Beuth Hochschule Stichworte Algorithmen WS13/14, S. 1 Stichworte ...

Beuth Hochschule Stichworte Algorithmen WS13/14, S. 1 

Stichworte zu Algorithmen 

Stichworte und allgemeine Informationen zur Lehrveranstaltung 

Algorithmen (MB2-ALG) für den Zug 2 

im Studiengang Medieninformatik Bachelor (MD-B) 

im Wintersemester 2013/14 bei Ulrich Grude. 

Anmerkung: Die parallele Veranstaltung für den Zug 1 wird von Prof. Schiele betreut. 

In dieser Datei finden Sie u.a. die Termine und Orte der einzelnen seminaristischen Unterrichte (SUs) 

und Übungen (Üs), die Regeln, nach denen man für diese LV Noten bekommt und weitere Informationen. 

Im Laufe des Semesters können Sie in dieser Datei nach jedem SU ("nach jeder Vorlesung") ein 

paar Stichworte zum Inhalt des Unterrichts (und manchmal auch Korrekturen und Ergänzungen etc.) finden. 

Einleitung 

1. Diese Lehrveranstaltung (LV) stellt ziemlich hohe Ansprüche an ihre TeilnehmerInnen. Das liegt unter 

anderem daran, dass sie (die LV, seit dem SS13) schon im 2. Semester stattfindet und Sie (die TeilnehmerInnen 

der LV) vorher nur ein Semester Programmierung hatten. 

2. Kommen Sie zu allen Vorlesungen und Übungen. Betrachten Sie das Verpassen einer Vorlesung oder 

einer Übung nicht als eine Option, sondern als eine kleine Katastrophe, die aufwendiges Nachholen erforderlich 

macht. 

3. Wenn Sie das Gefühl bekommen sollten, in den Vorlesungen oder Übungen nicht genug zu lernen, 

dann geben Sie nicht gleich auf. Überlegen Sie, was Sie anders machen könnten, um mehr zu lernen, und 

was ich (als Betreuer dieser LV) anders machen sollte. Über Verbesserungsvorschläge können wir immer 

reden (vorzugsweise vor oder nach dem Unterricht). 

Einige Unterlagen zu dieser LV finden Sie (ziemlich weit oben) auf meiner Netzseite 

http://public.beuth-hochschule.de/~grude/ 

Außerdem brauchen Sie Zugriff auf das Buch "Java ist eine Sprache" von Ulrich Grude. Sie können es 

kostenlos in der Bibliothek der Beuth Hochschule ausleihen (oder für viel Geld in einem Buchladen kaufen). 

Einige Abschnitte in diesem Buch sind für diese LV Algorithmen wichtig.

S. 2, WS13/14 Stichworte zu Algorithmen Beuth-Hochschule 

Termine und Orte 

Erster Termin: Dienstag 08.10.2013, 8.00 Uhr, Raum D209 

Für den Zug 2 sind zwei Übungsgruppen geplant: 2a und 2b. Es folgen hier die Termine und Orte aller 

seminaristischen Unterrichte (SU) und aller Übungen (Ü): 

KW 

Datum 

(immer 

dienstags) 

08.00-09.30 

SU im Raum 

D209 

10.00-11.30 

Ü im Raum 

D113L 

12.15-13.45 

SU im 

Raum B013 

41 08.10.13 SU01 Ü2a01 SU02 

42 15.10.13 SU03 Ü2b01 SU04 Test 1 (08.00 Uhr) 

43 22.10.13 SU05 Ü2a02 SU06 


45 05.11.13 SU09 Ü2a03 SU10 


47 19.11.13 SU13 Ü2a04 SU14 


49 03.12.13 SU17 Ü2a05 SU18 

50 10.12.13 Ü2b05 SU19 Test 5 (12.15 Uhr) 

51 17.12.13 Ü2a06 SU20 

Feiertage 

02 07.01.14 Ü2b06 SU21 Test 6 (12.15 Uhr) 

93 14.01.14 Ü2a07 SU22 

04 21.01.14 Ü2b07 SU23 Test 7 (12.15 Uhr) 

05 28.01.14 Ü2a08 SU24 

06 04.02.14 Ü2b08 SU25 Klausur 

07 11.02.14 SU26 Rückgabe der Klausur 

Die Hauptklausur findet statt: 

am Di 04.02.2014, 18-19.30 Uhr, Raum D209 (geändert am 16.12.2013) 

Rückgabe: 11.02.2014, 12.15 Uhr, Raum D321 

Die Nachklausur findet statt 

am Fr 28.03.2014, 10.00-11.30 Uhr, Raum ?? 

Rückgabe: Mo 31.03.2014, 10.00 Uhr, Raum DE17


Wie bekommt man eine Note für den Übungsteil dieser LV? 

In den geraden Kalenderwochen werden wir insgesamt 7 kleine Tests schreiben, Bearbeitungszeit jeweils 

etwa 10 bis 15 Minuten. Die Aufgaben und Fragen in diesen Tests werden sich auf den Stoff beziehen, 

der (im SU und in den Ü) vorher behandelt wurde. In jedem Test kann man maximal 20 Punkte erreichen. 

Mit 10 oder mehr Punkten hat man den Test bestanden, mit weniger Punkten hat man den Test 

nicht bestanden. Wenn Sie 5 oder mehr der 7 Tests bestehen, bekommen Sie für den Übungsteil die Note 

m.E. (mit Erfolg), sonst die Note o.E. (ohne Erfolg). 

Empfehlung: Schreiben Sie alle Tests mit, bei denen Ihnen das irgendwie möglich ist. Sparen Sie sich 

die Möglichkeit, zwei Tests nicht zu bestehen (z.B. weil Sie nicht daran teilgenommen haben) bis zum 

Ende des Semesters auf. Wenn Sie an einem Test nicht teilnehmen, spielt es keine Rolle, warum Sie 

nicht teilgenommen haben (S-Bahn war eingefroren, Fahrrad hatte einen Platten, war krank, musste 

einen hohen Lotto-Gewinn persönlich abholen etc.). 

Außerdem wird aus Ihren 5 besten Testergebnissen (das ist eine Punktezahl zwischen 0 und 100) nach 

der folgenden Tabelle eine differenzierte Übungsnote zwischen 1,0 und 5,0 berechnet: 

Punkte (ab): 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 0-49 

Note: 1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0 

Diese differenzierte Übungsnote kann ihre Modulnote verbessern oder verschlechtern. 

Wie bekommt man eine Modulnote für diese LV? 

Um eine (differenzierte) Modulnote zu bekommen, muss man an einer Klausur teilnehmen (an der 

Hauptklausur am Ende des WS13/14 oder an der Nachklausur kurz vor dem SS14). An den Klausuren 

dürfen alle teilnehmen, die die Lehrveranstaltung MB2-ALG, Zug 2, belegt haben. In den Klausuren sind 

jeweils 100 Punkte erreichbar. Nach der Tabelle im vorigen Abschnitt wird daraus die Klausurnote ermittelt. 

Die Modulnote wird aus der der Klausurnote (Gewicht: 75%) und aus der differenzierten Übungsnote 

(Gewicht: 25%) berechnet. Die folgenden Beispiele sollen zeigen, wie dabei gerundet wird: 

Übungsnote Klausurnote Rohergebnis (gerundete) Note 

2,3 2,7 (2,3 + 3 * 2,7) / 4 = 2,60 2,7 

3,7 1,3 (3,7 + 3 * 1,3) / 4 = 1,90 2,0 

2,0 4,0 (2,0 + 3 * 4,0) / 4 = 3,50 3,3 

Unterlagen für Tests und Klausuren 

Zu jedem der Tests dürfen Sie als Unterlage mitbringen: 

1 Blatt, max. DIN A 4, beliebig beschriftet (von Hand oder mit Drucker/Kopierer, nur auf der Rückseite 

oder nur auf der Vorderseite oder beidseitig, schwarz-weiß oder farbig, ordentlich oder chaotisch, ...). 

Zur Klausur (und zur Nachklausur) dürfen Sie als Unterlagen mitbringen: 

5 Blätter, max. DIN A 4, beliebig beschriftet (siehe oben). 

Hinweis: 10 einseitig beschriebene Blätter sind 10 Blätter und nicht 5 Blätter! 

Übungsgruppen 

Wer zu welcher Übungsgruppe (2a bzw. 2b) gehört, wird nicht durch das Online Belegsystem festgelegt, 

sondern am Di 08.10.13 kurz nach 8.00 Uhr im ersten seminaristischen Unterricht. Wenn es für eine 

Übungsgruppe mehr InteressentInnen gibt als Plätze, entscheidet das Los. Nur persönlich Anwesende 

können an den Verlosungen teilnehmen.

S. 4, WS13/14 SU 1. Di 08.10.13, Block 1 Beuth-Hochschule 

SU 1. Di 08.10.13, Block 1 

1. Begrüßung 

2. Namensschilder verteilen, schreiben, aufstellen. 

Namensschilder bitte immer mitbringen und möglichst selbständig aufstellen. 

3. Wie bekommt man zwei Noten für das Fach Algorithmen? 

Ü-Note: 7 Tests, wenn man mindestens 5 besteht: m.E., sonst o.E. 

Außerdem wird aus den Testergebnissen eine differenzierte Ü-Note (1.0 - 5.0) errechnet 

Modul-Note: Klausur-Note (75%) und differenzierte Ü-Note (25%) 

Übungen: Zwei Gruppen: 2a (in ungeraden KWs) und 2b (in geraden KWs) 

Die Plätze werden (nicht vom OnlineBelegsystem festgelegt, sondern) jetzt und hier verteilt bzw. (falls 

es mehr InteresstInnen als Plätze gibt) verlost. 

Arbeitsgruppen: Bestehen aus 2 Personen, bearbeiten gemeinsam Projekte (siehe die Datei 

Projekte.pdf auf meiner Netzseite). Jede Gruppe braucht nur eine Lösung erstellen und vorzeigen. 

Frage: Wer hat einen Laptop? Kann jede Arbeitsgruppe einen Laptop in jeden SU mitbringen? 

Lehrkraftnews abonnieren! 

Hat jemand noch Fragen zur Organisation dieser Lehrveranstaltung? 

Einleitende Anmerkungen zu dieser LV 

Die drei Punkte aus der Einleitung auf S. 1: 

1. Hohe Anforderungen 

2. Kommen Sie zu allen SUs und zu allen Üs 

3. Bei Problemen: Lassen Sie uns reden und versuchen, die Probleme zu verkleinern. 

Außerdem: 

4. Verhalten Sie sich so wie jemand, der den Stoff dieser LV interessant und wichtig findet. 

5. Eignen Sie sich den Stoff aktiv an (und warten Sie nicht darauf, "von außen betankt zu werden"). 

6. Kommen Sie vorbereitet in die Übungen. Lesen Sie die Datei Projekte.pdf zu Hause durch (ungefähr 

ein Projekt alle 2 Wochen) und erstellen Sie dabei eine Liste mit Ihren Fragen. In der Übung sollte 

es dann vor allem um die Beantwortung ihrer Fragen gehen (nicht um das Lesen der Aufgaben). 

Jetzt geht es los mit dem Stoff! 

Ziele dieser Lehrveranstaltung 

Die Begriffe Programm und Algorithmus sollen behandelt werden. Was haben die miteinander zu tun? 

Was unterscheidet sie voneinander? 

Was versteht man unter der Zeitkomplexität eines Algorithmus? Die Tilde-Notation und die Groß-O- 

Notation. 

Einige wichtige Datenstrukturen (Reihungen, Listen, Bäume, Hashtabellen) und ihre Algorithmen sollen 

genauer behandelt werden. 

Eine paar weitere Algorithmen sollen behandelt werden. 

Was hat es mit den Algorithmen-Gruppen P und NP auf sich? Welche Algorithmen gehören zur Gruppe 

P? Und welche zu NP? Welche Algorithmen sind NP-vollständig? Sind die beiden Gruppen wirklich 

verschieden?


Kurze Wiederholung von PR1 (vielleicht ein bisschen anders als Sie es kennen) 

Programmieren als ein Rollenspiel, mit 3 Hauptrollen: 

Der Programmierer schreibt Programme und übergibt sie dem Ausführer. 

Der Ausführer prüft Programme, lehnt sie ab oder akzeptiert sie, führt sie aus. 

Der Benutzer befiehlt dem Ausführer, Programme auszuführen und ist für Ein- und Ausgabedaten zuständig. 

2 Nebenrollen: 

Der Warter wartet die Programme, die der Programmierer geschrieben hat. 

Der Wiederverwender verwendet Teile der Programme, um selbst neue Programme daraus machen. 

Das wichtigste Grundkonzept der Programmierung 

Variablen, deren Wert man beliebig oft verändern kann (anders als Variablen in der Mathematik, deren 

Wert man beliebig wählen, aber dann nicht mehr verändern darf). 

Kleine Begriffshierarchie: 

Ein Wertebehälter ist eine Variable oder ein Ein/Ausgabe-Gerät (Tastatur, Bildschirm, Datei-auf- 

Festplatte, Datei-auf-CD, ...) 

