Aufgabensammlung - Institut für Angewandte und Experimentelle ...
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<strong>Institut</strong> für <strong>Angewandte</strong><br />
<strong>und</strong> <strong>Experimentelle</strong> Mechanik<br />
Technische Mechanik IV<br />
Sommersemester 2011 VÜ 1<br />
Aufgabe 1<br />
m,r,k<br />
m<br />
c 3<br />
m,r,k<br />
x 1 x 2<br />
welche durch Federn (Federkonstanten c 1 <strong>und</strong> c 2 ) an den<br />
Boden gefesselt sind.<br />
Zwei masselose, <strong>und</strong>ehnbare Seile sind durch eine Feder<br />
(Federkonstante c 3 ) verb<strong>und</strong>en. Die Seile laufen jeweils<br />
über eine Rolle (Massem, Radiusr, Trägheitsradiusk) <strong>und</strong><br />
m tragen an ihren Enden Körper der Massen m 1 = m 2 = m,<br />
c 1 c 2<br />
a) Die Verlängerung x 3,0 der Feder 3 im Gleichgewichtszustand sei bekannt. Welche Verlängerungen<br />
x 1,0 <strong>und</strong> x 2,0 besitzen die Federn 1 bzw. 2 im Gleichgewichtszustand?<br />
b) Die Koordinaten x 1 bzw. x 2 sollen die Auslenkungen der Körper m 1 bzw. m 2 aus der Gleichgewichtslage<br />
beschreiben. Geben Sie die Differentialgleichungen für die Schwingungen um die<br />
Gleichgewichtslage an.<br />
Es sei nun speziell c 1 = c 2 = c 3 = c.<br />
c) Welche Eigenfrequenzen ω 1 ,ω 2 besitzt dann das System? Berechnen Sie die Eigenvektoren.<br />
d) Wie ändern sich die Differentialgleichungen, wenn man zu den Koordinaten η 1 = x 1 + x 2 <strong>und</strong><br />
η 2 = x 1 − x 2 übergeht? Was bedeutet dies für die Eigenfrequenzen des Systems? Was für die<br />
Eigenvektoren?<br />
Aufgabe 2<br />
c<br />
x<br />
ϕ<br />
m<br />
c<br />
Ein mathematisches Pendel (Länge l, Masse m) ist in einem<br />
Gleitstück reibungsfrei drehbar gelagert. Das Gleitstück<br />
(Masse m) kann sich horizontal reibungsfrei bewegen<br />
<strong>und</strong> ist zwischen zwei gleichen Federn (Federkonstante c)<br />
eingespannt.<br />
m,l<br />
a) Ermitteln Sie die Bewegungsgleichungen mit Hilfe der Lagrange’schen Gleichungen zweiter Art<br />
für kleine Winkel ϕ.<br />
b) Bestimmen Sie die Eigenwerte des Systems.
<strong>Institut</strong> für <strong>Angewandte</strong><br />
<strong>und</strong> <strong>Experimentelle</strong> Mechanik<br />
Technische Mechanik IV<br />
Sommersemester 2011 VÜ 2<br />
Aufgabe 3<br />
m<br />
Eine Kugel (Masse m) trifft mit der vertikalen Geschwindigkeit<br />
v auf einen keilförmigen Klotz (Masse 3m, Neigungswinkelα<br />
= 45 ◦ ), der auf einer glatten horizontalen Unterlage<br />
ruht. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Keils unmittelbar<br />
nach dem glatten Stoß mit der Stoßzahl ε?<br />
3m<br />
α<br />
Aufgabe 4<br />
3m<br />
l<br />
l<br />
l<br />
A<br />
3m<br />
l<br />
m<br />
B<br />
l<br />
v<br />
α<br />
Ein T-förmiges Pendel besteht aus zwei verschweißten<br />
Stangen (homogen, Masse jeweils 3m, Längen l bzw. 4l).<br />
Das Pendel ist im Punkt A reibungsfrei drehbar gelagert. Ein<br />
punktförmiger Körper (Masse m) trifft mit der Geschwindigkeitv<br />
unter dem Winkelα=30 ◦ im Punkt B auf das ruhende<br />
Pendel. Der Stoß ist glatt <strong>und</strong> teilplastisch (Stoßziffer ε).<br />
Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit des Pendels unmittelbar<br />
nach dem Stoß.<br />
Aufgabe 5<br />
m<br />
l<br />
S<br />
2m<br />
Eine masselose Stange der Länge l trägt an beiden Enden<br />
Punktmassen, von denen die rechte doppelt so schwer ist<br />
wie die linke. Die Stange wird in waagrechter Stellung so<br />
fallen gelassen, dass ihr Mittelpunkt mit der Geschwindigkeit<br />
v auf eine senkrechte Schneide auftrifft. Dabei tritt ein<br />
plastischer Stoß auf.<br />
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Schwerpunkts sowie<br />
die Winkelgeschwindigkeit der Stange unmittelbar nach<br />
dem Stoß.
