arbeiten sehr
oft mit solchen Verfahren.
Weitere Aufgaben ähnlicher Art finden sich in Kapitel 8 (S. 123).
7.3.4 Operieren, Rechnen
Komplexere Rechnungen werden von der „Maschine“ gelöst. Dies erlaubt auch lebensnahe
Aufgabenstellungen, man braucht keine „schönen“ Zahlen. Viele Fehler beim Operieren gehen
auf mangelnde Strukturerkennungskompetenz zurück. Für das Üben in diesem Bereich
bringt ein Technologieeinsatz den Vorteil, dass die Schüler/innen Fehler leicht selbst finden
können, was das Einprägen und nachhaltige Lernen fördert.
Beispiel: Technologieeinsatz und Strukturerkennen
Terme müssen in einen Taschenrechner oder in ein CAS-System exakt eingegeben werden,
was einen nicht unwesentlichen Schritt zur Erkennung von Termstrukturen darstellt. Dabei ist
besonders von Bedeutung, zu erkennen, welche Strukturen bzw. Rechenoperationen darin
versteckt sind.
Die folgenden Aufgaben können zuerst in Einzelarbeit, dann in Partnerarbeit bearbeitet werden,
wobei erklärt und begründet werden sollte, wo Klammern unbedingt zu setzen sind.
Das Rechnen mit Zahlen und das Erkennen von Rechengesetzen bereitet das Rechnen mit
Variablen vor. Nur wenn dieser Grundstein gelegt ist, kann man in weiterführenden Schulen
darauf sinnvoll aufbauen.
Beispiel: Technologieeinsatz und Strukturerkennung
Gib in deinen Taschenrechner ein:
_______ ​
32 + 78
23 + ​
24 + 38
63 – 8
_________
12 – 4 · 5 ​
Vergleiche dein Ergebnis mit deiner Partnerin/deinem Partner.
Stelle deiner Partnerin/deinem Partner eine ähnliche Aufgabe. Überprüfe ihr/sein
Ergebnis.
Der richtige Wert des Terms wird nur dann angezeigt, wenn an den entsprechenden Stellen
die Klammern gesetzt werden. Auf diese Weise kann die entsprechende Termstruktur
(Quotient) erkannt werden. Die möglicherweise andere Schreibweise eines Gerätes führt zur
Frage, welche Schreibweisen gleichwertig sind und welche Fehler man vermeiden muss. Die
möglichen Fehler sollten unbedingt in der Klasse thematisiert werden.
Werden Fehler gemacht, steigt die Motivation zu verstärkter Selbstkontrolle. Fragen tauchen
auf: Was habe ich falsch gemacht? Warum liefert die Maschine ein anderes Ergebnis? Oder
ist es vielleicht doch dasselbe? Die Schüler/innen sind nicht immer auf eine Korrektur durch
die Lehrerin/den Lehrer angewiesen. Der Mut, etwas auszuprobieren, nimmt zu, was gerade
für Schüler/innen, die Angst haben, Fehler zu machen, und die in Mathematik ungern neue
Wege beschreiten, ein Vorteil ist.

Technologieeinsatz im Mathematikunterricht 111
7.4 Arbeiten mit Lernsoftware
Eine weitere Möglichkeit des Technologieeinsatzes ist die Verwendung fertiger Applets bzw.
Lernpfade im Internet. Es gibt eine Fülle von Materialien (Trainings für das Bruchrechnen,
binomische Formeln usw.), die man zum Üben, aber auch zum Erarbeiten neuer Inhalte
verwenden kann. Hier sei besonders auf die diversen Lernpfade aufmerksam gemacht, bei
denen Schüler/innen (selbstständig oder im Team) Schritt für Schritt zu einem Lernziel hingeführt
werden. Viele Schulbuchverlage bieten zu den Schulbüchern auch CDs an.
Lernpfade
Im Internet 3 finden sich themenspezifische Lernpfade zur Medienvielfalt, die den sinnvollen
Einsatz neuer Medien im Mathematikunterricht beispielhaft illustrieren. Folgende Themenbereiche
betreffen die Sekundarstufe I:
Geometrie (6. Schulstufe): Koordinatensystem und geometrische Grundbegriffe; Kongruenz
– vermuten, erklären, begründen; Dreiecke – merkwürdige Punkte
Satz von Pythagoras (7./8. Schulstufe): Pythagoras (7. Schulstufe), Pythagoras im Raum
(8. Schulstufe)
Zylinder – Kegel – Kugel (8. Schulstufe)
Beschreibende Statistik (8. Schulstufe)
Eine Einführung in die intuitive Erfassung des Funktionsbegriffs für die 5./6. Schulstufe findet
sich z. B. unter http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfad_wetter/index.htm
[27.09.2012].
Abb. 2: Erfassung des Funktionsbegriffs
3 Siehe http://www.austromath.at/medienvielfalt/ [27.09.2012].

112 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Hier wird anhand von Temperaturkurven mit Diagrammen gearbeitet. Es werden Werte abgelesen
und Tabellen erstellt. Auch Lernpfade für die Themenbereiche Direktes und indirektes
Verhältnis und Lineare Funktionen sind unter diesem Link verfügbar.
Das Angebot von kostenpflichtiger und kostenloser Lernsoftware ist sehr groß und von unterschiedlicher
Qualität. Lernsoftware kann im Schulnetzwerk installiert werden und steht dann
zur Verfügung. Vor dem Einsatz muss die Lehrkraft meist einige Zeit aufwenden, um einen
sinnvollen Unterrichtseinsatz vorzubereiten. Die Arbeit in heterogenen Gruppen kann damit
aber erleichtert werden, weil viele Programme individuelle Aufgaben auf unterschiedlichen
Leistungsniveaus bereitstellen.
Oft wird man auch von Elternseite gefragt, welche Programme bzw. CDs zum zusätzlichen
Üben in Mathematik geeignet sind. Dann sind Empfehlungen der Lehrperson gefragt, damit
nicht irgendein Produkt gekauft wird.
7.5 Exemplarische Aufgaben für Technologieeinsatz
Die hier beschriebenen Aufgaben sind als Unterrichtssequenzen zu verstehen, die je nach
Aufgabenstellung bzw. Vorkenntnissen und Leistungsfähigkeit der Schüler/innen Teile einer
Unterrichtsstunde oder auch mehrere Unterrichtsstunden umfassen können. Teilweise werden
auch Arbeitsblätter für den Einsatz im Unterricht sinnvoll sein.
Die didaktischen Zugänge sind als Vorschläge zu verstehen. Es obliegt jeder Lehrkraft, eigene
Zugänge zu wählen. Nur durch verständnisvolles Lernen wird den Schülerinnen und Schülern
der Transfer auf neue Kontexte gelingen. Unterschiedliche Lösungswege der Lernenden
sind ausdrücklich zu fördern. Es sollte den Schülerinnen und Schülern genug Zeit eingeräumt
werden, nachzudenken, zu probieren, Fehler zuzulassen und diese zu verbalisieren und zu
korrigieren.
7.5.1 Direktes oder indirektes Verhältnis oder keines von
beiden?
Das Erkennen funktionaler Zusammenhänge und die Bestimmung ihrer Art sollten immer
wieder geübt werden. Technologie kann das Verständnis dafür unterstützen. Erkennt man
das mathematische Modell, das zur Lösung einer Textaufgabe benötigt wird, kennt man
auch den Lösungsweg. Auch weniger leistungsstarke Schüler/innen haben ein Anrecht auf
exakten Unterricht, daher sind Vereinfachungen, die mathematisch falsch sind, unzulässig.
Zwei Beispiele dafür:
„je mehr …, desto mehr …“
direktes Verhältnis
„je mehr …, desto weniger …“
indirektes Verhältnis
Abb. 3: Vereinfachungen
Je nach Leistungsvermögen der Schüler/innen können folgende Erkennungsmerkmale für
ein direktes bzw. indirektes Verhältnis zwischen zwei Größen x und y angeboten werden:

Technologieeinsatz im Mathematikunterricht 113
Direktes Verhältnis
Indirektes Verhältnis
1 ... das Doppelte ..., das Doppelte …
... das Dreifache ..., das Dreifache … usw.
... das Doppelte ..., die Hälfte …
... das Dreifache ..., der dritte Teil … usw.
2 Die Zeichnung ergibt eine Gerade durch
den Ursprung.
Die Zeichnung ergibt eine Kurve (Hyperbelast).
3 Es lässt sich eine Formel der Form
y = k · x finden.
Es lässt sich eine Formel der Form
y = k : x finden.
4 Die y-Werte verhalten sich wie die
x-Werte.
y 1
: y 2
= x 1
: x 2
Die y-Werte verhalten sich umgekehrt wie
die x-Werte.
y 1
: y 2
= x 2
: x 1
5 y Der Quotient ​__
x ​hat immer denselben Wert. Das Produkt x · y hat immer denselben
Wert.
Die folgenden Aufgaben mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad sind für heterogene Gruppen
gedacht. Je nach Leistungsstärke der Schüler/innen wird eine gewisse Anzahl an Aufgaben
gelöst.
Aufgabe:
In der Tabelle kann man die Preise von Orangen bei Kauf der jeweils angegebenen
Mengen ablesen.
Menge in kg Preis in €
3 6
4 8
5 10
8 16
12 24
Fragestellung 1:
Zeige in der Tabelle, dass eine direkte Proportionalität vorliegt. Gib den Preis von 1 kg
Orangen an.
Mögliche Lösungen:
Ein Kilogramm Orangen kostet 2 €.
Wer dreimal/viermal so viel kauft, muss
auch dreimal/viermal so viel bezahlen.

114 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Kommentar:
Diese Lösung ist auch ohne Technologieeinsatz von allen Schülerinnen und Schülern zu erwarten.
Schüler/innen, die gewohnt sind, regelmäßig Technologie einzusetzen, werden in der
Tabelle auch die Proportionalität auf andere Art feststellen.
Für direkte Verhältnisse gilt ​__
y x
​= k, für indirekte gilt y · x = k. Diese Art der Überprüfung ist vor
allem bei Aufgaben angebracht, bei denen Kopfrechnungen nicht mehr so leicht durchführbar
sind.
Menge x Preis y y : x x · y
3 6 2 18
4 8 2 32
5 10 2 50
8 16 2 128
12 24 2 288
Weil ​__
y x
​= k = 2 gilt, liegt ein direktes Verhältnis vor.
Fragestellung 2:
Zeige mithilfe einer Zeichnung in einem Koordinatensystem, dass eine direkte Proportionalität
vorliegt.
Mögliche Lösung:
Größen, die zueinander direkt proportional sind, bilden Wertepaare, die alle auf einer
Geraden durch den Ursprung liegen. Das ist hier der Fall. Es liegt ein direktes Verhältnis
vor.

Technologieeinsatz im Mathematikunterricht 115
Kommentar:
Zur Differenzierung/Individualisierung könnte dieses Beispiel entsprechend erweitert werden:
Es werden drei Tabellen angegeben (direkte Proportionalität, indirekte Proportionalität,
kein Verhältnis).
Die Schüler/innen sollen die Graphen erstellen, diese vergleichen und begründen, warum
welche Proportionalität vorliegt. Sie sollen darüber diskutieren und sich austauschen.
Weiters sollen sie zu jedem Graphen ein Beispiel aus der Praxis angeben (Alltagsbeispiel …).
Sie sollen eigene Beispiele finden (Tabelle, Graph, Verbindung zum Alltag/zur Arbeitswelt).
In heterogenen Gruppen müssen leistungsstarke Schüler/innen auch eine passende Formel
finden und mit Verhältnisgleichungen arbeiten. Bei Schüler/innen mit niedrigem Leistungsniveau
genügt das Erkennen eines direkten Verhältnisses aus der Tabelle (Pfeile
mit · 3 usw.) bzw. mithilfe des Graphen.
7.5.2 Weltrekord beim 100-m-Lauf der Männer (Verwendung
von Daten im Internet)
Technologieeinsatz ermöglicht das grafische Darstellen von Daten, was Schüler/innen in der
Praxis etwa für Referate, schriftliche Arbeiten, Berufsanforderungen etc. nutzen können. Der
Lehrplan sieht im Abschnitt Statistik unter anderem folgende Lerninhalte vor:
grafische Darstellungen lesen, anfertigen und kritisch betrachten können
Manipulationsmöglichkeiten erkennen
Untersuchen und Darstellen von Datenmengen unter Verwendung statistischer Kennzahlen
(z. B. Mittelwert, Median, Quartil, relative Häufigkeit, Streudiagramm)
In der folgenden Aufgabe 4 sollen einige dieser Ziele angesprochen werden. Der erste Teil der
Aufgabe schult das Interpretieren von Grafiken, das Ablesen von Daten, die verbale Beschreibung
des Datenverlaufs und die Auseinandersetzung mit dem Kontext. Gut geeignet für
Aufgaben dieser Art sind soziale Lernformen wie z. B. die „wachsende Gruppe“ (zum Thema
Winkel siehe BMUKK, 2008).
Aufgabe 1. Teil:
Das Diagramm zeigt die Entwicklung des Weltrekords im 100-m-Lauf der Männer.
Weltrekordzeiten 100 m Männer (elektronisch gestoppte Zeiten)
9.6
9.8
Rekordzeit
10.0
10.2
10.4
10.6
1920 1940 1960 1980 2000
Datum
4 Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/100-Meter-Lauf#Weltrekordentwicklung [27.09.2012]