In Programmiersprachen gibt es 3 Arten von Befehlen: 

Bezeichnung deutsch 

Vereinbarung 

Ausdruck 

Anweisung 

Bezeichnung englisch Was befiehlt so ein Befehl dem Ausführer? 

declaration 

expression 

statement 

Erzeuge .... 

(z.B. eine Variable, eine Methode, eine Klasse, ...) 

Berechne den Wert des Ausdrucks ... 

(z.B. x + 2 oder sin(2*y) - PI etc.) 

Tue die Werte ... in die Wertebehälter ... 

(z.B. y = x +2; oder print("Hallo!") etc.) 

Ein Ausdruck bewirkt (normalerweise) nicht, dass die Inhalte von Wertebehältern verändert werden. 

Eine Anweisung verändert die Inhalte von Wertebehältern. Ausdrücke und Anweisungen unterscheiden 

sich also dadurch, dass sie Wertebehälter nicht verändern bzw. verändern. 

Das Papier Anfangs-Quiz austeilen. Folgende ausgewählte Fragen daraus bearbeiten: 

1, 5, 6, 9, 10, 12, 25, 

Am kommenden Dienstag 15.10.13 schreiben wir den Test 1. 

Er wird ähnliche Fragen wie der Anfangs-Quiz enthalten. 

Zur Entspannung: Was kostet ein Studium an der Beuth Hochschule? 

Haushalt der Beuth Hochschule ca. 80 Millionen [Euro pro Jahr]. 

An der Beuth Hochschule studieren ca. 10 Tausend StudentInnen. 

Also kostet das Studieren an der Beuth Hochschule ca. 8000 [Euro pro StudentIn und Jahr]. 

Ein Bachelor-Studium (6 Semester, 3 Jahre) kostet also ca. 24 Tausend [Euros pro StudentIn]. 

Pro Jahr hat eine StudentIn ca. 1000 Stunden Lehrveranstaltungen 

(ca. 32 Wochen lang ca. 30 Stunden pro Woche). 

Also kostet ein Stunde LV pro Studentin ca. 8 Euro (1 Block 16 Euro).


SU 2. Di 08.10.13, Block 3 

Iteration und Rekursion 

Was versteht man unter der Fakultät einer natürlichen Zahl n? Was ist die Fakultät von 3? 

Aufgabe-01: Schreiben Sie eine Java-Klassenfunktion (engl. a non-void static method) entsprechend der 

folgenden Spezifikation: 

1 static int fak01(int n) { 

2 // Liefert die Fakultaet von n. 

3 // Liefert 1, falls n kleiner (oder gleich) 0 ist. 

4 

5 int erg = 1; 

6 for (int i=2; i


SU 3. Di 15.10.13, Block 1 

Heute schreiben wir den Test 1. 

Allgemeine Anmerkungen zum Papier RekursionAufgaben.pdf 

1. Jede 2-Personen-Arbeitsgruppe soll (heute im SU 3. und später zu Hause) so lange und so oft Aufgaben 

aus diesem Papier lösen, bis Ihnen Rekursion ganz einfach vorkommt. 

2. Das Papier RekursionAufgaben.pdf enthält 15 Programmieraufgaben ("Schreiben Sie eine rekursive 

Methode die ...") und einige weitere Aufgaben (als Vorbereitungen auf die Programmieraufgaben). 

3. In der Datei RekursionTestProgs.txt finden Sie sieben Java-Programme 

(namens Rekursion01_Tst bis Rekursion07_Tst), 

mit denen Sie Ihre Lösungen der 15 Programmieraufgaben testen können (einzeln, eine nach der anderen). 

4. Im Abschnitt 2. Natürliche Zahlen als Folgen von Ziffern bearbeiten geht es um Ganzzahlen (engl. 

integral numbers) und ihre Darstellung in verschiedenen Zahlensystemen. Wenn Sie mit den weiteren 

Fragen am Anfang dieses Abschnitts Probleme haben, sollten Sie zuerst das Papier 

Zahlensysteme.pdf (4 Seiten) durcharbeiten. 

Aufgabe-11: fiboR (Fibonacci-Zahlen, rekursiv) 

8 weitere Aufgaben Aufgabe-201 bis Aufgabe-208. 

Regeln zur Bearbeitung von Ziffern (einer Ganzzahl) 

6 Programmieraufgaben Aufgabe-211 bis Aufgabe-216 (im SU nur die ersten beiden?) 

Aufgabe-31: fuelleAus (Farbeimer)


SU 4. Di 15.10.13, Block 3 

Variablen, aus was für Teilen bestehen die eigentlich? 

Die Informatik als Studienfach gibt es erst seit den 1970-er Jahren. Damals haben die Informatiker viele 

Konzepte und Ideen aus der Elektrotechnik und aus der Mathematik übernommen. Aber ein Grundkonzept 

der Informatik war ganz neu: 

Das Konzept einer veränderbaren Variablen. 

Unterschied zwischen Variablen in der Mathematik und Variablen in Programmiersprachen? 

Heute unterscheidet man veränderbare und unveränderbare Variablen, und beide werden in der Informatik 

und in der Mathematik verwendet. 

Aus wie vielen Teilen und aus welchen Teilen besteht eine Variable? 

Das Papier Variablen als Bojen darstellen besprechen (siehe Datei Bojen01.pdf auf meiner Netzseite). 

Seitenangaben und Bezeichnungen wie "Beispiel-01" oder "Aufgabe-01" etc. in den folgenden Stichworten 

beziehen sich auf dieses Papier. 

In Java unterscheidet man: 

primitive Typen, primitive Variablen, primitive Werte 

Referenztypen, Referenzvariablen, Referenzwerte 

Beispiel-01 (Variablen anna, bert und carl) besprechen 

Zuweisungen: Ändern immer den Wert einer Variablen (Beispiel-02) 

Aufgabe-01 (auf S. 2 unten) 

Die new-Regel 

Verschiedene equals-Methoden (Beispiel-03) 

Jede Klasse erbt eine equals-Methode. Einige Klassen überschreiben die geerbte Methode (engl. they 

override the inherited equals method) mit einer eigenen, speziellen equals-Methode, andere Klassen 

behalten die geerbte Methode. Der Programmierer muss damit rechnen, dass jede neue equals-Methode, 

die ihm begegnet, etwas anderes macht als die, die er schon kennt. 

Beispiel: Eine Klasse Auto hat 3 Objektattribute: Typ, Motor_Nr und Farbe. 

Wann sind zwei Auto-Objekte gleich? Welche Attribute müssen dazu gleich sein? 

Der Gleichheitsoperator == und der Ungleichheitsoperator == 

Die beiden vergleichen immer nur Werte (nie Zielwerte). 

Besondere Regeln für den Typ String 

Ende der Bearbeitung des Papiers Variablen als Bojen darstellen. 

Zur Entspannung: Al-Khwarizmi (ca. 780-850) 

Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi war ein islamischer Mathematiker, der in Bagdad lebte, 

über Indisch-Arabische Zahlen schrieb und zu den ersten gehörte, die die Ziffer 0 benutzten. Aus seinem 

Namen entstand (durch Übertragung ins Latein und dann in andere Sprachen) das Wort Algorithmus. 

Eine seiner Abhandlungen heißt Hisab al-jabr w'al-muqabala (auf Deutsch etwa: "Über das Hinüberbringen", 

von einer Seite einer Gleichung auf die andere). Daraus entstand unser Wort Algebra. 

Wenn noch Zeit ist: In der Datei Projekte.pdf das Projekt 1: Sammeln in einer unsortierten Reihung 

besprechen und bearbeiten.


SU 5. Di 22.10.13, Block 1 

Rückgabe und kurze Besprechung von Test 1 

1. Wenn man einen Satz aus einer Sprache in eine andere übersetzt, sollte "die Bedeutung" des Satzes so 

gut wie möglich erhalten bleiben. Spezialfall: Wenn man einen Befehl übersetzt, sollte das Ergebnis auch 

ein Befehl sein (keine Beschreibung, keine Beschimpfung etc.) 

Anmerkung: Wenn Sie Java-Befehle ins Deutsche übersetzen, dürfen Sie den Ausführer duzen, etwa so: 

"Erzeuge eine Variable ..." (statt: "Bitte erzeugen Sie eine Variable ..."). 

2. "Vereinbaren" ist eine Tätigkeit des Programmierers (der "schreibt Vereinbarungen"). "Erzeugen" ist 

eine Tätigkeit des Ausführers (der erzeugt Klassen, Variablen, Methoden etc.). Eine Vereinbarung (des 

Programmierers) befiehlt (dem Ausführer), etwas zu erzeugen. Eine Vereinbarung ist also ein Befehl, etwas 

zu erzeugen (nicht, etwas zu vereinbaren). 

3. Auf eine Frage, die mit "Wie viele ..." beginnt, sollten Sie immer mit einer (nicht-negativen, ganzen) 

Zahl antworten, z.B. 17 oder 0 oder ca. 4,3 Milliarden oder so ähnlich, oder mit unendlich viele. Sie 

sollten nicht mit einer "Rechenaufgabe" antworten wie z.B. 2 7 oder sin(y) * tg(x) oder -100 bis +100 

oder so ähnlich. 

4. Unterscheiden Sie zwischen dem primitiven Typ int vom Referenztyp Integer. 

Projekt 1 weiter besprechen 

Wer ist mit dem Programmieren dieses Projekts fertig oder weitgehend fertig? 

Hinweis: Bearbeiten Sie die Projekte von sich aus so weit und so schnell wie möglich. Bedenken Sie dabei, 

das Sie gegen Ende des Semester wahrscheinlich eher weniger Zeit haben als jetzt. Wenn Sie auf 

Probleme stoßen, dann notieren Sie sich möglichst genaue Fragen (unbedingt aufschreiben, dabei möglichst 

viele Fachbegriffe verwenden). Die Fragen können wir dann im SU und in den Übungen besprechen. 

Frage 1: Wie löscht man eine Komponente einer unsortierten Reihung? 

Indem man sie mit der letzten belegten Komponenten speicher[nfi-1] vertauscht und den Wert 

von nfi um 1 verkleinert. 

"Physikalisch" ist die Komponente dann noch da, aber "logisch" ist sie gelöscht. 

Frage 2: Wie sieht der Rumpf der Methode boolean istDrin(int n) aus? 

return index(n) != -1; 

Sind alle mit dem Junit-Testprogramm LongSpeicher_Jut.java klargekommen? 

Zur Entspannung: Christian Morgenstern (1871-1914, München-Meran) 

Lyriker, Redakteur, Übersetzer (Ibsen, Strindberg). In seinen Gedichten kommen auch mathematische 

Ideen vor. Im folgenden Gedicht geht es um die Evolution großer Tiere und Zahlen: 

Anto-Logie 

Im Anfang lebte, wie bekannt, als größter Säuger der Gig-ant. ... 

Wenn noch Zeit ist: Binäres Suchen (in einer sortierten Reihung) 

An der Tafel vormachen (mit einer Reihung der Länge 15) 

Dann als Methode: 

static int binSuch(long[] r, long n, int von, int bis) 

Block 2: Übung 2, Gruppe a: Zahlensysteme, Zahlen umwandeln


SU 6. Di 22.10.13, Block 3 

Das Papier RekursionAufgaben.pdf weiter bearbeiten 

Wer hat seine Lösung zu Aufgabe-11 (Fibonacci-Zahlen, Methode fiboR) mit dem Programm 

Rekursion01_Tst getestet? 

Hat jemand die Methode fiboR schon mal mit dem Parameter 45 aufgerufen? Oder mit einem noch 

größeren Parameter, z.B. 50? Ist Ihnen dabei etwas aufgefallen? Haben Sie gegähnt? 

Rechenzeiten von meinem Aldi-Rechner (Intel i3, 2 Kerne mit 3,2 GHz) zu Haus, Werte stark gerundet: 

Methodenaufruf Rechenzeit Ergebnis (ungefähr) 

fiboR(40) 1 sec 0.10 Milliarden 



fiboR(55) 1000 sec 140.00 Milliarden 

Wieso braucht die Methode fiboR schon für relativ kleine Parameter wie 50 und 55 so viel 

Rechenzeit? Und warum nimmt die benötigte Rechenzeit so schnell zu, wenn der Parameter noch größer 

wird? 

Genauere Frage: Wie oft wird fiboR aufgerufen für verschiedene Werte von N? 

fiboR(N) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 

AnzAufrufe 1 1 3 5 9 15 25 41 67 

Denksport-Aufgabe: Welcher Zusammenhang besteht zwischen einer Fibonacci-Zahl (in Zeile 1) und 

der Anzahl der Methodenaufrufe (in Zeile 3), die zu ihrer Berechnung ausgeführt werden? Am besten 

beginnt man bei der Fibonacci-Zahl 5 (für deren Berechnung 15 Aufrufe nötig sind). 

Die 45. Fibonaccizahl (fiboR(45)) ist etwa gleich 1 Milliarde. Um Sie zu berechnen, sind 

ein bisschen mehr als 3 Milliarden Aufrufe der Methode fiboR nötig. 

Problem: Wenn fiboR die N-te Fibonacci-Zahl berechnet, werden alle kleineren Fibonacci-Zahlen 

nicht nur einmal, sondern mehrmals berechnet (je kleiner sie sind, desto häufiger werden sie berechnet). 