<strong>Institut</strong> für <strong>Angewandte</strong><br />
<strong>und</strong> <strong>Experimentelle</strong> Mechanik<br />
Technische Mechanik IV<br />
Sommersemester 2011 VÜ 3<br />
Aufgabe 6<br />
a<br />
x<br />
m<br />
Eine Kiste (Massem) rutscht vonx = 0 mit der Anfangsgeschwindigkeit<br />
v 0 eine Rampe herunter. Am<br />
Ende der Gleitstrecke (x = a) stößt die Kiste gegen<br />
einen Anschlag. Der Stoß sei gerade, zentral, halbelastisch<br />
(Stoßziffer ε). Zwischen Kiste <strong>und</strong> Rampe<br />
herrsche Coulomb’sche Reibung mit dem Reibungskoeffizienten<br />
µ.<br />
α<br />
a) Welche Zeit t 1 benötigt die Kiste bis zum Berühren<br />
des Anschlags <strong>und</strong> welche Geschwindigkeit<br />
v 1 hat sie dabei?<br />
b) Nach dem Stoß kommt die Kiste bei x = 0 wieder zur Ruhe. Wie groß ist damit die Stoßziffer<br />
ε ?<br />
c) Die Bedingung für Haften sei nicht erfüllt. Die Kiste rutscht dann von x = 0 wieder herunter,<br />
stößt gegen den Anschlag <strong>und</strong> kommt jetzt im Abstand b vom Anschlag wieder zur Ruhe. Wie<br />
groß ist das Verhältnis b/a?<br />
Aufgabe 7<br />
A<br />
l<br />
F<br />
B<br />
Der skizzierte Träger (Biegesteifigkeit EI , Länge<br />
l ) ist durch die Kraft F belastet. Berechnen Sie<br />
mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte die<br />
Auflagerreaktionen in A .<br />
Betrachten Sie nur Verformungen aufgr<strong>und</strong> von<br />
Biegebelastungen.<br />
l<br />
l
<strong>Institut</strong> für <strong>Angewandte</strong><br />
<strong>und</strong> <strong>Experimentelle</strong> Mechanik<br />
Technische Mechanik IV<br />
Sommersemester 2011 VÜ 4<br />
Aufgabe 8<br />
IV<br />
S4<br />
45 ◦<br />
S2<br />
III<br />
S3<br />
u y<br />
l<br />
u x<br />
45 ◦ Das dargestellte Fachwerk besteht aus vier Stäben<br />
(E i A i = EA für i = 1,2,3 <strong>und</strong> E 4 A 4 = 2EA). Im Knoten<br />
II greift eine Kraft F an. Berechnen Sie die Vertikalverschiebung<br />
u y sowie die Horizontalverschiebung u x des<br />
Knotens III infolge der Kraft F mit Hilfe des Prinzips der<br />
virtuellen Kräfte.<br />
I<br />
S1<br />
II<br />
l<br />
45 ◦<br />
F<br />
Aufgabe 9<br />
A<br />
l<br />
F<br />
B<br />
l<br />
C<br />
Der skizzierte, rechtwinklige, räumliche Träger (BiegesteifigkeitEI,<br />
TorsionssteifigkeitGI t ) ist in C fest<br />
eingespannt <strong>und</strong> in A gelenkig gelagert (Loslager<br />
überträgt nur eine senkrechte Kraft). Der Träger<br />
wird durch die senkrechte Kraft F an der Stelle B<br />
belastet.<br />
Berechnen Sie mit Hilfe des Prinzips der virtuellen<br />
Kräfte die Auflagerreaktion in A.
<strong>Institut</strong> für <strong>Angewandte</strong><br />
<strong>und</strong> <strong>Experimentelle</strong> Mechanik<br />
Technische Mechanik IV<br />
Sommersemester 2011 VÜ 5<br />
Aufgabe 10<br />
l<br />
2<br />
l<br />
2<br />
Ein homogener Balken (Länge l , Biegesteifigkeit<br />
EI ) ist in der skizzierten Weise gelagert <strong>und</strong> durch<br />
z<br />
x<br />
q 0<br />
q 0<br />
EI<br />
die Streckenlasten q(x) = q 0 für 0 ≤ x ≤ l 2<br />
l<br />
<strong>und</strong> q(x) = −q 0 für < x ≤ l belastet. Mit Hilfe<br />
des Ritzschen Verfahrens ist eine Approximation<br />
2<br />
der Biegelinie zu ermitteln. Verwenden Sie als Ansatz<br />
Hinweis:<br />
∫<br />
sin 2 (bx)dx = x 2 − 1 4b sin(2bx)<br />
w(x) = c 1 sin(bx).<br />
a) Bestimmen Sie zunächst die Konstante b so,<br />
dass die Randbedingungen <strong>und</strong> Symmetriebedingungen<br />
erfüllt sind.<br />
b) Bestimmen Sie die Konstante c 1 mit Hilfe des<br />
Ritzschen Verfahrens.<br />
Aufgabe 11<br />
q 0<br />
x<br />
l<br />
Der skizzierte Balken (Biegesteifigkeit EI) ist durch eine konstante Streckenlast q 0 belastet. Mit dem<br />
dreigliedrigen Ritz-Ansatz<br />
˜ω(x) = c 1 φ 1 +c 2 φ 2 +c 3 φ 3 ,<br />
mit<br />
φ 1 (x) = x l<br />
(<br />
1− x ) ( x 2 (<br />
, φ 2 (x) = 1−<br />
l l) x ) ( x 2 (<br />
, φ 3 (x) = 1−<br />
l l) x 2,<br />
l)<br />
bestimme man näherungsweise die Biegelinie <strong>und</strong> werte sie an der Stelle x = l 2 aus.
