Wintersemester 2011/2012 - Institut für Angewandte und ...

INSTITUT
MECH
FUR
NIK
Prüfung in Technischer Mechanik 2+3
Wintersemester 2011/2012
21. Februar 2012
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Studiengang: . . . . . . . . . . . Fachsemester: . . . . . . .
E-Mail-Adresse: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wiederholer, bei denen eine mündliche Nachprüfung erforderlich wird, verpflichten sich, den Vergabetermin
für die mündlichen Nachprüfungen wahrzunehmen. Dieser wird in der zweiten Vorlesungswoche
durch Aushang am Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik bekannt gegeben.
Bitte beachten Sie die folgenden Punkte:
• Die Prüfung besteht aus 11 Aufgaben. Bitte überprüfen Sie die Vollständigkeit Ihrer Prüfung.
Alle 11 Aufgaben sind zu bearbeiten.
• Verwenden Sie in Ihrer Ausarbeitung keine rote Farbe.
• Geben Sie alle Lösungen in Abhängigkeit von den in den Aufgaben- bzw. Fragestellungen
gegebenen Größen an.
• Schreiben Sie Ihre Ergebnisse nur in die dafür vorgesehenen Lösungsrahmen.
• Entfernen Sie keinesfalls die Klammer, welche die Blätter zusammenhält.
• Als Hilfsmittel zugelassen sind nur höchstens sechs Seiten DIN A4 selbst erstellte Formelsammlung.
Werden unerlaubte Hilfsmittel bei Ihnen festgestellt, wird dies als Täuschungsversuch
betrachtet, der zum Ausschluss von der weiteren Teilnahme an der Prüfung führt. In
diesem Fall wird die Prüfung als nicht bestanden (Note 5,0) gewertet.
• Geben Sie am Ende der Prüfung nur die ausgefüllten Aufgabenblätter und keine weiteren
Blätter ab.
Viel Erfolg!
Version A
Zur Kenntnis genommen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(Unterschrift)
∑

✬✩
✫✪
Aufgabe 1 (5 Punkte)
In einer Seilzugkombination werden zwei undehnbare
Seile wie skizziert über eine Stufenscheibe (Masse M,
Trägheitsradius k) und eine Rolle (masselos, reibungsfrei
drehbar gelagert) geführt. Am Ende des rechten Seils
hängt die Masse m.
Geben Sie unter Verwendung der Kräfte des Freikörperbildes
an
2r
g
• den Schwerpunktsatz für die Masse m in z 1 -Richtung:
M, k
r
m
• den Schwerpunktsatz für die Stufenscheibe
in z 2 -Richtung:
Freikörperbild:
S 2
S 1
S1
• den Drallsatz für die Stufenscheibe bzgl.
ihres Momentanpols:
ω
Mg
z 2
mg
z 1
♠
Bestimmen Sie den kinematischen Zusammenhang zwischen
ż 1 und ω.
ω =
♠
♠
♠
♠

✬✩
✫✪
Aufgabe 2 (6 Punkte)
Ein Balken wird wie skizziert durch eine Kraft
F und eine Streckenlast q(x) belastet. Er besitzt
im Punkt A ein zweiwertiges und im Punkt B ein
einwertiges Lager.
2q 0
F
q 0 45 ◦
A
B
x
Wie lautet die Belastungsfunktion q(x) im Bereich
0 ≤ x ≤ 2a?
z
a
a
a
a
q(x) =
Wie groß ist die resultierende Kraft P der Belastungsfunktion
q(x) und an welcher Stelle x P
greift sie an?
Freikörperbild:
q 0
2q 0
45 ◦
A x
A z B z
F
♠
P = x P =
Geben Sie die Lagerreaktionen in den Punkten A und B in Abhängigkeit von F, P , x P und a an.
A x = A z =
♠
♠
♠
♠
♠
B z =
Aufgabe 3 (3 Punkte)
Ein an der Stelle A einseitig fest eingespannter Balken
(masselos, Länge 2a, Biegesteifigkeit EI) wird
durch die Kraft F und das Moment M belastet.
A
F
M
x
✫✪
Bestimmen Sie das Lagermoment M A .
M A =
Wie groß ist die Absenkung des Balkens in der Balkenmitte
x = a?
w(a) =
a/2
a/2
a/2
a/2
♠
z, w
♠
Freikörperbild:
♠
F
M A
M
A x
A z
✬✩