Wie könnte man das vermeiden (und damit die Berechnung beschleunigen)? 

Plan: Wir vereinbaren eine Reihung r von int-Variablen der Länge 1000 und schreiben da ("von links 

nach rechts") die Fibonacci-Zahlen rein. Wenn wir "eine kleinere Fibonacci-Zahl" brauchen (um eine 

größere zu berechnen), schauen wir in der Reihung nach, statt eine Methode rekursiv aufzurufen. 

Diese Technik wird als Memoisation (engl. memoization) bezeichnet: Eine Funktion "speichert ihre Ergebnisse", 

statt sie jedesmlaneu zu berechnen. 

Wer hat die Aufgabe-211 (im Papier RekursioAufgaben.pdf) fertig und getestet? 

Lösen Sie möglichst schnell auch die Aufgaben -212 bis -216 und testen Sie Ihre Lösungen. 

Eventuell die Lösung für Aufgabe-31 besprechen: 

Lösung der Denksportaufgabe: AnzAufrufe(N) = 3 * fiboR(N) + (N - 5) 

Für große N kann man den Summanden (N - 5) vernachlässigen und sagen: 

Zur Berechnung der N-ten Fibonaccizahl F wird fiboR etwa 3*F aufgerufen.


SU 7. Di 29.10.13, Block 1 


Sortieren von Reihungen 

Dieses Problem gehört zu den am intensivsten untersuchten algorithmischen Problemen, 

für das sehr viele Lösungen entwickelt wurden. 

Zur Erinnerung: Die wichtigsten Eigenschaften von Reihungen (engl. arrays) 

Positive Eigenschaft: Der Zugriff auf eine beliebige Komponente r[i] benötigt sehr wenig Zeit, und 

diese Zugriffszeit ist unabhängig von der Größe von i (ein Zugriff auf r[10000] dauert nicht länger 

als ein Zugriff auf r[0]). 

Negative Eigenschaft: Reihungen "sind aus Beton" (ihre Länge ist nicht veränderbar). 

Ein paar Grundideen zum Sortieren von Reihungen 

Sortieren durch Vertauschen benachbarter Komponenten (Bubblesort): 

Wenn zwei nebeneinander liegende Komponenten (z.B. r[0] und r[1] oder r[17] und r[18] etc.) 

falsch-herum liegen, vertauscht man sie miteinander. Das macht man solange, bis alle Komponenten 

richtig-herum liegen. 

Sortieren durch Auswahl (Selectionsort): 

Man denkt sich die Reihung aus einem (bereits sortierten) Anfangsteil und 

einem (noch nicht sortieren) Endteil bestehend. 

Anfangs ist der Anfangsteil leer und der Endteil besteht aus der gesamten Reihungen (am Ende ist es 

umgekehrt: Der Anfangsteil besteht aus der gesamten Reihung und der Endteil ist leer). 

Bei jedem Schritt vertauscht man mit die erste Komponente des Endteils mit der kleinsten Komponente 

des Endteils. 

Nach jedem Schritt gehört eine Komponente mehr zum Anfangsteil statt zum Endteil. 

Sortieren durch Einfügen (Insertionsort): 

Man denkt sich die Reihung aus einem (bereits sortierten) Anfangsteil und 

einem (noch nicht sortieren) Endteil bestehend. 

Anfangs ist der Anfangsteil leer und der Endteil besteht aus der gesamten Reihungen (am Ende ist es 

umgekehrt: Der Anfangsteil besteht aus der gesamten Reihung und der Endteil ist leer). 

Bei jedem Schritt verschiebt man die erste Komponente des Endteils (durch eventuell mehrmaliges Vertauschen 

mit ihrem linken Nachbarn) solange nach links, bis sie "an der richtigen Stelle liegt". 

Nach jedem Schritt gehört eine Komponente mehr zum Anfangsteil statt zum Endteil.


Zur Entspannung: Alan Mathison Turing (1912-1954), einer der Begründer der Informatik 

Bevor man die ersten elektronischen Computer baute, konzipierte und untersuchte der Mathematiker 

Turing eine Rechenmaschine, die so einfach war, dass niemand an ihrer prinzipiellen Realisierbarkeit 

zweifelte. Eine solche Turing-Maschine besteht aus einem unbegrenzt langen Band, welches in kleine 

Abschnitte eingeteilt ist, von denen jeder genau ein Zeichen eines endlichen Alphabets aufnehmen kann. 

Ein Schreib-Lese-Kopf über dem Band kann bei jedem Arbeitsschritt der Maschine das Zeichen auf 

dem aktuellen Abschnitt lesen und in Abhängigkeit davon ein bestimmtes Zeichen auf den aktuellen 

Abschnitt schreiben und einen Abschnitt nach links oder rechts weiter rücken. Ein Programm für eine 

solche Maschine besteht aus einer endlichen Menge von Befehlen der folgenden Form: 

"Wenn das aktuelle Zeichen gleich X ist, dann schreibe Y und gehe einen Abschnitt nach links bzw. 

nach rechts bzw. bleib wo du bist" (wobei X und Y beliebige Zeichen des Alphabets sind). 

Wichtige Erkenntnis 1: Es gibt viele (präzise definierte, mathematische) Probleme, die man mit Hilfe einer 

solchen Turing-Maschine lösen kann (z. B. das Multiplizieren von dreidimensionalen Matrizen). 

Wichtige Erkenntnis 2: Es gibt aber auch (präzise definierte, mathematische) Probleme, die man nicht 

mit Hilfe einer solchen Turing-Maschine lösen kann. 

Wichtige Vermutung 3: Alle Probleme, die man mit heutigen oder zukünftigen Computern lösen kann, 

kann man im Prinzip auch mit einer Turing-Maschine lösen. 

Im zweiten Weltkrieg arbeitete Turing für die Government Code and Cypher School in Bletchley Park 

(d. h. für den britischen Geheimdienst) und half entscheidend dabei, die Maschine zu durchschauen, mit 

der die deutsche Marine ihre Funksprüche verschlüsselte (die Enigma), und wichtige Funksprüche zu 

entschlüsseln. Damit hat er vermutlich einer ganzen Reihe von alliierten Soldaten (Engländern, Amerikanern, 

Franzosen, Russen) das Leben gerettet. 

Weil er homosexuell war, wurde Turing nach dem Krieg zu einer Hormonbehandlung "seiner Krankheit" 

gezwungen, bekam schwere Depressionen und nahm sich das Leben. Inzwischen wurden die entsprechenden 

Gesetze in England (und ähnliche Gesetze in anderen Ländern) beseitigt. Im September 

2009 entschuldigte sich der britische Premierminister Gordon Brown dafür, wie Turing behandelt worden 

ist. 

Bubbelsort (und evtl. Insertionsort und Selectionsort) programmieren, in die Datei Sort_BIS_A.java 

einfügen und testen. 

Block 2: Übung 2, Gruppe b: Zahlensysteme, Zahlen umwandeln


SU 8. Di 29.10.13, 3. Block 

Wie kann man Algorithmen miteinander vergleichen? 

Angenommen, wir haben zwei Algorithmen A1 und A2, mit denen man Reihungen sortieren kann. Wie 

können wir die miteinander vergleichen um herauszufinden, ob einer der beiden deutlich schneller ist als 

der andere? 

Dabei ist klar: Das Sortieren einer langen Reihung wird im Allgemeinen länger dauern, als das Sortieren 

einer kurzen Reihung. Wir suchen also nicht nach einer Zahl, sondern nach einer Antwort auf die 

Frage-1: Wie hängt der Zeitbedarf von A1 (bzw. A2) von der Größe N des bearbeiteten Problems 

(im Beispiel: von der Länge der zu sortierenden Reihung) ab? 

Vorgehensweise-1: Wir implementieren A1 und A2 z.B. in Java, lassen sie z.B. auf einem Windows 

Rechner z.B. mit Pentium-Prozessor Reihungen unterschiedlicher Länge sortieren, Messen die benötigte 

Zeit und tragen sie in eine Tabelle ein. 

Möglicherweise ist einer der beiden Algorithmen bei allen Problemgrößen N schneller als der andere. Es 

sind aber auch kompliziertere Ergebnisse möglich, etwa so: Bis zu einer bestimmten Länge der Reihungen 

ist A1 schneller, aber für längere Reihungen ist A2 schneller, oder so ähnlich. 

Was ist nicht so gut an der Vorgehensweise-1? 

(Die Messergebnisse hängen wahrscheinlich nicht nur von den Algorithmen ab, sondern auch von der 

Programmiersprache, dem Betriebssystem, der Hardware etc. Außerdem ändern sich die Ausführungszeiten, 

wenn ein neuer Prozessor oder eine neue Betriebssystem-Version herauskommt). 

Frage-2: Wie können wir etwas über den Zeitbedarf eines abstrakten Algorithmus herausfinden, was 

möglichst unabhängig ist von bestimmten Programmiersprachen, Betriebssystemen und Prozessoren? 

Vorgehensweise-2: Wir untersuchen den Text des Algorithmus und versuchen herauszufinden: Wie viele 

Schritte müssen ausgeführt werden, wenn man nach diesem Algorithmus ein Problem der Größe N bearbeitet? 

Kernfrage: Was ist (beim Analysieren von Algorithmen, nicht beim Wandern) ein Schritt? 

Def.: Ein Schritt ist eine Befehlsfolge, von der es plausibel ist anzunehmen, dass ihre Ausführungszeit 

immer etwa gleich groß ist oder zumindest eine bestimmte feste Zeit nicht überschreitet. 

Insbesondere darf die Ausführungszeit für einen Schritt nicht von der Problemgröße N abhängen. 

Bei vielen Algorithmen ist die Problemgröße N gleich der Länge der Eingabe, die der Algorithmus bearbeitet. 

Beispiel: Bei einem Algorithmus zum Sortieren von Reihungen ist die zu sortierende Reihung die Eingabe. 

Mit der Problemgröße N ist in diesem Fall also die Länge dieser Reihung gemeint.

S. 14, WS13/14 SU 8. Di 29.10.13, 3. Block Beuth-Hochschule 

Konkrete Beispiele für Schritte und nicht-Schritte: 

Befehlsfolge 

1 Addition von zwei int-Werten ja 

500 Additionen von je zwei int-Werten ja 

Ein Schritt? Begründung 

N Additionen von je zwei int-Werten nein abhängig von Problemgröße N 

1 Vergleich von zwei char-Werten ja 

1 Vergleich von zwei String-Objekten 

500 Vergleiche von String-Objekten, 

die höchstens 100 Zeichen lang sind 

1 Addition von zwei BigInteger- 

Objekten 

500 Additionen von BigInteger-Objekten, 

die weniger als 100 int-Variablen 

enthalten. 

N Additionen von BigInteger-Objekten, 

die weniger als 100 int-Variablen 

enthalten 

nein 

ja 

nein 

ja 

nein 

500 Schritte ja 

Ein String-Objekt kann bis zu 

2,15 Milliarden char-Werte enthalten 

Ein BigInteger-Objekt kann bis zu 

2,15 Milliarden int-Variablen enthalten 

abhängig von Problemgröße N 

N Schritte nein abhängig von Problemgröße N 

Der Begriff eines Schrittes kann einem anfangs widersinnig vorkommen (z.B. weil man 500 Schritte 

auch als 1 Schritt zählen kann). Später werden wir sehen, dass man beim Abschätzen von Schrittzahlen 

häufig von konstanten Faktoren abstrahiert, d.h. keinen Unterschied zwischen dem Faktor 1 und einem 

Faktor wie 500 macht (wohl aber zwischen den Funktionen N und N 2 und 2 N etc.). 

Algorithmen analysieren und Schrittfunktionen entwickeln 

Die Datei SchrittFunktionenA. java öffnen, die "abstrakten Algorithmen" alg00, alg01, ... 

ansehen und analysieren und für jeden Algorithmus eine Schrittfunktion stp00, stp01, ... entwickeln.


SU 9. 05.11.13 

Arbeitsblatt austeilen und bearbeiten 

Aufgabe-01: Was ist bei diesen Algorithmen die Problemgröße n? 

Die Länge str.length der zu sortierenden Reihung. 

Aufgabe-02: Welche Befehle in diesen Algorithmen kann man als einen Schritt zählen? 

Den Rumpf der inneren for-Schleifen (Zeile 4-6 bzw. 14-16). 

Aufgabe-03: Schrittfunktion für bubbleSortA? 

n * (n - 1) gleich n 2 - n 

Aufgabe-04: Schrittfunktion für bubbleSortB? 

(n-1) + (n-2) + ... + 2 + 1 = n * (n - 1) / 2 = (n 2 - n) / 2 

Von Schrittfunktionen zur Tilde- und zur Groß-O-Notation 

Angenommen, wir haben zwei Algorithmen A1 und A2, die dasselbe Problem lösen (z.B. Reihungen 

sortieren). 

Schrittfunktion von A1 (stepA1): n 2 

Schrittfunktion von A2 (stepA2): n 2 + 10*n 

Ist A2 wesentlich schneller als A1? 