116 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Offene Fragestellung:
Gib an, was man aus der Grafik ablesen kann. Überlegt, was euch besonders interessiert
bzw. was euch auffällt.
Enger geführte Fragestellungen:
1. Betrachte das Diagramm. Erkläre, wie die Daten dargestellt werden, damit sie gut
ablesbar sind.
2. Lies die Weltrekordzeit der 1930er-Jahre und von heute ab.
3. Gib einen Zeitraum an, in dem es keine starke Veränderung der Weltrekordzeit
gab.
4. Wann gab es starke Verbesserungen der Weltrekordzeit?
5. Überlege, woran es liegen könnte, dass die Verbesserungen in immer kürzeren
Zeitabständen stattfinden.
Aufgabe 2. Teil:
Du findest in der Tabelle berühmte Weltrekordhalter mit ihren Weltrekordzeiten. Stelle
diese Zeiten in einem Diagramm dar. Wähle selbst eine passende Darstellung.
Zeit (s) Name Land Datum Ort
10,64 Ralph Metcalfe USA 16.07.1932 Stanford
10,34 Barney Ewell USA 09.07.1948 Evanston
10,32 Ray Norton USA 10.08.1958 Thonon-les-Bains
10,25 Armin Hary GER 21.06.1960 Zürich
9,95 Jim Hines USA 14.10.1968 Mexiko-Stadt
9,93 Carl Lewis USA 17.08.1988 Zürich
9,79 Maurice Greene USA 16.06.1999 Athen
9,77 Asafa Powell JAM 18.08.2006 Zürich
9,72 Usain Bolt JAM 31.05.2008 New York City
9,69 Usain Bolt JAM 16.08.2008 Peking
9,58 Usain Bolt JAM 16.08.2009 Berlin
Mögliche Lösung (zwei verschiedene Darstellungsformen):

Technologieeinsatz im Mathematikunterricht 117
Vor- und Nachteile unterschiedlicher Darstellungsarten können angesprochen werden. Anhand
des Boxplot-Diagramms lässt sich gut erkennen, dass diese Darstellungsform für diese
Aufgabe nicht geeignet ist, weil es sich um eine zeitliche Entwicklung handelt. Auch die Abbildung
oben (Liniendiagramm) erzeugt kein zutreffendes Bild, exakt wäre ein Punktdiagramm.
Aufgabe 3. Teil:
Die Weiterführung der Aufgabe könnte darin bestehen, eventuell im Turnunterricht
die Zeiten der Schüler/innen beim 100-m-Lauf zu stoppen. Die Daten könnten nach
Geschlecht geordnet, grafisch (z. B. mit einem Boxplot/Kastenschaubild) dargestellt
und ausgewertet werden. Größen wie arithmetisches Mittel, Median, Quartile könnten
erarbeitet und gefestigt werden.
7.5.3 Schuldenfalle
Da gerade junge Menschen leicht in die sogenannte „Schuldenfalle“ tappen, stellt das Experimentieren
über das Anwachsen einer Schuld bei verschiedenen Zinssätzen und Laufzeiten
und in Erweiterung mit unterschiedlichen Rückzahlungsraten einen wichtigen Beitrag
der Mathematik zur Lebensbewältigung dar. Auch der Vergleich von Möglichkeiten wie Ratenzahlung,
Leasing, Sparen, Kreditnahme usw., um sich bestimmte Wünsche zu erfüllen,
kann angesprochen und im Projektunterricht eventuell auch länger und intensiver behandelt
werden. Die „Maschine“ entlastet von langwierigen, mitunter schwierigen Rechnungen und
schafft Freiraum zur Interpretation der Ergebnisse.

118 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Aufgabe:
a. Herr Grünfelder nimmt für den Kauf eines Autos einen Kredit in der Höhe von
10 000 € zu einem Fixzinssatz (Hinweis: nicht lebensnah!) von 5,5 % auf. Er bezahlt,
nachdem die alte Schuld verzinst ist, am Ende jedes Jahres 1 000 € zurück.
Wann hat er den Kredit abbezahlt? Wie hoch ist die letzte Rate?
b. Herr Grünfelder nimmt einen Kredit in der Höhe von 10 000 € zu einem Fixzinssatz
(Hinweis: nicht lebensnah!) von 5,5 % auf. Er bezahlt, nachdem die alte Schuld verzinst
ist, am Ende jedes Jahres 500 € zurück. Wann hat er den Kredit abbezahlt?
Möglicher Lösungsweg mit Excel:
a. b.
Jahre Schuld Jahre Schuld
0 10000,00 Eintrag für das 0 10000,00 Eintrag für das
1 9550,00 Feld B2: 1 10050,00 Feld B2:
2 9075,25 =B1*1,055-1000 2 10102,75 =B1*1,055-500
3 8574,39 3 10158,40
4 8045,98 4 10217,11
5 7488,51 5 10279,05
6 6900,38 6 10344,40
7 6279,90 7 10413,34
8 5625,29 8 10486,08
9 4934,68 9 10562,81
10 4206,09 10 10643,77
11 3437,43 11 10729,17
12 2626,48 12 10819,28
13 1770,94 13 10914,34
14 868,34 14 11014,63
15 -83,90 15 11120,43
Im Fall a. dauert die Rückzahlung 15 Jahre; die letzte Rate beträgt 868,34 €.
Im Fall b. wird trotz Schuldenrückzahlung die Gesamtschuld immer größer. Ein Hinweis
auf Finanzprobleme von Gebietskörperschaften (z. B. Staatsschulden) erscheint
hier angebracht.
Kommentar:
In der Aufgabe steckt viel Potenzial, lebensnah über die Sinnhaftigkeit von Anschaffungen auf
Kredit zu diskutieren. Zum Beispiel wäre es möglich, dass ein Auto längst nicht mehr funktionstüchtig
ist, aber noch immer dafür Raten bezahlt werden müssen. Mit Technologieeinsatz
sind Aufgaben dieser Art in der Sekundarstufe I lösbar. Kenntnisse von geometrischen Folgen
oder schwierige Formeln werden nicht benötigt. Wichtig ist, das Bildungsgesetz zu kennen:
neue Schuld = alte Schuld + Zinsen der alten Schuld – Rückzahlungsrate. Ebenso können
Aufgaben zum Sparen bei jährlichen gleichbleibenden Einzahlungen gelöst werden.

