Formelüberblick TM 1 - Institut für Angewandte und Experimentelle ...

Institut für Angewandte
und Experimentelle Mechanik
Technische Mechanik I
FS 1
Stereostatik — Statik starrer Körper
Grundlagen der Vektorrechnung
Definition des Vektors und Koordinatendarstellung
Ein Vektor ⃗a beschreibt unabhängig vom Koordinatensystem
eine gerichtete Strecke im Raum. Wird ein Koordinatensystem
K aus Basisvektoren⃗e x ,⃗e y ,⃗e z definiert, so lässt sich der Vektor
⃗a als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen. Die
Faktoren a x , a y , a z werden dabei als Koordinaten bezeichnet
und können zu einer Spaltenmatrix a K = [a x a y a z ] T zusammengefasst
werden.
Ausführliche Schreibweise
⎡ ⎤T⎡
⎤
a x ⃗e x
⃗a = a x ⃗e x +a y ⃗e y +a z ⃗e z = ⎣a y
⎦ ⎣⃗e y
⎦ =
a z ⃗e z
Grundoperationen
Kurzformen
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
a x a x
⎣a y
⎦ = ⎣a y
⎦
a z a z
K
xyz
x
K
⃗e x
z
⃗e z
a y
⃗a
⃗e y
a z
a x
Kurzform wenn nur in einem
Koordinatensystem gerechnet wird
⎡ ⎤
a x
= ⎣a y
⎦
a z
Operation Vektorschreibweise Koordinatenschreibweise
Betrag a = |⃗a| a = √ a 2 x +a 2 y +a 2 z
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
Vektoraddition ⃗c =⃗a+ ⃗ c x a x +b x
b
⎣c y
⎦ = ⎣a y +b y
⎦
c z a z +b z
Multiplikation mit Skalar
Skalarprodukt
Vektorprodukt
⃗c = λ⃗a
c =⃗a·⃗b = |⃗a| | ⃗ b| cosα
mit α = ̸ (⃗a, ⃗ b)
⃗c =⃗a× ⃗ b = − ⃗ b×⃗a
mit ⃗c⊥⃗a, ⃗c⊥ ⃗ b, (⃗a× ⃗ b)·⃗c > 0
|⃗c | = |⃗a|| ⃗ b| sinα, α = ̸ (⃗a, ⃗ b)
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
c x λa x
⎣c y
⎦ = ⎣λa y
⎦
c z λa z
⎡ ⎤T⎡
⎤
a x b x
c = ⎣a y
⎦ ⎣b y
⎦ = a x b x +a y b y +a z b z
a z b z
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
c x a y b z −a z b y
⎣c y
⎦ = ⎣b x a z −a x b z
⎦
c z a x b y −a y b x
y
Erweiterte Vektoroperationen und Identitäten
Projektion:
Spatprodukt:
Graßmann-Identität:
ba ⃗ = ⃗a·⃗b ⃗a·⃗b
|⃗a|
2⃗a =
⃗a·⃗a ⃗a
(⃗a× ⃗ b )·⃗c = ( ⃗ b×⃗c )·⃗a = (⃗c×⃗a )·⃗b
⃗a×( ⃗ b×⃗c) = (⃗a·⃗c) ⃗ b−(⃗a·⃗b)⃗c
α
⃗ b
⃗ ba
[
= ⃗ ]
b (⃗a·⃗c ) − ⃗c (⃗a·⃗b )
⃗a
Lagrange-Identität:
(⃗a× ⃗ b)·(⃗c× ⃗ d) = (⃗a·⃗c)( ⃗ b·⃗d)−( ⃗ b·⃗c)(⃗a·⃗d)