Eine Tabelle mit Schrittzahlen (für A1 und A2 und verschiedene n): 

Problemgröße n n 2 10*n stepA1 stepA2 

5 25 50 25 75 

10 100 100 100 200 

100 10_000 1_000 10_000 11_000 

1_000 1_000_000 10_000 1_000_000 1_010_000 

10_000 100_000_000 100_000 100_000_000 100_100_000 

100_000 10_000_000_000 1_000_000 10_000_000_000 10_001_000_000 

A1 benötigt mehr Schritte als A2. Wie groß ist der Unterschied in % ausgedrückt? 

Problemgröße n A2 benötigt wie viel 

mehr Schritte als A1? 

5 200 % 

10 100 % 

100 10 % 

1_000 1 % 

10_000 0,1 % 

100_000 0,01 % 

Praktisch wichtig sind vor allem die Schrittzahlen für große Probleme (d.h. für große n). Unterschiede 

von 1% oder weniger kann man in der Praxis in aller Regel vernachlässigen. 

Ergebnis: Zwischen den Algorithmen A1 und A2 gibt es keinen praktisch wichtigen Unterschied in den 

Schrittzahlen. 

Hinweis: Die Eclipse-Version Kepler hat ein Problem mit JUnit-3-Programmen. Wie man das Problem 

lösen kann, steht jetzt in der Datei TippsZuEclipse.pdf.

S. 16, WS13/14 SU 9. 05.11.13 Beuth-Hochschule 

Arbeitsblatt MB2-ALG (Algorithmen) 

1. Schrittfunktionen für Varianten von Bubblesort 

1 static void bubbleSortA(String[] str) { 

2 for (int i=str.length; i>0; i--) { 

3 for (int j=0; j0; i--) { 

13 for (int j=0; j


Von Schrittzahlfunktionen zur Tilde- und zur Groß-O-Notation 

Beispiel: 

Von einem Algorithmus A mit der Schrittfunktion 5*n 3 + 8*n 2 + 4n + 50 

sagt man auch: Seine Schrittzahl ist proportional zu 5*n 3 

Tilde-Notation: Schrittzahl(A) ~ 5*n 3 

Es gilt: Wenn n gegen unendlich geht, dann 

geht der Quotient (5*n 3 + 8*n 2 + 4n + 50) / 5*n 3 

gegen 1. In diesem Sinne sind die Polynome 5*n 3 + 8*n 2 + 4n + 50 und 5*n 3 

im Wesentlichen gleich. 

Indem man von der Schrittzahlfunktion 5*n 3 + 8*n 2 + 4n + 50 

zu 5*n 3 übergeht, tauscht man also ein bisschen Genauigkeit gegen viel Einfachheit ein. 

Meistens geht man noch radikaler vor, und lässt auch noch den Faktor der höchsten Potenz von n (im 

Beispiel: 5) weg und beschreibt den Zeitbedarf des Algorithmus A wie folgt: 

Groß-O-Notation: Zeitkomplexität(A): O(n 3 ) 

Falls noch Zeit ist: Projekt 2 (Sammeln in einer sortierten Reihung) und im Papier RekursionAufgaben 

die Aufgabe-31 (Methode fuelleAus) und Aufgabe-41 und -42 (Grundrechenarten mul und pot) 

programmieren. 

Zur Entspannung: Eigenschaften von Qubits (Quanten-Bits) 

1. Mit n "normalen Bits" kann man eine Zahl (zwischen 0 und 2 n -1) darstellen. Mit n Qubits kann man 

gleichzeitig bis zu 2 n Zahlen (zwischen 0 und 2 n -1) darstellen und mit einer Operation kann man alle 

diese Zahlen "gleichzeitig bearbeiten". 

Angenommen wir haben einen Speicher S, der aus 20 Qubits besteht. Dann können wir darin etwa 1 

Million Zahlen (zwischen 0 und etwa 1 Million) speichern und mit einer Operation all diese Zahlen auf 

einmal verändern. Wenn S aus 30 Qubits besteht, gilt alles entsprechend, aber mit 1 Milliarde Zahlen, 

und bei 40 Qubits mit 1 Billion Zahlen etc. 

2. Wenn man unseren Speicher S "ansieht und ausliest", bekommt man allerdings nur eine der Zahlen, 

die sich im Speicher befinden. Die übrigen Zahlen gehen dabei unvermeidbar und unwiderruflich verloren. 

Während mit unserem Speicher S gerechnet wird, muss der Speicher deshalb sorgfältig von der 

Umwelt isoliert werden, denn fast jede Interaktion des Speichers mit der Umwelt zählt als "ansehen und 

auslesen". 

3. Es ist nicht möglich, ein Qubit (mit all seinen Werten) zu kopieren. Man kann höchstens einen seiner 

Werte kopieren (und die übrigen Werte gehen dabei verloren). 

4. Auf Qubits kann man nur umkehrbare Verknüpfungen anwenden. 

Zur Zeit (2008) erforschen mehrere Tausend Physiker, Informatiker und Ingenieure in mehr als 100 Forschungsgruppen 

etwa ein Dutzend Möglichkeiten, Qbits zu realisieren (durch ion traps. quantum dots, 

linear optics, ...). 

Eine interessante Einführung in die Quantenmechanik von einer Berliner Schülerin: 

Silvia Arroyo Camejo: "Skurrile Quantenwelt", Springer 2006, Fischer 2007

S. 18, WS13/14 SU 9. 05.11.13 Beuth-Hochschule 

Block 2: Übung 3, Gruppe a: Papier: TippsZuEclipse.pdf 

1. Zeilen-Nummern und Druckgrenze 

Starten Sie Ihre Eclipse-Umgebung und stellen Sie sie so ein, dass Java-Quelldateien immer mit Zeilen- 

Nummern am Rand auf dem Bildschirm angezeigt und gedruckt werden. Folgen Sie dazu dem Abschnitt 

3.1. im oben angegebenen Papier. 

Lassen Sie auch gleich eine Druckgrenze (a print margin) anzeigen, z.B. nach Spalte 75 (ebenfalls Abschnitt 

3.1.). 

2. Einrücktiefe und Tab-Breite 

Stellen Sie in Ihrer Eclipse-Umgebung die Einrücktiefe (Indentation size) und die Breite-eines-Drucksauf-die-Tabulator-Taste 

(Tab size:) beide auf 3 ein. Folgen Sie dazu dem Abschnitt 3.2. des oben angegebenen 

Papiers. 

Wenn Sie eine Java-Quelldatei editieren, bewirkt das Tastenkürzel Strg+Ums+F, dass die ganze Datei 

(bzw. der ausgewählte Teil der Datei) entsprechend dem aktuellen Profil formatiert wird. 

Anmerkung: Die Einstellungen mit 3 sind empfehlenswert, weil in dieser Lehrveranstaltung alle vorgegebenen 

Java-Codezeilen mit einer Einrücktiefe von 3 Zeichen erstellt wurden. 

3. Ein Tastenkürzel definieren 

Definieren Sie in Ihrer Eclipse-Umgebung das Tastenkürzel Alt+C. Es soll die aktuelle Zeile (die, in der 

der Cursor gerade steht) ausschneiden (d.h. in die Zwischenablage kopieren und aus der betreffenden 

Datei entfernen). Folgen Sie dazu dem Abschnitt 5.2. des oben angegebenen Papiers. 

Anmerkung: Ohne ein Tastenkürzel wie Alt+C ist es relativ mühsam, eine Zeile auszuschneiden. Das 

Auswählen von genau einer Zeile mit der Maus kostet relativ viel Zeit und ist fehleranfällig (man wählt 

leicht ein bisschen zu wenig oder ein bisschen zu viel aus).


SU 10. Di 05.11.13, Block 3 

Alle drei BIS-Algorithmen (Bubblesort, Insertionsort, Selectionsort) haben eine 

Zeitkomplexität von O(n 2 ). 

Was bedeutet das anschaulich? Angenommen, zum Sortieren einer Reihung der Länge 1000 braucht ein 

bestimmter Rechner 1 sec. Wie lange braucht er dann wahrscheinlich für eine 2-mal so lange Reihung? 

Und für eine 3-mal so lange? Und für eine 4-mal so lange Reihung? 

(für eine 2-mal so lange: 2 2 sec, für eine 3-mal so lange: 2 3 sec, für eine 4-mal so lange: 2 4 sec, ...) 

Kann man schneller sortieren? 

Ja, z.B. mit den folgenden zwei genialen Ideen: 

Geniale-Idee-1: 

Statt eine Reihung r der Länge n mit Bubblesort zu sortieren, 

sortieren wir zwei Reihungen rl und rr (die "linke und die rechte Hälfte" von r) der Länge n/2 . 

Zusammenführen (engl. merge): Wir machen aus den beiden sortierten Reihungen rl und rr wieder 

eine sortierte Reihung. Was kostet das? (n Schritte). 

Beispiel: Eine Reihung der Länge 200 mit Bubblesort: Etwa 200 2 gleich 40_000 Schritte. 

Zwei Reihungen der Länge 100 mit Bubblesort: Etwa 2 * 100 2 gleich 20_000 Schritte, plus 

Zusammenführen 200 Schritte, insgesamt 20_200 Schritte. Ersparnis: Fast 50 %. 

Geniale-Idee-2: 

Rekursion: Statt die Teilreihungen rl und rl mit Bubblesort zu sortieren, 

sortieren wir sie mit demselben Trick wie die gesamte Reihung. 

Wir teilen rl in zwei Hälften rll und rlr und ... 

Wir teilen rr in zwei Hälften rrl und rrr und ... 

Reihungen der Länge 0 oder 1 sind immer schon sortiert (sogar gleichzeitig auf- und absteigend), wir 

brauchen Sie also nicht mehr zu sortieren und können sie gleich zusammenführen (mergen). 

Zur Erinnerung: Was sagt uns der log 2 (n) über die Ganzzahl n? Die Anzahl der 2-er-Ziffern, die 

man zur Darstellung von n benötigt. Und? ("Wie oft man n halbieren und die Hälften wieder halbieren 

und die Viertel wieder halbieren ... etc. kann, bis man bei Teilen der Länge 1 (oder 0) ist"). 

Dieses Verfahren (Mergesort) kann man etwa so grafisch darstellen: 

n Komponenten 

log 2 

(n) Ebenen 

● ● ● 

● ● ●


SU 11. Di 12.11.13, Block 1 

Ab heute findet der Block 1 im Raum D212 statt (nicht mehr im D209) 


Ein Muster für viele Algorithmen: Teile und herrsche 

Im letzten SU haben wir uns mit dem Sortieralgorithmus Mergesort (Sortieren durch Teilen und Zusammenführen) 

befasst. Dieser Algorithmus entspricht einem Muster, dem auch viele andere Algorithmen 

entsprechen. 

Dieses Muster sieht drei Schritte vor: 

1. Das gesamte zu lösende Problem wird in Teile zerlegt (meistens 2, manchmal mehr Teile). 

2. Für jedes Teilproblem wird eine Teillösung berechnet (in einfachen Fällen direkt, sonst rekursiv). 

3. Aus den Teillösungen wird eine Lösung des Gesamtproblems zusammengesetzt. 

Bezeichnung des Musters in verschiedenen Sprachen: 

Latein: 

Deutsch: 

Englisch: 

Divide et impera 

Teile und herrsche 

Divide and conquer 

Beispiele für Algorithmen, die diesem Muster entsprechen: 

Binäres Suchen (in einer sortierten Reihung), Mergesort, Quicksort (und viele weitere). 

Die Datei LongSpeicher_Jut.java: Wozu ist sie da? Wozu nicht? 

Diese JUnit-Datei soll die Abnahme der Projekte 1 bis 6 vereinfachen. 

Sie ist nicht als Entwicklungswerkzeug gedacht! 

Welche Methoden kann diese JUnit-Datei testen? (fuegeEin, loesche und istDrin) 

Das sind die in der Schnittstelle LongSpeicher definierten Methoden. 

Welche Methoden kann diese JUnit-Datei nicht testen? 

In LongSpeicher10 und LongSpeicher20: index 

In LongSpeicher30 und LongSpeicher40: vorgaenger 

In LongSpeicher50: refk 

Es ist aber wichtig (beim Entwickeln der Klasse LongSpeicher20), 

die Methode index zu testen, bevor man die übrigen Methoden bearbeitet! 

Das geht aber nicht mit LongSpeicher_Jut.java. 

Wie sollte man z.B. bei der Entwicklung der Klasse LongSpeicher20 vorgehen? 

1. Man schreibt die Methode index. 

2. Man testet die Methode index durch Befehle in der main-Methode 

3. Man schreibt die Methode fuegeEin. 

4. Man testet die Methode fuegeEin durch Befehle in der main-Methode 

5. Man schreibt die Methode ... 

6. Man testet die Methode ... durch Befehle in der main-Methode. 

Für die anderen Projekte gilt Entsprechendes. 

Aufgabe-01: Schreiben Sie eine Methode static boolean istPrim(int n) {...}


Arbeitsblatt MB2-ALG (Algorithmen): Was bedeuten bestimmte Zeitkomplexitäten anschaulich? 

Die folgende Tabelle stammt aus http://de.wikipedia.org/wiki/Landau-Symbole#Beispiele_und_Notation 

und wurde nur geringfügig der Terminologie des vorliegenden Papiers angepasst. 