Technologieeinsatz im Mathematikunterricht 119
7.5.4 Funktionale Abhängigkeiten
Auf den ersten Blick mag die folgende Aufgabe, die stofflich eher dem Erweiterungsbereich
zuzuordnen ist, kompliziert ausschauen. Sie wird jedoch von den Schülerinnen und Schülern
gern angenommen. Das spielerische Umgehen mit der Lage von Geraden und das eigenständige
oder angeleitete Erforschen von Funktionsgleichungen und deren Graphen führen
zur Erarbeitung eines intuitiven Funktionsbegriffs im Allgemeinen und der linearen Funktion im
Besonderen. Hier wird der Grundstein für komplexere Aufgaben gelegt, was für das Lernen
in weiterführenden Schulen hilfreich ist.
Funktionale Zusammenhänge werden häufig durch Gleichungen bzw. Formeln beschrieben.
Doch welchen Einfluss haben die Parameter in diesen Gleichungen auf den Verlauf des zugehörigen
Graphen? Dieser Zusammenhang zwischen Gleichung und Graph kann mit Geo-
Gebra veranschaulicht werden.
Die folgende Unterrichtsaufgabe dient zur Erarbeitung der Lage des Graphen von linearen
Funktionen der Form y = k · x + d in Abhängigkeit von den Parameterwerten k und d.
Aufgabe:
1. Gegeben ist eine lineare Funktion mit der Funktionsgleichung y = k · x + 2. Wähle
für die Zahl k unterschiedliche Werte, z. B. zwischen -3 und +3. Zeichne die Graphen
der Funktionen in ein Achsenkreuz.
2. Gegeben ist eine lineare Funktion mit der Funktionsgleichung y = x + d. Wähle für
die Zahl d unterschiedliche Werte, z. B. zwischen -3 und +3. Zeichne die Graphen
der Funktionen in ein (neues) Achsenkreuz.
3. Gegeben ist eine lineare Funktion mit der Funktionsgleichung y = k · x + d. Wähle
für die Zahlen k und d unterschiedliche Werte, z. B. zwischen -3 und +3 unter
Verwendung der Schieberegler.
Welche Besonderheiten fallen euch auf? Fasst eure Ergebnisse zusammen.
Möglicher Lösungsweg zu 1. und 2. (erstellt mit dem Programm GeoGebra):

120 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Es empfiehlt sich, zuerst für jeden gewählten Parameterwert eine Gerade zu zeichnen.
Vermutungen über die Lage der Geraden werden so leichter anzustellen sein. Für
die 3. Aufgabenstellung können die in GeoGebra vorhandenen Schieberegler benutzt
werden. In der Funktionsgleichung y = k · x + d werden die Parameter k und d variabel
gestaltet. Die Schüler/innen können durch Eingabe der Gleichung und der Definition
der Parameter als Schieberegler den Funktionsterm beliebig ändern. So kann die
Vermutung aus 1. bzw. 2. nochmals überprüft werden.

Technologieeinsatz im Mathematikunterricht 121
Kommentar:
Wachsende Gruppe und Museumsrundgang sind als Arbeitsformen empfehlenswert.
7.6 Resümee
Das Kapitel Technologieeinsatz im Mathematikunterricht soll Lehrerinnen und Lehrern einerseits
Mut machen und andererseits Anregungen geben, wie neue methodische bzw. didaktische
Wege im Mathematikunterricht beschritten werden können. Dem anfangs notwendigen
Mehraufwand an Vorbereitungszeit steht eine Individualisierung des Lernens gegenüber, die
gerade in heterogenen Gruppen zum Tragen kommt. Kinder und Jugendliche sind in einer
Welt der Informationstechnologie groß geworden, der Umgang mit elektronischen Geräten
aller Art gehört zu ihrem Alltag und sie bewältigen die an sie gestellten Aufgaben gut. Ein
zeitgemäßer, motivierender Mathematikunterricht wird immer mehr auf diese Technologien
zurückgreifen und die damit verbundenen neuen didaktischen Möglichkeiten ausnutzen.
Literatur
Bauer, K., Fürst, S., Haselberger, W. et al. (2010). Mathematik und Fachrechnen für landwirtschaftliche
Berufs- und Fachschulen. Schwarzenbek: avBUCH im Cadmos Verlag.
Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens
(BIFIE) (Hrsg.) (2011a). Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe. 2., überarbeitete
Auflage. Graz: Leykam. Verfügbar unter https://www.bifie.at/node/315 [27.09.2012].
Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens
(BIFIE) (Hrsg.) (2011b). Praxishandbuch Mathematik AHS Oberstufe. Auf dem Weg
zur standardisierten kompetenzorientierten Reifeprüfung. Graz: Leykam. Verfügbar unter
https://www.bifie.at/node/1354 [27.09.2012].

122 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur (BMUKK) (Hrsg.) (2008). MathematikMethoden.
Beiträge zur Unterrichtsentwicklung mit dem Blick auf Bildungsstandards für Mathematik
am Ende der 8. Schulstufe 2. Wien.
Fürst, S. (2001). SchülerInnenarbeitshefte zum Ti-92/92+ in der Sek-I – Proportionen und
Strahlensatz. Linz: bk-teachware.
Gäng, P. (1998). Excel für Wissenschaft und Technik. Düsseldorf: Data Becker.
GeoGebra (2012): Dynamische Mathematiksoftware. Verfügbar unter http://www.geogebra.
org [01.02.2012].
Heugl, H. (2012). Standards und Technologie. Verfügbar unter http://www.acdca.ac.at/material/vortrag/heugl_wels0511.htm
[27.10.2012].
Lehmann, E. (2004). Klassenarbeiten mit Computeralgebra in der Sekundarstufe 1. Mainburg:
Texas Instruments.
Organisation für wirtschaftliche Zusammenarbeit und Entwicklung (OECD) (Hrsg.) (2008).
Encouraging Student Interest in Science and Technology Studies. OECD Publishing.
Organisation für wirtschaftliche Zusammenarbeit und Entwicklung (OECD) (Hrsg.) (2012).
Pisa im Fokus 3. Verfügbar unter http://www.oecd.org/pisa/pisainfocus/pisa%20in%20
focus%20N°14_GER.pdf [27.09.2012].