✬✩
✫✪
Aufgabe 4 (3 Punkte)
Zwei Scheiben (Radien r ) sind in den
Punkten B und D durch eine starre Stange
gelenkig miteinander verbunden. Die
Scheibe I ist im Punkt A drehbar gelagert.
Die Scheibe II berührt im Punkt E
den Boden, auf dem sie ohne zu gleiten
gegen den Uhrzeigersinn abrollt.
Konstruieren Sie den Momentanpol der
Stange in der skizzierten Lage und bezeichnen
Sie diesen mit M. Zeichnen Sie
zudem die Richtungen der Geschwindigkeiten
der Punkte B und D ein und bezeichnen
Sie diese mit v B und v D .
r
A
B
Scheibe I
r
C
r
2
E
D
ϕ
Scheibe II
Momentanpol:
A
B
D
C
♠
♠
E
♠

✬✩
✫✪
Aufgabe 5 (5 Punkte)
Eine Flagge (homogen, Masse m, Breite l) ist an einer horizontalen
Fahnenstange (masselos) befestigt. Die Fahnenstange ist im Punkt A
reibungsfrei drehbar gelagert und wird an ihrem freien Ende von einem
Seil (masselos, Winkel 45 ◦ zur Horizontalen) gehalten.
g
Freikörperbild:
q 0 = mg
l
A z
x
45 ◦
A
S
z
A x
Vorzeichenkonvention:
N
M
Q
z
x
M
Q
N
l
L
Bestimmen Sie die Seilkraft S.
S =
Geben Sie mit Hilfe von Föppl-Symbolen den Verlauf des Biegemoments in der Fahnenstange an,
ohne dabei die Werte für die Reaktionskräfte A x , A z und S einzusetzen.
M(x) =
♠
♠
♠
♠
♠

✫✪
Aufgabe 6 (4 Punkte)
Ein homogener, quaderförmiger Werkstückrohling wird
durch den Trägheitstensor ⃗ ΘW
Koordinatensystem gegeben).
beschrieben (unten im xyz-
⎡ ⎤
A 0 0
⎢ ⎥
⃗Θ W = ⎣0 B 0 ⎦
0 0 C
xyz
Geben sie den Trägheitstensor des Werkstückrohlings im eingezeichneten
x ′ y ′ z ′ -Koordinatensystem an.
⎡
⃗Θ W =
⎢
⎣
∣
∣
⎤
⎥
⎦
x ′ y ′ z ′
y ′
z ′
z = x ′
y
x
In einem Bearbeitungsschritt wird eine Ausfräsung angebracht.
Das zu entfernende Material besitzt den Trägheitstensor ⃗ ΘA (unten
im x ′′ y ′′ z ′′ -Koordinatensystem gegeben) und die Masse m.
Das x ′′ y ′′ z ′′ -Koordinatensystem entsteht durch eine reine Verschiebung
mit dem Verschiebungsvektor ⃗ρ aus dem xyz-
Koordinatensystem.
z
y
x
⃗ρ
z ′′
x ′′ y ′′
⎡ ⎤
⎡ ⎤
D 0 0
r
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⃗Θ A = ⎣ 0 E 0 ; ⃗ρ = ⎣0⎦
0 0 F
s
⎦x ′′ y ′′ z ′′
Berechnen Sie den Trägheitstensor des bearbeiteten Werkstücks
im xyz-Koordinatensystem.
xyz
♠
♠
⎡
⃗Θ ges =
⎢
⎣
∣
∣
⎤
⎥
⎦
xyz
♠
♠
✬✩

✫✪
Aufgabe 7 (6 Punkte)
Der Klotz 1 (homogen, Masse m) gleitet auf einer horizontalen
Unterlage (Gleitreibungskoeffizient µ). An ihm
ist ein Seil befestigt, das wie skizziert über eine masselose,
reibungsfrei drehbar gelagerte Umlenkrolle und die Scheibe
(homogen, Masse m, Radius r) geführt ist. An der Scheibe
hängt über ein zweites Seil der Klotz 2 (homogen, Masse
4m). Beide Seile sind jeweils masselos und undehnbar.
Geben Sie unter Verwendung der Kräfte des Freikörperbildes
an
• den Schwerpunktsatz für Klotz 1 in x 1 -Richtung:
• den Schwerpunktsatz für Klotz 2 in x 2 -Richtung:
x 1
Klotz 1
g
m
m
µ
Scheibe
r
ω
4m
x 2
Freikörperbild: Klotz 2
S 1
S 1
S 2
mg N R mg S 3
S 3
• den Drallsatz für die Scheibe bzgl. ihres Momentanpols:
4mg
Welche der folgenden Beziehungen beschreibt den kinematischen
Zusammenhang zwischen ẍ 1 , ẍ 2 und ˙ω?
♠
˙ω = −ẍ1 2r = −ẍ2 r
˙ω = ẍ1
2r = ẍ2
r
˙ω = ẍ1
r = ẍ2
2r
˙ω = ẍ1
4r = ẍ2
r
♠
♠
♠
Welche Beschleunigung ẍ 1 erfährt der Klotz 1?
ẍ 1 =
20g − 16µg
13
ẍ 1 =
8g − 16µg
19
ẍ 1 =
8g − 8µg
11
♠
♠
ẍ 1 =
20g − 8µg
19
ẍ 1 =
10g − 4µg
13
ẍ 1 =
10g − 4µg
17
✬✩