Sei f(n) ein Funktion mit einem positiven, ganzzahligen Parameter n. 

Notation Bedeutung Anschauliche Erklärung Beispiele für Laufzeiten 

Alle Werte von f liegen (unabhängig 

von n) unterhalb einer 

Zugriff auf die n-te Komponente 

f ϵ O(1) f ist beschränkt 

r[n] einer Reihung r. 

Konstanten. 

f ϵ O(log(n)) 

f ϵ O(√n) 

f ϵ O(n) 

f wächst 

logarithmisch 

f wächst wie die 

Quadratwurzelfunktion 

f wächst 

linear 

f ϵ O(n * log(n)) f wächst 

super-linear 

f ϵ O(n 2 ) 

f ϵ O(2 n ) 

f ϵ O(n!) 

f wächst 

quadratisch 

f wächst 

exponentiell 

f wächst 

faktoriell 

f wächst ungefähr um einen 

konstanten Betrag, wenn man 

n ver-2-facht (die Basis des 

Logarithmus ist dabei egal). 

f wächst ungefähr auf 

das 2-fache, wenn man 

n ver-4-facht. 









n um 1 erhöht. 


das (n+1)-fache, wenn man 


Binäre Suche in einer sortierten 

Reihung der Länge n. 

Naiver Primzahltest mittels Teilen 

durch jede ganze Zahl ≤√n. 

Suche in unsortierter Reihung der 

Länge n 

Sehr gute Algorithmen zum Sortieren 

einer Reihung der Länge n, 

z.B. Mergesort, Heapsort 

Einfache Algorithmen zum Sortieren 

einer Reihung der Länge n, 

z.B. Selectionsort. 

Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik 

(SAT) mittels exhaustivem 

Verfahren 

Problem des Handlungsreisenden 

Erweitern Sie diese Tabelle um ein paar Zeilen, indem Sie die folgenden Aufgaben lösen. Als Lösung 

brauchen Sie jeweils nur eine Zahl oder einen einfachen Ausdruck hinter dem Wort "Faktor" einzufügen. 

Aufgabe-02: Angenommen, die Funktion f(n) wächst wie die 3. Wurzel von n (Kubikwurzel von n). 

Was bedeutet das anschaulich? 

f(n) wächst ungefähr auf das 2-fache, wenn man n um den Faktor vergrößert. 

Aufgabe-03: Angenommen, die Funktion f(n) wächst wie die m-te. Wurzel. 


f(n) wächst ungefähr auf das 2-fache, wenn man n um den Faktor vergrößert. 

Aufgabe-04: Angenommen, die die Funktion f(n) wächst wie die 3. Potenz (wie n 3 ). 


f(n) wächst ungefähr um den Faktor , wenn man n ver-2-facht. 

Aufgabe-05: Angenommen, die die Funktion f(n) wächst wie die m-te Potenz (wie n m ). 


f(n) wächst ungefähr um den Faktor , wenn man n ver-2-facht.


Lösung-01: Schreiben Sie eine Methode static boolean istPrim(int n) {...} 

1 static boolean istPrim02(int zahl) { 

2 // Liefert true, wenn zahl eine Primzahl ist, sonst false. 

3 

4 int maxTeiler = (int) Math.sqrt(zahl); 

5 for (int teiler=2; teiler


Block 2: Übung 3, Gruppe b: Papier: TippsZuEclipse.pdf 

1. Zeilen-Nummern und Druckgrenze 

Starten Sie Ihre Eclipse-Umgebung und stellen Sie sie so ein, dass Java-Quelldateien immer mit Zeilen- 

Nummern am Rand auf dem Bildschirm angezeigt und gedruckt werden. Folgen Sie dazu dem Abschnitt 

3.1. im oben angegebenen Papier. 

Lassen Sie auch gleich eine Druckgrenze (a print margin) anzeigen, z.B. nach Spalte 75 (ebenfalls Abschnitt 

3.1.). 

2. Einrücktiefe und Tab-Breite 

Stellen Sie in Ihrer Eclipse-Umgebung die Einrücktiefe (Indentation size) und die Breite-eines-Drucksauf-die-Tabulator-Taste 

(Tab size:) beide auf 3 ein. Folgen Sie dazu dem Abschnitt 3.2. des oben angegebenen 

Papiers. 

Wenn Sie eine Java-Quelldatei editieren, bewirkt das Tastenkürzel Strg+Ums+F, dass die ganze Datei 

(bzw. der ausgewählte Teil der Datei) entsprechend dem aktuellen Profil formatiert wird. 

Anmerkung: Die Einstellungen mit 3 sind empfehlenswert, weil in dieser Lehrveranstaltung alle vorgegebenen 

Java-Codezeilen mit einer Einrücktiefe von 3 Zeichen erstellt wurden. 

3. Ein Tastenkürzel definieren 

Definieren Sie in Ihrer Eclipse-Umgebung das Tastenkürzel Alt+C. Es soll die aktuelle Zeile (die, in der 

der Cursor gerade steht) ausschneiden (d.h. in die Zwischenablage kopieren und aus der betreffenden 

Datei entfernen). Folgen Sie dazu dem Abschnitt 5.2. des oben angegebenen Papiers. 

Anmerkung: Ohne ein Tastenkürzel wie Alt+C ist es relativ mühsam, eine Zeile auszuschneiden. Das 

Auswählen von genau einer Zeile mit der Maus kostet relativ viel Zeit und ist fehleranfällig (man wählt 

leicht ein bisschen zu wenig oder ein bisschen zu viel aus).


SU 12. Di 12.11.13, Block 3 

Das Papier Bojen02.pdf besprechen 

Seite 1, Beispiel-01 

Reihungen mit primitiven Komponenten (Komponenten liegen innerhalb der Reihung) 

Reihungen mit Referenzkomponenten (Die Zielwerte der Komponenten liegen außerhalb der Reihung) 

Eine Reihung von String-Variablen enthält also eigentlich keine String-Objekte sondern? 

(Referenzen, die auf String-Objekte zeigen). 

Die Komponenten von Reihungen sind Beispiele für Variablen ohne (einfachen) Namen. 

Was man bei Reihungen weglassen darf: Die length-Variable und die Referenzen von Komponenten. 


Ein Objekt kann gleichzeitig zu mehreren Reihungen gehören. 


Null-Komponenten: Keine Kaffeetasse ist etwas anderes, als eine leere Kaffeetasse. 

Seite 3, Beispiel-01 und -02: Einstufige und mehrstufige Reihungen 

Seite 3, Beispiel-03: Eine Reihung ist n+1-stufig, wenn ihre Komponenten n-stufig sind. 

Seite 3, Beispiel-04: Komponententyp und elementarer Komponententyp einer mehrstufigen Reihung 

Seite 3, Beispiel-05: Eine 2-stufige Reihung mit primitiven Komponenten und Flatterrand 

Seite 4, Beispiel-06: Eine 2-stufige Reihung mit null-Komponenten und Flatterrand 

Seite 4: Eine Reihung in 3 Schritten erzeugen (oder in einem einzigen Schritt) 

Seite 5 und 6 überspringen wir erst mal. 

Seite 7: 

Eine Reihung kann Komponenten eines Referenztyps enthalten. 

Ein Objekt kann Attribute eines Referenztyps enthalten. 

Ein Objekt kann zu mehreren Objekten gehören 

Beispiel: Das String-Objekt "Schultze" gehört zu den Objekten anna und bert.


SU 13. Di 19.11.13, 1. Block 

Um 7.45 Uhr: Test3a 

Ergänzende Anmerkung zum Arbeitsblatt für den 11. SU 

Tabelle mit Zeitkomplexitäten, siehe oben S. 21: 

f ϵ O(log(n)) 

f wächst 

logarithmisch 

f wächst ungefähr um einen 

konstanten Betrag, wenn man 

n ver-2-facht (die Basis des 

Logarithmus ist dabei egal). 

Binäre Suche in einer sortierten 

Reihung der Länge n. 

Statt "wächst ungefähr um einen konstanten Betrag" kann man auch "wächst um 1 Schritt" sagen. Dadurch 

wird die "symmetrische Entsprechung" zu folgender Zeitkomplexität deutlicher: 

f ϵ O(2 n ) 

f wächst 

exponentiell 




Was bedeutet oder bezeichnet der Name einer Rerferenzvariablen? 

Angenommen, wir haben folgende Referenzvariable: 

1 StringBuilder stb = new StringBuilder("ABC"); 

Die vier Teile der Variablen stb als (ASCI-) Boje dargestellt: 

|stb| Name 

| 

Referenz 

| 

[] Wert 

| 

["ABC"] Zielwert 

Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik 

(SAT) mittels exhaustivem 

Verfahren 

In jedem der folgenden Befehle kommt der Variablenname stb vor. Welchen Teil der Variable bezeichnet 

der Name stb in den einzelnen Befehlen? 

1 if (stb == ...) ... // Den Wert [] 

2 stb.append("ZZ"); // Den Zielwert ["ABC"], ein StringBuilder-Objekt 

3 stb = ... ; // Den Wert [] 

4 pln(stb); // Falls stb den Wert [], dann diesen Wert. 

5 // Sonst die Zeichenfolge im Zielwert ["ABC"] 

Man muss also immer aus dem Zusammenhang erkennen, ob mit dem Namen einer Referenzvariablen 

gerade der Wert oder der Zielwert (bzw. welcher Teil des Zielwertes) gemeint ist. 

Was ist gut bzw. schlecht an LongSpeicher20? 

Gut: Das Suchen geht sehr schnell. 

Schlecht: LongSpeicher20-Objekte "sind aus Beton" (ihre Größe kann nicht geändert werden) 

Die "Starrheit" von Reihungen veranlasst Programmierer manchmal, die Reihungen größer zu machen 

als sie (meistens) sein müssten. Auf Englisch bezeichnet man das als ein space leak (im Gegensatz zu einem 

memory leak). 

Projekt 3: LongSpeicher30 

Im Projekt 3 geht es um einen LongSpeicher, der "aus Gummi" ist statt "aus Beton": Ein leeres 

LongSpeicher30-Objekt belegt nur sehr wenig Speicher und sein Speicherbedarf wird größer (wenn 

man Komponenten einfügt) und wird kleiner (wenn man Komponenten löscht). Das ist ein manchmal 

sehr wichtiger Vorteil im Vergleich zu Reihungen.

S. 26, WS13/14 SU 13. Di 19.11.13, 1. Block Beuth-Hochschule 

Geschachtelte Klassen und innere Klassen 

Was ist neu an der Klasse LongSpeicher30? Was hat sie, was noch keine andere Klasse hatte, die 

bisher in PR1, PR2 und ALG behandelt wurde? 

Innerhalb der Klasse LongSpeicher30 wird eine Klasse (namens Knoten) vereinbart, und zwar als 

Klassen-Element (engl. static member). 

Def.: Eine Klasse ist eine geschachtelte Klasse (engl. nested class), 

wenn sie innerhalb einer anderen Klasse vereinbart wird. 

Def.: Eine Klasse ist eine innere Klasse (oder: Objekt-Klasse, engl. inner class), 

wenn sie geschachtelt, aber nicht static ist. 

Im Internet werden diese Begriffe an einigen Stellen nicht korrekt auseinandergehalten. 

Merke: Innere Klassen (Objekt-Klassen, analog zu Objekt-Attributen, Objekt-Methoden) sind ziemlich 

komplizierte Gebilde. Man sollte sie nur benutzen, wenn es unbedingt nötig ist. Statische geschachtelte 

Klassen (Klassen-Klassen, analog zu Klassen-Attributen, Klassen-Methoden) sind dagegen viel einfacher. 

Wann sollte man eine Klasse K2 als geschachtelte Klasse in K1 vereinbaren? 

Wenn K2 nur innerhalb von K1 benutzt werden soll. Man kann K2 dann private machen, so dass niemand 

"von außerhalb" darauf zugreifen kann. Dann kann man die geschachtelte Klasse jederzeit verändern 

(verbessern), ohne andere Programmierer wütend zu machen. 

Das Arbeitsblatt AB_Listen, S. 1, austeilen. Es enthält die Bojendarstellung eines leeren 

LongSpeicher30-Objekts. Wir entwickeln gemeinsam die fuegeEin-Methode: 

1 public boolean fuegeEin(long n) { 

2 // Fuegt n in diesen Speicher ein und liefert true 

3 

4 ADK.next = new Knoten(ADK.next, n); 

5 return true; 

6 } 

Dann in 2-er-Gruppen drei Komponenten in eine anfangs leere LongsSpeicher30-Sammlung einfügen 

(wie auf dem Arbeitsblatt angegeben). Dazu ist unbedingt ein Bleistift und ein Radiergummi erforderlich! 

Merke: Die Komponenten einer verketteten Liste sind lauter Variablen ohne (einfachen) Namen! 

Nach angemessen viel Zeit das Arbeitsblatt AB_Listen, S. 2, austeilen. 

Wie löscht man eine Komponente in einer verketteten Liste 

Angenommen, wir wollten aus der Sammlung lob (siehe ausgeteiltes Blatt) die Komponente mit data 

gleich 33 löschen. Dazu brauchen wir nur den Wert einer einzigen Variablen zu verändern. 