Institut für Angewandte
und Experimentelle Mechanik
Technische Mechanik I
FS 2
Koordinatentransformation
Vektor⃗a ist eine physikalische Größe und daher unabhängig vom Koordinatensystem.
Er kann jedoch als Linearkombination der Basisvektoren
des Systems K{⃗e x ,⃗e y ,⃗e z } oder K ′ {⃗e 1 ,⃗e 2 ,⃗e 3 } dargestellt
werden:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⃗e x ⃗e 1
⃗a = a T ⎣
K ⃗e y
⎦ = a T ⎣
K ⃗e ′ 2
⎦
⃗e z ⃗e 3
Ebenso lassen sich die Basisvektoren im jeweils anderen Koordinatensystem
darstellen:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡
⎤
⃗e 1 e T 1 K
⃗e x
⎣⃗e 2
⎦ = ⎣e T ⎦⎣
2 K
⃗e y
⎦
⃗e 3 e T 3 K
⃗e z
⎡ ⎤ ⎡
⃗e x e T ⎤⎡
⎤
x K ′ ⃗e 1
⎣⃗e y
⎦ = ⎣e T ⎦⎣
y K
⃗e
′ 2
⎦
⃗e z e T z K
⃗e
′ 3
z
y
⃗a
⃗e y
⃗e 2
⃗e 3
⃗e z
⃗e 1
Damit lässt sich der Zusammenhang zwischen den Koordinaten a K und a K ′ des Vektors⃗a herleiten:
a K = [ ]
e 1K
e 2K
e
} {{
3K
a
} K ′ a K ′ = [ ]
e xK
e
′ yK
e
′ zK ′
a K
} {{ }
T K′
T K K
K ′
⃗e x
x
wobei T K′
bzw. K TK als Transformationsmatrizen bezeichnet werden. e
K ′
1K
, e 2K
, e 3K
sind die Koordinaten
der Basisvektoren ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 dargestellt im Koordinatensystem K. Sind K und K ′ kartesische
Koordinatensysteme, so sind die Transformationsmatrizen orthonormal und es gilt:
( ) T
T −1 T = T T T = I und damit folgt T K′
= T K K K ′
System gebundener Vektoren
Resultierendes Moment bzgl. eines beliebigen Bezugspunktes P:
Die Addition linienflüchtiger Vektoren führt auf einen Vektorwinder:
⃗ M (P) =⃗r PO ×⃗a+ ⃗ M (O)
(⃗a, ⃗ M (O) ) : ⃗a = ∑ i
⃗a i , ⃗ M (O) = ∑ i
⃗r i ×⃗a i
Dabei ist⃗a der resultierende Vektor des Vektorsystems, und ⃗ M (O) dessen resultierendes Moment bzgl.
des Bezugspunktes O.
Ein Vektorwinder dessen Moment ⃗ MR und Vektor⃗a denselben Richtungssinn aufweisen wird Vektorschraube
genannt:
(O)
⃗a· ⃗M
⃗M R = ⃗a ⃗r
⃗a 2 Q = ⃗a× M ⃗ (O)
und der Schraubachse: ⃗r(λ) =⃗r
⃗a 2 Q +λ⃗a,
Schraubachse
⃗a 1
Q 2
⃗a 2
Q 1
⃗r 2
⃗r 1
⃗a
O
⃗M (O)
⃗r Q
⃗ MR
⃗a
Q
gebundenes Vektorsystem
Vektorwinder
Vektorschraube

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Technische Mechanik I
FS 3
Schwerpunkt
Linienschwerpunkt
⃗r SL = 1 ∫
⃗rdL, in Koordinaten: x SL ,y SL ,z SL
L
L
z
⃗r
dL
S L
L
Flächenschwerpunkt
O
x
y
∫
⃗r SA = 1 A
A
Volumenschwerpunkt
⃗rdA, in Koordinaten: x SA ,y SA ,z SA
x
z
O
⃗r
y
S A
dA
A
∫
⃗r SV = 1 V
V
⃗rdV, in Koordinaten: x SV ,y SV ,z SV
Schwerpunkt zusammengesetzter Körper
z
O
x
y
⃗r
dV
S V
V
Koordinaten des Flächenschwerpunkts, wenn eine Fläche aus mehreren Teilflächen zusammengesetzt
ist (Analoges gilt für Körper- und Linienschwerpunkt):
x SA =
∑
xSi A i
∑
Ai
, y SA =
∑
ySi A i
∑
Ai
, z SA =
∑
zSi A i
∑
Ai
Schwerpunkt bei Rotationskörpern, Guldinsche Regeln
Regel zum Flächenschwerpunkt:
x SA = V
2πA
mit dem Volumen V des entstandenen Rotationskörpers bei
Rotation um die z-Achse
Regel zum Linienschwerpunkt:
z
Rotationsfläche
A
x
x S
Umfang U
x SL = O
2πU
mit der Oberfläche O des entstandenen Rotationskörpers bei
Rotation um die z-Achse