✫✪
Aufgabe 8 (6 Punkte)
Der abgebildete masselose Winkelträger ist in A und B
statisch bestimmt gelagert. Über einen an seinem freien
Ende C angeschweißten starren Hebel wird eine Kraft
vom Betrag F in negativer z-Richtung eingeleitet.
Bestimmen Sie die Lagerreaktionen in A und B in Koordinaten
des angegebenen x,y,z-Systems.
⎡
⃗A =
⎢
⎣
⎤ ⎡
, ⃗ B = ⎥ ⎢
⎦ ⎣
⎤
⎥
⎦
Vorzeichenkonvention:
M M
x
N
N
Q z Q
y
x
z
A
F
l
l
2
C
B
l
♠
Zeichnen Sie den Verlauf von Normalkraft N, Querkraft Q und Biegemoment M im Abschnitt AB.
♠
F
N
F
Q
Fl
M
♠
♠
♠
A
B
A
B
A
B
♠
−F
−F
−Fl
✬✩
Aufgabe 9 (3 Punkte)
✫✪
Ein als Punktmasse anzusehender Quader (homogen,
Masse m) liegt auf einer schiefen Unterlage (Neigungswinkel
α, Gleitreibungskoeffizient µ). Zum Zeitpunkt
t = 0 lehnt sich der Quader an eine gespannte Feder (linear,
Federsteifigkeit c) an, die bereits um die Strecke s
zusammengepresst ist. Der Quader wird aus der Ruhe
heraus losgelassen. Haftreibungseffekte sind zu vernachlässigen.
Wie groß muss die Strecke s mindestens sein (d.h. wie
weit muss die Feder am Anfang zusammengepresst sein),
so dass der Quader den Punkt A erreichen kann?
s ≥
g
c
g
c
m
t = 0
t > 0
α
µ
µ
m
A
l
♠
♠
A ♠
✬✩

✬✩
✫✪
Aufgabe 10 (6 Punkte)
Ein starrer Träger (homogen, Masse m) ist horizontal an drei parallelen Stäben (jeweils Elastizitätsmodul
E, Querschnitt A, Länge l) mit zu vernachlässigenden Massen aufgehängt. Der Träger wird
nun am linken Ende wie skizziert durch eine vertikale Kraft vom Betrag F belastet.
Geben Sie unter Verwendung der Kräfte des
Freikörperbildes an
• das Kräftegleichgewicht des Trägers in vertikale
Richtung:
g
1 2 3
P
m
EA, l
F
• das Momentengleichgewicht des Trägers bzgl.
des Punktes P:
a
a
Freikörperbild:
Welche Beziehung muss zwischen den Dehnungen
ε 1 , ε 2 und ε 3 der Stäbe gelten (Verträglichkeitsbedingung)?
S 1 S 2 S 3
F
mg
ε 2 =
Berechnen Sie die Stabkraft S 3 im rechten Stab in
Abhängigkeit von m, g und F.
S 3 =
Wie groß ist die Dehnung ε 3 des rechten Stabes
für F = 4 mg?
♠
♠
♠
♠
♠
♠
ε 3 =

✫✪
Aufgabe 11 (3 Punkte)
Ein Fahrradfahrer fährt zum Zeitpunkt t = 0 an
der Position s = s 0 los. Die Geschwindigkeit v des
Fahrradfahrers in Abhängigkeit von der aktuellen
Position s, s > s 0 ist durch den Zusammenhang
v
v 0
s 0
v(s) = k · 1
s
mit k > 0, konstant
gegeben, der rechts abgebildet ist.
Geben Sie die Position s in Abhängigkeit von der
Zeit t an.
s
s(t) =
Welches der folgenden vier Diagramme stellt den Verlauf s(t) dar?
Diagramm A
Diagramm B
Diagramm C
Diagramm D
s
Diagramm A
s
Diagramm B
s 0
0
s 0
0
t
t
s
Diagramm C
s
Diagramm D
♠
♠
s 0
0
s 0
0
♠
t
t
✬✩