Welchen Wert hat diese Variable jetzt, und welchen Wert sollten wir ihr zuweisen? 

Sie hat den Wert und sollte den Wert bekommen. 

Welchen Wert sollte der Methodenaufruf vorgaenger(33) also liefern (damit wir damit den Wert 

durch ersetzen können? 

Der Methodenaufruf vorgaenger(33) sollte den Wert liefern (nicht den Wert !), 

denn der zeigt auf die Komponente, in der der Wert steht, den wir ändern wollen. 

Vor der Methode loesche schreiben wir jetzt die Methode vorgaenger.


Zur Entspannung: Hilberts Hotel 

Denken Sie sich ein Hotel mit unendlich vielen, nummerierten Zimmern: 1, 2, 3, ... . Alle Zimmer sind 

belegt. Dieses Hotel wurde nach dem Mathematiker David Hilbert (1862-1943) benannt. 

1. Wie kann man einen weiteren Gast unterbringen? (ZrNr := ZrNr + 1) 

2. Wie kann man hundert weitere Gäste unterbringen? (ZrNr := ZrNr + 100) 

3. Wie kann man unendlich viele weitere Gäste unterbringen? (ZrNr := ZrNr * 2) 

danach sind alle Zimmer mit ungeraden Nrn. (1, 3, 5, ...) frei. 

Block 2: Übung 4, Gruppe a: Die Wahrheit über Gleitpunktzahlen 

Welchen Wert hat das float-Literal 0.1F ? 

Welchen Wert das das double-Literal 0.1D (oder einfacher: 0.1)? 

Ist der Wert von 0.1F kleiner oder größer als der Wert von 0.1D ?

S. 28, WS13/14 SU 14. 19.11.13, Block 3 Beuth-Hochschule 

SU 14. 19.11.13, Block 3 

Projekt 5: Sammeln in einem binären Baum 

Def.: Binärer Baum 

Die Knoten bilden Ebenen, die wir (von oben nach unten) mit 0 beginnend nummerieren. Wie viele 

Knoten gibt es (höchstens) auf Ebene 0? Auf Ebene 1? Auf Ebene 2? Auf Ebene h? (2 h ) 

Def.: Tiefe eines binären Baums 

Im Projekt 5 (Seite 17): Aufgabe-03 bis Aufgabe-06 

Def.: sortiert 

Im Projekt 5 (Seite 17): Aufgabe-01, Aufgabe-02 

Achtung: Zwei sortierte Reihungen mit gleichen Komponenten sehen genau gleich aus. 

Zwei sortierte Bäume mit gleichen Komponenten können sehr verschieden aussehen. 

Ein (kleines) Problem beim Implementieren von Bäumen in Java 

Eine Liste besteht aus Knoten-Objekten. Ein Baum besteht auch aus Knoten-Objekten, aber Baum- 

Knoten sind ein bisschen komplizierter als Listen-Knoten. 

Bäume kann man besonders elegant implementieren, wenn die Methoden fuegeEin und loesche die 

Werte (nicht die Zielwerte) bestimmter Knoten-Variablen ändern können. 

Allerdings gilt: Wenn man einer Java-Methode eine Variable als Parameter übergibt, kann die Methode 

den Wert der Original-Variablen nicht ändern (höchstens den Zielwert). 

Damit die Methoden fuegeEin und loesche trotzdem die Werte bestimmter Knoten-Variablen ändern 

können, verpacken wir jede solche Variable k einzeln in ein Objekt einer zusätzlichen Klasse (namens 

RefK wie "Referenz auf Knoten"). Übergibt man einer Methode eine RefK-Variable ref, dann 

kann die Methode (zwar nicht den Wert der Variablen ref aber) den Wert des Attributs ref.k verändern. 

In anderen Sprachen (z.B. in C++, C# und Ada) kommt man ohne die zusätzliche Klasse RefK aus (u.a. 

dadurch sind diese Sprachen aber auch deutlich komplizierter als Java und bieten mehr Möglichkeiten, 

Fehler zu machen). 

Ein leerer Baum besteht aus einem End-Dummy-Knoten EDK. 

Ein Anfangs-Dummy-Knoten ADK ist (in Java) nicht sinnvoll, weil bereits der Typ RefK das Löschen 

aller Knoten (auch des ersten) vereinheitlicht. In C++, C# und Ada ist ein ADK erwägenswert. 

Wichtiger Hinweis: Beim Bearbeiten von Projekt 5 sollen Sie das Implementieren der Methode 

loesche verschieben, bis die Methode in den Übungen besprochen oder im Internet veröffentlicht wurde 

(die Methode ist nicht ganz einfach). Implementieren Sie erst mal nur die anderen drei Methoden 

(refkR, fuegeEin, istDrin). 

Welcher Methode in Projekt 3 (oder 4) entsprechen die Methoden refk und refkR in Projekt 5? 

(Der Methode vorgaenger). 

Angenommen, wir haben vereinbart: 

LongSpeicher50 sp = new LongSpeicher50(); 

Stellen Sie die Variablen sp.EDK und sp.AR als Bojen dar.


SU 15. 26.11.13, Block 1 


Parameterübergabe in Java, kurze Zusammenfassung 

In Java gilt für das Übergeben von Parametern an Methoden und Konstruktoren: 

Den Wert einer Variablen kann man nur per Wert übergeben (aber nicht per Referenz) 

Den Zielwert einer Variablen kann man nur per Referenz übergeben (aber nicht per Wert) 

Statt "Zielwert" kann man auch "Objekt" sagen (denn in Java sind alle Zielwerte Objekte). In C++ kann 

man alle Werte und Objekte wahlweise per Wert oder per Referenz übergeben. Dadurch ist C++ mächtiger 

(und bietet damit auch mehr Möglichkeiten, Fehler zu machen). 

Was wir im Projekt 5 (binäre Bäume) gern machen würden (in Java aber nicht machen können): 

Angenommen, wir haben einen binären Baum mit z.B. 10 Knoten darin. Jeder Knoten enthält zwei Referenzvariablen 

lub und rub, die auf den linken bzw. rechten Unterbaum des Knotens zeigen. Insgesamt 

gibt es also 10 lub-Variablen und 10 rub-Variablen. 

Wir würden gern eine dieser 20 Variablen einer Methode haengeDran übergeben mit der Aufforderung: 

"Lass diese (lub- oder rub-) Variable auf einen neuen Knoten zeigen". Dazu müsste die Methode 

haengeDran den Wert der übergebenen Variablen ändern. Das könnte sie aber nur, wenn sie die 

Referenz der Variablen hätte. Die können wir der Methode haengeDran aber nicht übergeben. 

In solchen Fällen kann man sich in Java mit einer zusätzlichen Klasse behelfen. Im Projekt 5 ist diese 

Klasse (als geschachtelte Klasse) vorgegeben und heißt RefK. Ihre Vereinbarung ist nur 4 Zeilen lang. 

Noch mal eine Schrittfunktion 

Wie konnte man im Test 3 (oder 3a) die maximal mögliche Punktzahl bekommen? Hier noch mal ein 

Beispiel, wie man vorgehen sollte. 

1 static public void alg25(int n) { 

2 for (int i=1; i

S. 30, WS13/14 SU 15. 26.11.13, Block 1 Beuth-Hochschule 

Knoten in einem binären Baum löschen 

Beim Löschen von Knoten gibt es 4 verschiedene Fälle. Davon ist einer ganz einfach, zwei weitere sind 

einfach, und nur der vierte Fall ist ein bisschen komplizierter. 

In den folgenden Beispielen soll immer der Knoten mit dem Schlüssel 50 gelöscht werden. 

Fall 1: Beide Unterbäume des zu löschenden Knotens sind leer (ganz einfach) 

Fall 2: Der linke Unterbaum des zu löschenden Knoten ist leer 

Fall 3: Der rechte Unterbaum des zu löschenden Knoten ist leer 

10 

10 

10 

10 

50 

50 

50 

50 

70 

70 

30 

30 

Fall 2 

Fall 3 

Fall 4: Beide Unterbäume des zu löschenden Knotens L sind nicht leer 

10 

10 

50 

45 

30 

70 

30 

70 

... 

38 

1. Daten 

kopieren 

... 

38 

2. Knoten 

löschen 

45 

45 

40 

40 

Fall 4 

Schritt 4.1.: Wir gehen zum linken Unterbaum des zu löschenden Knotens (der beginnt hier mit 30) 

Schritt 4.2.: In diesem Unterbaum suchen wir den Knoten MAX mit dem größten Schlüssel (hier: 45) 

Der rechte Unterbaum von MAX ist sicherlich leer (sonst würden darin ja Schlüssel stehen, die größer 

sind als der Schlüssel von MAX. Aber dann wäre MAX nicht MAX). 

Schritt 4.3.: Wir kopieren die Daten aus MAX in den zu löschenden Knoten (in der Graphik: 1.) 

Schritt 4.4.: Wir löschen den Knoten MAX (in der Graphik: 2.) 

Anmerkung: Das Löschen von MAX ist ein Fall 3 oder ein Fall 1. 

Schreiben Sie jetzt (für das Projekt 5, LongSpeier50, die Methode loesche) 

Block 2: Übung 4, Gruppe b: Die Wahrheit über Gleitpunktzahlen 

Welchen Wert hat das float-Literal 0.1F ? 

Welchen Wert das das double-Literal 0.1D (oder einfacher: 0.1)? 

Ist der Wert von 0.1F kleiner oder größer als der Wert von 0.1D ?


SU 16. 26.11. 13, Block 3 

Ein Blatt mit der Bojendarstellung einer LongSpeicher50-Variablen s austeilen.Die Variable s zeigt 

auf einen Binärbaum mit 11 Knoten (und einen End-Dummy-Knoten). Die Knoten enthalten folgende 

Schlüssel: 45, 27, 68, 18, 35, 57, 11, 23, 32, 52, 61. 

Um einen bestimmten Knoten zu löschen, müssen die Werte bestimmter Variablen durch andere Werte 

ersetzt werden. Als Lösung der folgenden Aufgabe sollen nur diese Werte angegeben werden, in folgender 

Form: NeuerWert → AlterWert. 

Es soll jeweils nur ein Knoten aus dem Baum mit 11 Knoten gelöscht werden. Beim Löschen eines Knotens 

sollen alle zuvor gelöschten Knoten "wieder da sein". 

Aufgabe (mit Lösungen): Löschen Sie die Knoten mit den folgenden Schlüsseln: 

Nr Schlüssel Lösung 

1. 61 (600 -> 400) 

2. 32 (600 -> 370) 

3. 35 (370 -> 240) 

4. 68 (250 -> 180) 

5. 45 ( 35 -> 45, 370 -> 240) 

6. 27 ( 23 -> 27, 600 -> 360 

7. 57 ( 52 -> 57, 600 -> 390) 

Zur Entspannung:Ein Blatt Papier 50 Mal halbieren und stapeln 

Stellen Sie sich vor: Wir haben ein großes Blatt Papier (z.B. eine Blatt der Zeitung "Die Zeit"). Wir reißen 

oder schneiden das Papier in zwei Hälften und legen die beiden Hälften übereinander. Dann reißen 

oder schneiden wir diesen kleinen Stapel ebenso in zwei Hälften und legen sie übereinander, dann reißen 

oder schneiden wir diesen Stapel ebenso in zwei Hälften etc. etc. Insgesamt wiederholen wir diesen 

Vorgang 50 Mal. Wie hoch ist der Papierstapel am Ende ungefähr? 

Tabelle mit 2-er und 10-er-Potenzen, die sich ungefähr entsprechen: 

2 10 2 20 2 30 2 40 2 50 2 60 

10 3 10 6 10 9 10 12 10 15 10 18 

1 Tausend 1 Million 1 Milliarde 1 Billion 1Billiarde 1 Trillion 

2 50 Schichten Zeitungspapier ist gleich 

10 15 Schichten Zeitungspapier (siehe obige Tabelle). 

Angenommen, 10 Schichten sind 1 mm dick. Dann gilt: 

1 mm 10 Schichten 

1 m 10 000 Schichten 

1 km 10 000 000 Schichten (d.h. 10 7 Schichten) 

10 15 / 10 7 ist gleich 10 8 gleich 100 Millionen km 

Wenn es möglich wäre, ein Blatt Papier 50 Mal zu halbieren und zu stapeln, wäre der Stapel mindestens 

100 Millionen km dick (beim letzten Halbieren hätte man also einen Stapel von mindestens 50 Millionen 

km Dicke halbieren müssen).

S. 32, WS13/14 SU 16. 26.11. 13, Block 3 Beuth-Hochschule 

Zufall in Algorithmen 

Viele Algorithmen sind präzise Anweisungen zur Lösung bestimmter Probleme, und die Ergebnisse dieser 

Algorithmen sind exakt festgelegt (z.B. wenn man Reihungen sortiert oder wenn man zwei Zahlen 

mit Papier und Bleistift multipliziert etc.). 

Merkwürdigerweise gibt es aber auch eine ganze Reihe von Algorithmen, in denen der Zufall eine wichtige 

und nützliche Rolle spielt. 