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Technische Mechanik I
FS 4
Gleichgewicht am ruhenden Körper, Freischneiden
Skizze
F
Prinzipielle Vorgehensweise:
1. Freischneiden aller Körper, actio=reactio
m
2. Äußere Kräfte und Momente an jedem Körper einzeichnen
3. Koordinatensystem(e) einführen
4. Gleichgewichtsbedingungen für jeden Körper aufstellen
∑ ⃗Fi = 0 und
∑ ⃗Mi = 0
Freischnittbild
W
5. Auflösen des Gleichungssystems
Bemerkungen
S
• gelenkig gelagerte, masselose, querkraftfreie Stange: Kraft
nur in Stangenrichtung
S
mg
F
• Seil: ausschließlich Zugkraft in Seilrichtung
• Greifen an einem ruhenden Körper genau drei Kräfte an, die
nicht parallel sind, so schneiden sich deren Wirkungslinien in
einem Punkt und die drei Kräfte liegen in einer Ebene.
N
• mehr Unbekannte als Gleichgewichtsbedingungen⇒Problem
ist statisch unbestimmt ⇒ Elastostatik, Verformungsverhalten
muss berücksichtigt werden
Statische Bestimmtheit
• Notwendige Bedingung für ebenes und räumliches Problem
{ } 3
n = ∑ n – Anzahl der Körper bzw. Teilsysteme
r
6 i
r i – Wertigkeit des Lagers i
i
Die Wertigkeit eines Lagers gibt die Anzahl der vom Lager eingeschränkten Freiheitsgrade an.
• Hinreichende Bedingung
a 11 A 1 +a 12 A 2 = b 1 F 1 A i – unbekannte Lagerreaktionen
a 21 A 1 +a 22 A 2 = b 2 F 2 F i – eingeprägte Kräfte
[ ]
a11 a
det 12
≠ 0
a 21 a 22
⇒ statisch bestimmt
Mechanisches System heißt statisch bestimmt gelagert, wenn die Lagerreaktionen eindeutig aus den
Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden können.

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Technische Mechanik I
FS 5
Berechnung von ebenen Fachwerken
Statische Bestimmtheit
• äußerlich statisch bestimmt, wenn sich alle Lagerreaktionen aus GGB bestimmen lassen
• innerlich statisch bestimmt, wenn sich alle Stabkräfte aus GGB bestimmen lassen
• notwendige Bedingung für statische Bestimmtheit (für ebenes und räumliches Problem)
{ 2
3
}
K = S + ∑ i
r i S – Anzahl der Stäbe
K – Anzahl der Knoten
r i – Wertigkeit des Lagers i
Knotenpunktverfahren
• Lagerreaktionen mit 3 GGB vorweg bestimmen
• Knoten freischneiden und Stabkräfte als Zugkräfte einzeichnen
• Je Knoten 2 GGB anschreiben + LGS lösen
Nullstäbe
1. unbelasteter Knoten mit 2 Stäben, Stäbe nicht in gleiche Richtung
F
2. belasteter Knoten mit 2 Stäben, ein Stab in Richtung der äußeren Kraft
3. unbelasteter Knoten, 3 Stäbe, 2 in gleiche Richtung
Ritterschnittverfahren
• Fachwerk in 2 Teile schneiden, so dass höchstens 3 Stäbe mit unbekannten Stabkräften geschnitten
werden
• Gleichgewicht des abgeschnittenen Fachwerks auswerten

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Technische Mechanik I
FS 6
Coulomb’sche Reibungsgesetze, Seilreibung
Haftreibung
Ein Körper haftet, so lange folgende Haftbedingung erfüllt ist
|H| ≤ µ 0 N
H – Haftkraft aus GGB (Reaktionskraft!)
µ 0 – Haftreibungskoeffizient
N – Normalkraft N > 0
Gleitreibung
Sobald der Körper rutscht, tritt Gleitreibung auf und es wirkt die eingeprägte Gleitreibungskraft R.
Dabei gilt folgendes Reibungsgesetz (1D)
R = −µNsgn(v rel )
R – Gleitreibungskraft (eingeprägte Kraft!)
µ – Gleitreibungskoeffizient
N –
{
Normalkraft N > 0
1 für a ≥ 0
sgn(a) =
−1 für a < 0
• i.A. gilt µ 0 > µ
• Die Gleitreibungskraft R ist vom Betrag µN und stets der Relativbewegung entgegengerichtet!
Erweiterung des prinzipiellen Vorgehens:
1. Freischneiden aller Körper, actio=reactio
2. Äußere Kräfte und Momente an jedem Körper einzeichnen (Haftreibung als Reaktionskraft,
Gleitreibung als eingeprägte Kraft)
3. Koordinatensystem(e) einführen
4. Gleichgewichtsbedingungen für jeden Körper aufstellen
∑ ⃗Fi = 0 und
∑ ⃗Mi = 0
5. Auflösen des Gleichungssystems
6. Prüfen ob Haftbedingung erfüllt ist (Ungleichung auswerten)
Seilhaftung, Seilreibung
Die Haftbedingung eines Seils auf einer Riemenscheibe
wird durch die Euler-Eytelwein-Formel beschrieben
µ 0
S 1 ≤ S 0 e ϕµ 0
ϕ
• Es gilt: S 1 > S 0
• ϕ als Bogenmaß
S 1
S 0