<strong>Institut</strong> für <strong>Angewandte</strong><br />
<strong>und</strong> <strong>Experimentelle</strong> Mechanik<br />
Technische Mechanik IV<br />
Sommersemester 2011 VÜ 6<br />
Aufgabe 12<br />
A B C D<br />
a a a<br />
k<br />
z P<br />
x<br />
Der Balken AD (masselos, Länge 3a , Biegesteifigkeit<br />
α = EI ) ist in den Punkten A <strong>und</strong> D<br />
reibungsfrei drehbar gelagert. Im Punkt B ist eine<br />
Feder (Federkonstante k ) so befestigt, dass sie<br />
für w(a) = 0 gerade entspannt ist.<br />
Der Balken wird nun im Punkt C durch die Kraft P belastet. Die Biegelinie soll durch den eingliedrigen<br />
Ritz-Ansatz<br />
˜w(x) = c 1 Φ 1 (x) mit<br />
Φ 1 (x) = x2 (x−3a)<br />
a 3<br />
angenähert werden.<br />
a) Zeigen Sie, dass der angegebene Ansatz die Randbedingungen erfüllt.<br />
b) Berechnen Sie die Formänderungsarbeit der Gesamtanordnung in Abhängigkeit von c 1 .<br />
c) Ermitteln Sie die Konstante c 1 mit dem Ritz’schen Verfahren.<br />
Aufgabe 13<br />
F<br />
z<br />
EI,l<br />
M<br />
EI,l<br />
1 I 2 II 3<br />
w 1<br />
w ′ 1<br />
Diskretisierung:<br />
w 2<br />
w ′ 2<br />
w 3<br />
w ′ 3<br />
x<br />
x<br />
Zwei schubstarre Balkenelemente (jeweils<br />
Längel, BiegesteifigkeitEI) sind wie skizziert<br />
verb<strong>und</strong>en <strong>und</strong> an den Enden starr<br />
eingespannt. Die Belastung erfolgt durch<br />
ein Moment M, welches zwischen den<br />
Balken eingeleitet wird, sowie durch eine<br />
Kraft F . Die Diskretisierung mit der entsprechenden<br />
Element- <strong>und</strong> Knotennummerierung<br />
ist in der Skizze angegeben.<br />
z<br />
a) Geben Sie das Gleichungssystem Ku = f mit u = [w 1 w 1 ′ w 2 w 2 ′ w 3 w 3] ′ T an.<br />
b) Wie lauten die wesentlichen Randbedingungen?<br />
c) Berechnen Sie die Durchbiegung <strong>und</strong> Verdrehung am Knoten 2.<br />
d) Berechnen Sie die Lagerreaktionen.
<strong>Institut</strong> für <strong>Angewandte</strong><br />
<strong>und</strong> <strong>Experimentelle</strong> Mechanik<br />
Technische Mechanik IV<br />
Sommersemester 2011 VÜ 7<br />
Aufgabe 14<br />
A<br />
l<br />
2<br />
l<br />
2<br />
B<br />
a<br />
starr<br />
D<br />
β<br />
F<br />
Der vertikal angeordnete, masselose Balken AC<br />
(Länge l , Biegesteifigkeit EI ) kann sich in A spielfrei<br />
vertikal bewegen <strong>und</strong> ist in C fest eingespannt.<br />
In seiner Mitte B ist ein starrer, masseloser Träger<br />
BD (Länge a ) fest angebracht. Am Trägerende<br />
D greift die Kraft F unter dem Winkel β zur<br />
Horizontalen an.<br />
Die Verformung des Balkens AC soll mit Hilfe der<br />
Methode der finiten Elemente untersucht werden.<br />
Längsverformungen des Balkens sollen dabei<br />
vernachlässigt werden.<br />
C<br />
a) Geben Sie die vom Träger BD auf den Balken AC aufgebrachten Belastungen an.<br />
b) Zerlegen Sie den Balken AC in geeignete finite Elemente. Geben Sie Rand- <strong>und</strong> Anschlussbedingungen<br />
sowie die unbekannten Knotenvariablen an.<br />
c) Ermitteln Sie die Gesamtsteifigkeitsmatrix K des Balkens AC.<br />
d) Berechnen Sie die unbekannten Knotenvariablen.<br />
e) Unter welchem Winkel β muss demnach die Kraft F angreifen, damit die horizontale <strong>und</strong><br />
vertikale Verschiebung des Punktes D gleich groß sind?<br />
(Die Verschiebungen sollen klein gegenüber a <strong>und</strong> l sein.)