Überblick zu den gängigen Antwortformaten bei Überprüfungen 123
8 Überblick zu den gängigen Antwortformaten
bei Überprüfungen
Zur Analyse der mathematischen Kompetenzen von Schülerinnen und Schülern nehmen Aufgaben
einen hohen Stellenwert ein. Im Unterricht erfolgen eine Bewertung und schließlich
auch eine Beurteilung durch die Lehrkraft. Für zentrale Überprüfungen (nationale Überprüfungen
der Bildungsstandards, standardisierte Reife- und Diplomprüfung, PISA etc.) werden
von Testpsychologinnen und Testpsychologen, Fachdidaktikerinnen und Fachdidaktikern
sowie Lehrkräften eigene Items entwickelt, die strenge Kriterien erfüllen müssen. Um den
Interpretationsspielraum bei der Entscheidung, ob eine Aufgabe richtig gelöst wurde, einzuengen,
werden bei den Überprüfungen üblicherweise geschlossene Aufgaben mit eindeutiger
Lösungserwartung eingesetzt. Der häufige Einsatz von geschlossenen Antwortformaten
ermöglicht eine rasche (auch elektronische) Auswertung. Diese strengen Kriterien sind allerdings
für Aufgaben, die im Unterricht Verwendung finden, nur bedingt relevant. Es ist jedoch
vorteilhaft, die Schüler/innen mit den bei zentralen Überprüfungen verwendeten Antwortformaten
vertraut zu machen, denn auch in weiterführenden Schulen, Betrieben, Fachhochschulen,
Universitäten und anderen Institutionen finden Eignungstests in ähnlicher Form statt.
Sieglinde Fürst
Welches Format nun „offen“, „halboffen“ oder „geschlossen“ genannt wird, ist nicht immer eindeutig.
Im Folgenden werden verschiedene Antwortformate 1 in Anlehnung an die Formate der
zentralen Überprüfungen angeführt und hinsichtlich ihres Einsatzes im Unterricht beleuchtet.
8.1 Offenes Antwortformat
Die Formulierung der Antwort auf die gestellte Frage und die Art der Dokumentation des
Lösungswegs (sofern diese gefordert wird) bleiben bei offenen Antwortformaten den Schülerinnen
und Schülern überlassen. Nahezu alle Unterrichtsaufgaben in der Schule und Übungsaufgaben
für zu Hause werden sich dieser Formate bedienen. Dabei werden auch sprachliche
Fähigkeiten angesprochen und deren Entwicklung gefördert. Die Dokumentation des
Lösungswegs erfordert Ordnung und Übersicht.
Die in den vorhergegangenen Kapiteln angeführten Aufgaben verlangen ebenfalls meist „freie
Antworten“, wobei diese als Text, als eine Skizze mit einer Erklärung, als Flussdiagramm oder
in anderer Form erbracht werden können. Im Gegensatz zu Schularbeiten oder Überprüfungen
dürfen diese im erarbeitenden Unterricht unexakt, fehlerhaft und unvollständig sein.
Durch gemeinsames Diskutieren verschiedener Lösungswege lassen sich wertvolle Lernimpulse
setzen und viele (auch überfachliche) Fähigkeiten trainieren.
Aufgabe mit „freien Antworten“: Verdünnungssaft
Ermittle, wie vielen durstigen Freunden du ein ¼-Liter-Glas Saft
einschenken kannst, wenn du die ganze Flasche Saft wie auf
der Flasche angegeben verdünnst? Notiere, wie du vorgehst.
(Wolkerstorfer, 2012, S. 55)
1 Vgl. insbesondere die beiden auf der Website des BIFIE abrufbaren Dokumente Freigegebene Items
aus der Pilotierung 2011 – Mathematik 8 (BIFIE, 2011) sowie Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung
in Mathematik. Inhaltliche und organisatorische Grundlagen zur Sicherung mathematischer
Grundkompetenzen (BIFIE, 2012b, S. 27–31).

124 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Gerade offen zu beantwortende Aufgaben haben großes Diagnosepotenzial. Sie sind meist
verstehens- oder kompetenzorientiert formuliert und können daher Auskunft über bereits
vorhandene Ressourcen bzw. verinnerlichte Kompetenzen von Schülerinnen und Schülern
geben (vgl. Mürwald-Scheifinger & Weber, 2011, S. 113–119).
Offene Antwortformate sind nicht nur für Argumentations- oder Begründungsfragestellungen
nutzbar, sondern geben darüber hinaus wichtige Hinweise, wenn sie für Modellbildungs- und
Interpretationsfragestellungen verwendet werden. Auch im operativen Bereich haben sie einen
Platz, wenn es darum geht, herauszufinden, ob Verfahren wirklich verstanden wurden.
8.2 Halboffenes Antwortformat
Laut Definition von PISA lassen halboffene Formate jeweils nur eine eindeutige richtige Antwort
– es kann sich dabei auch um eine Konstruktion (vgl. Abschnitt 8.3 dieses Kapitels), eine
Gleichung oder eine kurze Erklärung handeln – zu, die leicht auf Korrektheit überprüft werden
kann. Die Antwortformulierung erfolgt durch die Schülerin/den Schüler, ist aber aufgrund der
präzisen Aufgabenformulierung nur sehr kurz, d. h., sie umfasst oft nur ein Wort, einen Term
oder eine Zahl als Ergebnis einer Rechnung.
Aufgabe 1:
Gib an, durch welche Zahl dividiert wurde. Ergänze die Zahl im Kästchen.
÷
12 435 1,2435
Aufgabe 2:
Die Abbildung zeigt ein Bauwerk, das aus 1-cm³-Würfeln hergestellt wurde. Gib die
Größe des Volumens des Bauwerks an.
V = .......... cm³
Kommentar:
Wird diese Aufgabe im erarbeitenden Unterricht und nicht zur Leistungsüberprüfung eingesetzt,
empfiehlt es sich, den Schülerinnen und Schülern mittels Bausteinen die Möglichkeit