Institut für Angewandte
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Technische Mechanik I
FS 7
Balkenstatik
Bisher wurden die Schnittkräfte und -momente nur an Lagern und Stäben bestimmt. Nun werden die
Schnittreaktionen im Innern von Körpern betrachtet. Innere Kräfte und Momente kennzeichnen die
Materialbeanspruchung im Bauteil und finden Ihre Anwendung in der Festigkeitslehre (z.B. Dimensionierungsaufgaben).
Als Anwendungsbeispiel wird im Folgenden der gerade, ebene, statisch bestimmt
gelagerte Balken betrachtet.
Balken unter allgemeiner Belastung
Belastungen: Einzelkräfte F [N], Einzelmomente M [Nm], Streckenlasten q [N/m]
I. Bestimmung der Lagerreaktionen über GGB am gesamten Balken (s. Blatt FS 4). Streckenlasten
werden durch resultierende Ersatzkräfte berücksichtigt, die in den Schwerpunkten der jeweiligen
Lastflächen angreifen.
II. Bestimmung der inneren Kräfte und Momente
Erste Möglichkeit: Stückweise Berechnung durch Freischneiden
• Balken an der Stelle x freischneiden
• Koordinatensystem einführen
• Schnittkräfte und -momente einzeichnen. Vorzeichenkonvention: positiv, wenn am positiven
Schnittufer in positiver Koordinatenrichtung
z
q(x)
F
M 0
Schnitt an Stelle x
x y x
z
q(x)
F
neg. Schnittufer
Q
M M M 0
N N
Q
pos. Schnittufer
• Für den betrachteten stetigen Bereich den Verlauf der Normalkraft N(x), Querkraft Q(x)
und des Biegemoments M(x) berechnen und zeichnen.
q Q M
0 konstant linear
konstant linear quadratisch
linear quadratisch kubisch
dQ(x)
dx
dM(x)
dx
= −q(x)
= Q(x)
Zweite Möglichkeit: Unstetigkeitsbeschreibung mittels Föppl-Symbol
{
Definition des Föppl-Symbols: 〈x−a〉 n 0 für x < a
=
(x−a) n für x > a
II.1 Streckenlasten mit Föppl-Symbolen darstellen:
quer zum Balken: q(x)
entlang des Balkens: n(x)
II.2 Kraftverläufe:
Q(x) = − ∫ q(x)dx − ∑ i 〈x−x i〉 0 F zi N(x) = − ∫ n(x)dx − ∑ i 〈x−x i〉 0 F xi
II.3 Momentenverlauf:
M(x) = ∫ Q(x)dx − ∑ j 〈x−x j〉 0 M yj
∫
f(x)dx bezeichnet die Stammfunktion vonf(x). Die Integrationskonstanten werden in der Balkenstatik
durch die Einzelkräfte und -momente erfasst.

Institut für Angewandte
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Technische Mechanik I
FS 8
Seilstatik
Dieses Kapitel wird im Laufe des Semesters erstellt.
Anhang
Standardwinkel
1
0 π 1π 1π 1π 2
π 3
π 5
π π 7
π 5
π 4
π 3
π 5
π 7
π 11
π 2π
6 4 3 2 3 4 6 6 4 3 2 3 4 6
0 ◦ 30 ◦ 45 ◦ 60 ◦ 90 ◦ 120 ◦ 135 ◦ 150 ◦ 180 ◦ 210 ◦ 225 ◦ 240 ◦ 270 ◦ 300 ◦ 315 ◦ 330 ◦ 360 ◦
sinx 0
cosx 1
tanx 0
1
2
√
3
2
√
3
3
√
2
2
√
2
2
cotx ±∞ √ 3 1
1
√
3
2
1
2
1
√
3
2
√
2
2
1
2
0 − 1 − √ 2
− √ 3
2 2 2
√
3 ±∞ −
√
3 −1 − √ 3
√
3
3
3
0 − 1 − √ 2
− √ 3
2 2 2
0 − √ 3
3
−1 − √ 3 ±∞ √ 3 1
−1 − √ 3
2
− √ 2
2
− 1 2
−1 − √ 3
− √ 2
− 1 √ √
1 2 3
0
1
2 2 2 2 2 2
√
3 √ √ √
0 1 3 ±∞ − 3 −1 − 3
0
3
3
√
3
3
0 − √ 3
3
0
−1 − √ 3 ±∞