Beispiel: Die Kreiszahl pi besteht aus einer unendlichen, nicht-periodischen Folge von Ziffern. Man 

kann sie deshalb nicht vollständig berechnen. Aber man kann im Prinzip beliebig lange Anfangsstücke 

der unendlichen Ziffernfolge berechnen. Dazu gibt es verschiedene, ziemlich komplizierte Algorithmen. 

Man kann die ersten Ziffern von pi aber auch ziemlich einfach berechnen, indem man Zufallszahlen benutzt. 

Zufallszahlen in Java: 

Klassenmethode Math.random: Liefert einen double-Wert aus dem Intervall [0.0, 1.0), jeden 

Wert mit der gleichen Wahrscheinlichkeit (gleichverteilt, engl. uniformly distributed). 

Jedes Objekt der Klasse Random enthält 8 öffentliche Objektmethoden, die zufällige Werte verschiedener 

Typen (boolean, byte[], float, double, int, long) liefern. Die meisten Methoden liefern 

gleichverteilte Werte, d.h. jeder mögliche Wert "hat die gleiche Chance dranzukommen". Eine Methode 

liefert Gauß-verteilte (normalverteilte, engl. Gaussian or normally distributed) double-Werte (die Zahl 

0.0 hat die größte Chance, je weiter eine Zahl von 0.0 entfernt ist, desto geringer ist ihre Chance. Die 

Chance, dass irgendeine Zahl drankommt, die außerhalb des Intervalls [-3.0, +3.0] liegt, ist nur 

0.27 % (also häufig vernachlässigbar). 

Wichtiger Unterschied: Reproduzierbare bzw. nicht-reproduzierbare Zufallszahlen 

Wofür nicht-reproduzierbare Zufallszahlen? Glücksspiele, Kryptografie, ... 

Wofür reproduzierbare Zufallszahlen? Automatische Erstellung von Testdaten, Simulationen, ... 

Erzeugung von Random-Objekten: 

1 Random rob01 = new Random(123L); // Fuer reproduzierbaren Zufall 

2 Random rob02 = new Random(); // Fuer nicht-reproduzierbaren Zufall 

In Zeile 1 wird als Keim (engl. seed) der long-Wert 123 angegeben. Dieser Keim macht die später gelieferten 

Zufallszahlen reproduzierbar. In Zeile 2 nimmt der Ausführer die aktuelle Uhrzeit (in Millisekunden) 

als Keim. Dadurch wird es sehr schwer, die Zufallszahlen zu reproduzieren. 

Aus dem Anfangskommentar eines Programms namens ZufallPi03.java: 

/* ------------------------------------------------------------------------ 

Die Kreiszahl pi mit Hilfe von Zufallszahlen berechnen. Dazu laesst man 

in ein Quadrat mit der Kantenlaenge 1.0 an zufaellig gewaehlten Stellen 

(x, y) "Regentropfen" fallen und zaehlt, wie viele davon in einen (dem 

Quadrat einbeschriebenen) Viertelkreis mit Radius 1.0 fallen. 

imQuadrat Anzahl der Tropfen, die man in das Quadrat fallen laesst 

imViertelkreis Anzahl der Tropfen, die davon in den Viertelkreis fallen 

fQ Flaeche des Quadrats (gleich 1.0) 

fV 

Flaeche des Viertelkreises (gleich pi/4.0) 

Die Anzahl der Tropfen, die auf eine bestimmte Flaeche fallen, wird 

ungefaehr proportional zur Groesse der Flaeche sein. Also gilt: 

fV / fQ = imViertelkreis / imQuadrat 

pi / 4.0 / 1.0 = imViertelkreis / imQuadrat 

pi = imViertelkreis / imQuadrat * 4.0 

Die letzte Gleichung zeigt, wie man aus den Tropfen-Zahlen imViertelkreis 

und imQuadrat eine Naeherung Pi fuer die Kreiszahl pi berechnen kann.


Hinweis: pi bezeichnet hier die "echte Kreiszahl", PI ein Konstante 

in der Klasse Math und Pi die hier berechneten Naeherungswerte fuer pi. 

... 

------------------------------------------------------------------------ */ 

Schreiben Sie ein Programm, welches pi näherungsweise berechnet wie oben skizziert. 

Eine wichtige Methode aus dem Programm ZufallPi03.java: 

1 static void zufaellig(int anzahlTropfen) { 

2 // Berechnet Pi mit Tropfen, die an "zufaellige Stellen" fallen. 

3 

4 Random rand = new Random(123); // Keim (engl. seed) 123 

5 int imViertelkreis = 0; 

6 

7 for (int i=1; i


SU 17. 03.12.13, Block 1 

Dies ist der letzte Block 1 in diesem Semester. 

Ab dem 10.12.13 beginnen wir mit der Ü im Block 2 (und haben danach einen SU im Block 3). 

Zufallszahlen in Java (Fortsetzung und Ende) 

Jedes Random-Objekt enthält 8 Methoden, die zufällige Werte liefern: 

boolean nextBoolean() // Gleichverteilt aus {false, true} 

void nextBytes(byte[] br) 

double nextDouble() // Gleichverteilt aus [0.0D, 1.0D) 

float nextFloat() // Gleichverteilt aus [0.0F, 1.0F) 

double nextGaussian() // Normalverteilt, Mittelwert 0.0D, Standardabweich.1.0D 

int nextInt() // Gleichverteilt aus [MIN_VALUE, MAX_VALUE] 

int nextInt(int n) // Gleichverteilt aus [0, n) 

long nextLong() // Gleichverteilt aus [MIN_VALUE, MAX_VALUE] 

Kurz besprechen, was normalverteilt (oder Gauß-verteilt, engl. normally distributed or Gaussian distributed) 

heißt. 

Aus Google "normalverteilung" 

In der Skizze ist x der Mittelwert und s die Standardabweichung. Die Prozentzahlen geben die Wahrscheinlichkeiten 

an, mit der man einen Wert aus einem bestimmten Bereich der x-Achse bekommt. Die 

Wahrscheinlichkeit, einen Wert zu bekommen, der nicht im Intervall [x - 3s, x + 3s] liegt, beträgt 

nur 0,3 %. 

Das Papier HashTabellen.pdf (5 Seiten) besprechen 

Suchen geht noch schneller als in einer sortierten Reihung oder in einem sortierten binären Baum. Dabei 

spielt in einem bestimmten Sinn Zufall eine wichtige Rolle. 

Def.: Eine Hash-Tabelle ist eine Reihung von Listen. 

Def.: Eine Hash-Funktion bildet Schlüssel auf die Indizes einer Hash-Tabelle ab. 

Anmerkung: Manchmal bildet eine Hash-Funktion jeden Schlüssel einfach nur auf eine ganze Zahl z 

ab. Der Ausdruck Math.abs(z) % ht.length liefert dann einen Index für die Hash-Tabelle ht.


Ein konkretes Beispiel: 

Wir haben eine Hash-Tabelle ht der Länge 10 (ht enthält also 10 Listen ht[0] bis ht[9]). 

In diese Hash-Tabelle wollen wir 14 Schlüssel einfügen: "Ali", "Babsy", ..., "Alf". 

Das machen wir mit verschiedenen Hash-Funktionen (um uns klar zu machen, "was eine Hash-Funktion 

ist und macht" und was eine gute Hash-Funktion von einer schlechten unterscheidet). 

hash01: Eine der schlechtesten Hash-Funktionen die es gibt 

Wenn wir nach dem Einfügen jeden eingefügten Schlüssel einmal suchen, brauchen wir dafür insgesamt 

105 Liste-Suchschritte: 1 für "Ali", 2 für "Babsy", 3 für "Arno", ..., 14 für "Alf"). 

hash02: Deutlich besser als hash01, aber noch kein Gewinner der Champions League 

65 Listen-Suchschritte 

hash03: Noch besser als hash02, mit Mod-Operator % 


Eine Hash-Funktion ist nicht "absolut gut oder schlecht", sondern "gut oder schlecht für bestimmte 

Schlüssel". Darum haben wir im Beispiel auch 14 Schlüssel festgelegt. 

hash04: für unsere Schlüssel noch besser als hash03, schon fast praxisnah 


hash05: noch besser als hash04, aber ... 


Was ist bei hash05 schlechter als bei hash04? 

(Die Zeitkomplexität von hash04 ist O(1), die von hash05 ist O(s.size()). 

In Java enthält jedes Objekt eine parameterlose Funktion int hashCode(). Die berücksichtigt natürlich 

nicht die Eigenschaften bestimmter Schlüssel, ist aber in vielen Fällen eine brauchbare Hash-Funktion. 

Natürlich muss man aus ihrem Ergebnis noch einen Index für die Hash-Tabelle ht berechnen: 

Math.abs(ob.hashCode()) % ht.length 

Mit hashCode: 


Was liefert die Methode hashCode()? (S. 5 des Papiers) 

Zeile 1 und 2: Bei den meisten Objekten gilt: 

Verschiedene Objekte haben verschiedene hashCode()-Ergebnisse 

Zeile 3 bis 6: Bei String-Objekten hängt der hashCode() nur vom "Inhalt" ab. 

Zeile 7 bis 8: Bei StringBuilder-Objekten ist es wie bei bei den meisten Objekten (siehe oben) 

Zeile 9 bis 16: Ähnliches wie für String-Objekte gilt auch 

für Hüllobjekte (d.h. Objekte einer Hüllklasse) 

Zeile 17 bis 18: Vorsicht: hashCode() liefert auch negative Werte! 

Aufgabe: Was gilt für die hashCode()-Ergebnisse von BigInteger-Objekten? 

Und von BigDecimal-Objekten? 

Wichtige Eigenschaften von Hash-Tabellen 

Bei einer guten Hash-Tabelle (mit guter Hash-Funktion) haben alle wichtigen Methoden (fuegeEin, 

istDrin und loesche) eine Zeitkomplexität von O(1) 

d.h. die Ausführungszeiten dieser Methoden ist unabhängig von der Anzahl der Objekte in der Hash-Tabelle.


Vergleich von binären Bäumen und Hash-Tabellen 

Bäume sind langsamer, lassen sich aber leicht sortiert ausgeben. 

Hash-Tabellen sind schneller, müssen aber "durcheinander" (nicht-sortiert) sein. 

Zur Entspannung: Charles Babbage (1791-1871) 

Forschte auf verschiedenen Gebieten. Unternahm mehrere Versuche, mechanische Rechenmaschinen zu 

bauen. Keine davon wurde funktionstüchtig, aber seine Pläne und Überlegungen dazu waren wichtige 

Stationen auf dem Weg zu Computern. 

1823 Difference Engine no. 1: In die Entwicklung floßen 17.000 Pfund der briitschen Regierung, was 

etwa dem Preis von zwei Schlachtschiffen entsprach. Dann brach die Regierung das Projekt ab. 

1833 Analytical Engine: Die sollte sogar schon programmierbar werden und Lochkarten lesen. 2012 begann 

ein Projekt mit dem Ziel, diese Maschine zu bauen, siehe http://plan28.org/. 

1847 Difference Engine no. 2: Verbesserte Variante der Difference Engine no. 1. Die wurde 1989-191 

im Science Museum in London genau nach den Plänen von Babbage gebaut und funktioniert. 

Ada Byron, Lady Lovelace (1815-1852), Tochter des berühmten Dichters Lord Byron, arbeitete mit an 

der Analytical Engine und gilt seitdem als erste Programmiererin. Nach ihr ist die Sprache Ada benannt 

(ANSI/MIL-STD-1815, nach ihrem Geburtsjahr). 

Weitere Erfindungen von Charles Babbage: Kuhfänger (für Lokomotiven, z. B. im Wilden Westen). Er 

knackte als erster eine Vignére-Verschlüsselung (die vorher als sicher galt). Schrieb das Buch Economy 

of machinery and manufactures, eine Analyse des Frühkapitalismus und wichtige Quelle für Karl Marx. 

Block 2: Übung 5, Gruppe a: 

In Eclipse: Suchen und Ersetzen mit regulären Ausdrücken und Fangmustern 

Dazu wird ein Blatt mit 3 Aufgaben ausgeteilt.


SU 18. 03.12.13, Block 3 

Projekt 7: Maximale Teilsumme 

Ab S. 20 im Papier Projekte.pdf 

1. Ein konkretes Beispiel (S. 20) 

Aufgabe-01 (Lösung: 8, von Tag 2 bis 5, oder von Tag 8 bis 9) 

2. Grundbegriffe: 

Reihung, Teilreihung, Summe einer Reihung, Teilsumme einer Reihung 

3. Aufgaben 

Die Aufgabe-02 bis Aufgabe-10 bearbeiten 

Besonders wichtig: Aufgabe-08 (Methode mts01 mit 3 geschachtelten for-Schleifen)


SU 19. 10.12.13, Block 3 


Was ist für den Algorithmus mts01 ein Schritt? 

Jede Addition einer Komponenten r[i] zu einer summe ist ein Schritt (denn alle "größeren Befehle" 

sind Schleifen, deren Ausführungszeiten von der Problemgröße N gleich r.length abhängen). 