Überblick zu den gängigen Antwortformaten bei Überprüfungen 125
des Nachbauens zu geben. Die Ermittlung des Flächeninhalts des Körpers kann als zusätzliche
Aufgabe gestellt werden, womit in heterogenen Gruppen unterschiedliche Leistungsniveaus
angesprochen werden.
8.3 Konstruktionsformat
Das Konstruktionsformat kann als haIboffen angesehen werden. In eine bereits vorgegebene
Zeichnung (z. B. ein Koordinatensystem) sollen Punkte, Geraden etc. eingetragen werden.
Es gibt auch Aufgaben, die das Zeichnen geometrischer Figuren in einem Koordinatensystem
verlangen. Dabei kann es sich je nach Vielfalt der Lösungswege um eine halboffene oder um
eine offene Aufgabe handeln.
Beispiel:
Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt P. Zeichne
eine zur Geraden g parallele Gerade h durch den
Punkt P.
8.4 Geschlossene Antwortformate
Alle geschlossenen Antwortformate sind daran zu erkennen, dass eine richtige Antwort, Aussage
bzw. Zuordnung durch Ankreuzen ermittelt wird.
8.4.1 Multiple-Choice-Antwortformate
Bei diesem Format sind mehrere Antworten vorgegeben, die richtige Aussage/die richtigen
Aussagen ist/sind anzukreuzen. Die Wahrscheinlichkeit, die richtige(n) Antwort(en) zu erraten,
ist dabei unterschiedlich hoch.
Erstellt die/der Lehrende eigene Aufgaben und bedient sich dieses Antwortformats, so wird
sie/er schnell feststellen, wie schwierig es ist, geeignete falsche Antworten (sogenannte Distraktoren
= Ablenker) zu finden, die vernünftig klingen, aber eben nicht korrekt sind. Weiters
muss man darauf achten, nicht zwei einander widersprechende Antworten vorzugeben.
Beispiel:
A: Das Quadrat ist ein Parallelogramm.
B: Das Quadrat ist kein Parallelogramm.

126 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Kommen zwei solcher Antworten vor, ist klar, dass nur eine gelten kann, was die Zahl der
Antworten einschränkt.
Es ist günstig, Aussagen mit ähnlichem Satzbau und ungefähr gleicher Länge zu formulieren.
Bei zentralen Überprüfungen sind Multiple-Choice-Antwortformate in der Regel sogenannte
0-1-Aufgaben, d. h., sie werden nur dann mit einem Punkt bewertet, wenn alle Antworten
richtig sind. Sind etwa zwei richtige Aussagen vorhanden und nur eine davon wird angekreuzt,
so erhält die Schülerin/der Schüler keinen Punkt.
Dem oft vorgebrachten Einwand, dass Multiple-Choice-Formate richtige Ergebnisse durch
„Raten“ ermöglichen, beugt die Testpsychologie vor, indem nur bestimmte Formen dieses
Antwortformats verwendet werden.
a. Format „2 aus 5“
Es sind fünf Aussagen vorgegeben, die Aufforderung lautet: Kreuze die beiden zutreffenden
Aussagen an.
Beispiel:
Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen über einen Quader an.
Die Grundfläche eines Quaders ist immer ein Quadrat.
Ein Quader hat 8 Kanten.
Die einander gegenüberliegenden Flächen eines Quaders sind deckungsgleich.
Es kann Begrenzungsflächen des Quaders geben, die keine rechten Winkel
haben.
Das Volumen V eines Quaders mit den Kantenlängen a, b und c kann mithilfe
der Formel V = a · b · c berechnet werden.
o
o
o
o
o
Kommentar:
Dieses Format wird bei der Überprüfung der Bildungsstandards in Mathematik 8. Schulstufe
nicht mehr eingesetzt. Besonders Leistungsschwächeren fiel bei der Baseline-Testung
2009 der Wechsel zwischen dem „1 aus 6“-Format (siehe unten) und dem „2 aus 5“-Format
schwer. Dies zeigte sich dadurch, dass viele nur ein Kästchen ankreuzten und damit keinen
Punkt erhielten. (Sie wurden also in ihrer Leistungsfähigkeit unterschätzt.)
Ebenso gab es Positionseffekte, d. h., bei „2 aus 5“-Items, die eher am Ende der Überprüfung
bearbeitet werden mussten, wurde häufig nur eine Antwortmöglichkeit angekreuzt,
obwohl zwei richtige Antworten zu markieren waren. Dies ließ auf einen Müdigkeitseffekt
schließen, der den Wechsel zwischen „1 aus 6“ und „2 aus 5“ zusätzlich erschwerte. Aus
diesen Gründen sind bei den Standardüberprüfungen keine „2 aus 5“-Items mehr im Einsatz.
Im Rahmen der Informellen Kompetenzmessung (IKM) und der standardisierten Reifeprüfung
in Mathematik an AHS findet dieses Antwortformat hingegen weiterhin Verwendung.

Überblick zu den gängigen Antwortformaten bei Überprüfungen 127
b. Format „1 aus 4“
Die folgende Aufgabe entstammt dem auf der Website des BIFIE abrufbaren Aufgabenpool
für die Sekundarstufe I 2 . Aus vier möglichen Antworten ist die richtige auszuwählen.
Beispiel:
Ein quaderförmiges Paket mit
der Länge x cm, der Breite y cm
und der Höhe 12 cm wird wie in
der Abbildung verschnürt. Für die
Masche muss man noch 140 cm
Band extra berechnen. Mit welcher
der folgenden Formeln kannst du
die Länge L des benötigten Bands
in cm berechnen?
Kreuze den Kreis mit der richtigen
Formel an.
O L = 2 ∙ x + 2 ∙ y + 4 ∙ 12 + 140
O L = 2 ∙ (x + y + 12) + 140
O L = x + y + 12 + 4 Lösung:
O L = 2 ∙ (x + 12) + y + 140 L = 2 ∙ x + 2 ∙ y + 4 ∙ 12 + 140
c. Format „1 aus 6“
Es sind sechs Antworten vorgegeben, nur eine von ihnen ist richtig. Dieses Format wird derzeit
noch bei der Überprüfung der Bildungsstandards Mathematik 8. Schulstufe verwendet,
soll aber sukzessive durch „1 aus 4“-Aufgaben ersetzt werden. In Rahmen der standardisierten
Reifeprüfung in Mathematik an AHS wird es künftig jedoch flächendeckend zum Einsatz
kommen. Durch Vorgabe von sechs Aussagen ist die Wahrscheinlichkeit, die richtige Aussage
zu erraten, geringer.
Beispiel:
C
Gegeben ist ein rechtwinkeliges Dreieck
mit den Seiten e, f und g.
g
90°
f
Kreuze die Formel an, die den Zusammenhang
zwischen den Seitenlängen richtig
angibt.
A
e
B
g 2 = f 2 + e 2
e = g + f
f = ​√ _____ e – g ​
​√ ______
g 2 + f 2 ​= e 2
g = ​√ ______
e 2 – f 2 ​
a 2 + b 2 = c 2
o
o
o
o
o
o
2 Verfügbar unter http://aufgabenpool.bifie.at/m7 [27.09.2012].

