Blatt 8: Drallsatz - Institut für Angewandte und Experimentelle ...

Institut für Angewandte
und Experimentelle Mechanik
Technische Mechanik III
(aer, ee) ZÜ 8.6
Außerdem gilt die kinematische Beziehung
ẋ = d 2 ω ⇒ ˙ω = 2 dẍ , (7)
wobei ẋ die Geschwindigkeit des Schwerpunktes ist.
Zwischen Walze und Brett tritt Gleitreibung auf:
S = µ K (8)
Einsetzen von (1) für beliebiges x in (8) liefert die Reibkraft S:
S = µ L 2x m 2g cos α (9)
Einsetzen von (6), (7) und (9) in (5) liefert:
3
8 m 1 d 2 2 dẍ = 1 2 dm 1 g sin α − µ L 2x m 2g cos α · d
2
∣ ·
m 1 g d
3
2gẍ = sinα − µLm 2
m 1
cos α · 1
x
(10)
Gleichung (10) ist eine Differentialgleichung, die mit Hilfe der Beziehung ẍ = v dv
dx durch
Trennung der Variablen (Separation) und Integration gelöst werden kann:
∫ v
0
ṽ dṽ = 2g 3
1
2 ṽ2 ∣ ∣∣
v
ṽ=0
= 2g 3
∫ L (
sin α − µL m 2
cos α · 1 )
dx
m 1 x
x 0
[
sin α · x − µL m 2
m 1
cos α · ln x] L
x=x 0
v 2 = 4 3 g [
sin α · (L − x 0 ) − µL m 2
m 1
cos α · ln L x 0
]
Durch Einsetzen von x 0 aus (4) erhält man:
v 2 = 4 [(
)
3 gL m 2
sin α − µ 0 cos α
m 1
+ µ m 2
m 1
cos α · ln
( )]
m 2 1
µ 0
m 1 tanα
Damit ist die gesuchte Geschwindigkeit:
√
v = (−) +
2
gL
3
[(
)
m 2
sin α − µ 0 cosα + µ m ( )]
2 m 2
cos α · ln µ 0 cot α
m 1 m 1 m 1