Konstruktion einer Schrittfunktion für den Algorithmus mts01 

Herleitung einer Schrittfunktion: Sei N die Länge der Reihung, auf die mts01 angewendet wird. L bezeichnet 

die Länge einer Teilreihung (L nimmt die Werte 1 bis N an) und AnzL bezeichnet die Anzahl 

der Teilreihungen der Länge L. 

Es gilt AnzL ist gleich N-(L-1). 

Die Bearbeitung einer Teilreihung der Länge L kostet L Schritte (für jede Komponente eine Addition). 

Die Bearbeitung aller Teilreihungen der Länge L kostet also L * (N-(L-1)) Schritte. 

SchritteInsgesamt = ∑ L ∗ AnzL= 

N 

∑ 

L=1 

N 

∑ 

L=1 

N 

∑ 

L=1 

N 

∑ 

L=1 

L∗(N−(L−1)) = 

L∗(N+1−L) = 

L∗N + L − L 2 = 

N 

L∗N + ∑ 

L=1 

N 

L − ∑ L 2 = 

L=1 

N 

L=1 

N 1 2 ∗(N2 +N) + 1 2 ∗(N2 +N) − 1 6 ∗N∗(N+1)∗(2∗N+1) = 

1 

6 ∗N3 + 1 2 ∗N2 + 1 3 ∗N 

Die Zeitkomplexität von mts01 ist also O(N 3 ).


Idee zur Beschleunigung von mts01: 

Können wir mit weniger Additionen auskommen, wenn wir uns die Additionsergebnisse "merken" (d.h. 

in einer geeigneten Reihung speichern)? 

Eine Teilreihung einer Reihung kann man auf verschiedene Weisen beschreiben, z.B. durch ihren Anfangs-Index 

und ihren End-Index. Manchmal ist es günstiger, die Beschreibung durch ihren Anfangs-Index 

und ihre Länge zu verwenden. 

Wir speichern die Summen der einzelnen Teilreihungen in einer zweistufigen Reihung teilSumme des 

Typs int[][]. In die Komponente teilSumme[von, len] schreiben wir die Summe der Teilreihung 

mit dem Anfangs-Index von und der Länge len+1. 

Lösen Sie dazu (im Papier Projekte.pdf auf S. 39) die 

Aufgabe-11: Sei r1 gleich [+3, -2, +1, +1]. Tragen Sie die entsprechenden Teilsummen in die 

leeren Kästchen der rechten Darstellung der 2-stufigen Reihung teilSumme ein. 

0 1 2 3 0 1 2 3 

0 

1 

2 

3 

von 0 len 1 von 0 len 2 von 0 len3 von 0 len4 

von 1 len 1 von 1 len 2 von 1 len 3 

von 2 len 1 von 2 len 2 

von 3 len 1 

0 

1 

2 

3 

+3 +1 +2 +3 

-2 -1 0 

+1 +2 

+1 

Bevor Sie die Aufgabe-12 bearbeiten: Wie sieht die Reihung teilSumme aus, wenn der Ausführer sie 

gerade erzeugt hat? 

Lösen Sie jetzt die Aufgabe-12, d.h. schreiben Sie die Methode mts02. 

Zur Entspannung: Charistian Motgenstern (1871 - 1914) 

Der Werwolf 

"Ein Werwolf eines Nachts entwich, .... " 

Block 2: Übung 5, Gruppe b: 

In Eclipse: Suchen und Ersetzen mit regulären Ausdrücken und Fangmustern 

Dazu wird ein Blatt mit 3 Aufgaben ausgeteilt.

S. 40, WS13/14 SU 20. 17.12.13, 3. Block Beuth-Hochschule 

SU 20. 17.12.13, 3. Block 

Über Ausführungen von Schleifen reden (richtig und falsch) 

In der Datei Projekte.txt, ganz am Ende: SchleifenReden.java 

Beantworten Sie die Fragen, die am Ende dieser Datei stehen. 

Projekt 7: Fortsetzung 

4. Vorgabe Testprogramm MaxTeilsummeJut 

Nur kurz auf die Existenz des Testprogramms hinweisen 

5. mts02 programmieren (haben wir im 19. SU gemacht) 

6. "Teile und herrsche" 

Aufgabe-13: Warum kann man "Teile und herrsche" nicht (einfach so) auf 

das Teilsummen-Problem anwenden? 

Weitere Grudbegriffe: rechte Randfolge, rechtes Randmaximum 

Aufgabe-14 bis Aufgabe-16 

Aufgabe-17: Methode rechtesRandMax(int[] r, int links, int rechts) 

Aufgabe-19: Die Methode mts03 

7. Geht es noch besser? (Ja) 

Aufgabe-20: Die Methode mts04 

Klausur: Di 04.02.2014, 18.00 - 19.30 Uhr, Raum D209 

Zur Entspannung: Englische Vokabeln: boot, bootstrap 

Ein boot ist ein hoher Schuh oder Schnürstiefel, ein bootstrap ein Schnürsenkel für einen Schnürstiefel. 

Ein bootstrap gilt als simples Werkzeug, welches immer zur Hand ist und mit dem man sich andere 

Werkzeuge "heranziehen kann", z. B. so: Eine Gruppe von Pfadfindern (natürlich alle in Schnürstiefeln) 

will ein schweres Stahlkabel über einer Felsspalte anbringen (z.B. als "Rückgrat" einer Hängebrücke). 

Dazu knüpfen sie zuerst ihre bootstraps zusammen und ziehen damit ein dünnes Seil über die Felsspalte. 

Mit dem dünnen Seil ziehen sie ein dickeres Seil über die Felsspalte und mit dem dickeren Seil 

schliesslich das Stahlkabel. 

Beim Booten eines Rechners liest der Prozessor zuerst von einem bestimmten Gerät (Platte, CD/DVD, 

Stick, ...) einen einzigen Datenblock (z. B. 512 Byte) und springt dann zum ersten Byte dieses Blocks. 

Der Block sollte ein kleines Ladeprogramm, enthalten, welches ein größeres Ladeprogramm (z. B. ein 

paar Tausend Bytes) vom selben Gerät liest und zum Anfang dieses Ladeprogramms springt. Das größere 

Ladeprogramm lädt dann wichtige Teile des Betriebssystems (ein paar Megabyte) und springt an eine 

Stelle in diesem Betriebssystem. 

Block 2: Übung 6, Gruppe a 

Einfache Java-Programme ohne Eclipse compilieren und ausführen


SU 21. 07.01.2014 


Graphen 

Viele verschiedene Sachverhalte lassen sich beschreiben als eine Menge von Dingen, von denen einige 

durch eine Relation miteinander verbunden sind. Beispiele: 

Dinge 

Orte 

Länder 

Netzseiten 

Personen 

Relation 

2 Orte sind direkt verbunden durch eine Straße (oder Fahrradwege oder Eisenbahnschienen, 

oder durch schiffbares Wasser, oder durch regelmäßige Flüge oder ...) 

2 Länder haben eine gemeinsame Grenze 

Eine Seite enthält einen Link zu einer anderen Seite 

Eine Person ist Vater bzw. Mutter einer anderen Person 

Personen Eine Person ist in einem sozialen Netzwerk ein Freund (oder ein Follower oder ...) 

einer anderen Person 

Wenn man nur weiß, welcher Ort mit welchen anderen durch eine direkte Straße verbunden ist, kann 

man herausfinden, welche Orte indirekt miteinander verbunden sind (d.h. über welche Orte man fahren 

muss/kann, um von A nach B zu kommen). 

Wenn man nur weiß, wer Mutter/Vater von wem ist, kann man alle anderen Verwandtschaftsbeziehungen 

(Großmutter/Großvater, Enkel/Enkelin, in-direkter-Linie-verwandt, versorgungspflichtig, erbberechtigt 

etc.) ausrechnen. 

Die hier skizzierten Sachverhalte kann man durch Graphen darstellen. Da es viele verschiedene solche 

Sachverhalte gibt, gibt es auch viele Arten von Graphen. Für alle gilt: 

Def.: Ein Graph besteht aus einer Menge von Knoten und einer Menge von Kanten. 

Jede Kante verbindet zwei (nicht notwendig verschiedene) Knoten. 

Eigenschaften von Graphen 1 

- gerichtet/ungerichtet 

- kantengewichtet 

- knotengewichtet 

- mit Schleifen, 

- mit Mehrfachkanten 

- zusammenhängend/nicht-zusammenhängend 

Ein Graph-Problem und eine Lösung von E. W. Dijkstra 

Angenommen, wir haben einen kantengewichteten, ungerichteten oder gerichteten Graphen 

ohne Mehrfachkanten. Die Kantengewichte sind alle nicht-negativ. 

Ein Gewicht 3 an der Kante zwischen zwei Knoten v1 und v2 kann z.B. bedeuten: 

- von v1 nach v2 sind es 3 km 

- von v1 nach v2 braucht man 3 Stunden 

- von v1 nach v2 kostet eine Fahrkarte 3 Euro 

etc. 

Wir wüssten gern: 

Wie lang sind die kürzesten Wege von einem bestimmten Knoten zu jedem anderen Knoten?

S. 42, WS13/14 SU 21. 07.01.2014 Beuth-Hochschule 

Anmerkung: Statt "Von v1 nach v2 gibt es keinen Weg" sagen Mathematiker (mit gutem Grund) lieber: 

"Der Weg von v1 nach v2 ist unendlich lang". Damit ist jeder "richtige Weg" kürzer als "kein Weg". 

Interpretation von kantengewichteten Graphen 

Folgende kantengewichtete Graphen erscheinen einigen Menschen auf den ersten Blick unlogisch. Können 

Sie eine logische Erklärung, eine konkrete Interpretation, finden? 

A 

1 

B 

10 1 

C 

D 

10 

1 

E 

Graph G1 

Graph G2 

Wie kann es sein, dass (im ungerichteten Graph G1) der direkte Weg von A nach C viel länger ist, als 

der indirekte Weg über B? Und wie kann es sein, dass (im gerichteten Graph G2) der Weg von D nach E 

viel länger ist als der "umgekehrte" Weg von E nach D? 

Edsger Wybe Dijkstra, 1930 - 2002, Turing Award 1972 

Das Arbeitsblatt für den SU 21 austeilen und gemeinsam den Dijkstra-Algorithmus ausführen indem 

wir die Tabelle ausfüllen. 

Zur Entspannung: Der EPR-Effekt 

Albert Einstein mochte die Quantenmechanik nicht. Er dachte sich mehrere Gedankenexperimente aus, 

die zeigen sollten, dass sie fehlerhaft ist oder zumindest "keine vollständige Beschreibung der Natur" 

liefert. Nils Bohr vertrat die Quantenmechanik und fühlte sich zuständig für ihre Verteidigung. Mehrmals 

gelang es ihm, in einem Gedankenexperiment von Einstein einen subtilen Fehler zu entdecken und 

die Argumente von Einstein dadurch zu entkräften. Bei einem der Gedankenexperimente gelang ihm das 

aber nicht. 

Einstein mochte die Quantenmechanik nicht, kannte sie aber offenbar so genau, dass er auch einige ihrer 

entfernten Konsequenzen erkennen konnte. Den Effekt, der heute als EPR-Effekt bezeichnet wird (nach 

Einstein, seinem Physiker-Kollegen Podolski und einem Studenten Rosen) ist eine Konsequenz der 

Quantenmechanik, die Einstein "so unsinnig und unglaubhaft" vorkam, dass er sie als Argument gegen 

die Quantenmechanik veröffentlichte. Inzwischen hat man diesen merkwürdigen Effekt experimentell 

nachgewiesen und benutzt ihn zur abhörsicheren Übertragung von Daten. 

Der EPR-Effekt wird im Film "Only Lovers Left Alive" (2013) von Jim Jarmusch mehrfach erwähnt. 

Andere Filme von Jim Jarmusch 

1984 Stranger Than Paradise 

1986 Down By Law 

1989 Mystery Train 

1995 Night On Earth


Arbeitsblatt für den SU 21 

Algorithmus von Dijkstra 

Mit dem Dijkstra Algorithmus kann man 

in einem (ungerichteten oder gerichteten) Graphen mit 

nicht-negativen Kantengewichten und 

ohne Mehrfachkanten 

kürzeste Wege von einem bestimmten Knoten zu jedem anderen Knoten berechnen. 

Beispiel-01: Berechnet werden sollen kürzeste Wege vom Knoten A zu den Knoten B, C, D, E, F. 

B 

4 1 

3 

A C D 

2 

4 

5 2 

E 

1 

F 

Für die Berechnung der kürzesten Wege von Hand wurden verschiedene Formen von Tabellen entwickelt, 

unter anderem die hier verwendete Form. Anfangs sieht eine solche Tabelle etwa so aus: 

besucht Knoten Min 

A 0 

B 

C 

D 

E 

F 

inf 

inf 

inf 

inf 

inf 

In der 2. Zeile bedeutet die 0, dass ein Weg der Länge 0 von A nach A führt. Das inf (wie infinity) neben 

B bedeutet, dass zur Zeit der kürzeste uns bekannte Weg von A nach B unendlich lang ist, d.h. dass wir 

noch keinen Wege von A nach B gefunden haben. Für die anderen Knoten C bis F entsprechend.

Beuth Hochschule Stichworte Algorithmen WS13/14, S. 1 Stichworte ...

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?