128 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
d. Format „x aus 5“
Aus fünf vorgegebenen Aussagen sind x Antwortmöglichkeiten als richtig zu erkennen. Mindestens
eine der vorgegebenen Aussagen ist richtig (x ≥ 1), da sonst nicht feststellbar ist, ob
das Beispiel überhaupt bearbeitet wurde.
Beispiel:
Der Goldpreis am Weltmarkt hat sich in den vergangenen sechs Jahren verdoppelt.
Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an.
Der Goldpreis beträgt heute 200 % des vor sechs Jahren gültigen Goldpreises.
Vor sechs Jahren war Gold um 50 % billiger als heute.
Der Goldpreis ist in den vergangenen sechs Jahren um 150 % gestiegen.
Gold war vor sechs Jahren nur halb so teuer wie heute.
Wenn der Goldpreis weiter steigt wie in den vergangenen sechs Jahren,
kostet Gold in sechs Jahren viermal so viel wie vor sechs Jahren.
o
o
o
o
o
8.4.2 Richtig-Falsch-Items
Richtig-Falsch-Items (zum Ankreuzen) bestehen aus einer Aussage und zwei Antwortalternativen
(richtig/falsch, ja/nein, trifft zu/trifft nicht zu), von denen eine zutrifft. Um die Ratewahrscheinlichkeit
zu minimieren, werden solche Items nur blockweise vorgelegt. Dies zeigt die
folgende Aufgabe:
Der Auftragszettel des Tischlerlehrlings ist zerrissen. Dieser Teil ist noch
vorhanden.
b = 6 cm
30 °
a = 10 cm
Abb. 7: Auftragszettel
Welche der angegebenen geometrischen Figuren könnte der Tischlerlehrling
mit diesen Angaben eindeutig konstruieren?
Lies dir jede Aussage durch. Kreuze an, ob sie richtig oder falsch ist. S
richtig
falsch
Rechteck £ £
Dreieck £ £
Parallelogramm £ £
Trapez £ £
Deltoid £ £
M8Bspl
Lösung: falsch, richtig, richtig, falsch, falsch (nach BIFIE, 2012a, S. 30)

Überblick zu den gängigen Antwortformaten bei Überprüfungen 129
8.4.3 Cloze-Format/Lückentext
Cloze-Formate können als halboffene Formate betrachtet werden. Anders als in vielen
Übungsbüchern ist nicht bloß eine Lücke mit einem Begriff zu füllen, sondern oft wird ein
Satz mit zwei Lücken vorgegeben, zu denen es jeweils drei mögliche Antworten gibt. Nur
eine Antwort pro Lücke ist richtig.
Beispiel:
Gegeben ist folgende Tabelle, die den Preis von Erdäpfeln angibt.
Menge x in kg 1 5 10 15 20 25 … x 1
x 2
Preis y in € 1,2 6 12 18 24 30 … y 1
y 2
Vervollständige den Satz so, dass er mathematisch korrekt ist. Kreuze dazu für die
erste und zweite Lücke je einen der drei vorgegebenen Ausdrücke an.
Menge x und Preis y stehen 1 , weil 2
1 2
im indirekten Verhältnis
im direkten Verhältnis
weder im direkten noch im
indirekten Verhältnis
o
o
o
obige Zahlenpaare nicht Punkte
auf einer Geraden sind.
das Produkt x · y stets den
gleichen Wert hat.
x 1
: x 2
= y 1
: y 2
.
o
o
o
8.4.4 Zuordnungsformat („Matching Items“)
Dieses Format kommt bei der Überprüfung der Bildungsstandards in Mathematik 8. Schulstufe
zwar nicht vor, in Englisch und Deutsch wird es aber bereits eingesetzt. Auch bei der
standardisierten Reifeprüfung in Mathematik an AHS wird es nach aktuellem Entwicklungsstand
zum Einsatz kommen.
Um die Trefferhäufigkeit durch bloßes Raten gering zu halten, werden z. B. zu vier Begriffen
sechs Möglichkeiten für eine passende Zuordnung angeboten. Damit ist in der zweiten Spalte
ein Überschuss an zuordenbaren Aussagen vorhanden. 3
3 Auch andere Formen dieses Formats sind im Einsatz (vgl. z. B. BIFIE, 2012c).

130 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Beispiel:
Ordne den 4 gezeichneten Körpern die richtige Formel zur Berechnung des Volumens
zu. Trage dazu den richtigen Buchstaben in die leere 2. Spalte ein.
Körper
Zugeordnete
Formel
A
V = _____ ​ a + c
2 ​
B
V = ​ _______ a · b · c ​
2
C
V = ​_____
a2 · b
3 ​
D
V = ​ _______ a · b · c ​
3
E
V = ​ _____ a + c
2 ​· c · b
F
V = a · b · c
Gut einsetzbar sind die beschriebenen geschlossenen Antwortformate
am Ende einer Lernsequenz,
zur Erhebung des aktuellen Wissensstands,
als Wiederholungen zwischendurch bei der Abhandlung ganz anderer Themenbereiche
im Sinne des nachhaltigen Lernens sowie
als Kopfübungen (vgl. S. 85).

Überblick zu den gängigen Antwortformaten bei Überprüfungen 131
Mathematische Kompetenzen können damit punktgenau überprüft werden. Es wird dabei
in Kauf genommen, dass andere Fähigkeiten wie sprachliche Exaktheit, Formulieren der eigenen
Gedanken in Sätzen, Herstellen von Querverbindungen usw. weniger zum Tragen
kommen. So hat etwa die Aufgabenstellung „Gib Möglichkeiten zum Nachweis eines direkten
Verhältnisses an“ eine völlig andere Qualität als die im Abschnitt 8.4.3 dieses Kapitels angeführte
Lückentextaufgabe, in der die möglichen Antworten bereits vorgegeben sind und die
zutreffende Aussage angekreuzt werden muss. Anfänglich werden Schüler/innen mit diesen
Antwortformaten mitunter Schwierigkeiten haben, weil sie nicht mit eigenen Wörtern entsprechend
ihrer eigenen mathematischen Vorstellung antworten können. Plötzlich soll man als
Schüler/in auch wissen, was „alles nicht gilt“. Darauf wird im Unterricht Augenmerk zu legen
sein. Eine umfassende Analyse und Besprechung von Fehlern, die man „nicht machen darf“,
können hier hilfreich sein. Eine gute Übung ist in diesem Zusammenhang, den Schülerinnen
und Schülern die Möglichkeit zu geben, zu einer Fragestellung selbst möglichst „gute“ falsche
Antworten zu suchen.
Die folgende, in Partner- oder Gruppenarbeit umsetzbare Unterrichtssequenz soll das illustrieren:
Aufgabe:
Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b. Findet richtige und „gute“
falsche Aussagen zu den Eigenschaften des Rechtecks.
In der Großgruppe werden die Aussagen gesammelt und nach „richtig“ und „falsch“
eingeordnet. Das Ergebnis könnte dabei wie folgt aussehen:
richtig
falsch
R1: Das Rechteck ist ein Viereck. F1: Ein Viereck mit 4 gleich langen Seiten
ist ein Rechteck.
R2: Das Rechteck hat vier rechte Winkel. F2: Das Rechteck hat genau eine
Symmetrie achse.
R3: Das Rechteck besitzt einen Umkreis. F3: Das Rechteck besitzt einen Inkreis.
R4: Das Rechteck hat zwei gleich lange
Diagonalen.
R5: Für den Umfang u des Rechtecks
gilt: u = 2 · a + 2 · b.
R6: Für den Flächeninhalt A des Rechtecks
gilt: A = a · b.
F4: Im Rechteck halbieren die Diagonalen
die Winkel.
F5: Für den Umfang u des Rechtecks gilt:
u = 2 · a + b.
F6: Für den Flächeninhalt A des Rechtecks
gilt: A = 2 · a + 2 · b.
Daran schließt sich eine Besprechung an, warum die Aussagen falsch sind und wie man sie
richtig stellen könnte. Werden z. B. in F1 „ist ein Rechteck“ durch „kann ein Rechteck sein“,
in F2 „eine“ durch „zwei“ ersetzt oder in F5 an richtiger Stelle eine Klammer eingefügt, entstehen
aus falschen Aussagen solche, die richtig sind. Statt der Aussage R2 könnte man auch
sagen: „Das Rechteck hat vier gleich große Winkel“, denn wegen der Winkelsumme von
360° in jedem Viereck müssen alle Winkel rechtwinkelig sein. Formuliert man hingegen die
Aussage R4 um zu „Jedes Viereck mit gleich langen Diagonalen ist ein Rechteck“, erhält man
eine falsche Aussage, denn es könnte auch ein gleichschenkeliges Trapez gemeint sein. Den
Schülerinnen und Schülern sollte dabei bewusst werden, welche sprachliche Genauigkeit
Mathematik erfordert. Oft kann ein Wort den Sinn einer Aussage ändern.

132 Praxishandbuch für „Mathematik“ 8. Schulstufe, Band 2
Sinnvoll erscheint es auch, im Unterricht mögliche Lösungsstrategien zu besprechen. Diese
könnten wie folgt lauten:
Du sollst nicht darauf los raten.
Lies alle vorgegebenen Antworten durch, bevor du dich für die Lösung entscheidest.
Scheide jene Antworten aus, von denen du ganz sicher bist, dass sie falsch sind.
Verwende Papier und Bleistift bzw. Taschenrechner, um zu Ergebnissen zu kommen.
Manchmal hilft dir eine Zeichnung bzw. Skizze.
Vor allem ist den Schülerinnen und Schülern einsichtig zu machen, dass – etwa bei Multiple-
Choice-Aufgaben – durchaus schriftlich gearbeitet werden kann/soll. Niemand muss alles „im
Kopf“ rechnen können.
Ein geschickter Umgang mit den einzelnen Antwortformaten und der Einsatz günstiger Lösungsstrategien
können das Testergebnis positiv beeinflussen. Es ist zu vermuten, dass viele
Testergebnisse (z. B. bei PISA) auch deshalb nicht zur Zufriedenheit der Lehrkräfte bzw. der
Öffentlichkeit ausfallen, weil die in diesen Tests verwendeten Antwortformate in unseren Schulen
kaum eingesetzt werden und Schüler/innen ungeschickte Lösungsstrategien anwenden.
Durch die Bearbeitung verschiedenartiger Antwortformate im Unterricht wird einerseits ein
Gewöhnungseffekt eingeleitet, andererseits wird auch die Schwellenangst vermindert und
damit bei neuen Aufgaben mit diesen Antwortformaten die Kombinationsfähigkeit erhöht.
Die vorgestellten Formate finden nicht alle bei der Überprüfung der Bildungsstandards Anwendung.
Sie können aber für den Unterricht verändert und adaptiert werden und somit das
Aufgabenrepertoire der Lehrkraft erweitern.
Literatur
Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens
(BIFIE) (Hrsg.) (2011). Freigegebene Items aus der Pilotierung 2011 – Mathematik 8.
Salzburg. Verfügbar unter https://www.bifie.at/node/460 [27.09.2012].
Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens
(BIFIE) (Hrsg.) (2012a). Bildungsstandards in Österreich. Überprüfung und Rückmeldung.
3., aktualisierte Auflage. Salzburg. Verfügbar unter https://www.bifie.at/node/560
[27.09.2012].
Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens
(BIFIE) (Hrsg.) (2012b). Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik.
Inhaltliche und organisatorische Grundlagen zur Sicherung mathematischer Grundkompetenzen.
Wien. Verfügbar unter https://www.bifie.at/node/1442 [27.09.2012].
Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens
(BIFIE) (Hrsg.) (2012c). Freigegebene Items Englisch 8, Reading. Salzburg. Verfügbar
unter https://www.bifie.at/node/1724 [27.09.2012].
Mürwald-Scheifinger, E. & Weber, W. (2011). Kompetenzorientierter Unterricht – Sekundarstufe I
– Mathematik. In Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen
Schulwesens (BIFIE) (Hrsg.). Kompetenzorientierter Unterricht in Theorie und Praxis.
Graz: Leykam. Verfügbar unter https://www.bifie.at/node/351 [27.09.2012]. S. 109–138.
Wolkerstorfer, S. (2012). Pädagogische Diagnostik. Grundlage für kompetenzorientierten Mathematikunterricht
in der Sekundarstufe 1. Bachelorarbeit Pädagogische Hochschule Niederösterreich.
Baden.

Notizen

www.bifie.at
Leykam Buchverlag
verlag@leykam.com
www.leykamverlag.at
978-3-7011-7843-8